2014年江苏省南京市鼓楼区清江花苑高考数学模拟试卷(1)
2014年南京鼓楼一模数学卷解析
C. 【答案】A 基础知识点：三视图，正方形的展开图，小学奥数相关 难度：中等
D.
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题 ．． 卷相应位置 上） ．．．．． ⒎ 3 的绝对值等于 . 【答案】3 基础知识点：有理数的绝对值 难度：简单
x 5 ⒈ 下列方程组中，解是 的是 y 1 x y 6 A. x y 4 x y 6 B. x y 6 x y 4 C. x y 6 x y 4 D. x y 4
【答案】C 基础知识点：二元一次方程，可以选择解方程，也可以选择带入数值进选项 难度：简单
700 600 500 400 300 200 100
2000 以下
2000~ 4000
4000~ 6000
6000~ 8000
8000 以上
月工资（元）
（第 21 题） （1）如果 1000 人全部在金融行业抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由： （2）根据这样的调查结果，绘制条形统计图； （3）2012 年南京市城镇非私营单位月平均工资为 5034 元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反 映月收入情况是否合理?
1 n CO sin 2 1 1 n sin (CO AO) mn sin 2 2
基础知识点：三角函数应用与计算 难度： （1） （2）中等； （3）难 23.（8 分）如图，把长为 40cm，宽 30cm 的长方形硬纸板，剪掉 2 个小正方形和 2 个小长方形（阴影部分 即剪掉的部分） ，将剩余的部分拆成一个有盖 的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 x cm.（纸板的厚度 ．． 忽略不计） （1）长方体盒子的长、宽、高分别为 （单位：cm） ； 2 （2）若折成的一个长方体盒子表面积是 950cm ，求此时长方体盒子的体积. 【解析】 （1） 30 2 x, 20 x, x （2） S
南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学(详解稿)
南京市2014届高三年级第二次模拟考试数 学2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋的定义域为 ▲ ．1－x 2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． ∈3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d 6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．a(第3题图)(第6题图)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f ()的值为π3▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交x 2a 2y 2b 2于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知||＝1，||＝2，∠AOB ＝，＝＋，则与的夹角大小为 ▲ ．OA → O B → 2π3OC → 12OA → 14O B → OA →OC→ 11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞1时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为▲ ．14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1]2．4 3．3004．5．26．4 7．1598． 9．10．60°11．1或12．2－2 13．(，) 14．[－1，1]51272325373(第7题图)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ；（2）求证：BE ⊥平面PAC ．15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ．…………………………………………4分因为AP平面BDE ，OE 平面BDE ，⊂所以AP ∥平面BDE ．…………………………………………6分（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ．………………………………………8分因为AP 平面PAB ，所以BC ⊥PA ．⊂因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB 平面PBC ，⊂所以PA ⊥平面PBC ．…………………………………………12分因为BE 平面PBC ，所以PA ⊥BE ．⊂因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ．因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC 平面PAC ，⊂所以BE ⊥平面PAC ．…………………………………………14分PBCDE A(第15题图)16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B (x 2，y 2)．π4π2π4（1）若x 1＝，求x 2；35（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝S 2，求tan α的值．4316．解：（1）解法一：因为x 1＝，y 1＞0，所以y 1＝＝．3545 所以sin α＝，cos α＝． ………………………2分4535所以x 2＝cos(α＋)＝cos αcos －sin αsin ＝－． …………………………………6分π4π4π4 解法二：因为x 1＝，y 1＞0，所以y 1＝＝．A (，)，则＝(，)，…………2分35453545OA→ 3545 ＝(x 2，y 2)， 因为·＝||||cos ∠AOB ，所以x 2＋y 2＝ ……4分O B → O A → O B → O A → O B→3545 又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－30x 2－7＝02解得x 2＝－或，又x 2＜0，所以x 2＝－．………………………6分解法三：因为x 1＝，y 1＞0，所以y 1＝＝． 因此A (，)，所以tan α＝．………2分3545354543 所以tan(α＋)＝＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分π41＋tan α1－tan α由得x ＝±，又x 2＜0，所以x 2＝－． …………………6分{y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．)（2）S 1＝sin αcos α＝－sin2α．…………………………………………8分1214因为α(，)，所以α＋(，)． ∈π4π2π4 ∈π23π4 所以S 2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分12π4π414π214 因为S 1＝S 2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分434343 所以＝－，解得tan α＝2或tan α＝－． 因为α(，)，所以tan α＝2．………14分2tan α1－tan2α4312 ∈π4π2(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，＝．MNsin60°AMsin(120°－θ)因为MN ＝2，所以AM ＝sin(120°－θ) ．………………………………………2分433在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)．…………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝sin 2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ)………………………………8分163433＝sin 2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋41631633＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋483833＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋833203＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． (12)203163分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2．3答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． (14)分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ．……………2分在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴＝，MNsin60°AMsin θAM ＝sin θ，∴AD ＝sin θ＋2cos θ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分433433π2APMNBC第17题图D AP MNBC (第17题图)AP 2＝AD 2＋PD 2＝(sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)23＝sin 2θ＋sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ…………………………8分163833＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋1631－cos2θ243343383203＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)．…………………………12分203163π62π3当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2．π6π2π3 3 此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4．…………………………………………2分因为＝，即＝，MN sin60°AN sin α2sin60°ysin α所以sin α＝y ，cosα＝＝＝． 34x 2＋4－y 22×2×x x 2＋(x 2－xy )4x 2x －y 4…………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝cos α－sin α＝·－·y ＝．……………………………8分1232122x －y 43234x －2y4在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ． (12)x －2y4分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP 2≤12，即AP ≤2．3当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值2．3答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系．设M (x 1，0)，N (x 2，x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，3∴(x 1－x 2)2＋3x ＝4． …………………………………………2分22MN 的中点K (，x 2)．x 1＋x 2232∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝，PK ⊥MN ．3∴PK 2＝(x 0－)2＋(y 0－x 2)2＝3，x 1＋x 2232k MN ·k PK ＝－1，即·＝－1，…………………………………………6分x 2－x 1 ∴y 0－x 2＝(x 0－)，∴(y 0－x 2)2＝(x 0－)232x 1－x 23x 2x 1＋x 2232x 1＋x 22∴(1＋)(x 0－)2＝3，即(x 0－)2＝3，∴(x 0－)2＝x ．x 1＋x 22x 1＋x 22x 1＋x 229422∵x 0－＞0 ∴x 0－＝x 2，x 1＋x 22x 1＋x 2232∴x 0＝x 1＋2x 2，∴y 0＝x 1．…………………………………………8分1232∴AP 2＝x ＋y ＝(2x 2＋x 1)2＋x ＝x ＋4x ＋2x 1x 22201234212122＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤2．3 答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系．设M (x 1，0)，N (x 2，x 2)，P (x 0，y 0)．3∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x ＝4．即x ＋4x ＝4＋2x 1x 2222122∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2．…………………4分∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝，PK ⊥MN ． 3顺时针方向旋转60°后得到．MN → MP →＝(x 0－x 1，y 0)，＝(x 2－x 1，x 2)．MP → MN→ 3 ∴＝，即[x 0－x 1y 0]x 0－x 1＝(x 2－x 1)＋x 2，y 0＝－(x 2－x 1)＋x 2．12323232∴x 0＝2x 2＋x 1，y 0＝x 1． …………………………………………8分1232∴AP 2＝x ＋y ＝(2x 2＋x 1)2＋x ＝x ＋4x ＋2x 1x 2 2 02 012342 12 12 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤2．3答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ．…………8分PNCE在△AMN 中，由正弦定理知：＝2R ，MNsin60°∴R ＝，…………10分23∴FM ＝FN ＝R ＝，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．23设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝．13即FE ＝，又PE ＝． (12)33 3∴PF ＝，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝2．43 3答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为x 2a 2y 2b 22，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·的最大值．F 1P → QF 1→ 12OP → OQ→（1）解：由题意得 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为＋y 2＝1．…………………………………………2分x 22 （2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由 解得或所以点Q 的坐标为(－，－)． ……………………4分{x ＝0，y ＝1，)4313解法一：因为k PF ·k PF ＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分12因为QF 2的中点为(－，－)，QF 2＝，1616所以圆的方程为(x ＋)2＋(y ＋)2＝． ……………………8分16162518解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则 解得所以圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －＝0． (8)131343分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则＝(x 1＋1，y 1)，＝(－1－x 2，－y 2)．F 1P→ QF 1→因为＝λ，所以即F 1P→ QF 1→ {x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，){x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，)所以解得x 2＝．…………………………………………12分1－3λ2λ所以·＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy ＝－x 22－(1＋λ)x 2－λOP → OQ →22λ2＝－()2－(1＋λ)·－λ＝－(λ＋) ． …………………………………………14分λ21－3λ2λ1－3λ2λ74581λ因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．121λ 1λ所以·≤，即·最大值为． …………………………………………16分OP → OQ→ 12OP → OQ→12解法二：当PQ 斜率不存在时，在＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝±．x 22所以，此时…………………………211(1)(2OP OQ ⋅=-⨯-= 11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)，由得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，韦达定理 (422121222)422==1212k k x x x x k k--+++，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++ 22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。
