级倒立摆的建模与控制分析
一级倒立摆的建模及控制分析
直线一级倒立摆的建模及控制分析摘要：本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
一、问题描述倒立摆控制系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的有机结合，其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中较为理想的实验对象。
它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
倒立摆系统可以采用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID，自适应、状态反馈、智能控制等方法都己经在倒立摆控制系统上得到实现。
由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。
二、方法简述本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
三、模型的建立及分析3.1 微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统假设 M 为小车质量；m 为摆杆质量；b 为小车摩擦系数；l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 为摆杆惯量；F 为加在小车上的力；x 为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
值得注意的是: 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定, 因而矢量方向定义如图2所示, 图示方向为矢量正向。
(a) (b)图2 小车和摆杆的受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M --= (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：θθθθs i n c o s 2ml ml x m N -+= (2) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2 (3)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：θθθθc o s s i n 2 ml ml mg P --=- (4) 力矩平衡方程如下：θθθI Nl Pl =--cos sin (5)合并这(4)、(5)两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθc o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (6) 假设φ与1(单位是弧度)相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：0d d s i n 1c o s 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t θφθθ，， (7) 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I φφφ 2 (8) 3.2 状态空间方程方程组(8)对φ，x 解代数方程，整理后的系统状态空间方程为： ()()()()()()()()u Mm l m M I m l Mm l m M I m lI x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lbMm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡222222222200001000000010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 对于质量均匀分布的摆杆有：3/2ml I =，于是可得：()x ml mgl ml ml =-+φφ223/ 化简得：xll g 4343+=φφ设}{x u x x X ==1，，，，φφ ，则有：14301004300100000000010u l x x l g x x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ10001000001u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ 3.3 实际系统模型实际系统模型参数: M =1.096 Kg ；m =0.109 Kg ；b =0.1 N/m/s ； l =0.25 m ；I =0.0034 kg ·m ·m ；采样频率 T =0.005 s 。
一级倒立摆系统仿真及分析
一级倒立摆系统仿真及分析1•摘要本次课程设讣，我们小组选择一级倒立摆系统作为物理模型，首先通过物理分析建立数学模型，得到系统的传递函数，通过对传递函数的极点，根轨迹，单位阶跃响应来分析系统稳定性。
建立状态空间模型，利用matlab进行能控能观性分析, 输入阶跃信号，分析系统输出响应。
通过设定初始条件，查看系统稳定性，利用simulink绘制系统状态图。
再对系统进行极点配置，进行状态反馈，使得系统在初始状态下处于稳定状态，并绘制系统状态图。
2・；3课程设计目的倒立摆系统是一个经典的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，是用来检验某种控制理论或方法的典型方案。
倒立摆控制理论产生的方法和技术在半导体及精密仪器加E.机器人技术、导弹拦截控制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
因此研究倒立摆系统具有重要的实践意义。
4.课程设计题目描述和要求本次课程设计•我们小组选择环节项H三：系统状态响应、输出响应的测量。
<环节目的：1. 利用MATLAB分析线性定常系统。
2. 利用SIMULINK进行系统状态空间控制模型仿真，求取系统的状态响应及输出响应。
环节内容、方法：1•给定系统状态空间方程，对系统进行可控性、可观性分析。
并利用SIMULINK 绘制系统的状态图，求取给定系统输入信号和初始状态时的状态响应及输出响应。
2.给定两个系统的状态空间模型，分别求两个系统的特征值；将两个系统的系统矩阵化为标准型；求出给定系统初始状态时，状态的零输入响应；求两个系统的传递函数并分析仿真结果。
4.课程设计报告内容数学模型的建立及分析对于倒立摆系统，山于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示我们不妨做以下假设：M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、I摆杆转动轴心到杆质心的长度、I摆杆惯、F加在小车上的力、x小车位置、＜1）摆杆与垂直向上方向的夹角、0 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。
