【新步步高】2016版苏教版数学(文)大一轮复习精品课件：45分钟阶段测试(四)
《新步步高》高考语文(人教)大一轮复习讲义课件：古代诗文阅读 第一章 文言文阅读 限时综合练(一)
官军未到，结果刘东旸、许朝他们都被叛贼杀死了。 D.魏学曾任事勤劳。灌城招降的计策，本来就是魏学曾先提出 的建议。
等到宣报大捷之后，多数官员说魏学曾无罪。但是皇帝没有 听从，魏
学曾最终还是在家乡死去。
解析答案
第9章 扩声系统调音
12345678
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学曾任事劳勚。灌城招降之策，本其所建。及宣捷，尚书 星以下多白学曾无罪。如松言：“学曾被逮时，三军雨泣。” 梦熊亦推功学曾。帝不听，居家数年卒。
(摘编自《明史》)
第9章 扩声系统调音
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1.下列对文中画波浪线部分的断句，正确的一项C 是( )(3分)
A.八月/河决堤/坏城/外水深八九尺/东西城崩百余丈/贼益惧/
调榆林兵。六月复攻城，连战不下。
初，学曾欲招东旸、朝，令杀拜父子赎罪。东旸射书城外，
约内应，夜半举火。外兵不至，贼杀其党五十人。七月，学曾
与梦熊、国桢定计，决黄河大坝水灌之，水抵城下。八月河决
堤坏城外水深八九尺东西城崩百余丈贼益惧求款未决会学曾得
罪罢。朝命以梦熊代，梦熊遂成功。
第9章 扩声系统调音
4.把文中画横线的句子翻译成现代汉语。(10分) (1)居正殁逾年，起南京户部右侍郎，寻以南京户部尚书致仕。 (5分) 答案 张居正死了一年多后，(魏学曾)被起用为南京户部右 侍郎，不久从南京户部尚书任上退休。 (2)会官军粮尽，乃引次花马池，学曾日夜趣刍饷，调榆林兵。 (5分) 答案 正好官军粮食吃完了，于是退兵驻扎花马池，魏学曾 日夜催促办理粮草，调动榆林的部队。
第9章 扩声系统调音
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万历十九年春，阁臣王锡爵荐学曾。起兵部尚书，总督陕
新步步高高考物理(全国用)大一轮复习讲义课件：第一章 运动的描述 匀变速直线运动 45分钟章末验收卷
√
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5.如图甲所示，一维坐标系中有一质量为m＝2 kg的物块静置于x轴上的 某位置(图中未画出)，t＝0时刻，物块在外力作用下沿x轴开始运动，如 图乙为其位置坐标和速率平方关系图象的一部分. 下列说法正确的是 答案 解析 A.物块做匀加速直线运动且加速度大小为1 m/s2 B.t＝4 s时物块位于x＝4 m处
A.两物体在t1时刻加速度相同
B.两物体在t2时刻运动方向均改变
√C.两物体在t3时刻相距最远，在t4时刻相遇
D.0～t4时间内甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
7.如图所示，直线和抛物线(开口向上)分别为汽车a和b的位移—时间图 象，则 答案 解析
时间(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 速度(m/s) 0 2.0 4.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0
则前5 s内电梯通过的位移大小为 答案 解析
A.19.25 m
√B.18.75 m
C.18.50 m
D.17.50 m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
车在不同路况下的“全力自动刹车”的加速度大小取4～6 m/s2之间的某一
值，则“全力自动刹车”的最长时间为答案 解析
5 A.3 s
25 B. 3 s
√C.2.5 s
D.12.5 s
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3.电梯从低楼层到达高楼层经过启动、匀速运行和制动三个过程，启动 和制动可看做是匀变速直线运动.电梯竖直向上运动过程中速度的变化情 况如下表：
【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第45练 数形结合思想课件 理
变式训练3
已知P是直线l：3x＋4y＋8＝
0 上的动点， PA 、 PB 是圆 x2 ＋ y2 － 2x － 2y ＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆 心，求四边形PACB面积的最小值. 解 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0 向左上方或右下方无穷远处运动时， 1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC＝2|PA|· |AC|＝2|PA|越来越大，
4
5
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x－2y＋1≥0， 3.已知点P(x，y)的坐标x，y满足 |x|－y－1≤0，
则x2＋y2－6x＋9的取值范围是(
A.[2,4]
)
B.[2,16]
C.[4,10]
D.[4,16 ＝ (x － 3)2 ＋ y2 是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，
白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学
题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；
第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想
数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角
三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三 角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.
些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方
程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代
数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观
形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使
问题化难为易、化繁为简，从而得到解决 . 数形结合的思想，其实质是 将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间 的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化 . 在运用数形 结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明
【步步高】高考数学大一轮复习 1
和 q4：p1∧(綈 p2)中，真命题是( C )
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
题型分类·深度剖析
题型一
含有逻辑联结词的命题的真假
【例 1】已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x
在 R 上为增函数，p2：函数 y＝2x＋
2－x 在 R 上为减函数，则在命题 q1：
p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈 p1)∨p2
题型分类·深度剖析
题型二
含有一个量词的命题的否定
【例 2】 写出下列命题的否定， 思维启迪 解析 探究提高
并判断其真假： (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x0，使 x03＋ 1＝0.
题型分类·深度剖析
p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈 p1)∨p2
和 q4：p1∧(綈 p2)中，真命题是( )
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/152022/1/15
【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.3三角函数的图象与性质学案 理 苏教版
学案18 三角函数的图象与性质导学目标： 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．自主梳理 1．周期函数(1)周期函数的定义 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定域内的每一个x 值，都满足__________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f (x )的最小正周期．2．三角函数的图象和性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 值域 周期性 奇偶性单调性在______________上增，在______________上减在_____________上增，在_____________上减在定义域的每一个区间____________________内是增函数对称性 对称中心(k π，0) (k ∈Z ) (k π＋π2，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z )对称轴 x ＝k π＋π2，(k ∈Z ) x ＝k π， (k ∈Z )无自我检测1．设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．2．函数y ＝3－2cos(x －π4)的最大值为________，此时x ＝________.3．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是________．4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)．5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．探究点一 求三角函数的定义域例1 求函数y ＝122log x +＋tan x 的定义域．变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域为________________________．探究点二 三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调区间．变式迁移2 (1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间．探究点三 三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．转化与化归思想例 (14分)求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]；(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【答题模板】解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]．当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分](2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)．∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3，∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减，∴－12≤cos(x ＋π6)≤32，∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[9分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2.∴函数值域为[－1，12＋2]．[14分]【突破思维障碍】1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx ＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，从而求得函数的最值．2．关于y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c )型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间来求．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.2．(2010·江苏6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是________．3．(2011·江苏四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．4．把函数y ＝cos(x ＋4π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是________．5．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )有下列命题：(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；(2)y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；(3)y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；(4)y ＝f (x )的图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 6．(2011·泰州调研)定义函数f (x )＝{ sin x ，sin x ≥cos x ， cos x ，sin x <cos x ，给出下列四个命题：①该函数的值域为[－1,1]；②当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0.上述命题中正确的个数为________． 7．函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2010·江苏)定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2010·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．10．(14分)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．11．(14分)(2010·宿迁高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．答案 自主梳理1．(1)f (x ＋T )＝f (x ) T (2)最小的正数 最小的正数2．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2] (k ∈Z ) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z ) [2k π－π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )自我检测1．π 2.5 5π4＋2k π(k ∈Z ) 3.{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }4．> 5.π6课堂活动区例1 解题导引 求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2 k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4.变式迁移1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12sin x >12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z .例2 解题导引 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解 方法一 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 化成y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∵y ＝sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4 (k ∈Z )．∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间、单调递增区间分别为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4 (k ∈Z )． 方法二 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的．又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递减区间． 由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间． 综上可知，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )； 递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z )． 变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ， 得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π，π. (2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π.由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4 得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， 由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )． 例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1， 若a >0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3 或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.变式迁移3 解 ∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]．若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－1；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝sin(2x －π3)，周期为π.课后练习区 1．3解析 由图可知，T ＝2π3，∴ω＝2πT＝3.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ) 3.34 4.2π3解析 向左平移φ个单位后的解析式为y ＝cos(x ＋4π3＋φ)，当4π3＋φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝cos(x ＋4π3＋φ)为偶函数， ∴φ＝k π－4π3(k ∈Z )．当k ＝2时，φmin ＝2π3.5．(2)(3)解析 (1)不正确．可举反例，如f (－π6)＝f (π3)＝0但－π6－π3＝－π2.(2)正确．∵y ＝4sin(2x ＋π3)＝4cos[π2－(2x ＋π3)]＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．(3)正确．∵f (－π6)＝0，∴y ＝f (x )的图象与x 轴交于(－π6，0)点．(4)不正确．∵f (－π6)既不是y 的最大值也不是y 的最小值．故答案为(2)(3)．6．1解析 当2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )时，sin x ≥cos x ，所以f (x )＝sin x ，f (x )∈[－22，1]；x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值； 当且仅当2k π＋π<x <2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )<0.当2k π－3π4<x <2k π＋π4(k ∈Z )时，sin x <cos x ，所以f (x )＝cos x ，f (x )∈[－22，1]； x ＝2k π(k ∈Z )时，该函数取得最大值；当且仅当2k π－3π4<x <2k π－π2(k ∈Z )时，f (x )<0.综合得：①②错误，④正确，周期还是2π，所以③错误．7．4π解析 由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z )时，f (x )取最小值；而x 4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π(k ∈Z )时，f (x )取最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为4π. 8.23解析 线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23.9．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ，…………………………………(3分)∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. …………………………………………………………(5分)(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．………………………………………………………………(10分)(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(12分)∴当x ＝π2时，f (x )取得最小值，∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2，∴a ＝－1.……………………………………………………(14分)10．解 由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z )．∴f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．……………………………………………(4分)又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x ＝ 2cos 2x －1 cos 2x －12cos 2x －1＝cos 2x －1＝－sin 2x ，……………………………………………………………………(8分)又∵定义域关于原点对称，∴f (x )是偶函数．…………………………………………(10分)11 显然－sin 2x ∈[－1,0]，又∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴－sin 2x ≠－12. ∴原函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y <－12或－12<y ≤0.……………………………………………………………(14分)11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.………………………………………………………(4分)(1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 解得单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .………………………………………(8分)(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ) ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z .……………………………………………………(12分)又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)。
【步步高】2016高考数学大一轮复习2.2函数的单调性与最值教师用书理苏教版分析
§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( × )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y ＝1－x21＋x2的最大值为1.( √ )1．(2014·北京改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________． ①y ＝x ＋1； ②y ＝(x －1)2； ③y ＝2－x;④y ＝log 0.5(x ＋1)．答案 ①解析 ①中，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；②中，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；③中，函数y ＝2－x＝(12)x 在R 上为减函数，故错误；④中，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误，故选①.2．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题： ①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)． 答案 ②③④解析 由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①不正确；对于f (x )＝2x，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②正确；当f (x )为单函数时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，则其逆否命题f (x )为单函数时，x 1≠x 2⇒f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，故④正确． 3．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是____________________________．答案43，1解析f(x)＝2xx＋1＝2x＋1－2x＋1＝2－2x＋1在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝43，f(x)min＝f(1)＝1.4．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，1]∪[2，＋∞)解析函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).题型一函数单调性的判断例1 (1)判断函数f(x)＝axx2－1(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．解(1)设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2 x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2x21－1x22－1＝a x2－x1x1x2＋1x21－1x22－1.∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0. 又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．(2)令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．思维升华 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．(1)判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)求函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上为增函数． (2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝13log u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3>0，则x <1或x >3. ∴函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上， ∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数， 在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝13log u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝13log (x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．题型二 利用单调性求参数范围例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)[－14，0] (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，2－a ×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2 x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (1)(0,1] (2)[4,8)解析 (1)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.(2)因为f (x )是R 上的增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a <8.题型三 利用函数的单调性求最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值； (2)证明：f (x )为减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， ∴f (9)＝2f (3)＝－2.即f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________． (2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 答案 (1)4 (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4.(2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，∴a ＋b ＝6.利用函数的单调性解不等式典例：函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．(2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法．失误与防范1．区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数如函数f (x )＝1x.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．(填序号)①f (x )＝1x ； ②f (x )＝(x －1)2； ③f (x )＝e x;④f (x )＝ln(x ＋1)．答案 ① 解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．①中，f (x )＝1x满足要求； ②中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；③中，f (x )＝e x 是增函数；④中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 [0，34] 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数； 当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4a －34a ≥3，得0<a ≤34， 综上a 的取值范围是0≤a ≤34. 3．(2014·天津改编)函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间是________．答案 (－∞，－2)解析 因为y ＝12log t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析 依题意得1x <1，即x －1x>0， 所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“”：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．答案 6 解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.6．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________．答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)．7．已知函数f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞) 解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．8．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1.9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．(1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解 ∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1) ＝－2x 2＋1－x 1－1x 1＋1x 2＋1＝－2x 2－x 1x 1＋1x 2＋1. 由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －3x ＋5， x ≤1，2a x， x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．答案 (0,2] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －3<0，a >0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2.2．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x<－1， ∴0<x <1或－1<x <0.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x <2，－x ＋3，x ≥2.当0<x <2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x ≥2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.4．已知f (x )＝x x －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)内恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．5．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，设1≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)(1－12x 1x 2)，∵1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0,2x 1x 2>2，∴0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. (2)在区间[1，＋∞)上f (x )>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立． 设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.。
2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)45分钟阶段测试 三角函数(四)
(范围：§ 3.1～§ 3.4) 一、选择题 1．已知角 α 的终边与单位圆的交点 P(x， A. 3 C. 3 3 B．± 3 D．± 3 3 3 )，则 tan α 等于( 2 )
答案 B 解析 x2＋( 32 1 ) ＝1，∴x＝± ， 2 2
3 2 ∴tan α＝ ＝± 3. 1 ± 2 π π 2．若 cos(3π－x)－3cos(x＋ )＝0，则 tan(x＋ )等于( 2 4 1 A．－ 2 1 C. 2 答案 D π 解析 ∵cos(3π－x)－3cos(x＋ )＝0， 2 ∴－cos x＋3sin x＝0， 1 ∴tan x＝ ， 3 1 1＋ 3 1 ＋ tan x π ∴tan(x＋ )＝ ＝ ＝2，故选 D. 4 1－tan x 1 1－ 3 π π 3．函数 f(x)＝sin(2x－ )在区间[0， ]上的最小值为( 4 2 A．－1 C. 2 2 B．－ D．0 2 2 ) B．－2 D．2 )
1＋cos 2x－sin 2x cos x 2cos2x－2sin xcos x ＝2(cos x－sin x)． cos x
4 4 由 tan α＝－ 得 sin α＝－ cos α， 3 3 又 sin2α＋cos2α＝1， 9 ∴cos2α＝ . 25 ∵α 是第四象限角， 3 4 ∴cos α＝ ，sin α＝－ ， 5 5 14 ∴f(α)＝2(cos α－sin α)＝ . 5 10．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，x∈R，ω>0，|φ|<π)的部分图 象如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； π π π (2)若 g(x)＝f(x＋ )＋f(x－ )，求函数 g(x)在区间[0， ]上的值域． 6 6 2 解 (1)由图可知，函数的最大值为 A＋B＝3，最小值为－A＋B＝－1， 解得 A＝2，B＝1. 5π π 函数的最小正周期为 T＝2×[ －(－ )]＝π， 12 12
2016版《步步高》高考数学大二轮总复习与增分策略(文科)配套课件+配套文档：专题六 解析几何 第1讲
－y－3＝0上的圆的方程为________________.
解析 由题意知KAB＝2，AB的中点为(4,0)，
设圆心为C(a，b)，
∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 1 b a＝2， ＝－2， 则a－4 解得 ∴C(2,1)， 2a－b－3＝0， b＝1
A.1或3
解析
当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，
则两直线不平行； 3－k 当 k≠4 时，两直线平行的一个必要条件是 ＝k－3，解 4－k
得 k＝3 或 k＝5. 1 3 但必须满足 ≠2(截距不相等)才是充要条件， 经检验知满 k－4
足这个条件.
(2) 已知两点 A(3,2) 和 B( － 1,4) 到直线 mx ＋ y ＋ 3 ＝ 0 的距离相
的距离问题.
跟踪演练 3
(1)已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程
为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂
直.若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为(
A.1 B. 2 C.2 D.2 2
)
解析 因为圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4， 圆心为C(0，－1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1， 其方程为x＋y－1＝0.
|3×0－4×0＋5| 又|OD|＝ ＝1，∴r＝2|OD|＝2. 5
1 2 3 4
3.(2015· 重庆)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该
x＋2y－5＝0 圆在点P处的切线方程为____________. 解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上， 则圆的方程为x2＋y2＝5，
2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要 求直线不能与 x轴垂直 .而截距式方程不能表示过原点的直 线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
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苏（文）
第三章
导数及其应用
45分钟阶段测试(四)
范围：§ 3.1～§ 3.3
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一、填空题
x＋1 1.设曲线y＝ 在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0 x－1 垂直，则a＝________.
x＋1 －2 解析 因为 y＝ 的导数为 y′＝ 2， x－1 x－1 1 所以曲线在(3,2)处的切线斜率为 k＝－2，
范围：§ 3.1～§ 3.3
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5. 设定义在 R 上的函数 f(x) 是最小正周期为 2π 的偶函数， f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π ]时，0<f(x)<1，当x∈(0， π π π)且x≠ 时，(x－ )· f′(x)<0，则方程f(x)＝cos x在[－2π ， 2 2 2π ]上的根的个数为________. π 解析 由(x－2)f′(x)<0 知， π 当2<x<π 时，导函数 f′(x)<0，
[－ 3， 3] ． 则实数 a 的取值范围是___________
解析 由题意，知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立， 所以Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，
解得－ 3≤a≤ 3.
范围：§ 3.1～§ 3.3
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1－x 1 3.已知a≤ ＋ln x对任意x∈[ ，2]恒成立，则a的最 x 2 大值为________．
(1)讨论f(x)的单调性； 解 f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)． ①若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1， 故此时f(x)在R上是增函数．
②由于a≠0，故当a<1时，f′(x)＝0有两个根
范围：§ 3.1～§ 3.3
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7.函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则 f(x)的单调递减区间是________. 解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝± a . f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) ