期中复习 3 重积分
三重积分计算
三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。
在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。
一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。
设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。
则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。
可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。
三重积分对应的结果是一个数值。
二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。
三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。
1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。
先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。
然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。
高等数学复习(三重积分)
: 0 r cos, 0 , 0 2 2
1 2
1 2
3. 的体积：V
dv
4. 单调性：若 在上， f ( x, y, z ) g( x, y, z ) ，则
f ( x ,
y , z )dv g ( x , y , z )dv
5．估值性质： m f ( x, y, z ) M , ( x, y, z ) , 则
I dxdy
Dxy
h2 ( x , y )
h1 ( x , y )
fdz
I dxdy
Dxy
z2 ( , ) z1 ( , )
fdz
六、典型例题
【例1】 计算三重积分
dxdydz 为平面x 0 ， 3 。其中 (1 x y z )
z 0， y 0， x y z 1 ，所围成的四面体。
2
z
2
故有
2 2 ( x y )dv
2 0
d d 2 2 dz
0 2
2
2
2 1 6 2 16 4 3 2 ( 2 )d ( ) 0 0 6 2 3 2
o
2
2
y
x
【例4】计算三重积分 zdxdydz . 其中 是由锥面z 与平面 z h ( R 0, h 0)所围成的闭区域。
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
2 2 2 【例5】求 I ( x y z )dxdydz ，其中 是由球面
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法三重积分是微积分中的一种重要工具，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等问题。
在实际应用中，我们经常需要计算三维物体的体积、密度、质心位置等信息，而三重积分提供了一种有效的方法来解决这些问题。
在本文中，我们将介绍三重积分的各种计算方法，包括直角坐标系下的直接计算方法、柱坐标系和球坐标系下的变量变换方法等。
一、直角坐标系下的直接计算方法直角坐标系是我们最常见的坐标系，三重积分在直角坐标系下的计算方法较为直观。
我们以计算三维实体体积为例来介绍直角坐标系下的直接计算方法。
假设我们要计算一个由函数z=f(x, y)所定义的三维曲面与xy平面围成的体积V。
为了计算这个体积，我们将其划分成n个小立方体，每个小立方体的体积可以近似看作dV=Δx×Δy×Δz。
那么整个体积V可以通过对每个小立方体的体积进行求和得到，即V = ∫∫∫dV = ∫∫∫f(x,y)dxdydz,其中∫∫∫表示对整个三维空间的积分。
我们可以先对z方向进行积分，然后对y方向进行积分，最后对x方向进行积分。
这个积分过程可以通过数值积分的方法进行近似计算。
二、柱坐标系下的变量变换方法直角坐标系下的直接计算方法在计算一些特殊形状的物体时可能不太方便，这时可以采用柱坐标系下的变量变换方法。
柱坐标系与直角坐标系的关系可以表示为x=r*cosθ，y=r*sinθ，z=z，其中r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面的极角。
在柱坐标系下，三重积分的计算公式为V = ∫∫∫f(r*cosθ,r*sinθ,z)r dz dr dθ,其中r的取值范围为[0,∞)，θ的取值范围为[0,2π]。
在进行柱坐标系下的三重积分计算时，我们需要进行相关的变量替换和坐标范围的调整。
具体方法如下：1.将直角坐标系中的函数f(x,y,z)进行变量替换，将x、y、z用r、θ、z表示，并计算出新的函数F(r,θ,z)。
2.确定新的坐标范围，即r的取值范围、θ的取值范围和z的取值范围。
三重积分中值定理
三重积分中值定理1. 引言三重积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是二重积分中值定理的推广。
通过三重积分中值定理，我们可以得到在三维空间中某一点的函数值等于该点所在区域的平均值乘以该区域的体积。
在本文中，我们将介绍三重积分的基本概念，推导三重积分的中值定理，并通过例题来说明其应用。
