上海市闵行区七宝中学2018届高三下学期开学考数学试题 Word版缺答案

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2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二下学期开学考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2b =， 3c =B ．2b =， 1c =-C ．2b =-， 3c =D ．2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=，整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：10b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．关于x ，y ，z 的三元一次方程组()1232136ax y z x ay z x a y z ⎧++=⎪++=⎨⎪+++=⎩解的情况是（）A ．一组解B ．一组解或无穷多组解C ．一组解或无解D ．无解【答案】B【解析】分别计算D,,,x y z D D D ,并对a 讨论求解即可【详解】21111111(1),21132136213x a D aa D aa a a ==-==-++11111210,12(21)(1)3633216y z a a D D aa a a ===--+当1a ≠，110211x y z D x D a D y D D a x D a ⎧==⎪-⎪⎪==⎨⎪-⎪==⎪-⎩方程组有唯一解当 1 ,0y z x a D D D ====即方程组为123336x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，方程组无解故选：B 【点睛】本题考查行列式与方程组的解，考查运算能力，是基础题3．双曲线C 的左、右焦点为1F ，2F ，P 为C 右支上的动点（非顶点），I 为12F PF ∆的内心.当P 变化时，I 的轨迹为（） A ．直线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．无法确定【答案】A【解析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q 的横坐标，PF 1﹣PF 2＝F 1Q ﹣F 2Q ＝2a ，F 1Q +F 2Q ＝F 1F 2解出OQ ，可得结论．【详解】如图设切点分别为M ，N ，Q ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与Q 横坐标相同．由双曲线的定义，PF 1﹣PF 2＝2a ＝4．由圆的切线性质PF 1﹣PF 2＝F 1M ﹣F 2N ＝F 1Q ﹣F 2Q ＝2a ， ∵F 1Q +F 2Q ＝F 1F 2＝2c ， ∴F 1Q ＝a +c ，F 2Q ＝c ﹣a ，∴OQ ＝OF 2﹣QF 2＝c ﹣（c ﹣a ）＝a ．∴△F 1PF 2内切圆与x 轴的切点坐标为（a ，0）， ∴当P 变化时，I 的轨迹为直线的一部分．故选：A ．【点睛】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义,注意切线长相等的应用 4．已知两点51,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，54,4B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，给出下列曲线方程：（1）4210x y +-=；（2）223x y +=；（3）2214y x -=；（4）2214y x +=，在曲线上存在点P 满足PA PB =的所有曲线是（） A ．（1）（2）（3）（4） B ．（2）（3） C ．（1）（4） D ．（2）（3）（4）【答案】B【解析】求出线段MN 的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点P ，使得||P A |＝|PB |．【详解】由A （1，54），B （﹣4，54-），得()55144142ABk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--，A 、B 的中点坐标为（32-，0）， ∴AB 的垂直平分线方程为y ﹣0＝﹣2（x 32+），即y ＝﹣2x ﹣3．（1）∵直线y ＝﹣2x ﹣3与直线4x +2y ﹣1＝0平行， ∴直线4x +2y ﹣1＝0上不存在点P ，使|P A |＝|PB |；（2）联立22233y x x y =--⎧⎨+=⎩，得5x 2+12x +6＝0，△＝122﹣4×5×6＝24＞0． ∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 2+y 2＝3有交点，曲线x 2+y 2＝3上存在点P 满足|P A |＝|PB |；（3）联立222314y x y x =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得1312x =-，方程有解，∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 224y -=1有交点，曲线x 224y -=1上存在点P 满足|P A |＝|PB |；（4）联立222314y x y x =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，得8x 2+12x +5＝0，△＝122﹣4×8×5＝﹣16＜0． ∴直线y ＝﹣2x ﹣3与x 224+=y 1没有交点，曲线x 224+=y 1上不存在点P 满足|P A |＝|PB |．∴曲线上存在点P 满足|P A |＝|PB |的所有曲线是（2）（3）．故选：B ．【点睛】本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用判别式法判断两条曲线的位置关系，是中档题．二、填空题 5．复数2i的虚部是______. 【答案】-2【解析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【详解】()()222i i i i i -==--,故虚部为-2 故答案为：-2 【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 6．直线342x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 是参数，t R ∈）的一个方向向量是______.【答案】（1，14-）【解析】化直线的参数方程为普通方程为：x +4y ﹣11＝0，由直线的方向向量得：该直线的斜率k 14=-，即该直线的一个方向向量为（1，14-），得解．【详解】将直线342x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数，t ∈R ）化为普通方程为：x +4y ﹣11＝0，可得该直线的斜率k 14=-，即该直线的一个方向向量为：（1，14-）故答案为：（1，14-）【点睛】本题考查了直线的参数方程与普通方程的互化及直线的方向向量，属简单题．7．已知椭圆2221x y a+=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =________【解析】由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设椭圆的焦点坐标为：()()12,0,,0F c F c -，则：1211,0,,022F F c FF c ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意有：11,03,022c c ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则：11322c c ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求解关于c 的方程可得：1c =，则：a ==.8．已知点(23)A ，，(1,0)B ，动点P 在y 轴上，当||||PA PB +取最小值时，点P 的坐标为______. 【答案】()0,1【解析】作出A 关于y 轴的对称点()'2,3A -,连接'A B ,与y 轴交于P ,即为所求，求出直线AB 的方程，令0x =可得P 的坐标. 【详解】作出A 关于y 轴的对称点()'2,3A -, 连接'A B ,与y 轴交于P ,即为所求，此时PA PB +取最小值'A B ，由'A B 的斜率为30121-=---，可得方程()1y x =--，令0x =，可得1y =，即为()0,1P ，故答案为()0,1. 【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.9．已知复数(),z a bi a b R =+∈，满足1z =，则ab 的最小值是______. 【答案】12-【解析】由1z =得,a b 的关系，再利用基本不等式求最值即可【详解】 ∵|z |＝1，=1，即a 2+b 2＝1，则1＝a 2+b 2≥2|ab |，当且仅当|a |=|b |=2等号成立即|ab |12≤，则12-≤ab 12≤，，故答案为：12-【点睛】本题主要考查复数模长的应用，结合基本不等式求最值是解决本题的关键．10．已知{}n a 是无穷等比数列，若{}n a 的每一项都等于它后面所有项的k 倍，则实数k 的取值范围是______.【答案】（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．【解析】无穷等比数列{a n }的各项和为A ，前n 项和为S n ，公比为q ，0＜|q |≤1，q ≠1．可得A 11a q =-，S n ()111na q q-=-，由题意可得：a n ＝k （A ﹣S n ），代入化为：k ()1n q q q -=，分类讨论即可得出．【详解】解：无穷等比数列{a n }的各项和为A ，前n 项和为S n ，公比为q ，0＜|q |≤1，q ≠1．则A 11a q =-，S n ()111na q q-=-，由题意可得：a n ＝k （A ﹣S n ）， ∴a 1q ＝k （()11111na q a qq----），化为：k ()1nq q q-=，1＞q ＞0时，k ＞0，n →+∞时，k →+∞．﹣1≤q ＜0时，可得：n 为偶数时，k ∈（﹣∞，﹣2]；n 为奇数时，k ＞0． ∴k ∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．