第3章 频率特性(重点)

G( j ) A( )e
j ( )
e j cos jsin
这种巧合的传递函数 关系稍后证明
A( ) ( )
稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
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第三章 频率特性
幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列 关系：
y(t) u(t) 0 1 2
u (t ) 2 cos( 20t 30)
3 t/s 4 5 6 宁波工程学院
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第三章 频率特性
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j 代替时，传递函数就转变 为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下 几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们 之间的关系如下： d j dt 微分方程 频率特性
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第三章 频率特性
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件） 对不同频率正弦输入信号的响应特性。
2 1.5
5 4 3
1 0.5 0 -0.5
2 1
线性系统
0 -1 -2
-1
-3
-1.5 -2
-4 -5
0
0.5
1
1.5
A( ) | G ( j ) | G ( j ) ( )
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信 号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与 输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 A( ) | G( j ) | 倍，相位移动了 () G( j) 。A( ) 和 ( ) 都是频率的函 数。
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第三章 频率特性
教学目的： 1、理解频率特性的概念；熟练掌握Nyquist图和Bode图的一般
绘制方法；熟记典型环节的频率特性曲线。
2、熟练运用Nyquist判据判断系统的稳定性；熟练运用Bode图 分析系统性能。
A( ) A0 ( ) 1 Ar 1 2T 2
相位差： () xo (t ) xi (t ) arctanT
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第三章 频率特性
频率响应 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系 统输出的稳态分量为同频率的正弦信号，这种 过程称为系统的频率响应。（稳定的系统对正 弦输入的稳态响应）。
即负实部
e p1t 0, e p2t 0,...,e pnt 0 cs (t ) kc1e jt kc 2e jt
A ( s j ) AG( j ) kc1 X o ( s)(s j ) |s j G( s) ( s j )(s j ) s j 2j A ( s j ) AG( j ) kc 2 X o ( s)(s j ) |s j G( s) ( s j )(s j ) s j 2j
G( j ) G( s) |s j | G( j ) | e jG ( j ) A( )e j ( )
A A j ( ) kc1 A( )e , kc 2 A( )e j ( ) 2j 2j j (t ( )) j (t ( )) e e cs (t ) kc1e jt kc 2e jt A( ) A 2j A( ) A sin(t ( ))
1 1 T
2 2
xo (t ) Ar
sin( t arctan T )
系统的频率响应
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第三章 频率特性
频率特性：在正弦信号作用下，线性系统输入量的 频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振幅 欧拉公式： 和相位差的变化规律。
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
输出的振幅和相位一般均不同于输入 量，且随着输入信号频率的变化而变化。
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2 1.5 1 0.5 幅值 0 -0.5 -1 -1.5 -2 yss(t)
第三章 频率特性
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应
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式中， kc1 , kc 2 分别为：
共轭复数
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cs (t ) kc1e jt kc 2e jt
第三章 频率特性
而 G( j ) G( s) |s j | G( j ) | e jG ( j ) A( )e j ( )
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第三章 频率特性
3.频率特性的求取
方法二：根据系统的频率响应推导求取，稳态响 应的幅值比、相位差。
和时间响应的关系
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第三章 频率特性
3.1 频率特性的基本概念
1. 频率特性
当正弦输入 xi(t)=Arsint 时，系统的输出？
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控制工程基础 解：电路的传递函数为：
3、掌握闭环频率特性的概念，频域中的性能指标，稳定裕度 的概念。 4、了解最小相位系统与非最小相位系统的概念；并能用开环 频率特性判别闭环系统的稳定性。 5、掌握用频率特性实验法辩识系统的传递函数。
教学重点：频率特性的基本概念，表达方法，频率特性的绘制，系统稳定
性的判断及相对稳定性的衡量。
教学难点：开环幅相频率特性图的画法，闭环频率特性的求法，频率特性
X o ( s) N ( s) G( s) X i ( s) ( s p1 )( s p2 )...( s pn )
式中， p j , j 1,2,...,n为极点。
A A 若： xi (t ) A sin t , 则X i ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
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第三章 频率特性
求出待定系数，拉氏逆变换、整理后有：
1 t ArT T 1 xo (t ) e Ar sin( t arctan T ) 2 2 1 T 1 2T 2
第一项是瞬态响应，随时间增加会衰 减为0；第二项是稳态响应。
稳 态 响 应 幅值比：
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控制工程基础 拉氏反变换为：
第三章 频率特性
xo (t ) k1e p1t k2e p2t ... kne pnt kc1e jt kc 2e jt
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
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第三章 频率特性
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控制工程基础
第三章 频率特性
第三章 频率特性
3.1 频率特性的基本概念
3.2 幅相频特性
3.3 对数频率特性
3.4 闭环频率特性及其特征参数 3.5 数学模型的实验确定法 本章小结
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s d dt
传递函数
L{g (t )}
s j
L1{G(s)}
脉冲函数
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第三章 频率特性
3.频率特性的求取
方法一：由频率特性概念知，频率特性G(jω)是传 递函数的一种特例，即将传递函数中的复变量s换 成纯虚数jω就得到系统的频率特性。 G(jω)=G(s) s j
第三章 频率特性
时域分析
② 时域内要解微分方程，而频域内变成了求解代数方 程； ③ 系统响应性能不满足工程要求时，如何调整系统？ ④ 系统无法解析建模时，不能研究系统性能？
频率 频域
电压 时域
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时间
时 度 间 的 、 三 频 维 率 坐 和 标 幅
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的 时域法在数学上是等价的。 下面来证明这种关系。
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第三章 频率特性
2.频率特性和传递函数的关系
对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为 xi(t)和xo(t)，系统的传递函数为G(s)。
K 例：已知系统的传递函数为 G ( s) ，求频率特性。 Ts 1
解：令s =jω得系统的频率特性 K K G ( j ) e j arctan T 1 jT 1 (T ) 2 或 K K KT G( j ) j 2 2 1 jT 1 T 1 2T 2
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第三章 频率特性
概述
时域分析
① 信号不只和时间有关，还和频率有关；则信号随着 不同频率是如何变化？