2014江苏省高考数学模拟试题word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲.2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为▲.3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是▲.4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),xkb1它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是▲.6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是▲.8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是▲.9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为▲.10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是▲.11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)xkb1过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是▲.12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，（第3题）100 80 90 110 /cm（第6题）PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲.13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是▲.14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥A B C P -中，D ，E ，F 分xkb1别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程； (2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.（第16题）P D C EF BAxkb118.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直。
数学_2014年江苏省高考数学模拟专家试卷(1)(含答案)
2014年江苏省高考数学模拟专家试卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A={0, 1}，集合B={−1, 0, x}，且A⊆B，则实数x的值为________．2. 已知复数(1+i)⋅(1+bi)为纯虚数，则实数b的值为________．3. 一个算法的流程图如图所示，则输出y的结果为________．4. 如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数分别是a，b，则a+b=________．5. 一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号分别为1，2，3，4，5，6，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是________．6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+tanAtanB =2cb，则角A的大小为________．7. 已知质点P在半径为10cm的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是1rad/s，设A(10, 0)为起始点，记点P在y轴上的射影为M，则10π秒时点M的速度是________cm/s．8. 如图，设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴为AB，短轴为CD，E是椭圆弧BD上的一点，AE交CD于K，CE交AB于L，则(EKAK )2+(ELCL)2的值为________．9. 各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，若函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+...+a10x10的导数为f′(x)，则f′(12)=________．10. 已知△ABC的三边a，b，c满足1≤c≤3≤b≤4≤a≤9，则△ABC的面积S最大值为________．11. 用[x]表示不超过x的最大整数．已知f(x)=x+[x]的定义域为[−1, 1)，则函数f(x)的值域为________．12. 已知点G ，H 分别为△ABC 的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若|AC →|=4，|AB →|=6，则HG →⋅BC →的值为________． 13. 设x ，y 是正实数，且x +y ＝1，则x 2x+2+y 2y+1的最小值是________．14. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|PA|+|PC 1|=2的点P 的个数为________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 如图，点P 在△ABC 内，AB =CP =2，BC =3，∠P +∠B =π，记∠B =α．（1）试用α表示AP 的长；（2）求四边形ABCP 的面积的最大值，并写出此时α的值．16. 已知PA ⊥菱形ABCD 所在平面，点E 、F 分别为线段BC 、PA 的中点．（1）求证：BD ⊥PC ；（2）求证：BF // 平面PDE ．17. 某商场分别投入x 万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润y 1、y 2万元，利润曲线分别为C 1:y 1=m ⋅a x +b ，C 2:y 2=cx ，其中m ，a ，b ，c 都为常数．如图所示：（1）分别求函数y 1、y 2的解析式；（2）若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值．（可能要用的数ln2≈0.7）18. 已知圆C 1：(x +1)2+y 2=1和圆C 2：(x −4)2+y 2=4．（1）过圆心C 1作倾斜角为θ的直线l 交圆C 2于A ，B 两点，且A 为C 1B 的中点，求sinθ； （2）过点P(m, 1)引圆C 2的两条割线l 1和l 2，直线l 1和l 2被圆C 2截得的弦的中点分别为M ，N ．试问过点P ，M ，N ，C 2的圆是否过定点（异于点C 2）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由；（3）过圆C 2上任一点Q(x 0, y 0)作圆C 1的两条切线，设两切线分别与y 轴交于点S 和T ，求线段ST 长度的取值范围．19. 数列{a n }满足a 1=0，a 2=2，a n+2=(1+cos 2nπ2)a n +4sin 2nπ2，n =1，2，3，…，（1）求a 3，a 4，a 5，a 6；（2）设S k =a 1+a 3+...+a 2k−1，T k =a 2+a 4+...+a 2k ，分别求S k ，T k 关于k 的表达式； （3）设W k =2S k 2+T k，求使W k >1的所有k 的值，并说明理由．20. 已知函数f(x)=ax 3+|x −a|(a ∈R)．（1）是否存在实数a ，使得函数f(x)在(−∞, 0]上单调递减，在[0, +∞)上单调递增？请说明理由；（2）若0<a <1，求函数f(x)在[−1, 1]上的最大值；（3）求证：对任意的实数a ，存在x 0，恒有f(x 0)≠0，并求出符合该特征的x 0的取值范围．数学附加题【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题5分，共计10分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】21. （选做题）如图，PA 与⊙O 相切于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B ，C 两点，求证：∠DPB =∠DCP ．【选修4-2：矩阵与变换】22. 已知[1012]B =[−434−1]，求矩阵B ．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为{x =−√3ty =1+t (t,t ∈R)．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．【选修4-5：不等式选讲】24. 设函数f(x)=√|x +1|+|x −2|+a ．（1）当a=−5时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 求证：对于任意的正整数n，(2+√3)n必可表示成√s+√s−1的形式，其中s∈N∗．26. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，设以F为圆心，FA为半径的圆F交准线l于M，N两点．（1）若∠MFN=90∘，且△AMN的面积为4√2，求p的值；（2）若A，F，M三点共线于直线m，设直线m与抛物线C的另一个交点为B，记A和B两点间的距离为f(p)，求f(p)关于p的表达式．2014年江苏省高考数学模拟专家试卷（1）答案1. 12. 13. 114. 57.55. 566. π37. 108. 19. 55410. 611. [−2, −1)∪[0, 1)12. −20313. 1414. 615. 解：(1)△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π−α，由余弦定理得，AC2=22+32−2×2×3cosα，①AC2=AP2+22−2×AP×2cos(π−α)，②由①②得：AP2+4APcosα+12cosα−9=0，α∈(0, π)，解得：AP=3−4cosα；（2）∵ AP=3−4cosα，α∈(0, π)，∴ S四边形ABCP =S△ABC−S△APC=12×2×3sinα−12×2×APsin(π−α)=3sinα−(3−4cosα)sinα=4sinα⋅cosα=2sin2α，α∈(0, π)， 则当α=π4时，S max =2．16. 证明：（1）∵ PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥BD ，又∵ ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，又PA ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC =A ， ∴ BD ⊥平面PAC ， 又PC ⊂平面PAC ， ∴ BD ⊥PC ．（2）取线段PD 的中点G ，连结EG ，FG ， 则FG // AD ，且FG =12AD ，又BE // AD ，且BE =12AD ， ∴ FG // BE ，FG =BE ，∴ 四边形BEGF 是平行四边形， ∴ BF // EG ，又BF ⊄平面PDE ，EG ⊂平面PDE ， ∴ BF // 平面PDE ．17. 该商场所获利润的最小值28748．18. 解：（1）设直线l 的方程为y =k(x +1)，则圆心C 2到直线l 的距离d =√1+k 2设AB 的中点为R ，则AR =√4−d 2=12AB =13C 1R =13√25−d 2则d 2=118，所以在Rt △C 1RC 2中，sinθ=C 2R C 1C 2=d 5=√2220． （2）依题意，过点P ，M ，N ，C 2的圆即为以PC 2为直径的圆，所以(x −4)(x −m)+(y −1)(y −0)=0，即x 2−(m +4)x +4m +y 2−y =0 整理成关于实数m 的等式(4−x)m +x 2−4x +y 2−y =0恒成立 则{4−x =0x 2−4x +y 2−y =0，所以{x =4y =0或{x =4y =1 即存在定点(4, 1)．（3）设过Q(x 0, y 0)的直线与圆C 1切线，则d =00√1+k 2=1，即(k +kx 0−y 0)2=1+k 2，整理成关于k 的方程(x 02+2x 0)k 2−(2y 0+2x 0y 0)k +y 02−1=0，(☆)判别式△=(2y 0+2x 0y 0)2−4(y 02−1)(x 02+2x 0)=4x 02+4y 02+8x 0， 所以k =2y 0+2x 0y 0±√4x 02+4y 02+8x 02(x 02+2x 0)．直线y −y 0=k(x −x 0)与y 轴的交点为(0, y 0−kx 0)，不妨设S(0, y 0−k 1x 0)，T(0, y 0−k 2x 0)，则ST =|k 2−k 1|x 0． 而k 1，k 2是(☆)方程的两根， 则ST =|k 2−k 1|x 0=√4x 02+4y 02+8x 0x 0+2，又(x 0−4)2+y 02=4，所以ST =√4x 02+4y 02+8x 0x 0+2=√40x 0−48x 0+2=2√2⋅√5x 0−6x 0+2．令√5x 0−6=t(t ∈[2,2√6])，则ST =2√2⋅5t16+t 2=10√2t+16t，考察关于t 的函数f(t)=t +16t(t ∈[2,2√6])，函数f(t)在区间[2.4]是单调递减，在区间[4,2√6]上单调递增，所以（f(t)）max =10，（f(t)）min =8． 所以ST ∈[√2，5√24]． 19. 解：（1）∵ a 1=0，a 2=2，∴ a 3=(1+cos 2π2)a 1+4sin 2π2=4，a 4=(1+cos 22π2)a 2+4sin 22π2=4，a 5=(1+cos 23π2)a 3+4sin 23π2=8，a 6=(1+cos 24π2)a 4+4sin 24π2=8．（2）当n =2k −1(k ∈N ∗)时，a 2k+1=(1+cos 22k−12π)a 2k−1+4sin 22k−12π=a 2k−1+4，∴ {a 2k−1}是以0为首项，4为公差的等差数列，则a 2k−1=4(k −1)， 当n =2k(k ∈N ∗)时，a 2k+2=(1+cos 22k 2π)a 2k +4sin 22k 2π=2a 2k ，∴ {a 2k }是以2为首项，2为公比的等比数列，则a 2k =2k ，∴ {a n }的通项公式为a n ={2(n −1),n =2k −1(k ∈N ∗)2n 2，n =2k(k ∈N ∗)S k =a 1+a 3+...