一元二次方程根与系数的关系公开课教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案.doc
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】：1、方程：X 2+3X –4=0（1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。
（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。
（3）则X 1+X 2=_______， 方程中 （）二次项系数一次项系数=- (4) X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关》教案、教学设计
根据学生的个体差异，布置不同难度的课后作业，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，针对学生在课堂上的表现，进行有针对性的辅导，解决他们在学习过程中遇到的问题。
7.教学评价，持续改进
通过课堂提问、作业批改、测验等方式，了解学生的学习效果，对教学方法和策略进行调整，以提高教学质量。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的求解方法有初步的了解。在此基础上，他们对一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的探究欲望，但可能对根的判别式和韦达定理的理解还不够深入。因此，在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导他们通过观察、思考、总结，逐步理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
1.培养学生对待数学问题的认真态度，严谨治学，克服困难，勇于探索。
2.培养学生用数学的眼光观察世界，认识世界，增强学生的数学应用意识。
3.培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中体验成功，树立自信心。
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂的开始，我将通过一个贴近学生生活的实际问题来导入新课：“同学们，假设我们班要举行一次篮球比赛，已知比赛场地上有两个篮筐，分别距离地面一定高度。现在我们需要计算出篮球从地面抛起，到达篮筐高度时的速度。这个问题可以通过一元二次方程来求解，那么如何找到这个方程的根呢？”这个问题既能够引起学生的兴趣，又能让学生感受到数学与生活的紧密联系。
此外，学生在解决实际问题时可能会遇到一定的困难，需要教师耐心指导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学应用能力。同时，学生的个体差异较大，教师应关注每个学生的学习进度，针对性地进行教学辅导，使他们在原有基础上得到提高。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。
3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。
教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。
2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。
过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。
1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。
3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
一元二次方程的根与系数的关系》教案
一元二次方程的根与系数的关系》教案一元二次方程的根与系数的关系知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，能够使用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并解决一些简单的问题。
过程与方法】通过探究一元二次方程根与系数的关系，培养学生的观察思考、归纳概括能力和解决问题的能力，渗透整体的数学思想和求简思想。
情感态度】通过学生自主探究，发现根与系数的关系，增强研究的信心，培养科学探究精神。
教学重点】根与系数的关系及运用。
教学难点】定理的发现及运用。
一、情境导入，初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们的数学学科中更蕴藏着大量的规律。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们一起去探究，感受一次当科学家的滋味。
二、思考探究，获取新知解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？教学说明】通过让学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式可知：x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a则有以下结果：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
三、运用新知，深化理解1.求下列方程的两根之和与两根之积。
1）x2-6x-15=0；2）5x-1=4x2；3）x2=4；4）2x2=3x。
2.已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.1）求k的取值范围；2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值。
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。
教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。
教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。
教学资源：1. 教材；2. ppt。
教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。
Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。
Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。
Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。
Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。
例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标(一)知识与技能通过观察、归纳、类比、讨论等活动，探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系．(二)过程与方法通过对方程的求解过程进行回顾，渗透从特殊到一般的数学思想，并培养学生的观察、探究能力．(三)情感态度与价值观通过一元二次方程根与系数的关系的探究，培养学生初步形成对数学整体性的认识以及前后一致的逻辑推理能力．二、教学重难点教学重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系．教学难点：将根的判别式由数值计算推广到字母运算，正确理解判别式的意义．三、教学过程(一)导入新课，明确目标师：同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，并且通过几道例题对解法进行了具体的阐述。
今天我们将在此基础上，探究一元二次方程的根与系数的关系。
那么什么是一元二次方程的根与系数呢？如何用数学语言描述呢？带着这些问题，我们一起学习今天的课题“一元二次方程的根与系数的关系”。