综上可得：k ∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、极限性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知12F F 、是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点,过点1F 且斜率为2的直线l 交双曲线的左支于点P,若直线2PF l ⊥，则双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】2y x =±【解析】先求出过点1F 且斜率为2的直线的方程，再利用垂直关系得出直线1PF 的方程，求出它们的焦点坐标及点P 的坐标，利用点P 在双曲线上，代入求得,,a b c 的关系式，进而求得其渐近线的方程，得到答案．【详解】由题意，过过点1F 且斜率为2的直线l 的方程为2()y x c =+，因为2PF l ⊥，所以直线1PF 的斜率为12-，所以直线1PF 的方程为1()2y x c =--，两直线联立方程组，解得交点P 的坐标为34(,)55c c-，如图所示，将点P 代入双曲线的方程，可得222234()()551c c a b --=，整理得22222291625b c a c a b -=，又由222b c a =-，代入得222222229()1625()c a c a c a c a --=-，整理得4224950250c a c a -+=，解得225c a =，可得224b a =，即2b a =，所以双曲线的渐近线的方程为2y x =±．故答案为：2y x =±．、【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．12．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，24a =，平面内三个不共线的向量OA ，OB ，OC 满足()()()*1112,n n n OC a OA a a OB n n N -+=-++≥∈，若点A ，B ，C在同一直线上，则2019S =______. 【答案】8【解析】由题意得出a n ﹣1+a n +1＝a n ，由S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 2＝4，得到数列{a n }是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，由此能求出S 2019 【详解】因为OC =（1﹣a n ）OA +（a n ﹣1+a n +1）OB （n ≥2，n ∈N ），A ，B ，C 在同一直线上，则a n ﹣1+a n +1+1﹣a n ＝1，∴a n ﹣1+a n +1＝a n ， ∵S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 2＝4，∴数列{a n }为：2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，… 即数列{a n }是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2， ∵2019＝6×336+3，∴S 2019＝336×（2+4+2﹣2﹣4﹣2）+2+4+2＝8．故答案为：8 【点睛】本题考查数列的前n 项和的求法，考查周期数列、共线向量性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 13．已知平面向量a ，b ，c 满足a b ⊥，且{}{},,1,2,3a b c =，则a b c ++的最大值是______.【答案】3【解析】分别以a b ，所在的直线为x ，y 轴建立直角坐标系，分类讨论：当{|a |，|b |}＝{1，2}，|c |＝3，设()c x y ，=，则x 2+y 2＝9，则a b c ++=（1+x ，2+y ），有|++a b c |=的最大值，其几何意义是圆x 2+y 2＝9上点（x ，y ）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【详解】分别以a b ，所在的直线为x ，y 轴建立直角坐标系， ①当{|a |，|b |}＝{1，2}，|c |＝3，则()12a b +=，，设()c x y ，=，则x 2+y 2＝9，∴a b c ++=（1+x ，2+y ），∴|++a b c |的最大值，其几何意义是圆x 2+y 2＝9上点（x ，y ）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为3=3②当{|a |，|b |}＝{1，3}，|c |＝2，则()13a b +=，，x 2+y 2＝4， ∴a b c ++=（1+x ，3+y ） ∴|++a b c|=x 2+y 2＝4上点（x ，y ）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2=2， ③当{|a |，|b |}＝{2，3}，|c |＝1，则()23a b +=，，设()c x y ，=，则x 2+y 2＝1∴a b c ++=（2+x ，3+y ） ∴|++a b c|=x 2+y 2＝1上取点（x ，y ）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1=1∵133++++ 故|++a b c |的最大值为3故答案为：3【点睛】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r +d （r 为该圆的半径，d 为该点与圆心的距离）．14．设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是．【答案】403m ≤≤ 【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤ 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1202n n n a S S n -+⋅=≥，112S =，设n n b na =，则以下四个命题：（1）1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）{}n b 中最大项是1b ；（3）{}n a 通项公式是()121n a n n =--；（4）lim 0n n a →∞=.其中真命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（4）【解析】运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，即可判断（1），（3），由数列的单调性可判断（2），（4）．【详解】a n +2S n ﹣1•S n ＝0（n ≥2），S 112=，可得S n ﹣S n ﹣1＝﹣2S n ﹣1•S n ＝0（n ≥2），即有111n n S S --=2， {1n S }是首项、公差均为2的等差数列，故（1）正确；可得1n S =2+2（n ﹣1）＝2n ，即S n 12n=，可得a 1＝S 112=，n ≥2时，a n ()121n n =--，对n ＝1不成立，故（3）错误；由a n ()121n n =--在n ≥2递增，当n →∞时，可得n lim →∞a n ＝0，故（4）正确； b n ＝na n ()1121221n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥-⎪⎩，，，可得n ≥2时，b n 递增，且b n ＜0，则{b n }中最大项是b 1，故（2）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列的单调性，考查化简运算能力和推理能力，注意利用S n 12n=求a n 检验首项是否成立属于中档题．16．已知函数()21x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于点A ，B 两点，若动点P 满足4PA PB +=，则点P 的轨迹方程是______.【答案】（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．【解析】函数f （x ）21x x -==-111x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）．直线g （x ）＝mx +1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）．可得两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称．设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）．利用动点P 满足|PA PB +|＝4，即可得出．【详解】函数f （x ）21x x -==-111x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）．直线g （x ）＝mx +1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）．则两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称．设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）． ∵PA PB +=（2﹣2x ，2﹣2y ）．∵动点P 满足|PA PB +|＝4，=4，化为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．【点睛】本题考查了函数的对称性、轨迹方程、向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，准确推理两函数均关于点（1,1）对称是关键，属于中档题．三、解答题17．已知复数z 满足2641iz i-+=--. （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w z ai =+，且w z ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）82z i =--（2）﹣4≤a ≤0【解析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出．【详解】（1）()()2614822i i z i -++=-=-+，∴82z i =--．（2）由（1）z =w ＝﹣8+（2+a ）i ，∴w ==∵|w |≤|z |，则68+4a +a 2≤68，a 2+4a ≤0，﹣4≤a ≤0，所以，实数a 的取值范围是：﹣4≤a ≤0．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．18．