三级倒立摆建模与控制器设计仿真
>> [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R)
综上所述，式（2）所示的线性定常系统为不稳定的能控、能观系统，可加外控制器实现系统的稳定。
线性最有调节器的设计
定义状态方程⑵的二次性能指标函数为： ⑶
正定R阵的作用在于限制控制器的输出不会太大而导致难于实现，所以不失一般性，可以将其设为1，LQR方法中，Q阵可以选为非负的对角阵，Q=diag（ ）.各主对角系数的相对大小对系统的整体控制性能有很大的影响，目前普遍采用试探实验的方法来确定加权矩阵Q的系数大小。观察知： 大小的变化对小车的位移影响很大，因为小车位移大小受直线导轨长度的物理限制，所以， 取值可以固定为一个适当大小的数，使小车位移不至过大； ， 次之， 的影响较小。取值时可以去 ,取Q=diag(500,500,300,100,0,0,0,0),R=1.求解Riccati代数方程
>>B=[0;0;0;0;8.72;-29.621;32.238;-3.341];
>> C=[1,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0];
>> D=[0;0;0;0];
>> r1=eig(A)
>> q1=500;q2=500;q3=300;q4=100;q5=0;q6=0;q7=0;q8=0;
直线一级倒立摆的建模及性能分析
直线一级倒立摆的建模及性能分析1 直线一级倒立摆数学模型的建立 (1)2 直线一级倒立摆系统的实际模型 (5)3 直线一级倒立摆系统的性能分析 (6)相关理论的介绍 (6)倒立摆系统的性能分析 (7)1 直线一级倒立摆数学模型的建立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。
数学模型是分析、设计、预测以及控制一个系统的理论基础。
因此，对于实际系统的数学模型的建立就显得尤为重要。
系统数学模型的构建可以分为两种：实验建模和机理建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对像并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是不稳定的系统，无法通过测量频率特性的方法获取其数学模型，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律，因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。
为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。
将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样就可以通过力学原理建立较为精确的数学模型。
我们可以应用牛顿力学的分析方法或者欧拉－拉格朗日原理建立系统的动力学模型。
对于直线一级倒立摆这样比较简单的系统，我们采用通俗易懂的牛顿力学分析法建模。
为了建立直线一级倒立摆的数学模型，采用如下的坐标系：图1直线一级倒立摆的物理模型其中，F 为加在小车上的力，M 为小车质量，m 为摆杆质量，I 为摆杆惯量， l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位移，φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，b 为小车在滑轨上所受的摩擦力，N 和P 为摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
一级倒立摆的可视化建模与稳定控制设计
1966年
1976年
1995年
倒立摆的应用
倒立摆的分类
直线倒立摆 一级倒立摆
基座运动
环形倒立摆
摆杆
二级倒立摆
平面倒立摆
多级倒立摆
另外根据材料分类：刚体摆杆倒立摆系统和柔性摆杆倒立摆系统 „„
根据不同的分类方法，我们可以将倒立摆进行不同的分类。
倒立摆的特点
特性：非线性、多变量、强耦合、不稳定性
倒立摆系统拥有低投入、简易的结构、直观 的形象、方便仿真等特点。
设计演示界面
保存文件，命名为 fangzhenjieguo.fig ，同时会自动生成一 个fangzhenjieguo.m 文件
将摆角、小车位 移和时间参量， 导入到工作区中 ，供GUI编程使 用。
打开之前保存演示界面是生成的fangzhenjieguo.m文件，找到 “仿真开始”按钮所对应的回调函数，在函数下方加入程序： sim('daolibaimoxing');%运行仿真模型
初始条件设为[0.1rad,0.5rad/s,0,0],仿真曲线如 图所示，上面图线为摆角，下面为小车位移。
右图为未加控制器前的系统 阶跃响应曲线，可以看出， 摆角和小车位移的曲线都是 发散的。通过与仿真结果比 较，可以看出，加了BP神经 网络控制器的倒立摆系统， 摆角和小车位移曲线趋于稳 定，说明所设计的BP神经网 络控制器能够起到有效的控 制作用。验证了控制器设计 的正确性和可行性。
四、GUI设计
图形用户界面（Graphical User Interface， 简称 GUI，又称图形用户接口）是指采用图形 方式显示的计算机操作用户界面。
GUI具有下面几个方面的基本要求：轻型、 占用资源少、高性能、高可靠性、便于移 植、可配置等特点。
倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum deviceQuanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
直线一级倒立摆建模与控制
期望特征多项式为
s 2 k2 20 s 20 k1 k2 1
* 由设计者选取，考虑“引入状态反馈向量后系统特 1*、2
* f * s s 1* s 2 =s2 (1* 2* )s 1*2*
征多项式”和“期望特征多项式”的系数相等即可求出状态反 馈向量。
，线性化运动方程。
倒立摆系统单输入-单输出传递函数模型
线性化后运动方程（参考）：
I ml mgl mlx
2
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令
ax
拉普拉斯变换后系统传递函数模型（参考）：
s ml G s A s I ml 2 s 2 mgl
双击“Controller1”，输入选取的4个闭环极点对应的增益，运行仿真后双击 “Scope1”观测响应曲线，其中小车位置应该很好的收敛到0.01，小车速度、摆杆角
度和角速度应该收敛到0。若响应曲线效果不好则需重新选取闭环极点。
状态空间极点配置实物控制
