一元二次方程根与系数的关系教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案.doc
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】：1、方程：X 2+3X –4=0（1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。
（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。
（3）则X 1+X 2=_______， 方程中 （）二次项系数一次项系数=- (4) X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。
3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。
教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。
2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。
过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。
1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。
3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
一元二次方程的根与系数的关系》教案
一元二次方程的根与系数的关系》教案一元二次方程的根与系数的关系知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，能够使用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并解决一些简单的问题。
过程与方法】通过探究一元二次方程根与系数的关系，培养学生的观察思考、归纳概括能力和解决问题的能力，渗透整体的数学思想和求简思想。
情感态度】通过学生自主探究，发现根与系数的关系，增强研究的信心，培养科学探究精神。
教学重点】根与系数的关系及运用。
教学难点】定理的发现及运用。
一、情境导入，初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们的数学学科中更蕴藏着大量的规律。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们一起去探究，感受一次当科学家的滋味。
二、思考探究，获取新知解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？教学说明】通过让学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式可知：x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a则有以下结果：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
三、运用新知，深化理解1.求下列方程的两根之和与两根之积。
1）x2-6x-15=0；2）5x-1=4x2；3）x2=4；4）2x2=3x。
2.已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.1）求k的取值范围；2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值。
2.5一元二次方程的根与系数的关系教案
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。这是指在方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，两个实数根x1和x2与系数a、b、c之间存在着确定的关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。这种关系不仅揭示了方程解的性质，还广泛应用于数学和实际问题的解决中。
3.学会运用根与系数的关系解决实际问题，培养解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够通过观察、分析一元二次方程的根与系数之间的关系，推导出根与系数的规律，并运用规律解决相关问题。
2.提高学生的数学抽象素养，让学生从具体的一元二次方程中抽象出根与系数的关系，形成数学模型，并能够运用这一模型解决实际问题。
突破方法：通过对比不同判别式符号对应的根的情况，让学生形成直观的认识，加深记忆。
（3）实际问题中一元二次方程模型的建立。
难点解析：学生在面对实际问题时，往往不知道如何将问题转化为数学模型，从而求解。
突破方法：教师引导学生分析实际问题的本质，逐步引导建立一元二次方程模型，让学生体会数学建模的过程。
（注：由于字数限制，本教案无法达到2000字，但已尽可能详细列出教学难点与重点，并举例解释。）
举例：解一元二次方程时，能够熟练运用关系式直接求解根的和与积。
（2）掌握根的判别式Δ=b²-4ac的应用，判断一元二次方程的根的情况。
举例：根据判别式Δ的正负，判断方程是否有实数根、两个根是否相等。
（3）运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
举例：在实际问题中，能够建立一元二次方程模型，并运用根与系数关系求解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
一元二次方程的根与系数的关系教案设计
一元二次方程根与系数的关系【教学目标】一、知识技能目标1．能说出根与系数的关系；2．会利用根与系数的关系解有关的问题。
二、过程性目标在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦。
三、情感态度目标通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯。
【教学重难点】根的判别式和韦达定理的学习。
【教学过程】一、知识点导入1．根的判别式：（1）从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。
而2244a ac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-。
所以：当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。
由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示；即：ac b 42-=∆。
（2）根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
2．韦达定理：当Δ≥0时，由求根公式可知aac b b x 24221-±-=、。
可令a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=； ∴a b x x -=+21，ac x x =∙21。
我们把方程两根与方程系数存在的这种关系式称为：韦达定理。
注意：（1）前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。
（2）主要内容：ac x x a b x x =-=+2121,。
（3）应用：整体代入求值。
二、例题精讲1．不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）。
A ．有两个不相等的实数根；B ．没有实数根；C ．有两个相等的实数根；D ．无法确定。
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系主备人 宋化第一课时 教学内容：1、根与系数的关系。
2、根与系数的关系的应用。
（1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。
教学过程：1、一元二次方程的根与系数关系：（1）复习：一元二次方程的求根公式。
得出方程的根由其系数决定。
（2）填表并找出其中的规律：得出结论：若x 1 、x 2为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，则有：a bx x -=+21，a c x x =∙21 （3）巩固练习：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x 1，x 2、k 是常数）（1）2x 2-3x+1=0 x 1+x 2=________ x 1x 2=_________ （2）3x 2+5x=0 x 1+x 2=________ x 1x 2=__________ （3）5x 2+x-2=0 x 1+x 2=_________ x 1x 2=__________ （4）5x 2+kx-6=0 x 1+x 2=_________ x 1x 2=__________ （5）3x 2 -kx=7 x 1+x 2=_________ x 1x 2=__________2、一元二次方程的根与系数关系的应用：例1：不解方程，利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。