已知定点()0,1A ，()0,1B -，()1,0C ，动点P 满足2AP BP k CP ⋅=. （1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当2k =时，求AP BP +的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）[2，6]【解析】（1）设P （x ，y ），则AP =（x ，y ﹣1），BP =（x ，y +1），CP =（x ﹣1，y ），动点P 满足AP BP ⋅=k |CP |2．可得x 2+y 2﹣1＝k [（x ﹣1）2+y 2]，对k 分类讨论即可得出．（2）当k ＝2时，方程为：（x ﹣2）2+y 2＝7．由|AP BP +|＝|（2x ，2y ）|＝求出原点到圆心的距离d ．即可对称|AP BP +|的取值范围．【详解】（1）设P （x ，y ），则AP =（x ，y ﹣1），BP =（x ，y +1），CP =（x ﹣1，y ）， ∵动点P 满足AP BP ⋅=k |CP |2． ∴x 2+y 2﹣1＝k [（x ﹣1）2+y 2]，k ＝1时，化为：x ﹣1＝0，此时点P 的轨迹为直线． k ≠1时，化为：2()1k x k -+-y 221(1)k =-．由21(1)k -＞0，得点P 的轨迹为圆，圆心为01k k ⎛⎫⎪-⎝⎭，（2）当k ＝2时，方程为：（x ﹣2）2+y 2＝1．|AP BP +|＝|（2x ，2y ）|＝．原点到圆心（2,0）的距离d ＝22-1=1，最大为2+1=3∴|AP BP +|＝[2，6]．【点睛】本题考查了圆的定义标准方程及其性质、分类讨论方法、向量坐标运算性质、数量积运算性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．从数列{}n a 中取出部分项组成的数列称为数列{}n a 的“子数列”.（1）若等差数列{}n a 的公差0d ≠，其子数列{}n k a 恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，求12n k k k ++⋅⋅⋅+；（2）若32n a n =-，4n n b =，判断数列{}n b 是否为{}n a 的“子数列”，并证明你的结论. 【答案】（1）3n﹣1﹣n （2）见解析【解析】（1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得首项和公差的关系，可得等比数列的公比，结合等比数列的通项公式，可得k n ＝2•3n ﹣1﹣1，再由数列的分组求和，即可得到所求和；（2）数列{b n }为{a n }的“子数列”．由3k ﹣2＝4n ，可得3k ＝4n+2，运用二项式定理即可得证．【详解】（1）等差数列{a n }的公差d ≠0，其子数列{a n k }恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，可得a 1k =a 1，a 2k =a 5，a 3k =a 17，且有a 52＝a 1a 17，即（a 1+4d ）2＝a 1（a 1+16d ），化为a 1＝2d ，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝（n +1）d ，子数列{a n k }为首项为2d ，公比为51a a =3的等比数列，则a n k =2d •3n ﹣1＝（k n +1）d ，可得k n ＝2•3n ﹣1﹣1，则k 1+k 2+…+k n ＝（2+6+…+2•3n ﹣1）﹣n()21313n -=--n ＝3n﹣1﹣n ；（2）若a n ＝3n ﹣2，b n ＝4n，数列{b n }为{a n }的“子数列”．由3k ﹣2＝4n ，可得3k ＝4n+2，由4n ＝（1+3）n ＝1+C 1n •3+C 2n •32+…+3n ，即有4n +2＝3（1+C 1n +C 2n •3+…+3n ﹣1），显然为3的倍数，故数列{b n }为{a n }的“子数列”．【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．20．设复数(),x yi x y R β=+∈与复平面上点(),P x y 对应.（1）若β是关于t 的一元二次方程()220t t m m R -+=∈的一个虚根，且2β=，求实数m 的值；（2）设复数β满足条件()()31331nna a ββ++--=+-（其中*n N ∈、常数3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），当n 为奇数时，动点(),P x y 的轨迹为1C ，当n 为偶数时，动点(),P x y 的轨迹为2C，且两条曲线都经过点(D ，求轨迹1C 与2C 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点()()00,00B x x >的最小距，求实数0x 的取值范围.【答案】（1）m ＝4；（2）C 1的方程是：22136x y -=（x ≥，C 2的方程是：221123x y +=．（3）00x ≤＜或0x ≥．【解析】（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出m 的值．（2）方法一：分n 为奇数和偶数，化出a 的范围，联立双曲线方程，求出a 值，推出双曲线方程即可．方法二：由题意分a 的奇偶数，联立方程组，求出复数β，解出a ，根据双曲线的定义求出双曲线方程．（3）设点A 的坐标，求出|AB |表达式，根据x 范围，x的对称轴讨论002x ≤＜，02x ＞时，|AB |的最小值，不小于3，求出实数x 0的取值范围．【详解】（1）β是方程的一个虚根，则β是方程的另一个虚根，则2||4m βββ⋅===，所以m ＝4（2）方法1：①当n 为奇数时，| β +3|﹣| β﹣3|＝2a ，常数332a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），轨迹C 1为双曲线一支，其方程为222219x y a a -=-，x ≥a ； ②当n 为偶数时，| β +3|+| β﹣3|＝4a ，常数332a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），轨迹C 2为椭圆，其方程为22221449x y a a +=-；依题意得方程组42224222421445990449421536019a a a a a a a a ⎧+=⎪⎧-+=⎪-⇒⎨⎨-+=⎩⎪-=⎪-⎩解得a 2＝3，因为332a ＜＜，所以a =此时轨迹为C 1与C 2的方程分别是：22136x y -=，x ≥，221123x y +=．方法2：依题意得334333332a a a a ββββββ⎧++-=⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-=+--=⎪⎩⎪⎩ 轨迹为C 1与C 2都经过点(2D，且点(2D对应的复数2β=+，代入上式得a =即33ββ+--=C 1是双曲线，方程为22136x y -=；33ββ++-=对应的轨迹C 2是椭圆，方程为221123x y +=．（3）由（2）知，轨迹C 2：221123x y +=，设点A 的坐标为（x ，y ），则22222001||()()34AB x x y x x x =-+=-+-22220000334123()34433x x x x x x x =-++=-+-，0x ⎡∈-⎣当0403x ≤＜即002x ≤＜时，220014||3033min AB x x =-≥⇒≤＜当043x ＞0x时，00|min AB x x =-≥⇒≥，综上00x ≤＜0x ≥．【点睛】本题考查复数的基本概念，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．21．抛物线22y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A ，B 两点. （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032x >；（3）若直线l 的斜率依次为12，14，18，…，12n ，…，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为1N ，2N ，3N ，…，n N ，…，求12231111n nN N N N N N -++⋅⋅⋅+. 【答案】（1）k ∈（﹣1，0）∪（0，1）；（2）见解析（3）111194n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】（1）求得抛物线的准线方程，可得M 的坐标和直线l 的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0，即可得到所求范围；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得AB 的垂直平分线方程，可令y ＝0，求得x ，即可得证；（3）设N m （x m ，0），求得142mm x =+，所以1114434m m m m m N N ---=-=⋅，由等比数列的求和公式，即可得到所求和．【详解】（1）抛物线y 2＝2x 的准线为x 12=-， 102M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，设l ：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线的方程：()22222120242y k x k k x k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⇒+-+=⎝⎭⎨⎪=⎩（）．因为l 交抛物线于两点，所以k ≠0且二次方程（）根的判别式△＞0，即（k 2﹣2）2﹣k 4＞0，解得k ∈（﹣1，0）∪（0，1）；（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理可得21222k x x k -+=-，()121221y y k x x k +=++=，所以AB 中点的坐标为22212k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭，令y ＝0，可得0211322x k =+＞．（3）设N m （x m ，0），由直线l 的斜率依次为11112482n ，，，，，，可得x m 2112k =+，则142mm x =+，所以1114434mm m m m N N ---=-=⋅，1223111113n nN N N N N N -+++=（11144n -++）13=•111144114n -⎛⎫- ⎪⎝⎭-，所以11223111111194n n n N N N N N N --⎡⎤⎛⎫+++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，同时考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