选取了合适的4个闭环极点并通过了仿真测试后即可进行倒立摆系统实物控制。 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打 开 “Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-Up Control”中的“Swing-Up Control Demo，如下图。
状态空间极点配置仿真控制
参考上述实例，选取倒立摆系统的4个闭环极点，进入 MATLAB Simulink 实时 控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Placement Experiments”中的“Poles Control Simulink”，如下图。
倒立摆建模与控制
2倒立摆系统的模型建立2.1 倒立摆特性●非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。
实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。
●耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
●开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。
●约束限制由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。
行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。
2.2 一阶倒立摆数学模型倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。
2.2.1 一级倒立摆物理模型在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示：皮带轮图2.1 单级倒立摆系统物理模型2.2.2 一级倒立摆数学模型 各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 一级倒立摆参数表参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到小车上的力 x小车位置φ摆杆与竖直向上方向的夹角通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.3) 2.3 二阶倒立摆数学模型2.3.1 二级倒立摆物理模型如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型皮带轮图2.3二级倒立摆系统的物理模型倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
研究生《现代控制理论及其应用》课程小论文一级倒立摆的建模与控制分析学院：机械工程学院班级：机研131姓名：尹润丰2014年6月2日目录1. 问题描述及状态空间表达式建立............................ - 0 -问题描述............................................... - 0 - 状态空间表达式的建立................................... - 0 - 直线一级倒立摆的数学模型........................... - 0 -直线一级倒立摆系统的状态方程...................... - 1 - 2.应用MATLAB分析系统性能.................................. - 2 -直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析....................... - 2 - 系统可控性分析........................................ - 2 - 系统可观测性分析...................................... - 2 - 3. 应用matlab进行综合设计................................. - 3 -状态反馈原理........................................... - 3 - 全维状态反馈观测器和simulink仿真...................... - 3 -4.应用Matlab进行系统最优控制设计.......................... - 5 -5.总结..................................................... - 6 -1.问题描述及状态空间表达式建立问题描述倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
下对于倒立摆系统，经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，它就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面采用其中的牛顿—欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。
状态空间表达式的建立直线一级倒立摆的数学模型图直线一级倒立摆系统本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表所示。
图是系统中小车的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图系统中小车的受力分析图图是系统中摆杆的受力分析图。
Fs 是摆杆受到的水平方向的干扰力, Fh是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。
图 摆杆受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。
对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：即：对图摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：即 θθθθαcos sin cos 2&&&ml ml F mg P g +=++- ()61-力矩平衡方程如下：代入P 和N ，得到方程：设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。
假设φ<<1，则可进行近似处理： 由于：231ml I = 方程化为：令：()αφαcos sin --=g f F F ，则()91-可化为：()101-即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。
带入实际数据后，微分方程为： 当忽略了F f 时，系统的微分方程如式（1-12）所示忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。