+a 2k−1=0+4+...+4(k −1)=2k(k −1)，T k =a 2+a 4+⋯+a 2k =2+22+⋯+2k =2k+1−2，（3）W k =2S k2+T k=4k(k−1)2k+1=k(k−1)2k−1，于是W 1=0，W 2=1，W 3=32，W 4=32，W 5=54，W 6=1516． 下面证明：当k ≥6时，W k <1． 事实上，当k ≥6时，W k+1−W k =(k+1)k 2k−k(k−1)2k−1=k(3−k)2k<0，即W k+1<W k ，又W 6<1，∴ 当k ≥6时，W k <1． ∵ W 1=0，W 2=1，不满足W k >1∴ 满足W k >1的k 的值为3，4，5． 20. 解：（1）当a ≠0时，f(x)={ax 3−x +a ，x <a ax 3+x −a ，x ≥a，令g(x)=ax 3−x +a(x <a)，ℎ(x)=ax 3+x −a(x >a)，g ′(x)=3ax 2−1，ℎ′(x)=3ax 2+1，无论a >0还是a <0均不符合要求；当a =0时，f(x)=|x|满足条件f(x)在(−∞, 0]上单调递减，在[0, +∞)上单调递增． 故存在a =0，满足条件． （2）若0<a <1，f(x)={ax 3−x +a ，x <a ax 3+x −a ，x ≥a，当x <a 时，f ′(x)=3ax 2−1，f′(x)=3ax 2−1=0⇒x =±√13a ， 当x >a 时，f ′(x)=3ax 2+1， ①当0<a ≤13，√13a≥1，此时f(x)在[−1, a]上单调减，在[a, 1]上单调增，则在[−1, 1]上f(x)max =f(−1)=f(1)=1； ②当13<a ≤√133，此时√13a≥a ，此时f(x)在[−1,−√13a]上单调增，在[−√13a ，a]上单调减，在[a, 1]上单调增， 由于f(−√13a )>f(−1)=f(1)，则在[−1, 1]上f(x)max =f(−√13a )=a +23√13a ；③当√133<a <1，此时√13a <a ，则此时f(x)在[−1,−√13a ]上单调增， 在[−√13a，√13a ]上单调减，在[−√13a ，a]上单调增，在[a, 1]上单调增， 则在[−1, 1]上f(x)max =f(−√13a )=a +23√13a ； 综合①②③有 当0<a ≤13时，f(x)max =1；当13<a <1时，f(x)max =a +23√13a=a +2√3a9a． （3）①当a =0时，f(x)=|x|，方程f(x)=|x|=0只有0根； ②当a >0时，方程f(x)=ax 3+|x −a|=0没有0根和正根， 当a >0，x <0时，f(x)=ax 3−x +a ， 由方程f(x)=ax 3−x +a =0得a =xx 3+1， 则{x <0a =x x 3+1>0⇒x 3+1<0，得x <−1；③当a <0时，方程f(x)=ax 3+|x −a|=0没有0根和负根，当a <0，x >0时，f(x)=ax 3+x −a ， 由方程f(x)=ax 3+x −a =0得a =−x x 3−1，则{x >0a =−x x 3−1<0⇒x 3−1>0，得x >1；综上可知，对任意的实数a ，存在x 0∈[−1, 0)∪(0, 1]，恒有f(x 0)≠0． 21. 证明：因为PA 与圆相切于A ，所以DA 2=DB ⋅DC ， 因为D 为PA 中点，所以DP =DA ， 所以DP 2=DB ⋅DC ，即PD DC =DBPD ． … 因为∠BDP =∠PDC ，所以△BDP ∽△PDC ， 所以∠DPB =∠DCP ． … 22. 解：设B =[abc d ]，则[1012]B =[a ba +2cb +2d]， 故{a =−4,b =3,a +2c =4,b +2d =−1,解得{a =−4,b =3,c =4,d =−2.故B =[−434−2]．23. 曲线C 的普通方程是x 23+y 2=1． 直线l 的普通方程是x +√3y −√3=0． 设点M 的坐标是(√3cosθ,sinθ),Ml 的距离是d =|√3cosθ+√3sinθ−√3|2=√3|√2sin(θ+π4)−1|2．−√2≤√2sin(θ+π4)≤√2,sin(θ+π4)=−1,θ+π4=2kπ−π2(k ∈Z),θ=2kπ−3π4(k ∈Z)，d 取得最大值． √3cosθ=−√62,sinθ=−√22． ,M(−√62,−√22),.(10)24. 解：（1）由题设知：|x+1|+|x−2|−5≥0如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x−2|和y=5的图象，得定义域为(−∞, −2]∪[3, +∞)（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x−2|+a≥0即|x+1|+|x−2|≥−a，又由(1)|x+1|+|x−2|≥3，∴ −a≤3，∴ a≥−3．25. 证明：由二项式定理可知，(2+√3)n=C n02n(√3)0+C n12n−1(√3)1+C n22n−2(√3)2+⋯+C n n20(√3)n，设(2+√3)n=x+√3y=√x2+√3y2，而若有(2+√3)n=√a+√b，a，b∈N∗，则(2−√3)n=√a−√b，a，b∈N∗，∵ (√a+√b)⋅(√a−√b)=(2+√3)n⋅(2−√3)n=1，∴ 令a=s，s∈N∗，则必有b=s−1．∴ (2+√3)n必可表示成√s+√s−1的形式，其中s∈N∗．26. 解：（1）由对称性可知，△MFN为等腰直角三角形，则斜边MN=2p，且点A到准线l的距离d=FA=FM=√2p．S△AMN=12MN⋅d=12⋅2p⋅√2p=4√2，即p=2．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，过A作AK⊥l于点K，由已知得|AF|=|AK|=|FN|=|FM|，所以在直角△AMN中，∠AMK=30∘，所以∠AFx=60∘，所以直线m的方程为y=√3(x−p2)，代入y2=2px(p>0)整理后得3x2−5px+34p2=0，所以x1+x2=53p，所以|AB|=|FA|+|FB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=53p+p=83p，即f(p)=83p．第（2）问另解：由对称性可设A(y 022p ，y 0)(y 0>0)，F(p2，0)． 由点A ，M 关于点F 对称，得M(p −y 022p，−y 0)，所以p −y 022p =−p2，解得y 0=√3p ，即A(3p2，√3p)．直线m 的方程为y =√3(x −p2)，与抛物线方程联列{y 2=2px y =√3(x −p 2)得y 2−2√33py −p 2=0，解得y 1=√3p ，y 2=−√33p ． 所以B(p 6，−√33p)． 这样f(p)=AB =√(3p2−p6)2+(√3p +√33p)2=83p ．。
2014南京市鼓楼区一模试卷
2
11．已知⊙O1，⊙O2 没有公共点．若⊙O1 的半径为 4，两圆圆心距为 5，则⊙O2 的半径可以 是 ▲ ． （写出一个符合条件的值即可）
D C
12．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝90°，连接 AC， ∠DAC＝∠BAC．若 BC＝4cm，AD＝5cm，则梯形 ABCD 的周长为 ▲ cm．
．
由上面的探究，请用文字语言直接写出 A、B、C、D 四点在同一个圆上的条件： ▲ ．
（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上． 求作：CN⊥AB． 作法：①连接 CA，CB； ⌒上任取异于 B、C 的一点 D，连接 DA，DB； ②在 CB ③DA 与 CB 相交于 E 点，延长 AC、BD，交于 F 点； ④连接 F、E 并延长，交直径 AB 于 M； ⑤连接 D、M 并延长，交⊙O 于 N．连接 CN． 则 CN⊥AB．
A （第 12 题） B
13．如图，在□ABCD 中，∠A＝70°，将□ABCD 绕顶点 B 顺时 针旋转到□A1BC1D1，当 C1D1 首次经过顶点 C 时，旋转角 ∠ABA1＝ ▲ ° ．
A1 D C C1 A B （第 13 题） D1
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14．某科研机构对我区 400 户有两个孩子的家庭进行了调查，得到了 表格中的数据，其中(男，女)代表第一个孩子是男孩，第二个孩子 是女孩，其余类推．由数据，请估计我区两个孩子家庭中男孩与女 孩的人数比为 ▲ ：▲ ．
市城镇非私营单位 1000 人月收入频数分布表 月工资 x（元） 频数（人） 60 610 180 50 100 1000 人数 700 600 500 400 300 200 100 0 2000 以下 2000 ～ 4000 4000 ～ 6000 （第 21 题） 6000 ～ 8000 8000 以上 月工资 （元） 市城镇非私营单位 1 000 人月收入统计图
数学_2014年江苏省某校高考数学一模试卷(含答案)
2014年江苏省某校高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上． 1. 已知集合A ={x|2x >1}，B ={x|x <1}，则A ∩B =________． 2. 复数a−2i 1+2i（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500, 3000)（元）月收入段应抽出________人．4. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为1，则输入x 的值为________．5. 已知双曲线x 24−y 2b=1的右焦点为(3, 0)，则该双曲线的渐近线方程为________．6. 已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=________．7. 已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长________． 8. 在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ，则不等式x ⊙(x −2)<0的解集是________． 9. 投掷一枚正方体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面上的数字记为a ，又n(A)表示集合的元素个数，A ={x||x 2+ax +3|=1, x ∈R}，则n(A)=4的概率为________．10. 函数f(x)=2sin(πx)−11−x，x ∈[−2, 4]的所有零点之和为________．11. 如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则BP →⋅CQ →的最大值为________．12. 已知数列{a n }的首项a 1=a ，其前n 和为S n ，且满足S n +S n−1=3n 2(n ≥2)．若对任意的n ∈N ∗，a n <a n+1恒成立，则a 的取值范围是________．13. 已知圆C ：(x −2)2+y 2=1，点P 在直线l:x +y +1=0上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标x 0的取值范围是________． 14. 记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1, x 2, ..., x n }，最小数为min{x 1, x 2, ..., x n }．已知实数1≤x ≤y 且三数能构成三角形的三边长，若t =max{1x , xy, y}⋅min{1x , xy, y}，则t 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a →=（3, −cos(ωx)），b →=(sin(ωx)，√3)，其中ω>0，函数f(x)=a →⋅b →的最小正周期为π．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且f(A2)=√3，a =√3b 求角A 、B 、C 的大小．16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥PC ，AB =PB ，E ，F 分别是PA ，AC 的中点．求证： （1）EF // 平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAB ．17. 某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t （秒）的变化规律大致可用y =−(1+4sin 2tπ60)x 2+20(sin tπ60)x(t 为时间参数，x 的单位：m)来描述，其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴． （1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？ 18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，以椭圆C 左顶点T 为圆心作圆T ：(x +2)2+y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM →⋅TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O为坐标原点，求证：OR ⋅OS 为定值． 19. 已知数列{a n }满足下列条件： ①首项a 1=a ，(a >3, a ∈N ∗)； ②当a n =3k ，(k ∈N ∗)时，a n+1=a n 3；③当a n ≠3k ，(k ∈N ∗)时，a n+1=a n +1． （1）当a 4=1，求首项a 之值； （2）当a =2014时，求a 2014；（3）试证：正整数3必为数列{a n }中的某一项．20. 已知函数f(x)=a −blnx(a, b ∈R)，其图象在x =e 处的切线方程为x −ey +e =0．函数g(x)=kx (k >0)，ℎ(x)=f(x)x−1．（1）求实数a 、b 的值；（2）以函数g(x)图象上一点为圆心，2为半径作圆C ，若圆C 上存在两个不同的点到原点O 的距离为1，求k 的取值范围；（3）求最大的正整数k ，对于任意的p ∈(1, +∞)，存在实数m 、n 满足0<m <n <p ，使得ℎ(p)=ℎ(m)=g(n)．【选做题】在四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1几何证明选讲21. 选修4−1：几何证明选讲如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，若四边形BCON 是平行四边形； （1）求AM 的长； （2）求sin∠ANC ．选修4-2矩阵与变换22. 已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量e 1→=[11]，并且矩阵M 对应的变换将点(−1, 2)变换成(3, 0)，求矩阵M ．选修4-4参数方程与极坐标23. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l 的参数方程是{x =−35t +2，y =45t ，（t 为参数）．(1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值．选修4-5不等式证明选讲24. 已知x 2+y 2=2，且|x|≠|y|，求1(x+y)2+1(x−y)2的最小值．25. 如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB =90∘，PM // BC ，PM =1，BC =2，又AC =1，∠ACB =120∘，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60∘． （1）求二面角M −AC −B 的余弦值； （2）求点C 到面MAB 的距离． 26. 已知二项式(√x 5+12x)m的展开式中第2项为常数项t ，其中m ∈N ∗，且展开式按x 的降幂排列．(1)求m 及t 的值．(2)数列{a n }中，a 1=t ，a n =t a n−1，n ∈N ∗，求证：a n −3能被4整除．2014年江苏省某校高考数学一模试卷答案1. {x|0<x <1}2. 