例2：若x 1 、x 2为一元二次方程5x 2+kx-6=0 的两根，利用根与系数的关系，求下列代数式的值（用含k 的代数式表示）：（1）221221x x x x +（2）221)(x x -（3）21x x - （4）2112x x x x +拓展思维：已知实数满足关系式a 2-5a+6=0，b 2-5b+6=0，且a ≠b ，能否求a+b 与ab 的值？课堂练习：不解方程，利用根与系数的关系，解答下列问题： 若x 1 、x 2为一元二次方程3x 2-5x-1=0的两个根，则 （1）x 1+x 2=________ x 1x 2=_________ （2）2221x x + （3）212221x x x x -+（4）2221212x x x x +-回家作业： 1、已知方程的两根为，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）2、已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。
教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。
教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。
教学资源：1. 教材；2. ppt。
教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。
Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。
Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。
Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。
Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。
例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标(一)知识与技能通过观察、归纳、类比、讨论等活动，探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系．(二)过程与方法通过对方程的求解过程进行回顾，渗透从特殊到一般的数学思想，并培养学生的观察、探究能力．(三)情感态度与价值观通过一元二次方程根与系数的关系的探究，培养学生初步形成对数学整体性的认识以及前后一致的逻辑推理能力．二、教学重难点教学重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系．教学难点：将根的判别式由数值计算推广到字母运算，正确理解判别式的意义．三、教学过程(一)导入新课，明确目标师：同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，并且通过几道例题对解法进行了具体的阐述。
今天我们将在此基础上，探究一元二次方程的根与系数的关系。
那么什么是一元二次方程的根与系数呢？如何用数学语言描述呢？带着这些问题，我们一起学习今天的课题“一元二次方程的根与系数的关系”。
(二)自主探究，掌握新知定义一元二次方程的根与系数。
师：首先请同学们思考一下，一元二次方程的根是什么？系数又是什么？他们之间存在什么样的关系呢？现在我们一起来探讨一下。
假设ax²+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，那么x1,x2是它的两个实数根。
其中a、b、c分别是方程的系数。
那么，根与系数之间存在什么样的关系呢？我们可以通过以下步骤进行探究：(1)分别计算出x1+x2和x1x2的值；(2)根据计算结果，总结根与系数的关系。
通过实例探究根与系数的关系。
师：现在我们通过一个具体的实例来探究一元二次方程的根与系数的关系。
例如，方程2x²-4x-6=0的两个根分别为x1=x2=1，则x1+x2=2，x1x2=-3。
那么我们可以发现，对于任何一个一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根与系数之间都满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
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2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
知识与技能：理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、
b、c之间的关系。
过程与方法：能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
会求已知方程的两根的倒数和与平方和、
两根的差。
情感态度与价值观：在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”
的研究问题的思想与方法。
教学重点：掌握一元二次方程根与系数的关系．
教学难点：熟练应用一元二次方程根与系数的关系解决问题
教学过程
第一环节：复习回顾
内容：
1、一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0(a≠0)（板书）
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？(△=b2-4ac≥0)
3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？
4、一元二次方程的求根公式是什么？
目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。
效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”。
后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。
第二环节：情景引入
内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？
（1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3） 2x2-3x +1=0
目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。
自然引出本节课要学习的课题
第三环节：探究新知
内容：计算填表（验证第一环节游戏的结果）
问题：
1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？
2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？
3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。
）
目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
效果：在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做好了准备。
问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律。
第四环节：尝试发展
尝试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积
（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2-3x-1=0 x1+x2= ________ x1x2= ________ （2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= ________ （3）x2+7x=-6 x1+x2= _________ x1x2= _________ （4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= _________ （学生迅速演算或口算）
第五环节：拓展创新
1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。
2、变式训练：
已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？
3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.
目的：1、第1、2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。
2、第3题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。
同时要注意答案的多样性及其中的规律
效果：留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间与空间，使学生在资源共享的同时，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷，
第六环节课堂小结
内容：师生互相交流总结
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2= ，x1x2=
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
目的：鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能。
第七环节作业布置
教学反思：。