其内部的4个状态量分别是小车的位移x 、小车的速度x &、摆杆的角度θ、摆杆的角速度θ&。
系统输出的观测量为小车的位移x 、摆杆的角度θ。
其控制量为小车的加速度θ&&将微分方程（1-12）化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数：直线一级倒立摆系统的状态方程实验所使用的直线一级倒立摆系系统是加速度x &&作为系统的控制输入，所以根据式（1-12）建立系统的状态方程为：整理后得到系统状态方程：将实际参数代入得到一级倒立摆系统的状态空间方程为： αcos g h F F =2.应用MATLAB 分析系统性能直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析构建如图所示闭环系统，则系统的闭环极点为（）、（） :图 闭环系统结构图由于有实部为正的极点，所以闭环系统不稳定，必须设计控制器使系统稳定。
可以通过MATLAB Simulink 中对其进行仿真，判断其稳定性。
构建图所示系统的仿真程序e1，加入1m/s 2的阶跃信号由上图也能清楚的知道一级倒立摆系统是不稳定的。
系统可控性分析系统的可控性可根据秩判据进行可控性判断。
线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：1()n rank B AB A B n -⋅⋅⋅=，其中n 为系统矩阵A 的阶次，1()n M B AB A B -=⋅⋅⋅为系统的可控性矩阵。
matlab 程序及运行结果如下：>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0];>> B=[0;1;0;3];>> T=ctrb(A,B);>> rank(T)ans =4由于rank （Ic ）=4，可见该系统是完全可控的。
系统可观测性分析系统的可控性可根据秩判据进行可控性判断。
线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：1n C CA rank N rank n CA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦或21(()())T T T T T T n T rank C A C A C A C n -⋅⋅⋅= 其中n 为系数矩阵A 的阶次。
matlab 程序及运行结果如下：>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0];>> C=[1 0 0 0;0 0 1 0];>> T0=obsv(A,C);rank(T0)ans =4由于rank （T0）=4，故该系统是可观测的。
3.应用matlab 进行综合设计状态反馈原理设ｎ维线性定常系统：其中x,u,y 分别是n 维、p 维、q 维向量；A 、B 、C 分别是n*n 维，n*p 维，n*q 维实数矩阵。
状态反馈系统的控制量u 取为状态x 的线性函数：其中，v 为p 参考输入向量，K 为p*n 维实反馈增益矩阵。
加入状态反馈后系统的结构图如图所示：图 系统的全状态反馈结构图则系统状态反馈的动态方程为：全维状态反馈观测器和simulink 仿真状态反馈的的实现是利用状态反馈使系统的闭环极点位于所希望的极点位置。
而状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。
直线一级倒立摆系统是可控的。
设系统期望极点为[]4321λλλλ=[]i i 343432--+---，则系统期望特征多项式为：列写状态反馈系统的特征多项式：令两个特征多项式各项系数对应相等，则可解出K 阵。
由matlab 求出状态反馈矩阵K ，编程如下：A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0];>> B=[0;1;0;3];>> K=acker(A,B,[-2 -3 -4+3i -4-3i])K =系统加入s 2的阶跃输入，在构成的状态反馈调节器控制下，MATLAB 中进行系统的阶跃响应仿真，编程如下：A=[0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0];B1=[013];C=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1];D1=[0 0 0 0]';dt=;ieof=801;for i=1:ieof;U(:,i)=[];T(i)=i*dt;end;%%离散化op=[-2 %期望极点-3-4+3i-4-3i];K=place(A,B1,op)Ak0=[(A-B1*K)];Bk0=[B1];Ck0=[C];Dk0=[D1];lqrop=eig(Ak0);x=[0 0 0 0]';dt=;%离散时[dA,dB]=c2d(Ak0,Bk0,dt);%经离散化得到离散状态方程Ak1=[(A-B1*K)];Bk1=[B1];Ck1=[C];Dk1=[D1];sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);[Y,X]=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;legend('Cart','VCart','single','Vs');图 极点配置为[-2 -3 -4+3i -4-3i]时的全状态反馈仿真图横轴时间单位秒，从图中可以看出，系统稳定。
4.应用Matlab 进行系统最优控制设计最优控制问题就是寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。
对于线性连续系统，提出二次型目标函数：其中，R(t)正定，S 及Q （t)半正定，且设它们为对称矩阵，f t t ,0固定。
当f t 趋近无穷时，在)()(t x t y =情况下，该问题即为无限时间输出调节器问题。
此时稳态误差项趋于零，在此题目中假设二次型最优控制性能指标为：其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000500000300000500Q R=1 Matlab 编程如下：A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0];B=[0;1;0;3];C=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1];D=[0 0 0 0];Q=[500 0 0 0;0 30 0 0;0 0 50 0;0 0 0 10];R=1;>> [K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)K =在simulink下进行仿真模型的建立，如图：图 LQR仿真模型将K输入后，进行仿真，结果如图：图 LQR仿真结果由图可见，在二次型最优控制下系统稳定性得到明显改善。