43. 254. −1或20145. y =±√52x 6. 125 7.4√63 8. (−2, 1) 9. 13 10. 8 11. 12 12. (94, 154) 13. [−1, 2] 14. [1,1+√52)15. 解：（1）f(x)=3sinωx−√3cosωx=2√3(√32sinωx−12cosωx)=2√3sin(ωx−π6)，∵ T=2πω=π，∴ ω=2，即f(x)=2√3sin(2x−π6)，由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，得：kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[kπ−π6, kπ+π3](k∈Z)；（2）∵ f(A2)=2√3sin(A−π6)=√3，∴ sin(A−π6)=12，∵ 0<A<π，∴ −π6<A−π6<5π6，即A=π3，∵ asinA =bsinB，a=√3b，∴ sinB=bsinAa =√33×√32=12，∵ a>b，∴ A>B，则B=π6，A=π3，C=π2．16. 证明：（1）在△APC中，因为E，F分别是PA，AC的中点，所以EF // PC，…又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF // 平面PBC；…（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE；…又PA⊥PC，EF // PC，所以PA⊥EF，…因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…17. 花坛的长为10√2m，宽为5√2m，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求．…18. 依题意，得a＝2，e=ca =√32，∴ c=√3，b=√4−3=1，故椭圆C的方程为x 24+y2=1．方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x 1, y 1)，N(x 1, −y 1)，不妨设y 1>0． 由于点M 在椭圆C 上，所以y 12=1−x 124． (∗)由已知T(−2, 0)，则TM →=(x 1+2,y 1)，TN →=(x 1+2,−y 1)， ∴ TM →⋅TN →=(x 1+2,y 1)⋅(x 1+2,−y 1) ＝(x 1+2)2−y 12=(x 1+2)2−(1−x 124)=54x 12+4x 1+3=54(x 1+85)2−15．由于−2<x 1<2，故当x 1=−85时，TM →⋅TN →取得最小值为−15．由(∗)式，y 1=35，故M(−85,35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2=1325． 故圆T 的方程为：(x +2)2+y 2=1325．方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M(2cosθ, sinθ)，N(2cosθ, −sinθ)， 不妨设sinθ>0，由已知T(−2, 0)，则TM →⋅TN →=(2cosθ+2,sinθ)⋅(2cosθ+2,−sinθ) ＝(2cosθ+2)2−sin 2θ ＝5cos 2θ+8cosθ+3 =5(cosθ+45)2−15．故当cosθ=−45时，TM →⋅TN →取得最小值为−15，此时M(−85,35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2=1325．故圆T 的方程为：(x +2)2+y 2=1325．方法一：设P(x 0, y 0)，则直线MP 的方程为：y −y 0=y 0−y1x 0−x 1(x −x 0)，令y ＝0，得x R =x 1y 0−x 0y 1y 0−y 1，同理：x S =x 1y 0+x 0y 1y 0+y 1，故x R⋅x S=x12y02−x02y12y02−y12 (∗∗)又点M与点P在椭圆上，故x02=4(1−y02)，x12=4(1−y12)，代入(∗∗)式，得：x R⋅x S=4(1−y12)y02−4(1−y02)y12y02−y12=4(y02−y12)y02−y12=4．所以|OR|⋅|OS|＝|x R|⋅|x S|＝|x R⋅x S|＝4为定值．方法二：设M(2cosθ, sinθ)，N(2cosθ, −sinθ)，不妨设sinθ>0，P(2cosα, sinα)，其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：y−sinα=sinα−sinθ2cosα−2cosθ(x−2cosα)，令y＝0，得x R=2(sinαcosθ−cosαsinθ)sinα−sinθ，同理：x S=2(sinαcosθ+cosαsinθ)sinα+sinθ，故x R⋅x S=4(sin2αcos2θ−cos2αsin2θ)sin2α−sin2θ=4(sin2α−sin2θ)sin2α−sin2θ=4．所以|OR|⋅|OS|＝|x R|⋅|x S|＝|x R⋅x S|＝4为定值．19. （1）解：当a4=1时，因为a n+1=a n3，所以a3=3，此时，若a2=2，则a=6；若a2=9，则a=27或8，综上所述，a之值为6或8或27．…（2）解：当a=2014时，a2=2015，a3=2016，a4=672，a5=224，a6=225，a7=75，a8=25，a9=26，a10=27，a11=9，a12=3，a13=1，a14=2，a15=3，以下出现周期为3的数列，从而a2014=a13=1；…（3）证明：由条件知：若a n=3k，(k∈N∗)，则a n+1=a n3，a n+3≤a n3+2；若a n=3k+1，(k∈N∗)，则a n+1=a n+1=3k+2，a n+2=3k+3，a n+3=k+1<13a n+2；若a n=3k+2，(k∈N∗)，则a n+1=a n+1=3k+3，a n+2=13(a n+1)，a n+3≤13(a n+1)+1<13a n+2；…综上所述，a n+3≤13a n+2，从而a n−a n+3≥23(a n−3)，故当a n>3时，必有a n−a n+3>0，因a n∈N∗，故a n−a n+3≥1，所以数列{a n}中必存在某一项a m≤3（否则会与上述结论矛盾！）若a m=3，则a m+1=1，a m+2=2；若a m=2，则a m+1=3，a m+2=1，若a m =1，则a m+1=2，a m+2=3，综上所述，正整数3必为数列{a n }中的某一项． … 20. 解：（1） 当x =e 时，y =2，f′(x)=−bx ， 故{a −b =2−b e =1e，解得{a =1b =−1．（2）问题即为圆C 与以O 为圆心1为半径的圆有两个交点，即两圆相交． 设C(x 0，kx 0)，则1<√x 02+k 2x 02<3，即{k 2>x 02−x 04k 2<9x 02−x 04， ∵ x 02−x 04=−(x 02−12)2+14，∴ x 02−x 04≤14，∴ k 2>x 02−x 04必定有解； ∵ 9x 02−x 04=−(x 02−92)2+814，∴ 9x 02−x 04≤814，故k 2<9x 02−x 04有解，须k 2<814，又k >0，从而0<k <92．（3）显然g(x)=kx (k >0)在区间(1, +∞)上为减函数，于是g(n)>g(p)，若ℎ(p)=g(n)，则对任意p >1，有ℎ(p)>g(p)． 当x >1时，ℎ(x)>g(x)⇔k <x(1+lnx)x−1，令φ(x)=x(1+lnx)x−1(x >1)，则φ/(x)=x−2−lnx (x−1)2．令ϕ(x)=x −2−lnx(x >1)，则ϕ/(x)=x−1x>0，故ϕ(x)在(1, +∞)上为增函数，又ϕ(3)=1−ln3<0，ϕ(4)=2−ln4>0， 因此存在唯一正实数x 0∈(3, 4)，使ϕ(x 0)=x 0−2−lnx 0=0．故当x ∈(1, x 0)时，φ′(x)<0，φ(x)为减函数；当x ∈(x 0, +∞)时，φ′(x)>0，φ(x)为增函数，因此φ(x)在(1, +∞)上有最小值φ(x 0)=x 0(1+lnx 0)x 0−1，又x 0−2−lnx 0=0，化简得φ(x 0)=x 0∈(3, 4)，∴ k ≤3．下面证明：当k =3时，对0<x <1，有ℎ(x)<g(x)．当0<x <1时，ℎ(x)<g(x)⇔3−2x +xlnx >0．令ψ(x)=3−2x +xlnx(0<x <1)， 则ψ′(x)=lnx −1<0，故ψ(x)在(0, 1)上为减函数， 于是ψ(x)>ψ(1)=1>0．同时，当x ∈(0, +∞)时，g(x)=3x ∈(0,+∞)．当x ∈(0, 1)时，ℎ(x)∈R ；当x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)∈(0, +∞)．结合函数的图象可知，对任意的正数p ，存在实数m 、n 满足0<m <n <p ，使得ℎ(p)=ℎ(m)=g(n)．综上所述，正整数k 的最大值为3．21. 解：（1）连接BM ，则 ∵ MN 是⊙O 的直径，∴ ∠MBN =90∘，∵ 四边形BCON 是平行四边形，∴ BC // MN ，又∵ AM 是⊙O 的切线，可得MN ⊥AM ，∴ BC ⊥AM ， ∵ C 是AM 的中点，∴ BC 是△ABM 的中线， 由此可得△ABM 是等腰三角形，即BM =BA ， ∵ ∠MBN =90∘，∴ ∠BMA =∠A =45∘，因此得到Rt △NAM 是等腰直角三角形，故AM =MN =2．… （2）作CE ⊥AN 于E 点，则 由（1），得△CEA 是等腰直角三角形，且AC =1 ∴ CE =√22AC =√22， ∵ Rt △MNC 中，MN =2，MC =1，∴ CN =√22+12=√5， 故Rt △ENC 中，sin∠ANC =CE NC=√1010．… 22. 解：设矩阵M =[abc d]，这里a ，b ，c ，d ∈R ， 则[a b c d ] [11]=3 [11]=[33]，故{a +b =3，c +d =3，①[a b cd ][−12]=[30]，故{−a +2b =3，−c +2d =0，②由①②联立解得{a =1，b =2，c =2，d =1，∴ M =[1 22 1]．23. 解：(1)曲C 的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ， 又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ．所以，曲C 的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0．(2)将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：y =−43(x −2)．令y =0得x =2即M 点的坐标为(2, 0) 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0, 1)半径r =1，则|MC|=√5，∴ |MN|≤|MC|+r =√5+1． 所以|MN|max =√5+1.24. 解：∵ x 2+y 2=2，∴ (x +y)2+(x −y)2=4．∵ ((x +y)2+(x −y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴ 1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x =±√2，y =0，或x =0,y =±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．25. 解：（1）∵ PC ⊥AB ，PC ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴ PC ⊥平面ABC ．在平面ABC 内，过C 作CD ⊥CB ，建立空间直角坐标系C −xyz （如图） 由题意有A(√32，−12，0)，设P(0, 0, z 0)(z 0>0)，则M(0,1,z 0)，AM →=(√32,−12,z 0)，CP →=(0,0,z 0)由直线AM 与直线PC 所成的角为600， 得AM →⋅CP →=|AM →|⋅|CP →|⋅cos600，即z 02=π2√z 02+3⋅z 0，解得z 0=1∴ CM →=(0,0,1)，CA →=(√32,−12,0)， 设平面MAC 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则{y 1+z 1=0√32y 1−12z 1=0，取x 1=1，得n 1→=(1,√3,−√3)，平面ABC 的法向量取为n 2→=(0,0,1)设n 1→与n 2→所成的角为θ，则cosθ=|n 1→|⋅|n 2→|˙=−√3√7．二面角M −AC −B 的平面角为锐角， 故二面角M −AC −B 的余弦值为√217．… （2）M(0, 1, 1)，A(√32，−12，0)，B(0, 2, 0)， ∴ AM →=(−√32,32,1)，MB→=(0,1,−1)．CB →=(0, 2, 0)，设平面MAB 的一个法向量m →=(x 2,y 2,z 2)， 则{−√32x 2+32y 2+z 2=0y 2−z 2=0，取z 2=1，得m →=(5√3,1,1)，则点C 到平面MAB 的距离d =|m →|˙=2√9331．… 26. 解：(1) T 2=C m 1(x 15)m−1(12x )1=C m 1⋅12⋅x m−65， 故m−65=0，m =6，t =C 61⋅12=3． (2)证明：①当n =1时，a 1=3，a 1−3=0，能被4整除． ②假设当n =k 时，a k −3能被4整除，即a k −3=4p ，其中p 是非负整数． 那么当n =k +1时，a k+1=34p+3=(1+2)4p+3=C 4p+30+C 4p+31⋅2+C 4p+32⋅22+⋯+C 4p+34p+324p+3=1+8p +6+4(C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1) =3+8p +4+4(C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1) =3+4(2p +1+C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1) 显然2p +1+C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1是非负整数， a k+1−3能被4整除．由①、②可知，命题对一切n ∈N ∗都成立．。
2014江苏高考数学高三年级三统模拟测试(南京市鼓楼区清江花苑严老师)
2014高三年级三统模拟测试数学Ⅰ卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ． 2. 已知2(,)a ib i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ． 3． 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为400~1，按编号顺序平均分为20个组。