高三数学2018届高三上海七校联考(第二次)数学试卷含答案

2021届高三上海七校联考〔第二次〕数学试卷〔华师大一附中、曹杨二中、市西中学、市三女子、控江、格致、市北〕一、填空题：1、全集IR，假设Axy1，那么A,0。

x2、平面向量a0,1,b x,y，假设a b，那么实数y0。

3、f x x22x 2，那么其反函数f1x x2x0。

4、假设定义运算a b bc，那么符合条件i12i的复数z为22i。

cad24d z5、角的终边经过点Pm,3，且cos4m4。

，那么56、4名女生和2名男生参加文艺汇演，每人表演一个节目，那么2名男生的节目不能排在一起的概率为2。

37、在极坐标系中，圆4cos上的点到直线sin442上的点的最短距离为322。

2 8、假设二项式xx n的展开式的第五项是常数项，那么此常数项为1120。

9、等比数列a n中，a1a2a38,a1a2a69，记S n a1a2a n，那么limS n64。

n7 10、用棱长为a的正方体形纸箱放一棱长为1的正四面体形零件，使其能完全放入纸箱内，那么此纸箱容积的最小值为2。

411、自然数列按如图规律排列，假设数2006在第m行第n个数，那么n53。

m6312、定义：假设存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2x1x2，均有fx1f x2kx1x2成立，那么称函数f x在定义域D上满足利普希茨条件。