2. 三重积分的基本概念2.1 三重积分的定义三重积分是对三维空间内某一区域中的函数进行积分运算的过程。
对于函数f(x,y,z)在某一区域D上的三重积分可以表示为：∭fD(x,y,z)dV其中dV表示空间微元体积。
2.2 三重积分的计算方法三重积分的计算可以通过分割区域D，将其分割成许多小的体积元素，然后对每个体积元素上的函数值进行积分，最后将所有小的体积元素的积分结果相加。
三重积分的计算方法有两种常用的方式：直角坐标系下的三重积分和柱面坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下，三重积分可以表示为：∭fD (x,y,z)dV=∫∫∫fqpdcba(x,y,z)dzdydx其中D的投影在xy平面上的范围为[a,b]×[c,d]，z的范围为[p,q]。
在柱面坐标系下，三重积分可以表示为：∭fD (x,y,z)dV=∫∫∫fz2(r,θ)z1(r,θ)r2(θ)r1(θ)βα(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中D的投影在xy平面上的范围为[α,β]，r的范围为[r1(θ),r2(θ)]，z的范围为[z1(r,θ),z2(r,θ)]。
2.3 三重积分的几何意义三重积分的几何意义可以理解为对函数在三维空间内的某一区域的体积进行加权求和。
每个小的体积元素的函数值乘以该体积元素的体积，再将所有小的体积元素的结果相加，就得到了三重积分的值。
3. 三重积分中值定理的推导3.1 二重积分中值定理的回顾在推导三重积分中值定理之前，我们先回顾一下二重积分中值定理的内容。
对于函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，存在一点(ξ,η)，使得：∬f D (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ其中dσ表示面积元素。
三重积分详解
f ( x , y, z )dxdydz
I = dxdy
D
z ( x , y )
z ( x , y )
f ( x, y, z )dz
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
三重积分化为三次积分的过程：
z
z2 z1
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
2
y
x
6
例
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
先做二重积分，后做定积分
Dz
z
c1
0 y
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
先做二重积分，后做定积分
c2
z
Dz
z
c1
0
.
y
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz
c2
z
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是微积分中的重要内容，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对三维空间中的某些物理量进行积分运算，而三重积分就是用来描述这种三维空间中的积分运算的工具。
下面，我们将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看三重积分的定义。
对于空间中的一个有界闭区域V，如果函数f(x, y, z)在V上有定义且在V上可积，那么三重积分∬∬∬_{V}f(x,y,z)dxdydz的计算方法如下：1. 将积分区域V投影到xy平面上，得到投影区域D。
2. 在D上选择一个合适的坐标系，通常选择直角坐标系或极坐标系。
3. 再在D上选择一个曲线坐标系，通常选择柱坐标系或球坐标系。
4. 根据选择的坐标系，写出积分的累次积分式。
5. 按照累次积分的顺序依次进行积分运算。
在实际计算中，我们通常会遇到一些复杂的积分问题，下面我们来看一些常见的计算方法。
首先是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，积分区域V可以用不等式形式表示，利用三次积分的性质，可以将三重积分化为三个一重积分的累次积分。
这样就可以分别对x、y、z进行积分，从而简化计算。
其次是极坐标系下的三重积分计算。
在极坐标系下，积分区域V通常是某个平面区域在z轴上的投影区域，利用极坐标系的性质，可以将三重积分化为一个二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用极坐标系的简洁性，简化计算过程。
最后是球坐标系下的三重积分计算。
在球坐标系下，积分区域V通常是一个球体或球体的一部分，利用球坐标系的性质，可以将三重积分化为一个球面上的二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用球坐标系的简洁性，简化计算过程。
总之，三重积分的计算方法是多样的，我们可以根据具体的问题选择合适的坐标系和积分顺序，从而简化计算过程。
在实际问题中，我们需要灵活运用不同的计算方法，以便高效地解决问题。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是数学中的重要概念，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