若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组抽取的号码为 ▲ ．4． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ．5．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 的夹角为 ▲ ． 6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是 ▲ ．8、已知cos()4πθ+=(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ．9、直线23+=x y 与圆心为D 的圆()()13122=-+-y x 交于B A ,两点，直线BD AD ,的倾斜角分别为βα,，则()βα+tan = ▲ ． 10．设P 为2412-=x y 图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为 ▲ ．11、已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ▲ ．12．若0,0a b >>，且21a b +=，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲ ． 12.已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．13．设函数()x x x x f 5323+-=，{}n a 为公差不为0的等差数列，若101021=+++a a a ，则()()()1021a f a f a f +++ = ▲ ．1100223Pr int I While I I I S I End While S←<←+←+14. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，且对任意x R ∈恒有(3)(1)201f x f x -+-=，又(4)2013f =，则(2014)f = .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+ ，且sin 2m n A ⋅= ． （1）求sin A 的值；（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值． 16．（本小题满分14分）(2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，M 为A 1B与AB 1的交点，N 为棱B 1C 1的中点，(1)求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；(2)若AC ＝AA 1，求证：MN ⊥平面A 1BC .如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数a（单位：百米）．（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即∠EAF）．18．（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆22221(0)yx a ba b+=>>的右焦点为(1 0)F，,离心率.分别过O,F的两条弦AB,CD相交于点E(异于A,C两点),且OE EF=.(1)求椭圆的方程; (2)求证:直线AC,BD的斜率之和为定值.（第18题）FED CB A（第17题）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 6＝22． （1）求S n ；（2）若从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{a k n }，其中k 1＝1，且 k 1＜k 2＜…＜k n ＜…，k n ∈N *．①当q 取最小值时，求{ k n }的通项公式；②若关于n (n ∈N *)的不等式6S n ＞k n ＋1有解，试求q 的值．20．（本小题满分16分）已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 的极大值为427，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()(),1(),1f x x F xg x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵1237A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， (Ⅰ)求逆矩阵1A -；（Ⅱ）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos()4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面P AB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2P A a =，求异面直线P A 与CD 所成角的余弦 值的大小；（2）若二面角A －PB －CP A 的长度．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．ABCDOP（第22题）。
南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题全解全析
南京市2014届高三年级第三次模拟考试数 学 2014.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2．已知(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝ ▲ ．3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ▲ ．4．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ▲ ．5．执行右边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ ． 7．已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ▲ ．8．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题： ①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m β，则α∥β． 其中所有真命题的序号是 ▲ ．（第5题图）9．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ▲ ．10．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 13＝1，则a 1的值为 ▲ ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲ ．12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →²CN →的取值范围为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为 ． 14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c2的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2ca ．（1）求B ；（2）若cos(C ＋π6)＝13，求sin A 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面P AD ，△P AD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱P A 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AEPE的值； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.PAB CDOE （第16题图）17．(本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A a ＋b t n ，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍； （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ）．（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程； （2）求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．20．(本小题满分16分)已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列． （1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求ba的值；（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2014.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ²EC ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 (k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A (2，0)，B (0，23)（第21题A 图）是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段P A 和BD 上，BN ＝13BD ．（1）若PM ＝13P A ，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度．23．（本小题满分10分）已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，……，集合S k 中所有元素的平均值记为b k ．将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，……，数组T 中所有数的平均值记为m (T )．（1）若S={1，2}，求m (T )；（2）若S ＝{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *，n ≥2），求m (T )．C²²PM ABDN (第22题图)南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学参考答案2014.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. (－2，1) 解析：∵A＝{x|x≤－2，x∈R}，∴∁U A＝{x|x＞－2，x∈R}，(∁U A)∩B ＝{x|－2＜x＜1，x∈R}＝(－2，1) ．2. －7 解析：∵2i＝2i-，∴⎝⎛⎭⎫1＋2i2＝2(12)i-＝－3－4i，∴a＝－3，b＝－4，a＋b＝－7.3. 30 解析：设在乙校应抽取学生人数为x，则800:500＝48:x，解得x＝30.4. 310解析：从这五张牌中随机取2张牌，有(红1，红2)、(红1，红3)、(红1，黑4)、(红1，黑5)、(红2，红3)、(红2，黑4)、(红2，黑5)、(红3，黑4)、(红3，黑5)、(黑4，黑5) 共10种不同的取法，所取2张牌均为红心的有(红1，红2)、(红1，红3)、(红2，红3)共3种可能，所以所取2张牌均为红心的概率为310．5. 11 解析：I＝3时满足S≤200得到S＝3，I＝5；I＝5时满足S≤200得到S＝15，I ＝7；I＝7时满足S≤200得到S＝15³7＝105，I＝9；I＝9时满足S≤200得到S＝105³9＝945，I＝11；I＝11时不满足S≤200，退出循环输出I＝11.6. 52解析：将点M(2，2)坐标代人y 2＝2px 得p ＝1，所以抛物线方程为y 2＝2x ，其准线方程是x ＝－12，点M(2，2)到准线的距离是2－(－12)＝52，所以点M 到抛物线焦点的距离为52.7. 55 解析：∵tan α＝sin cos αα，∴sin cos αα＝－2，sin α＝－2cos α代人2sin α＋2cos α＝1，得25cos α＝1，2cos α＝15.又2παπ<<，∴cos α＝5-.于是sin α＝5，∴cos α＋sin α＝5 8. ② 解析：αβ⊥，m α⊥时，直线m 也可能在β内，所以①是假命题；m ∥α，m ⊥n 时，n ⊂α或n α或n 与α相交，所以③是假命题；m ∥α，m ⊂β时，α与β也可能相交，所以④也是假命题，因此答案是②.9. －22 解析：由题意得g(x)＝sin[3()]34x ππ-+＝3sin(3)4x π-，又233x ππ≤≤时353444x πππ≤-≤，所以x ＝23π时g(x) 取最小值5sin 4π＝－22.10. 1 解析：定义函数a n ＝f （n ），则f （n ）＝f （n-1）-f （n-2），即可得f （n ）＝[f（n-2）-f （n-3）]-f （n-2）＝-f （n-3）＝-（f （n-4）-f （n-5））＝f （n-6），所以函数a n ＝f （n ）是一个周期为6的数列，由递推公式可得S n ＝a n-1+a 2，所以S 13＝a 12+a 2＝a 6+a 2＝-a 3+a 2＝-(a 2-a 1)+a 2＝a 1，所以a 1＝1.11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x ≤32时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x) 2，解得32＜x ＜3；综上x ＜－3或1＜x ＜3.12. ⎣⎡⎦⎤32，2 解析：以CA 、CB 所在直线为x 、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设M(x,y)，则x ＋y ＝2，y ＝2－x ，即M(x, 2－x)，又MN ＝2，所以点N 坐标为(x ＋1，2－x －1)，即N(x ＋1，1－x)，于是CM CN ⋅＝x(x ＋1)＋(2－x) (1－x)＝2x 2－2x ＋2＝2132()22x -+(0≤x ≤1)，所以x ＝12时CM CN ⋅取最小值32，x ＝0或1时CM CN ⋅取最大值2，因此CM CN ⋅的取值范围为⎣⎡⎦⎤32，2.13. (x －1)2＋y 2＝1 解析：∵当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°，∴圆M 与圆C 一定是同心圆，∴可设圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2.当点P 坐标是(3，0)时，设直线AB 与x 轴的交点为H ，则MH ＋HP ＝2，MH ＝12r ，AB ＝2，所以12r ＋2＝2，解得r ＝1，所以所求圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1．14. 22－2 解析：不等式f(x)≥f ′(x)即ax 2＋bx ＋c ≥2ax ＋b ，所以对任意x ∈R ，不等式ax 2＋(b －2a)x ＋(c －b)≥0(a ≠0)恒成立，所以20(2)4()0a b a a c b >⎧⎨∆=---≤⎩，22044a b ac a >⎧⎨≤-⎩，222b a c +≤22244ac aa c -+＝2441()c a c a-+，令1c t a -=，则由22440ac a b -≥≥以及0a >知1c a≥，所以0t ≥等号仅当a c =且0b =时成立. 又2441()c a c a-+＝241(1)tt ++＝2422t t t ++，当0t =时2422t t t ++＝0，当0t >时2422tt t ++＝422t t ++＝22－2，所以当t2422t t t ++取最大值22－2，因此当2244b ac a =-且1c a -=222b ac +取最大值22－2.二、解答题：15．(本小题满分14分)解：(1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理，得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin Csin A ，………………………………………2分所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin C sin A ，即sin(A ＋B )cos B sin A ＝2sin C sin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A ．因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B＝12． ………………………………………5分 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3． ………………………………………7分（2）因为0＜C ＜2π3，所以π6＜C ＋π6＜5π6．因为cos(C＋π6)＝13，所以sin(C＋π6)＝223． ………………………………………10分 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(C ＋π3)＝sin[(C ＋π6)＋π6] ………………………………………12分＝sin(C ＋π6)cos π6＋cos(C ＋π6)sin π6＝26＋16． ………………………………………14分 16．(本小题满分14分)证 （1）因为OE ∥平面PBC ，OE ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，所以OE ∥PC ，所以AO∶OC＝AE∶EP ． ………………………………………3分因为DC //AB ，DC ＝2AB ，所以AO ∶OC ＝AB ∶DC ＝1∶2. 所以AEPE＝12． ………………………………………6分 （2）法一：取PC 的中点F ，连结FB ，FD ． 因为△P AD 是正三角形，DA ＝DC ，所以DP ＝DC ．因为F 为PC 的中点，所以DF ⊥PC . ………………………………………8分因为AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，AB ⊥PD ． 因为DC //AB ，所以DC ⊥DP ，DC ⊥DA ．设AB ＝a ，在等腰直角三角形PCD 中，DF ＝PF ＝2a ．在Rt △P AB 中，PB ＝5a ．在直角梯形ABCD 中，BD ＝BC ＝5a ．因为BC ＝PB ＝5a ，点F 为PC 的中点，所以PC ⊥FB ．在Rt △PFB 中，FB ＝3a ．在△FDB 中，由DF ＝2a ，FB ＝3a ，BD ＝5a ，可知DF 2＋FB 2＝BD 2，所以FB ⊥DF ．………………………………………12分由DF ⊥PC ，DF ⊥FB ，PC ∩FB ＝F ，PC 、FB ⊂平面PBC ，所以DF ⊥平面PBC ． 又DF ⊂平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PDC ． ………………………………………14分法二：取PD ，PC 的中点，分别为M ，F ，连结AM ，FB ，MF ， 所以MF ∥DC ，MF ＝12DC ．因为DC //AB ，AB ＝12DC ，所以MF ∥AB ，MF ＝AB ，即四边形ABFM 为平行四边形，所以AM ∥BF ． ………………………………………8分在正三角形P AD 中，M 为PD 中点，所以AM ⊥PD ． 因为AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥AM ． 又因为DC //AB ，所以DC ⊥AM ． 因为BF //AM ，所以BF ⊥PD ，BF ⊥CD ．又因为PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BF ⊥平面PCD ．……………………………12分因为BF ⊂平面PBC，所以平面PBC ⊥平面PDC . ………………………………………14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A ．所以⎩⎪⎨⎪⎧9Aa ＋b ＝A ，9Aa ＋14b ＝3A ，解得a ＝1，b ＝8． ………………………………………4分 所以f (n )＝9A1＋8³tn ，其中t ＝2-23． 令f (n )＝8A ，得9A 1＋8³tn ＝8A ，解得t n ＝164， 即2-2n 3＝164，所以n ＝9．所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍． ………………………………………6分 （2）由（1）知f (n )＝9A1＋8³t n．第n 年的增长高度为△＝f (n )－f (n －1)＝9A1＋8³t n－9A1＋8³t n －1． ……………………………9分所以△＝72At n －1(1－t )(1＋8t n )(1＋8t n －1)＝72At n －1(1－t )1＋8t n －1(t ＋1)＋64t 2n －1＝72A (1－t )1t n－1＋64t n＋8(t ＋1) (12)分≤72A (1－t )264t n³1tn －1＋8(t ＋1)＝72A (1－t ) 8(1＋t )2＝9A (1－t )1＋t ． 当且仅当64t n＝1tn －1，即2-2(2n -1)3＝164时取等号，此时n ＝5．所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． ………………………………………14分 18．(本小题满分16分)解：（1）由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4．所以椭圆方程为：x 24＋3y 24＝1． ………………………………………3分 （2）设l 1方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0． 因为P 为（－1，1），解得M （－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2）．………………………………………5分当k ≠0时，用－1k代替k，得N（k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3）． ………………………………………7分将k ＝－1代入，得M （－2，0），N （1，1）． 因为P （－1，－1），所以PM ＝2，PN ＝22， 所以△PMN的面积为12³2³22＝2． ………………………………………9分（3）解法一：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 12＋3y 12＝4，x 22＋3y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0，从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0．…………………12分若x 1＋x 2＝0，则N (－x １，－y １)．因为PM ⊥PN ，所以PM →²PN →＝0，得x 12＋y 12＝2．又因为x 12＋3y 12＝4，所以解得x 1＝±1，所以M (－1，1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1， 1)． 所以直线MN 的方程为y ＝－x ． ………………………………………14分 若x 1－x 2＝0，则N （x 1，－y 1）， 因为PM ⊥PN ，所以PM →²PN →＝0，得y 12＝(x 1＋1)2＋1． 又因为x 12＋3y 12＝4，所以解得x 1＝－12或－1，经检验：x ＝－12满足条件，x ＝－1不满足条件．综上，直线MN的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12． ………………………………………16分 解法二：由（2）知，当k ≠0时，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以3k 2＋2k －11＋3k 2＝－－k 2－2k ＋3k 2＋3，化简得4k(k 2－4k－1)＝，解得k＝2±5． ………………………………………12分若k ＝2＋5，则M （－12，52），N （－12，－52），此时直线MN 的方程为x ＝－12．若k ＝2－5，则M （－12，－52），N （－12，52），此时直线MN 的方程为x ＝－12．…………14分当k ＝0时，M （1，－1），N （－1，1），满足题意，此时直线MN 的方程为x ＋y ＝0．综上，直线MN的方程为x ＝－12或x ＋y ＝0． ………………………………………16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为点P (1，－1)在曲线y ＝f (x )上，所以－m ＝－1，解得m ＝1． 因为f ′(x )＝1x－1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y ＝－1．…………………………………3分 （2）因为f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x．①当m ≤0时， x ∈(1，e)， f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，e )上单调递增，则f (x ) max＝f (e )＝1－me ．②当1m ≥e ，即0＜m ≤1e 时，x ∈(1，e)，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，e )上单调递增，则f (x )max ＝f(e )＝1－me ． ………………………………………5分③当1＜1m ＜e ，即1e ＜m ＜1时，函数f (x )在 (1，1m )上单调递增，在(1m ，e )上单调递减，则f(x )max＝f (1m)＝－ln m －1． ………………………………………7分④当1m ≤1，即m ≥1时，x ∈(1，e)， f ′(x )＜0，函数f (x )在(1，e )上单调递减，则f (x ) max＝f (1)＝－m ．………………………………………9分综上，①当m ≤1e时，f (x )max ＝1－me ；②当1e ＜m ＜1时，f (x )max ＝－ln m －1；③当m≥1时，f(x )max＝－m ． ………………………………………10分（3）不妨设x 1＞x 2＞0．因为f (x 1)＝f (x 2)＝0，所以ln x 1－mx 1＝0，ln x 2－mx 2＝0， 可得ln x 1＋ln x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝m (x 1－x 2)．要证明x 1x 2＞e 2，即证明ln x 1＋ln x 2＞2，也就是m (x 1＋x 2)＞2．因为m ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以即证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)x 1＋x 2．………………………………………12分令x 1x 2＝t ，则t ＞1，于是ln t ＞2(t －1)t ＋1． 令ϕ(t )＝ln t －2(t －1)t ＋1（t ＞1），则ϕ ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0．故函数ϕ(t )在（1，＋∞）上是增函数，所以ϕ(t )＞ϕ(1)＝0，即ln t ＞2(t －1)t ＋1成立．所以原不等式成立． ………………………………………16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝b －a6，q ＝6b a ． a 3＝a＋3d＝a ＋b 2，b 3＝aq 3＝ab ． ………………………………………2分因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得ba＝4或14． ………………………………………4分 （2）因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1m ＋1a ×n ．因为λa ＝a ×qm ＋1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λnm ＋1．因为a n －5＝b n ，所以a ＋(λ－1)(n －5)m ＋1×a ＝a ×λnm ＋1．因为a ＞0，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1＝λn m ＋1（*）． ………………………………………6分因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1为有理数．要使（*）成立，则λn m ＋1必须为有理数．因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1． 若λ＝2，则λn m ＋1为无理数，不满足条件． 同理，λ＝3不满足条件． ………………………………………8分当λ＝4时，4n m ＋1＝22n m ＋1．要使22n m ＋1为有理数，则2nm ＋1必须为整数．又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件． 所以1＋3(n －5)m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29．综上，λ最小值为4，此时m 为29． ………………………………………10分(3)证法一：设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和． 先证：若{c n }为递增数列，则{S nn }为递增数列．证明：当n ∈N *时，S n n ＜nb n ＋1n＝b n ＋1．因为S n ＋1＝S n ＋b n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列{S nn }为递增数列．同理可证，若{c n }为递减数列，则{S nn}为递减数列． ………………………………………12分①当b ＞a 时，q ＞1．当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S nn ．即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＞aq (q n －1)q －1n ，即aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n ．因为b ＝aq m ＋1，b n ＝aq n ，d ＝b －a m ＋1，所以d ＞b n －an ，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n ．②当b ＜a 时，0＜q ＜1，当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S nn ．即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＜aq (q n －1)q －1n ．因为0＜q ＜1，所以aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －an ．以下同①．综上，a n＞b n (n ∈N *，n ≤m )． ………………………………………16分证法二：设等差数列a ，a 1，a 2，…，a m ，b 的公差为d ，等比数列a ，b 1，b 2，…，b m ，b 的公比为q ，b ＝λa (λ＞0，λ≠1)．由题意，得d ＝λ－1m ＋1a ，q ＝aλ1m ＋1，所以a n ＝a ＋nd ＝a ＋λ－1m ＋1an ，b n ＝a λnm ＋1．要证a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )， 只要证1＋λ－1m ＋1n －λn m ＋1＞0(λ＞0，λ≠1，n ∈N *，n ≤m )．………………………………………12分构造函数f (x )＝1＋λ－1m ＋1x －λxm ＋1(λ＞0，λ≠1，0＜x ＜m ＋1)，则f′(x )＝λ－1m ＋1－1m ＋1λxm ＋1ln λ．令f′(x )＝0，解得x 0＝(m ＋1)log λλ－1ln λ．以下证明0＜log λλ－1ln λ＜1．不妨设λ＞1，即证明1＜λ－1ln λ＜λ，即证明ln λ－λ＋1＜0，λln λ－λ＋1＞0．设g (λ)＝ln λ－λ＋1，h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)，则g′(λ)＝1λ－1＜0，h′(λ)＝ln λ＞0，所以函数g (λ)＝ln λ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)为增函数． 所以g (λ)＜g (1)＝0，h (λ)＞h (1)＝0． 所以1＜λ－1ln λ＜λ，从而0＜log λλ－1ln λ＜1，所以0＜x 0＜m ＋1．………………………………………14分因为在(0，x 0)上f′(x )＞0，函数f (x )在(0，x 0)上是增函数；因为在(x 0，m ＋1)上f′(x )＜0，函数f (x )在(x 0，m ＋1)上是减函数． 所以f (x )＞min{f (0)，f (m ＋1)}＝0． 所以a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． 