假设函数f x xx1满足利普希茨条件，那么常数k的最小值为1。

2二、选择题：13、同时满足三个条件：①有反函数：②是奇函数：③其定义域与其值域相等的函数是〔B〕A fx xB fx x3C fx e x e xD fx ln1x21x14、点A(1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，假设ACB90，这样的点C的个数为〔C〕A1B2C3D415、等差数列a n和等比数列b n各项都是正数，且a1b1，a2n1b2n1，那么，一定有〔D〕A an1bn1B a n1bn1C a n1bn1D a n1bn116、假设函数f(x)2xx1，那么函数y f(2x)的图象可以是〔A〕log1xx12三、解答题：17、函数f(x)sin(x)cos(x)sinxa〔a R，且a为常数〕，假设函数f(x)在2,上的632最大值与最小值的和为2，求实数a的值。

2017-2018学年上海市七宝中学高三下学期开学数学解析

2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷一填空题1．不等式的解集是．2．已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．3．函数f（x）=的最大值是．4．i为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第象限的角．5．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．6．从二项式（1+x）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是．7．命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是．8．函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是．9．若平面向量满足，，则的取值范围为．10．已知数列{a n}，a1=1，，n∈N*，则=．11．已知函数f（x）=x+（a＞0），若对任意的m、n、，长为f（m）、f（n）、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是．=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0 12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．13．已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A．B．C．D．15．已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x16．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞017．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx （k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P 满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．不等式的解集是{x|0＜x＜1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．【解答】解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角．【解答】解：因为直线l1的斜率为，故倾斜角为60°，直线l2的斜率为﹣，倾斜角为120°，故两直线的夹角为60°，即两直线的夹角为，故答案为．3．函数f（x）=的最大值是5．【考点】三角函数的最值．【分析】f（x）==3sinx+4cosx=5sin（x+θ），即可得出结论．【解答】解：f（x）==3sinx+4cosx=5sin（x+θ），∴函数f（x）=的最大值是5，故答案为5．4．i为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第一、三象限的角．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用共轭复数的意义可得z==cos2θ+isin2θ对应的点在第二象限，可得cos2θ＜0，sin2θ＞0，解出θ即可得出结论．【解答】解：z===cos2θ+isin2θ对应的点在第二象限，∴cos2θ＜0，sin2θ＞0，∴＜2θ＜2kπ+π，k∈Z．解得kπ+＜θ＜kπ+，k∈Z．k=2n（n∈Z）时，2nπ+＜θ＜2nπ+，θ为第一象限角．k=2n﹣1（n∈Z）时，2nπ﹣＜θ＜2nπ﹣，θ为第三象限角．综上可得：θ是第一、三象限的角．故答案为：一、三．5．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2= [（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．6．从二项式（1+x）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是．【考点】二项式系数的性质．=x r，（r=0，1，2，…，11）．其【分析】二项式（1+x）11的展开式中通项公式T r+1中r=0，1，2，3，8，9，10，11，为奇数．即可得出．=x r，（r=0，1，2，…，【解答】解：二项式（1+x）11的展开式中通项公式T r+111）．其中r=0，1，2，3，8，9，10，11，为奇数．∴系数为奇数的概率==．故答案为：．7．命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由x的范围求出tanx的范围，再由tanx＜m恒成立求出m的范围，结合补集思想求得命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题的m的取值范围．【解答】解：当时，tanx∈[0，1]，若tanx＜m恒成立，则m＞1．∵命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，∴m≤1．∴实数m取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．8．函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是（3，+∞）．【考点】反函数．【分析】由反函数性质得函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）单调，由此能求出m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，∴函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）单调，∵函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴m∈（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．9．若平面向量满足，，则的取值范围为[2，6] ．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用≤4||+，及≥﹣4||，求出||的取值范围．【解答】解：设的夹角为θ，∵=2•2•||cosθ+≤4||+，∴||≥2 或||≤﹣6（舍去）．又∵=2•2||cosθ+≥﹣4||，∴6≥||≥﹣2．综上，6≥||≥2，故答案为：[2，6]．10．已知数列{a n }，a 1=1，，n ∈N *，则=．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】先根据数列关系式得到a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a 2n ﹣2+a 2n ﹣1）=1+++…+，再根据等比数列的求和公式计算，最后求极限．【解答】解：∵，n ∈N ，∴a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a 2n ﹣2+a 2n ﹣1），=1+++…+，=1+，=1+﹣，=﹣，∴=（﹣）=，故答案为：11．已知函数f （x ）=x +（a ＞0），若对任意的m 、n 、，长为f （m ）、f （n ）、f （p ）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是（，）∪[1，）．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出f （x ）的导数，讨论当≥1即a ≥1时；当≤＜1且f （）≤f （1）即≤a ≤时；当≤＜1且f （）＞f （1）即＜a ＜1时；当＜，即0＜a ＜时．由单调性可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求a 的范围．【解答】解：函数f（x）=x+（a＞0）的导数为f′（x）=1﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．当≥1即a≥1时，[，1]为减区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为1+a．由题意可得只要满足2（1+a）＞+3a，解得1≤a＜；当≤＜1且f（）≤f（1）即≤a≤时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为1+a；最小值为2．由题意可得只要满足1+a＞4，解得0＜a＜7﹣4，不成立；当≤＜1且f（）＞f（1）即＜a＜1时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为2．由题意可得只要满足+3a＞4，解得0＜a＜，不成立；当＜，即0＜a＜时，[，1]为增区间，即有f（x）的最小值为+3a；最大值为1+a．由题意可得只要满足2（+3a）＞1+a，解得＜a＜．综上可得，a的取值范围是（，）∪[1，）．故答案为：（，）∪[1，）．=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0 12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．【考点】数列递推式．【分析】依题意，可得a n+2=k（a n+2），再对a1=﹣2与a1≠﹣2讨论，特别是+1a1≠﹣2时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．=ka n+2k﹣2，【解答】解：∵a n+1+2=k（a n+2），∴a n+1∴①若a1=﹣2，则a1+1+2=k（a1+2）=0，a2=﹣2，同理可得，a3=a4=a5=﹣2，即a1=﹣2复合题意；②若a1≠﹣2，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+2}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2，3，4，5，a n+2可以取﹣270，﹣30，10，90，∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+2=10=﹣3（a1+2）得：a1=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+2=﹣270=﹣（a1+2）得：a1=808．综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，﹣，808．∴a1所有可能值的和为：﹣2=．故答案为：．二.选择题13．已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．14．将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出设这个盖圆锥形底面半径r=，母线长l=R，高h==，由此能求出这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积．【解答】解：将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器，设这个盖圆锥形底面半径为r，则πR=2πr，解得r=，这个盖圆锥形母线长l=R，∴这个盖圆锥形的高h==，∴这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积：V====．故选：A．15．已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用数列求和，推出m，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，可得1﹣=，即1﹣=．解得m=9．双曲线=1的渐近线方程：y=±x．故选：C．16．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用通项公式与求和公式即可判断出结论．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，若a3＞0，则＞0，则a1＞0．∴S2017=＞0．a2016=与0的大小关系不确定．若a4＞0，则＞0，则a1与q同号，则a2017=，S2016=与0的大小关系不确定．故选：C．三.解答题17．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）【考点】球的体积和表面积．【分析】（1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为3cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角），连接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．【解答】解：（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，由勾股定理知，AO=5，∴球O的表面积为：4π•25=100π（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，则AC=4，连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：cos∠OAC===，∴∠OAC=，∴异面直线AC与MN所成的角为．18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）先根据弦切之间的关系对tan进行化简，再由二倍角公式可得到sinB的值，结合cosA的值可判断B为锐角，进而由sinC=sin（A+B）根据两角和与差的正弦公式和（1）中的sinB，sinA，cosB，cosA的值可求得sinC 的值．（2）再由正弦定理可求得a的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案．【解答】解：（1）由tan==，得sinB=，∵cosA=，∴sinA=＞sinB，∴B为锐角，可得cosB=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．（2）∵c=21，∴a===20，=acsinB=×20×21×=126．∴S△ABC19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据f（x）在[﹣1，1]上单调递减且存在零点可得f（﹣1）f（1）≤0，从而解出a的范围；（2）对b进行讨论，判断g（x）的单调性，分别求出f（x），g（x）在[1，4]上的值域，令g（x）的值域为f（x）的值域的子集列出不等式组得出b的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2，∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，∵函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，∴f（﹣1）f（1）≤0，即a（8+a）≤0，解得：﹣8≤a≤0．（2）a=3时，f（x）=x2﹣4x+6，∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，∴f（x）在[2，4]上的最小值为f（2）=2，最大值为f（4）=6．即f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]．设g（x）在[1，4]上的值域为M，∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），∴M⊆[2，6]．当b=0时，g（x）=5，即M={5}，符合题意，当b＞0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是增函数，∴M=[5﹣b，5+2b]，∴，解得0＜b≤．当b＜0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是减函数，∴M=[5+2b，5﹣b]，∴，解得﹣1≤b＜0．综上，b的取值范围是．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx （k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P 满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（1）利用抛物线的定义，可得抛物线Γ的标准方程；（2）求出A，B的坐标，利用动点P满足，求出动点P的轨迹C的方程；（3）根据方程，可得结论．【解答】解：（1）由题意，3+=4，∴p=2，∴抛物线Γ的标准方程为y2=4x；（2）设P（x，y），则y=kx，与抛物线方程联立，可得x=，y=，即A（，），与x=﹣1联立，可得B（﹣1，﹣k），∵，∴（x，y）=（+1， +k），∴x=+1，y=+k，消去k可得；（3）由，可得①关于x轴对称；②x∈（1，+∞），y∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）；③渐近线x=1；④在（1，2]上递减，在[2，+∞）上递增．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由条件分别计算前10项，即可得到所求和；（2）讨论x=1，2，3，…，计算得到数列进入循环，求得数列中0的个数，即可得到所求值；（3）运用反证法证明，结合条件及无穷数列的概念，即可得证．【解答】解：（1）数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；a1=1，a2=2，则a3=1，a4=1，a5=0，a6=1，a7=1，a8=0，a9=a10=1．∴数列前10项和S10=1+2+6=9．（2）当x=1时，数列数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有672项为0；当x=2时，数列数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=3时，数列数列{a n}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=4时，数列数列{a n}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有670项；当x=5时，数列数列{a n}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有670项为0；…由上面可以得到当x=1144或x=1145时，在前2017项中恰好含有100项为0；当x=﹣1141或x=﹣1140时，在前2017项中恰好含有100项为0；（3）证明：假设数列{a n}中不存在a k（k∈N*），使得0≤a k＜1，则a k＜0或a k≥1（k=1，2，3，…）．由无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*，可得a k≥1，由于无穷数列{a n}，对于给定的a1，a2，总可以相减后得到0，故假设不成立．在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．。

精品解析：上海市七宝中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题(解析版)

七宝中学高一开学考数学试卷一.填空题1.已知函数是幂函数，且，则的解析式为________()f x 2(4)(16)f f =()f x 【答案】12x 【解析】【分析】设，根据条件建立方程求出的值即可．()f x x α=α【详解】设，()f x x α=（4），2f (16)f =，2416αα∴⨯=即，则，，1624αα=42α=12α=即，12()f x x =故答案为：12()f x x=【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．2.已知，则_________cos()6πα-=5cos()6πα+=【答案】【解析】试题分析：因为，，cos()6πα-=所以，=。

5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--考点：本题主要考查三角函数诱导公式。

点评：简单题，注意观察角之间的关系，灵活选用公式。

3.不等式的解集为________101xx -≥+【答案】(]1,1-【解析】【分析】由题得，解不等式组即得不等式的解集.(1)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩【详解】由题得，(1)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩所以.11x -<≤故答案为：(]1,1-【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.若不等式x 2﹣kx+k ﹣1＞0对x ∈（1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是．【答案】（﹣∞，2]【解析】试题分析：根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k 的取值范围．解：不等式x 2﹣kx+k ﹣1＞0可化为（1﹣x ）k ＞1﹣x 2∵x ∈（1，2）∴k ＜=1+x∴y=1+x 是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k 取值范围是（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]考点：一元二次不等式的应用．5.函数的值域是________sin |cos |tan |cot ||sin |cos |tan |cot x x x x y x x x x =+++【答案】{0,2,4}-【解析】【分析】直接对分象限讨论去绝对值得答案．x 【详解】由题意可知不在坐标轴上，x 当为第一象限角时，函数；x sin |cos |tan |cot |sin cos tan cot 4|sin |cos |tan |cot sin cos tan cot x x x x x x x xy x x x x x x x x =+++=+++=当为第二象限角时，函数；x sin |cos |tan |cot |sin cos tan cot 2|sin |cos |tan |cot sin cos tan cot x x x x x x x x y x x x x x x x x =+++=---=-当为第三象限角时，函数；x sin |cos |tan |cot |sin cos tan cot 0|sin |cos |tan |cot sin cos tan cot x x x x x x x xy x x x x x x x x =+++=--++=当为第四象限角时，函数．x sin |cos |tan |cot |sin cos tan cot 2|sin |cos |tan |cot sin cos tan cot x x x x x x x x y x x x x x x x x =+++=-+--=-函数的值域是数集，，．∴sin |cos |tan |cot ||sin |cos |tan |cot x x x x y x x x x =+++{42-0}故答案为：{0,2,4}-【点睛】本题考查了三角函数值的符号，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．6.若,则_______1sin cos 5θθ+=(0)θπ≤≤tan θ=【答案】43-【解析】【分析】先由，结合同角三角函数基本关系，得到，判断出，1sin cos 05θθ+=>12sin cos 025θθ=-<2πθπ<≤再由求出正弦与余弦，即可得出结果.1sin cos 512sin cos 25θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】因为，1sin cos 05θθ+=>所以，故，()21sin cos 25θθ+=12sin cos 025θθ=-<所以，；因此；sin 0θ>cos 0θ<2πθπ<≤由，解得1sin cos 512sin cos 25θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4sin 53cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以.4tan 3θ=-故答案为43-【点睛】本题主要考查三角函数中给值求值的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.7.函数的反函数为，如果函数的图像过点，那么函数()y f x =()1y f x -=()y f x =()2,2-的图像一定过点.()121y f x -=-+【答案】【解析】试题分析：由于函数的图像过点，则它的反函数图象过，则，()2,2-()1y f x -=对于函数，令，则，则()121y f x -=-+的图像一定过点.()121y f x -=-+考点：互为反函数图像关系；8.定义在正整数集上的分段函数，则满足的所有的值的和11()551x x f x x x x =⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是的倍数是其它整数{[()]}1f f f x =x 等于________【答案】320【解析】【分析】根据已知中分段函数，结合，求出所有的值，进而可得答()1,1,551,x x f x x x x =⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是的倍数是其它整数{[()]}1f f f x =x 案．【详解】函数， ()1,1,551,x x f x x x x =⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是的倍数是其它整数{[()]}1f f f x =，或，，[()]1f f x ∴=[()]5f f x =[()]2f f x =，或，或，或，或，或，或.()1f x ∴=()5f x =()2f x =()25f x =()6f x =()=10f x ()=3f x ，或，或，或，或，或，或，或，或，或1x ∴=5x =2x =25x =6x =10x =3x =125x =26x =，或，或，或或，或.30x =7x =50x =11,x =15x =4x =由，15225610312526307+50+11154320++++++++++++=故答案为：320【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，本题算繁不算难，细心计算即可．9.若，则________2sin 1cos αα=+tan α=【答案】或043【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系求解.【详解】因为，，所以，因此或2sin 1cos αα=+22sin cos 1αα+=25sin 4 sin 0αα-=sin 0α=当时，当时，4sin .5α=sin 0α=cos 1tan 0αα=-=，；4sin 5α=34cos tan .43αα==综上或0.4tan 3α=【点睛】本题考查同角三角函数平方关系，考查基本转化与求解能力，属基础题.10.已知________tan tan αβ⋅=(2cos2)(2cos2)αβ--=【答案】3【解析】【分析】由题得，再通分把已知代进去化简即得解.22221tan 1tan (2cos 2)(2cos 2)(21tan 1tan αβαβαβ----=--++【详解】由题得22221tan 1tan (2cos 2)(2cos 2)(21tan 1tan αβαβαβ----=--++22221+3tan 1+3tan ()()1tan 1tan αβαβ=++22222219(tan tan )+3(tan tan )1(tan tan )tan tan αβαβαβαβ++=+++222222224+3(tan tan )129(tan tan )443(tan tan )(tan tan )3αβαβαβαβ+++==++++=3故答案为：3【点睛】本题主要考查二倍角公式和万能公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.若关于的方程恰有一解，求的取值范围________x 21log log (2)1log 2log 2log 2a x a x a x a x --+=a 【答案】{2}【解析】【分析】逐步化简得到，再根据仅有一解分析得到不等式组，解不等式组即得解.120111a a x a x x x a x a⎧>≠⎪<⎪⎨>≠⎪⎪=+=-⎩且且或【详解】原方程等价于22222201101102001log log (2)log (1)a a a a x a x x x x a x a >≠⎧⎪->-≠⎪⎪>⎪⎨->⎪⎪>≠⎪+-=-⎪⎩且且且等价于，22212001log [(2)]log (1)a a a x x x x a x a ⎧>≠⎪->⎪⎨>≠⎪⎪-=-⎩且且等价于212001(2)]1a a a x x x x a x a ⎧>≠⎪->⎪⎨>≠⎪⎪-=-⎩且且等价于120111a a x a x x x a x a ⎧>≠⎪<⎪⎨>≠⎪⎪=+=-⎩且且或因为方程仅有一解，所以，或，或，或.1(0,2)1(0,2)a a a a +∈⎧⎨-∉⎩1(0,2)1=1a a a +∈⎧⎨-⎩1(0,2)1(0,2)a a a a +∉⎧⎨-∈⎩111(0,2)a a a +=⎧⎨-∈⎩解之得.2a =故答案为：{2}【点睛】本题主要考查对数方程的解的个数，考查对数函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.，求在上的最大值________*()1,,,,x x f x q qx p q p qp p ⎧⎪=+⎨=∈∈⎪⎩N Z 是无理数且互素()f x 78(,)89【答案】1617【解析】当是无理数时，时，，而．只需证是有理数时．即可．x 78(,)89x ∈8()9f x x =<15168(17179f =>x 16()17f x …【详解】， 77888899+<<+即；71588179<<由定义可得．15168(17179f =>只需证时有理数时，x 16():17f x …（1）若时，是无理数时，．78(,89x ∈x 816()917f x x =<<（2）若时，是有理数时，此时设，其中，且；78(,89x ∈x p x q =(,)1p q =0p q <<由于，7889p q <<，可得∴7898q p p q <⎧⎨<⎩8171989q q p -+⨯……即；639648q q +-…；17q ∴…因此；8111169()(17q p p f x f q q q +++===…综上在上的最大值为.()f x 78(,)891617故答案为：1617【点睛】本题考查了分段函数的讨论和最值问题，注意分段情况，同时考查了不等式的证明，属于中档题．二.选择题13.“”是“”的（）tan a θ=1cos2sin 2aθθ-=A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【解析】【分析】先考查充分性，再考虑必要性得解.【详解】当时，，但是当时，分母为零，没tan a θ=21cos 22sin sin sin 22sin cos cos a θθθθθθθ-====0θ1cos2sin 2θθ-有意义.所以“”是“”的非充分条件；tan a θ=1cos2sin 2aθθ-=当时，.1cos2sin 2aθθ-=2(),2k k k Z x πθπ≠∈∴≠所以，21cos 22sin sin =tan sin 22sin cos cos aθθθθθθθθ-===所以“”是“”的必要条件.tan a θ=1cos2sin 2aθθ-=所以“”是“”的必要非充分条件.tan a θ=1cos2sin 2aθθ-=故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知f （x ）=，不等式f （x+a ）＞f （2a-x ）在[a ，a+1]上恒成立，则实数a 的取2x 4x 3,x 02x 2x 3,x 0-+≤⎧⎪--+>⎨⎪⎩值范围是（）A.B.C.D.(),2∞--(),0∞-()0,2()2,0-【答案】A 【解析】试题分析：二次函数的对称轴为，则该函数在上单调递减，则243y x x =-+2x =(,0)-∞，同样函数在上单调递减，2433x x -+≥223y x x =--+(0,)+∞2-233x x ∴-+<在R 上单调递减；由得到，即；则在()f x ∴()()2f x a f a x +>-2x a a x +<-2x a <2x a <上恒成立；则，实数的取值范围是，故选A ；[,1]a a +2(1),2a a a +<∴<-a (,2)-∞-考点：1.分段函数的单调性；2.恒成立问题；15.有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同；（3）若，则是第一或第二象限角；（4）△中，若，则；其中正确sin 0α>αABC A B >sin sin A B >命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】【分析】（1），根据终边相同的角的同名三角函数值相等，判断命题正确；（2），根据终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，判断命题错误；（3），当时，是第一或第二象限角，或为终边在轴的正sin 0α>αy 半轴上，判断命题错误；（4），根据大角对大边，利用正弦定理即可判断结论正确．【详解】对于（1），终边相同的角的同名三角函数值相等，所以比值相等，（1）正确；对于（2），终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，如，5sinsin66ππ=所以比值也可能相同，（2）错误；对于（3），若，则是第一或第二象限角，或终边在轴的正半轴上，（3）错误；sin 0α>αy 对于（4），中，若，则，ABC ∆A B >a b >由正弦定理得，2sin sin a bR A B ==，2sin 2sin R A R B ∴>，（4）正确；sin sin A B ∴>综上，其中正确命题的序号为（1）和（4），共2个．故选：．B 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，涉及三角函数的定义，角的取值和三角函数的符号，是基础题．16.设是定义域为的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个()f x R (2)0f =()0f x =(6,6)-数的最小值为（）A. 15B. 13C. 11D. 9【答案】A【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的周期性可得（3），，结合(0)0f =f 0=(3)0f -=（2）分析可得（2）（5），进而可得（1）和（1）f 0=f f =(1)0f =-=(2)(5)f f f -=-=0=f （4），；结合奇偶性与周期性可得，进而可得f =0=(4)(1)0f f -=-=33()(022f f -==，综合可得答案．99()(022f f -==【详解】根据题意，是定义在上的奇函数，则，()f x R (0)0f =又由是周期为3的周期函数，则（3），，()f x f 0=(3)0f -=又由（2），则（2）（5），f 0=f f =(1)0f =-=又由函数为奇函数，则（1），(2)(5)f f f -=-=0=则有（1）（4），，f f =0=(4)(1)0f f -=-=又由函数是以3为周期的奇函数，故有且，()f x 33(()22f f -=-33()(22f f -=则有，33()()022f f -==则有，99()()022f f -==综合可得：方程在区间内解至少有：，，，，，0，1，2，3，4，5，()0f x =(6,6)-5-4-3-2-1-，，，，共15个；92-32-3292故选：．A 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析，属于基础题．33()(022f f -==三.解答题17.已知函数．()(0,1,)x b f x a a a b R +=>≠∈（1）若为偶函数，求的值；()f x b （2）若在区间上是增函数，试求、应满足的条件．()f x [)2,+∞a b 【答案】（2）且0b =1a >2b ≥-【解析】【详解】试题分析：（1）若函数是偶函数则;（2）对于含有绝对值号的函数的单调性的有关题目，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，然后再逐段进行讨论。