一、直角坐标系下的三重积分在直角坐标系下，三重积分的计算方法可以通过迭代法实现。
首先，我们需要确定被积函数的积分区域。
假设被积函数为f(x, y, z)，积分区域为V。
我们可以将V分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV。
将V分割成小立方体后，我们需要选择一个小立方体，并在其中选择一个点(x,y,z)作为积分点。
然后，我们将小立方体的体积ΔV乘以被积函数在积分点的值f(x,y,z)，得到积分项f(x,y,z)ΔV。
最后，将所有积分项相加并取极限，即可求得三重积分的值。
这个计算过程可以表达为以下公式：∭V f(x,y,z) dV = lim ΔV→0 ∑ ∑ ∑ f(x,y,z)ΔV其中，ΔV表示小立方体的体积，Σ表示对整个区域V内的小立方体进行求和。
举例来说，如果我们要计算函数f(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2在立方体V: 0≤x≤1，0≤y≤2，0≤z≤3上的三重积分，那么我们可以将V分割成许多小立方体，并选择一个小立方体上的点(x,y,z)作为积分点。
然后，将小立方体体积ΔV乘以函数值f(x,y,z)，并对所有小立方体进行求和，最后取极限即可得到结果。
二、柱坐标系和球坐标系下的三重积分在某些情况下，采用直角坐标系计算三重积分可能会比较复杂。
此时，我们可以选择转换到柱坐标系或球坐标系下进行计算，以简化问题。
在柱坐标系下，我们将积分区域V进行柱坐标变换，得到新的积分区域。
具体的变换公式可以参考相关数学教材。
然后，按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
在球坐标系下的计算方法与柱坐标系类似，先进行球坐标变换，然后按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
三、应用举例现在，让我们通过一个应用举例来更好地理解三重积分的计算方法。
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
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(D)
( A)
∫0 dθ ∫0
π
2π
a
f ( r cosθ , r sin θ )rdr
f ( r cosθ , r sin θ )rdr
( B ) 2∫
2 a cos θ 2 dθ 0 0
∫
(C ) 2 ∫0 dθ ∫0 f ( r cosθ , r sin θ )rdr
π
a
( D)
∫−2π dθ ∫0
x + y dy = ∫ dθ ∫0
2 2 2 0
π
2 cos θ
r 2 dr
8 2 16 1 3 2 cosθ 8 π 3 = ∫02 [ r ]0 dθ = ∫02 cos θdθ = ⋅ = . 3 3 9 3 3
27.计算三重积分 ∫∫∫ z x 2 + y 2 + z 2 dv
Ω
其中Ω由曲面 z = 1 − x − y 及xoy平面围成(9分 ).
y y
答(
)C
o
θ
x
o
t
x
23、 23、交换积分
∫
2 0
dy ∫
ln x 0
e2 e
y
f ( x, y )dx
A
的次序（ 的次序（其中
连续）， ），结果是 f ( x, y ) 连续），结果是
A． ．
∫
∫
e2
1
e2
dx ∫
f ( x, y )dy
f ( x, y )dx
o
y
B． C． D．
2
dy ∫
2 2
−
2
− 1− x
(B) (C)
∫−
1− x 2 1− x 2
dy
∫− 1 ( x 2
2
1
2
+ y )dx
2
y
∫− 2
1 2
1
1 dx
∫
1
1− x 2 1 − 2 2
( x 2 + y 2 )dy
o
x
(D) ∫− 1 dx ∫− 1 ( x + y )dy
2
25. 计算积分 ∫ dy ∫
6 0
π
π
6 y
sin x dx x
解
sin x ∫06 dy ∫ y6 x dx
π
π
π
π 0 ≤ y ≤ 6 D: y ≤ x ≤ π 6
0 x π ≤ ≤ D: 6 0 ≤ y ≤ x
先对x积不出, 须改变积分次序 , = ∫06 dx ∫0
π
x sin x
x
dy
π
sin x 6 = 1− 3. ( x − 0)dx = −cos x 0 = ∫06 x 2
解法一： 解法一： I = ∫ x dx ∫ 0 0
2
(本小题 分) 本小题8分 本小题
dy ∫
2− x − y 0
Ω 2
2− x
dz
……3分 3
= ∫ x dx ∫
2 0
2
2− x
0
分 ( 2 − x − y )dy ……4分
1 2 2 6 = ∫0 x ( 2 − x )2 dx ……6分 z 2 8 ……8分 分 = 15
D
14. D:由矩形闭区域 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 围成 I= 围成, 由矩形闭区域
∫∫ ( x + y + 1)dxdy
D
利用二重积分的性质, 的最佳估计区间为 的最佳估计区间为_______ 利用二重积分的性质 I的最佳估计区间为 D A) [ 0, 1 ] B) [ 0, 2 ] C) [ 1, 3 ] D) [ 2, 8 ]
15、 为上半单位球： 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0 ， 、 为上半单位球： Ω x