同理，当0＜λ＜1时，a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． ………………………………………16分南京市2014届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 证：因为AE为圆O的切线，所以∠ABD＝∠CAE ． ………………………………………2分 因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC ＝∠ACD ， 所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD ∽△EAC ． ………………………………………6分 所以ADBD＝EC CA，即AD ²CA＝BD ²EC ． ………………………………………8分 因为△ACD 为等边三角形，所以AD ＝AC ＝CD ， 所以CD 2＝BD ²EC . ………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换 解：设特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ k －1对应的特征值为λ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 ⎣⎡⎦⎤ k －1＝λ⎣⎡⎦⎤ k －1，即⎩⎨⎧ak －k ＝λk ， λ＝1. 因为k≠，所以a＝2． ………………………………………5分因为A －1⎣⎡⎦⎤31＝⎣⎡⎦⎤11，所以A ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤31，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1 ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤31， 所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． ………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：设M (2cos θ，23sin θ)，θ∈(0，π2)．由题知OA ＝2，OB ＝23， ………………………………………2分所以四边形OAMB 的面积S ＝12³OA ³23sin θ＋12³OB ³2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin(θ＋π4)． ………………………………………8分 所以当θ＝π4时，四边形OAMB的面积的最大值为26． ………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[a 2＋(2b )2＋(3c )2][12＋(12)2＋(13)2]≥(a ＋b ＋c )2．……………………………8分因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以(a ＋b ＋c )2≤11， 所以－11≤a ＋b ＋c ≤11． 所以a ＋b ＋c的最大值为11，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝61111． ………………………………10分 22．（本小题满分10分）证明：连接AC ，BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因为P A ＝AB ＝2，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，－1，0)，P (0，0，1)． （1）由BN →＝13BD →，得N (0，13，0)，由PM →＝13PA →，得M (13，0，23)，所以MN →＝(－13，13，－23)，AD →＝(－1，－1，0)．因为MN →²AD →＝0．所以MN ⊥AD ． ………………………………………4分 （2）因为M 在P A 上，可设PM →＝λPA →，得M (λ，0，1－λ)． 所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →＝(0，－2，0)． 设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ²BD →＝0，n ²BM →＝0，得⎩⎨⎧－2y ＝0，λx －y ＋(1－λ)z ＝0，其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n ＝(λ－1，0，λ)．………………………………8分因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0，0，1)，所以cos π4＝|n ²OP →|n ||OP →||，即22＝λ(λ－1)2＋λ2，解得λ＝12， 从而M (12，0，12)，N (0，13，0)，所以MN＝(12－0)2＋(0－13)2＋(12－0)2＝226． ………………………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）S ＝{1,2}的所有非空子集为：{1}，{2}，{1,2}，所以数组T 为：1，2，32．因此m (T )＝1＋2＋323＝32． ………………………………………3分（2）因为S ＝{a 1,a 2,…, a n }，n ∈N *，n ≥2，所以m (T )＝∑i ＝1na i ＋(12C 1n －1)∑i ＝1n a i ＋(13C 2n －1)∑i ＝1n a i ＋…＋(1n C n －1n －1)∑i ＝1n a i C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn＝1＋12C 1n －1＋13C 2n －1＋ (1)C n －1n －1C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn ∑i ＝1n a i ． ………………………………………6分 又因为1kC k －1n －1＝1k ²(n －1)!(k －1) ! (n －k ) !＝(n －1)!k ! (n －k ) !＝1n ²n !(n －k ) ! k !＝1n C kn ，……………………………8分所以m (T )＝1n C 1n ＋1n C 2n ＋1n C 3n ＋…＋1n C n n C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn ∑i ＝1n a i ＝1n ∑i ＝1na i ．………………………………………10分。
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2014年江苏省南京市鼓楼区清江花苑高考数学模拟试卷（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共56.0分)1.设全集U=R，集合A={x∈R|x2-2x＜0}，B={y|y=e x+1，x∈R}，则A∩B= ．【答案】[1，2)【解析】试题分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．由A中的不等式变形得：x(x-2)＜0，解得：0＜x＜2，即A=(0，2)，由B中y=e x+1≥1，得到B=[1，+∞)，则A∩B=[1，2)．故答案为：[1，2)2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．【答案】二【解析】试题分析：由图得到复数z1，z2，然后利用复数的除法运算把复数化简为a+bi(a，b∈R)的形式，则答案可求．由图可知z1=-2-i，z2=i，则=．该复数对应的点为(-1，2)，该点位于第二象限．故答案为二．3.已知平面区域D={(x，y)|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y=kx(k∈R)下方的概率为．【答案】【解析】试题分析：欲求直线y=kx(k∈R)下方的概率，则可建立关于x，y的直角坐标系，画出平面区域，再根据几何概型概率公式结合图形的对称性易求解．由题设知：区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知：直线y=kx将其面积平分，如图示，故所求概率为故答案为：．4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【答案】12【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出这个几何体是一个六棱柱，根据已知中正视图中及俯视图中所标识的数据，我们可以确定出棱柱的高，并根据割补法可求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案．由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱由俯视图可得棱柱的高h=2，由割被法，可得棱柱的底面面积S=2•3=6故棱柱的体积V=2•6=12故答案为：125.定义某种运算⊗，a⊗b的运算原理如右图所示．设f(x)=(0⊗x)x-(2⊗x)．则f(2)= ；f(x)在区间[-2，2]上的最小值为．【答案】-2;-6【解析】试题分析：通过程序框图判断出S=a⊗b的解析式，再求出f(x)的解析式，从而求出f(2)的值；最后根据所求出f(x)的解析式结合图象求解f(x)在区间[-2，2]上的最小值即可．∵由流程图可知，运算S=a⊗b中S的值等于分段函数的函数值，∴f(2)=(0⊗2)2-(2⊗2)=0×2-2=-2．且f(x)=(0⊗x)x-(2⊗x)=，画出它的图象，如图所示，由图可知，当x=-2时，f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-6．故答案为：-2；-6．6.设a，b为正实数，现有下列命题：①若|-|=1，则|a-b|＜1；②若-=1，则a-b＜1；③若a2-b2=1，则a-b＜1；④若|a3-b3|=1，则|a-b|＜1．其中的真命题的个数为．【答案】2【解析】试题分析：①取a=4，b=1满足条件|-|=1，即可判断出；②取a=3，b=满足条件-=1，即可判断出；③由已知可得0＜a-b＜a+b，可得a-b=＜1；④由已知不妨设a＞b＞0，可得a2+ab+b2＞a2-2ab+b2＞0，进而得到a3-b3＞(a-b)3＞0，即可判断出．①若|-|=1，取a=4，b=1满足条件，而|a-b|=3＞1，因此①不正确；②若-=1，取a=3，b=满足条件，则a-b＞1，因此不正确；③∵a2-b2=1，∴(a-b)(a+b)=1，∵a＞0，b＞0，∴0＜a-b＜a+b，∴a-b=＜1，因此正确；④∵|a3-b3|=1，a＞0，b＞0，∴a≠b，不妨设a＞b＞0．∴a2+ab+b2＞a2-2ab+b2＞0，∴(a-b)(a2+ab+b2)＞(a-b)(a-b)2即a3-b3＞(a-b)3＞0．∴1=|a3-b3|＞(a-b)3＞0，∴0＜a-b＜1，即|a-b|＜1．因此正确．综上可知：只有③④正确．故答案为：2．7.“cosα=”是“cos2α=”的．(填‘充分而不必要条件’，‘必要而不充分条件’，‘充要条件’‘既不充分也不必要条’)【答案】充分不必要条件【解析】试题分析：根据余弦函数的倍角公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．故答案为：充分不必要条件．8.已知sinα=+cosα，且α∈(0，)，则的值为．【答案】-【解析】试题分析：由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．由sinα=+cosα，得到sinα-cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈(0，)，联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α-sin2α=-，sin(α-)=(sinα-cosα)=，则==-．故答案为：-9.若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则实数a的取值范围是．【答案】(-∞，2)【解析】试题分析：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则f(x)不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．由题意得，即在定义域内，f(x)不是单调的．分情况讨论：(1)若x≤1时，f(x)=-x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2(2)x≤1时，f(x)是单调的，此时a≥2，f(x)为单调递增．最大值为f(1)=a-1故当x＞1时，f(x)=ax-1为单调递增，最小值为f(1)=a-1，因此f(x)在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是(-∞，2)故答案为：(-∞，2)10.四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为．【答案】【解析】试题分析：由题意四棱锥P-ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长顶点球的直径，求出球的体积．四棱锥P-ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以R==1，所以球的体积为：．故答案为：．11.在△ABC中，已知，sin B=cos A•sin C，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为．【答案】3【解析】试题分析：由条件求得bccos A=9，bcsin A=6，tan A=，可得c=5，b=3，a=4，以AC 所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)．设=，=，则=(x，y)，可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，利用基本不等式求解最大值．△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，∵sin B=cos A•sin C，sin(A+C)=sin C cosn A，即sin A cos C+sin C cos A=sin C cos A．∴sin A cos C=0，∵sin A≠0，∴cos C=0，C=90°．∵=9，S△ABC=6，∴bccos A=9，bcsin A=6，∴tan A=．根据直角三角形可得sin A=，cos A=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4．以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)．P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=λ+(1-λ)=(3λ，4-4λ)(0≤λ≤1)．设=，=，则||=||=1，且=(1，0)，=(0，1)．∴=(x，0)+(0，y)=(x，y)，可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，12=4x+3y≥2，解得xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故答案为3．12.定义在R上的函数f(x)的图象过点M(-6，2)和N(2，-6)，且对任意正实数k，有f(x+k)＜f(x)成立，则当不等式|f(x-t)+2|＜4的解集为(-4，4)时，实数t的值为．【答案】2【解析】试题分析：根据对任意正实数k，有f(x+k)＜f(x)成立，判断函数单调性，是R上的单调递减函数，根据绝对值不等式的解法解不等式|f(x-t)+2|＜4，利用函数的单调性即可求得实数t的值．∵对任意正实数k，有f(x+k)＜f(x)成立，∴函数f(x)在R上单调递减，∵f(-6)=2，f(2)=-6，|f(x-t)+2|＜4，∴-6＜f(x-t)＜2，即f(2)＜f(x-t)＜f(-6)，∴-6＜x-t＜2，即t-6＜x＜2+t，∵不等式|f(x-t)+2|＜4的解集为(-4，4)∴t=2．故答案为2．13.平面四边形ABCD中，AB=，AD=DC=CB=1，△ABD和△BCD的面积分别为S，T，则S2+T2的最大值是．【答案】【解析】试题分析：先利用余弦定理求出cos A和cos C的关系，再用含角A，C的面积公式求出S2+T2，进而转化为cos A的二次函数，即可求出最大值．由题意，∵∴∴S2+T2====∴时，S2+T2的最大值是故答案为：14.在直角坐标系x O y中，点P(x P，y P)和点Q(x Q，y Q)满足按此规则由点P 得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若=m，∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则y=msin(x+θ)的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为．