2018年上海市七宝中学高一下数学开学考

B. 必要不充分条件
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C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
14.
已知函数
f (x)
ex
ex 2
，x1 、x2 、x3 R ，且 x1 x2
0 ，x2
x3
0 ，x3 x1
0，
则 f (x1) f (x2 ) f (x3) 的值（）
A. 一定等于零
B. 一定大于零
已知定义域为[a, b] 的函数
h(x)
|
x
2 3|
，函数
f
(x)
与
g(x)
互为反函数，且
h(x)
是
f
(x)
的一个“保值域函数”， g(x) 是 h(x) 的一个“保值域函数”，则 b a
二. 选择题
13. 设 a 、 b 为实数，则“ 0 ab 1”是“ b 1 ”的（） a
A. 充分不必要条件
（1）如果投放的药剂质量为 m 4 ，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为 m ，为了使在 7 天之内（从投放药剂算起包括 7 天）的自来水
达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m 的值.
19. 已知函数 f (x) | x 1 | | x 1 | .
x
x
（1）判断 f (x) 的奇偶性，并作出函数 f (x) 的图像；
21. 定义在 D 上的函数 f (x) ，如果满足：对任意 x D ，存在常数 M 0 ，都有 | f (x) | M
成立，则称 f (x) 是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f (x) 的上界，已知函数
（ x R ），下列四个命题中真命题的序号是（）

2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期开学考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题 1．“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】先考查充分性，再考虑必要性得解. 【详解】当tan a θ=时，21cos22sin sin sin 22sin cos cos a θθθθθθθ-===，但是当=0θ时，1cos2sin 2θθ-分母为零，没有意义. 所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的非充分条件；当1cos2sin 2a θθ-=时，2(),2k k k Z x πθπ≠∈∴≠. 所以21cos22sin sin =tan sin 22sin cos cos a θθθθθθθθ-===，所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要条件.所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要非充分条件.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知f （x ）=2x 4x 3,x 02x 2x 3,x 0-+≤⎧⎪--+>⎨⎪⎩，不等式f （x+a ）＞f （2a-x ）在[a ，a+1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(),2∞--B.(),0∞-C.()0,2D.()2,0-【答案】A【解析】试题分析：二次函数243y x x =-+的对称轴为2x =，则该函数在(,0)-∞上单调递减，则2433x x -+≥，同样函数223y x x =--+在(0,)+∞上单调递减，2-233x x ∴-+<()f x ∴在R 上单调递减；由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a <；则2x a <在[,1]a a +上恒成立；则2(1),2a a a +<∴<-，实数a 的取值范围是(,2)-∞-，故选A ；【考点】1.分段函数的单调性；2.恒成立问题；3．有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同；（3）若sin 0α>，则α是第一或第二象限角；（4）△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >；其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】（1），根据终边相同的角的同名三角函数值相等，判断命题正确；（2），根据终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，判断命题错误；（3），当sin 0α>时，α是第一或第二象限角，或为终边在y 轴的正半轴上，判断命题错误；（4），根据大角对大边，利用正弦定理即可判断结论正确．【详解】对于（1），终边相同的角的同名三角函数值相等，所以比值相等，（1）正确；对于（2），终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，如5sin sin66ππ=，所以比值也可能相同，（2）错误；对于（3），若sin 0α>，则α是第一或第二象限角，或终边在y 轴的正半轴上，（3）错误；对于（4），ABC ∆中，若A B >，则a b >，由正弦定理得2sin sin a bR A B==， 2sin 2sin R A R B ∴>，sin sin A B ∴>，（4）正确；综上，其中正确命题的序号为（1）和（4），共2个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，涉及三角函数的定义，角的取值和三角函数的符号，是基础题．4．设()f x 是定义域为R 的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(6,6)-内解的个数的最小值为（） A.15 B.13C.11D.9【答案】A【解析】根据题意，由奇函数的性质可得(0)0f =，结合函数的周期性可得f （3）0=，(3)0f -=，结合f （2）0=分析可得f （2）f =（5）(1)0f =-=，进而可得(2)(5)f f f -=-=（1）0=和f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=；结合奇偶性与周期性可得33()()022f f -==，进而可得99()()022f f -==，综合可得答案．【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由()f x 是周期为3的周期函数，则f （3）0=，(3)0f -=，又由f （2）0=，则f （2）f =（5）(1)0f =-=，又由函数为奇函数，则(2)(5)f f f -=-=（1）0=，则有f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=，又由函数()f x 是以3为周期的奇函数，故有33()()22f f -=-且33()()22f f -=，则有33()()022f f -==，则有99()()022f f -==，综合可得：方程()0f x =在区间(6,6)-内解至少有：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，92-，32-，32，92，共15个；故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析33()()022f f -==，属于基础题．二、填空题5．已知函数()f x 是幂函数，且2(4)(16)f f =，则()f x 的解析式为________ 【答案】12x【解析】设()f x x α=，根据条件建立方程求出α的值即可．【详解】设()f x x α=，2f （4）(16)f =， 2416αα∴⨯=，即1624αα=，则42α=，12α=，即12()f x x =，故答案为：12()f x x = 【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．6．已知cos()6πα-=，则5cos()6πα+=_________ 【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

上海市七宝中学20182019学年高一第二学期开学考试数学试题.docx

2018学年七宝中学高一年级开学考2019.3.6一、填空题1. 已知函数()f x 是幂函数，且()()2416f f =，则()f x 的解析式是______.2. 若3cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.3. 不等式101xx -≥+的解集为______.4. 若不等式210x kx k -+->对()1,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.5. 函数cos cot sin tan sin cos tan cot x xx xy x x x x =+++的值域是______.6. 若1sin cos 5αα+=，0απ≤≤，那么tan α的值是______.7. 函数()y f x =的反函数()1y f x -=，如果函数()y f x =的图形过点()2,2-，那么函数()121y f x -=-+的图像一定过点______.8. 定义在正整数集上的分段函数()1,1,551,x x f x x x x =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩是的倍数是其它整数，则满足(){}1f f f x =⎡⎤⎣⎦的所有x 的值的和等于______.9. 若2sin 1cos αα=+，则tan α=______.10. 已知3tan tan 3αβ⋅=，求()()2cos22cos2αβ--=______.11. 若关于x 的方程()221log 2log 1log log 2log 2x a x a a x x x --+=恰有一解，求a 的取值范围______.12. ()()*,1,,,,x x f x q q x p N q Z p q p p ⎧⎪=+⎨=∈∈⎪⎩是无理数且互素，求()f x 在78,89⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值______.二、选择题13. “tan a θ=”是“1cos 2sin 2a θθ-=”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件14. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A . ()2,0-B . (),0-∞C . ()0,2D . (),2-∞-15. 有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同；（3）若sin 0α>，则α是第一或第二象限角；（4）ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >.其中正确命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个16. 设()f x 是定义域为R 的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间()6,6-内解的个数的最小值为（）A . 15B . 13C . 11D . 9三、解答题17. 已知函数()()0,1,x b f x a a a b R +=>≠∈.（1）若()f x 为偶函数，求b 的值；（2）若()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，试a 、b 求应满足的条件.18. 某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该电影院的经营检验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高一元，将有30张票不能售出，为了获得更好的受益，需给影院定一个合适的票价，符合的基本条件是：①为方便找零和算账，票价定位1元的整数倍；②影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出.（1）设定价为()*x x N ∈元，净收入为y 元，求y 关于x 的表达式；（2）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少元？19.（1）已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求()2cos sin cos 1tan αααα-+的值；（2）已知sin cos tan sin cos ααθαα-=+（α，θ都是锐角），求sin cos sin ααθ-的值.20. 已知关于x 的方程()()()223200mx m x m m +-+-=≠的两根为tan α，tan β。

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上海市闵行区七宝中学2017届高三下学期开学数学试题
1、不等式11>x
的解集是_______ 2、已知直线023:1=+-y x l ，0533:2=-+y x l ，则直线1l 与2l 的夹角是______
3、函数1cos 22sin 3)(x x
x f -=的最大值是_____
4、i 为虚数单位，θ
θ2sin 2cos 1i z -=对应的点在第二象限，则θ是第_____象限的角 5、已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是______
6、从二项式11
)1(x +的展开式中取一项，系数为奇数的概率是______ 7、命题“对任意⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，m x <tan 恒成立”是假命题，则实数m 取值范围是_______ 8、函数)1,0)(34(log )(2≠>+-=a a x x x f a 在),[+∞∈m x 上存在反函数，则m 的取值范
围是_______
9、若平面向量b a ,满足12)2(,2||=⋅+=b b a a ，则||b 的取值范围为________
10、已知数列}{n a ，11=a ，n n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=++311，*∈N n ，则)(l i m
12321-∞
→++++n n a a a a =______ 11、已知函数)0()(>+=a x a x x f ，若对任意的⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈1,31p n m 、、，长为)()()(p f n f m f 、、的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是______
12、已知数列}{n a 满足：对任意的*∈N n 均有221-+=+k ka a n n ，其中k 为不等于0与1
的常数，若}888,88,8,2,32,272{---∈i a ，5432、、、=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为_______
13、已知实数n m 、，则“0>mn ”是“方程12
2=+ny mx 代表的曲线是椭圆”的（）
A 、充分非必要条件
B 、必要非充分条件
C 、充要条件
D 、既非充分也非必要条件
14、将半径为R 的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（） A 、3243R π B 、383R π C 、3245R π D 、38
5R π 15、已知数列}{n a 通项公式为)1(1+=n n a n ，其前m 项和为10
9，则双曲线1122=-+m y m x 的渐近线方程是（）
A 、x y 109±=
B 、x y 9
10±= C 、x y 10103±= D 、x y 310±= 16、已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（）
A 、若03>a ，则02016>a
B 、若04>a ，则02017>a
C 、若03>a ，则02017>S
D 、若04>a ，则02016>S
17、如图，用一平面去截球O ，所得截面面积为π16，球心O 到截面
的距离为3，
1O 为截面小圆圆心，AB 为截面小圆的直径
（1）计算球O 的表面积和体积
（2）若C 是截面小圆上一点，︒=∠30ABC ，N M 、分别是线段1
AO 和1OO 的中点，求异面直线AC 与MN 所成的角（结果用反三角表示）
18、ABC ∆中，角C B A 、、所对边分别为c b a 、、，135cos =A ，3102cot 2tan =+B B ，21=c
（1）求C sin 的值
（2）求ABC ∆的面积
19、已知函数R a a x x x f ∈++-=,34)(2
（1）若函数)(x f y =在[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围（2）设函数R b b bx x g ∈-+=,25)(，当3=a 时，若对任意的]4,1[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使得)()(21x f x g =，求b 的取值范围
20、已知抛物线px y 2:2
=Γ上一点),3(m M 到焦点的距离为4，动直线)0(≠=k kx y 交抛物线Γ于坐标原点O 和点A ，交抛物线Γ的准线于点B ，若动点P 满足→--→--=BA OP ，动点P 的轨迹C 的方程为0),(=y x F
（1）求出抛物线Γ的标准方程
（2）求动点P 的轨迹方程0),(=y x F （不用指明范围）
（3）以下给出曲线C 的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④0>y 时，写出由0),(=y x F 确定的函数)(x f y =的单调区间，不需证明
21、已知无穷数列}{n a ，满足*++∈-=N n a a a n n n |,|12
（1）若2,121==a a ，求数列前10项和
（2）若Z x x a a ∈==,,121，且数列}{n a 前2017项中有100项是0，求x 的可能值
（3）求证：在数列}{n a 中，存在*∈N k ，使得10<≤k a。