Ω 1 是 Ω 在第一掛限的部分， 在第一掛限的部分，
则下列等式正确的是( 则下列等式正确的是 C )。 。 (A) xdv = 4 xdv ；
∫∫∫
Ω
∫∫∫
Ω1
(B) ∫∫∫ ydv = 4 ∫∫∫ ydv
2
π
2 a cos θ
f ( r cosθ , r sinθ )rdr
19．曲面 z = x 2 + y 2 与平面 z = 1所围立体的体积为 B 。 ． （A） ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dv ； ）
Ω
0
4 2 0 -2 -4 8
（B） ∫ ） （ C） ∫ C） （D） ∫ ）
2π
dθ ∫ rdr ∫ 2 dz ；
Ω是由曲面z = 2-x − y 及z = x + y 所围成的闭区域
2 2 2 2
7 则 ∫∫ zdxdydz = π 12 Ω
y
7. 改换二次积分的积分次序 改换二次积分的积分次序:
∫ 0 dy ∫ 0
1
y
f ( x , y )dx = ∫ dx∫ f ( x, y)dy
0 x
1
1
o
x + y + z = 1 含在圆柱面 x 2 + y 2 = 2 x 8. 平面
π
2
f ( r cos θ , r sin θ )rdr
o
y
θ
x
∫ 0 dθ ∫ 0
4 sin θ
f ( r cos θ , r sin θ )rdr
t
o
x
22、 若区域 为(x－1)2+y2≤1,则二重积分 、 若区域D为 － 则二重积分 化成累次积分为
其中F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r. 其中
x
内部的那部分平面面积为____ 3 ⋅ π 内部的那部分平面面积为 9、二重积分
3 ∫∫ xdσ = 2 D
其中 D : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 3
z
10. 积分
∫∫ ( x + 2 y )dxdy =
D
40
o
x
y
其中 D 为 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 4
Ω 为锥球： 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ，则 x 11． 为锥球： ．
Ω Ω1
(C)
∫∫∫ zdv = 4∫∫∫ zdv ；
Ω Ω1
(D)∫∫∫ xyzdv = 4 ∫∫∫ xyzdv
Ω Ω1
16.
D为x 2 + y 2 ≤ a 2 , ∫∫ a 2 − x 2 − y 2 dxdy = π ,
则a=
(B)
(B)
3
D
y
( A) 1
3 2
(C)
3
3 4
(D)
3
1 2
0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 o 17. 区域D : , D1 : − y ≤ x ≤ y 0 ≤ x ≤ y 则 ∫∫ ( xy + cos x sin y )dxdy =
ln x 0
∫
∫
e2 ey
ln x
dx ∫ f ( x, y )dy
0
2
x
0
dy ∫
e2 2
f ( x, y )dx
1 ( x 2 + y 2 )dσ 24. D = {( x , y ) | x + y ≤ 1, x ≥ − } 则 ∫∫ 2 D ( A ) 1 1− x 2 1 dx ( x 2 + y 2 )dy (A) ∫ ∫ 2
重 积 分
1.Ω 是 x 2 + y 2 ≤ 9, a ≤ z ≤ b , 则三重积分用柱坐 标化为三次积分为
y
∫0 dθ ∫0 rdr∫a f (r cosθ , r sinθ )dz
3 b
2π
2.∫ dx ∫
0
2
3x
0
f ( x 2 + y 2 )dy
化为极坐标下的两次积分为
o
x
3. Ω为两个球面 : x 2 + y 2 + z 2 = 9, x 2 + y 2 + z 2 = 4
2 2
29. 计算
( x 2 + y 2 − y )dσ , 其中D由直线 x = 2, ∫∫
D
y = x及直线 y = 2 x所围成的闭区域 .
30. 计算三重积分 ∫∫∫ zdxdydz , 其中Ω是
Ω
x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, x 2 + y 2 ≤ z的公共部分 . z
r=R
∫∫ f ( x, y )dσ
D
表示成极坐标系下的二次积分的形式为 ( D ) (A) 2π dθ 2 f ( r cos θ , r sin θ )rdr y
∫0
∫0
(B) (C) (D)
∫ 0 dθ ∫ 0 f ( r cosθ , r sin θ )rdr
∫ 0 dθ ∫ 0
π
π
4 cos θ
∫∫∫
Ω
x + y + z dv =
2 2 2
2 2 2
π
4 12 三重积分 ∫∫∫ ( x + y + z ) dv = 5π Ω
其中 Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1
13、D:为圆形闭区域 x 2 + y 2 ≤ 4 、 为圆形闭区域 I = ∫∫ ( x 2 + 4 y 2 + 9)dxdy I的最佳估计区间为 _ 的最佳估计区间为__ B 的最佳估计区间为 A) [36 π ,52π ] B) [36π ,100π ] C) [36π ,116 π ] D) [9π ,25 π ]