【答案】(，)【解析】试题分析：先利用两点间的距离公式及已知的点变换公式，计算m的值，再利用向量夹角公式和点变换公式计算∠POQ=θ的值，最后利用三角函数的图象和性质，得函数的最高点坐标即可依题意，()2==m2∵∴=m2∴=m2∴m2=2，即m=∵∠POQ=θ，∴cosθ=====∵θ=∴函数y=msin(x+θ)即为y=sin(x+)∴此函数在y轴右边第一个最高点的坐标为(，)故答案为(，)二、解答题(本大题共12小题，共94.0分)15.已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD=16，AB=8，BB1=8，E，F分别是线段A1A，BC上的点．(1)若A1E=5，BF=10，求证：BE∥平面A1FD．(2)若BD⊥A1F，求三棱锥A1AB1F的体积．【答案】证明：(1)过E作EG∥AD交A1D于G，连接GF．∵=，∴=，∴EG=10=BF．∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．∴四边形BFGE是平行四边形．∴BE∥FG．又FG⊂平面A1FD，BE⊄平面A1FD，∴BE∥平面A1FD．(2)∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F=A1，∴BD⊥平面A1AF．∴BD⊥AF．∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，∴在R t△BAD中，tan∠ABD==2．在R t△ABF中，tan∠BAF==．∵BD⊥AF，∴∠ABD+∠BAF=，∴=，BF=4．∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，∴平面AA1B1B⊥平面ABCD，又平面ABCD∩平面AA1B1B=AB，∠ABF=90°，∴FB⊥平面AA1B1B，即BF为三棱锥FA1B1A的高．∵∠AA1B1=90°，AA1=BB1=8，A1B1=AB=8，∴S△AA1B1=32．∴V三棱锥A1AB1F=V三棱锥FA1B1A=×S△AA1B1×BF=．【解析】(1)欲证BE∥平面A1FD，只需证平面A1FD外一直线与平面A1FD内一直线平行，过E 作EG∥AD交A1D于G，连接GF，根据比例关系可证得四边形BFGE是平行四边形，则BE∥FG，又FG⊂平面A1FD，BE⊄平面A1FD，满足定理所需条件；(2)先证明FB⊥平面AA1B1B，从而BF为三棱锥FA1B1A的高，然后根据V三棱锥A1AB1F=V=×S△AA1B1×BF进行求解即可．三棱锥FA1B1A16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若=-，b=，求a+c的值；(2)求2sin A-sin C的取值范围．【答案】解：(1)∵A，B，C成等差数列，∴B=．∵•=-，∴accos(π-B)=-，∴ac=，即ac=3．∵b=，b2=a2+c2-2accos B，∴a2+c2-ac=3，即(a+c)2-3ac=3．∴(a+c)2=12，所以a+c=2．(2)2sin A-sin C=2sin(-C)-sin C=2(cos C+sin C)-sin C=cos C．∵0＜C＜，∴cos C∈(-，)．∴2sin A-sin C的取值范围是(-，)．【解析】(1)通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．(2)通过两角和公式对2sin A-sin C，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sin A-sin C 的取值范围．17.如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=．点M，N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A′MN，使顶点A′落在边BC上(A′点和B点不重合)．设∠AMN=θ．(1)用θ表示∠BA′M和线段AM的长度，并写出θ的取值范围；(2)求线段AN长度的最小值．【答案】解：(1)易知△AMN≌△A′MN，∴∠A′MA=2θ，则∠A′MB=180°-2θ，∠BA′M=90°-(180°-2θ)=2θ-90°，设MA=MA′=x，则MB=1-x，在R t△MBA′中，sin(2θ-90°)=-cos2θ=，∴MA=x==，∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，∴45°＜θ＜90°；(2)∵∠B=90°，AB=1，BC=，∴根据勾股定理得：AC=2，∴∠BAC=60°，在△AMN中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=180°-60°-θ=120°-θ，又MA=，∴根据正弦定理得：=，可得：AN==，令t=2sinθsin(120°-θ)=2sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=+sin2θ-cos2θ=+sin(2θ-30°)，∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°，当且仅当2θ-30°=90°，θ=60°时，t有最大值，则θ=60°时，AN有最小值．【解析】(1)由折叠可知△AMN≌△A′MN，可得对应角相等，∠AMN=θ，可得出∠A′MA=2θ，在直角三角形A′MB，根据直角三角形的两锐角互余，即可表示∠BA′M，设MA=MA′=x，由AB=1，利用AB-AM表示出MB为1-x，R t△MBA′中，根据锐角三角函数定义用x表示出sin(2θ-90°)，求出x，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，即可表示出MA，同时由点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，可得出θ的取值范围；(2)在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，可得出AC=2AB，即∠ACB为30°，得出∠BAC为60°，在三角形AMN中，∠AMN=θ，利用三角形内角和定理表示出∠ANM，再由AM的长，利用正弦定理列出关系式，化简可得出AN=，设t=2sinθsin(120°-θ)，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，去括号后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由θ的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域，可得出t的最大值，进而确定出AN的最小值．18.已知函数(1)求函数f(x)的对称轴方程；(2)当时，若函数g(x)=f(x)+m有零点，求m的范围；(3)若，，求sin(2x0)的值．【答案】解：(1)∵f(x)=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+)+2令2x+可得：，∴对称轴方程为：，．(2)∵2x+∴∴∵函数g(x)=f(x)+m有零点，即f(x)=-m有解．即-m，m．(3)即2sin(+2=即sin(=∵∴又∵，∴∴∴===【解析】利用辅助角公式可得f(x)=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+)+2(1)令2x+可得对称轴方程为：(2)由可得2x+，从而可得∴而函数g(x)=f(x)+m有零点，即f(x)=-m有解，可转化为y=f(x)与y=-m有交点，结合图象可得-m，m(3)由已知可得，结合可求，而利用两角差的正弦公式可求19.设数列{b n}满足：，b n+1=b n2+b n，(1)求证：；(2)若T n=++…+，对任意的正整数n，3T n-log2m-5＞0恒成立．求m的取值范围．【答案】解：(1)∵，b n+1=b n2+b n=b n(b n+1)，∴对任意正整数n＞0，有即：．(2)T n=()+()+…+()==2-．∵b n+1-b n=b n2＞0，∴bn+1＞bn，∴数列{b n}是单调递增数列．∴数列{T n}关于n递增．∴T n≥T1．∵，∴∴∴∵3T n-log2m-5＞0恒成立，∴log2m＜3T n-5恒成立，∴log2m＜-3∴．【解析】(1))要证明，只要能证b n+1=b n(b n+1)，而由已知：b n+1=b n2+b n，推导即可(2)由(1)可求得，结合数列的特点考虑利用裂项求和，从而可得数列{b n}是单调递增数列，最后将恒成立问题转化为最值问题求解即可20.设x1，x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)的两个极值点．(Ⅰ)若x1=-1，x2=2，求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若求的最大值；(Ⅲ)设函数g(x)=f(x)-a(x-x1)，x∈(x1，x2)，当x2=a时，求证：．【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)，∴f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，依题意有，(a＞0)解得a=6，b=-9，∴f(x)=6x3-9x2-36x．(Ⅱ)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，依题意，x1，x2是方程f′(x)=0的两个根，且，∴，∴，∴b2=3a2(6-a)，∵b2≥0，∴0＜a≤6，设p(a)=3a2(6-a)，则p′(a)=-9a2+36a，由p′(a)＞0，得0＜a＜4，由p′(a)＜0，得a＞4，即：函数p(a)在区间(0，4]上是增函数，在[4，6]上是减函数．∴当a=4时，p(a)有极大值为96，∴p(a)在(0，6]上的最大值是96.∴b的最大值是4．(Ⅲ)证明：∵x1，x2是方程f′(x)=0的两根，∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，∵，x2=a，∴，∴|g(x)|=|3a(x+)[3(x-a)-1]，∵x1＜x＜x2，即，∴，∴=-3a++≤=，∴|g(x)|≤成立．【解析】(Ⅰ)由f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)，知f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，由′，(a＞0)，能求出函数f(x)的解析式．′(Ⅱ)由f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，依题意，x1，x2是方程f′(x)=0的两个根，且，所以，由此能求出b的最大值．(Ⅲ)由x1，x2是方程f′(x)=0的两根，知f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，由，x2=a，知，故|g(x)|=|3a(x+)[3(x-a)-1]，由此能够证明|g(x)|≤．21.如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD．【答案】证明：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP//BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP．又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD．【解析】(1)要证明l是⊙O的切线，可利用切线的判定定理，由于P点已经在圆上，故我们可以证明l与过P点的半径垂直，即可得到结论；(2)要想得到PB平分∠ABD，即证∠DBP=∠ABP，观察到已知中及(1)的结论中有多个垂直关系，又由AB为直径也可得到∠APB=90°，故可以结合弦切角定理，利用等量代换的思想解决问题．22.已知，点A在变换T：′′作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点、B．若点B的坐标为(-3，4)，求点A的坐标．【答案】解：根据题意知，在变换T：′′作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：=，设A(a，b)，则由=，得，∴，即A(-2，3)．【解析】先根据旋转变换写出旋转变换矩阵，从而得出在变换T：′′作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵．再设A(a，b)，求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标．23.求曲线C1：被直线l：y=x-所截得的线段长．【答案】解：由曲线C1：可得t=，∴x=，化简可得(x-1)2+y2=1表示以(1，0)为圆心，以r=1为半径的圆．圆心到直线y=x-的距离为d==，故圆被直线解得的弦长为2=．【解析】把曲线的参数方程化为普通方程可得曲线表示以(1，0)为圆心，以r=1为半径的圆．求出圆心到直线y=x-的距离d，再由圆被直线解得的弦长为2求得结果．24.已知a、b、c是正实数，求证：++≥+．【答案】解：∵()2+()2+()2≥0即2•(++)-2•(++)≥0即2•(++)≥2•(++)∴++≥++．【解析】由实数平方的非负性可得()2+()2+()2≥0，利用不等式的性质，将其展开后，进行变形，即可证得结论．25.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小；(Ⅱ)求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．【答案】解：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则，O(0，0，2)，M(0，0，1)(Ⅰ)设AB与MD所成的角为θ，∵，∴，∴AB与MD所成角的大小为(Ⅱ)∵，∴设平面OCD的法向量为，则，即，取，解得．易知平面OAB的一个法向量为．由图形知，平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值为【解析】(Ⅰ)作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，求出与，然后利用向量的夹角公式求出所求即可；(Ⅱ)先求平面OCD的法向量与平面OAB的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．26.已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0＜p＜1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n(n大于1)个元件可按如图所示的两种连接方式分别构成两个系统甲、乙．(1)试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1，p2；(2)比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．【答案】解：(1)由图知，甲系统中每个通路能正常工作的概率为p n，故整个系统能正常工作的概率是p1=1-(1-p n)2=p n(2-p n)，乙系统每个小并联电路能正常工作的概率是p(2-p)，故整个系统能正常工作的概率是p2=p n(2-p)n．(2)由于p2-p1=p n[(2-p)n-(2-p n)]，故比较p1与p2的大小可通过比较[(2-p)n-(2-p n)]符号，当n=2时，有(2-p)2-(2-p2)=2(1-p)2＞0(0＜p＜1)．故有n=2时，(2-p)2＞2-p2，假设n=k时，有(2-p)k＞2-p k，当n=k+1时，(2-p)k+1-(2-p k+1)=(2-p)(2-p)k-(2-p k+1)=2(1-p)(2-p k)由于0＜p＜1，可得2(1-p)(2-p k)＞0，故有n=k+1时，(2-p)k+1＞(2-p k+1)，综上证得p2＞p1，由此结论知，在所用的电子器件数目一样的情况下，乙系统工作情况比甲系统更稳定，出现不正常工作的可能小，较可靠．【解析】(1)由题意及图知，甲系统是先串联再并联，可先求出每个串联的电路正常工作的概率再求整个系统能正常工作的概率，乙系统是先并联再串联，同理可求出整个系统能正常工作的概率；(2)由(1)的结果，对两个系统正常工作的概率进行比较即可，由于两个系统的概率与自然数n有关，可用数学归纳法证明。