(二)自主探究，掌握新知定义一元二次方程的根与系数。
师：首先请同学们思考一下，一元二次方程的根是什么？系数又是什么？他们之间存在什么样的关系呢？现在我们一起来探讨一下。
假设ax²+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，那么x1,x2是它的两个实数根。
其中a、b、c分别是方程的系数。
那么，根与系数之间存在什么样的关系呢？我们可以通过以下步骤进行探究：(1)分别计算出x1+x2和x1x2的值；(2)根据计算结果，总结根与系数的关系。
通过实例探究根与系数的关系。
师：现在我们通过一个具体的实例来探究一元二次方程的根与系数的关系。
例如，方程2x²-4x-6=0的两个根分别为x1=x2=1，则x1+x2=2，x1x2=-3。
那么我们可以发现，对于任何一个一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根与系数之间都满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
一元二次方程的根与系数的关系数学教案
一元二次方程的根与系数的关系数学教案标题：一元二次方程的根与系数的关系I. 引言A. 课程目标B. 学习者背景C. 主题介绍II. 一元二次方程回顾A. 一元二次方程的定义B. 一元二次方程的标准形式C. 一元二次方程的解法（因式分解法、完全平方公式法、求根公式法）III. 根与系数的关系A. 定义：如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两根x₁, x₂，则有如下关系：i. x₁+x₂=-b/aii. x₁x₂=c/aB. 推导过程C. 应用实例IV. 实践活动A. 分组讨论：通过实际问题引出一元二次方程，然后利用根与系数的关系解决问题B. 小组展示：每组分享自己的解决思路和方法C. 教师点评：对各小组的表现进行评价，并进一步强调根与系数的关系的重要性V. 总结与反馈A. 本节课的主要内容回顾B. 学生自我评估学习效果C. 教师给出下一节课程的学习建议以下是一个关于根与系数的关系应用实例的部分内容示例：实例：已知一元二次方程2x²-3x-5=0有两个实数根x₁, x₂，试求下列各式的值：a) (x₁²+x₂²)b) (x₁³+x₂³)解答：根据根与系数的关系，我们有：x₁+x₂=-(-3/2)=3/2x₁x₂=-5/2对于a)，我们有：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(3/2)²-2(-5/2)=9/4+5=29/4对于b)，我们有：x₁³+x₂³=(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²)=(3/2)[(3/2)²-2(-5/2)+x₁²+x₂²]=(3/2)[9/4+5+29/4]=67/2。
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一元二次方程根与系数的关系公开课教案
Revised on November 25, 2020
一元二次方程根与系数的关系教案
教材出处：义务教育课程标准实验教科书实践与探索第1课时根与系数的关系。
授课时间：2016年8月31 教学目标：
1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。
2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。
教学重点：根与系数的关系的推导、运用。
教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。
教学过程：
一、问题情境，导入新课：
观察上面的表格，你能得到什么结论
（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 之间有什么关系
（2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢你能证明你的猜想吗
二、探究新知： 1、根与系数关系：
（1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是：
12x x p +=-，12x x q =。
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。
并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢
（2）形如20(0)ax bx c a ++=≠的方程，如果240b ac -≥，两根为1x ，2x ，引导学生利用上面的结论猜想1x ，2x 与各项系数a 、b 、c 之间有何关系。
然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)ax bx c a ++=≠ ∵0a ≠
∴20b c
x x a a
+
+= ∴12b x x a
+=-，12c
x x a =
对于这个结论我们又应该如何证明呢引导学生利用求根公式给出证明。
证明：∵20(0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时根为：
设12b x a -+=，22b x a
-=，则
∴1222b b
x x a a
-+=
+==- 学生思考、归纳并回答下列问题：
（1）你认为什么是根与系数的关系根与系数的关系有什么作用 （2）运用根与系数的关系要注意些什么 三、应用举例
例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：
（1）2310x x --=（2）22350x x +-=（3）21
203x x -=
（4）2+=5）220x -=（6）2210x x ++=
例2、已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及k 的值。
先让学生求解，再让学生代表介绍解法。
教师展示： 从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示
例3、已知2220050x x αβ+-=、是方程的两个实数根，求23ααβ++的值。
分析：因为αβ、是原方程的两个实数根，故都满足原方程，将α代入原方程可得
2222005022005αααα+-=+=，所以，而223(2)()ααβαααβ++=+++，利用根与系数的关系可知2αβ+=-，从而可求23ααβ++的值。
四、巩固练习：
1、已知方程2290x kx --=的两根互为相反数，求k 的值。
2、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值。
3、备选题：关于x 的方程22(21)20x k x k +++-=两实数根的平方和等于11，求k 的值。
五、归纳小结：
1、这节课我们学习了什么知识有何作用
2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么
3、这节课我们学到了解决数学哪些方法运用了哪些数学思想 六、课后作业：
1、若方程241x x -=的两个根为1x ，2x ，则1x ，2x 的值是 。
2、已知a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为 。
3、若方程22310x x --＝的两根为1x ，2x ，则
12
11x x +的值为。
4、关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且
22
127x x +=，求212()x x -的值。
板书设计：
一元二次方程根与系数的关系
1、对于20(0)ax bx c a ++=≠的方程，若240b ac -≥，两根为1x ，2x 。
那么12b x x a
+=-，12c
x x a ⋅=
2、根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程，即0a ≠。
（2）方程为一般形式。
即形如：20ax bx c ++=。
（3）判别式大于等于零，即240b ac -≥。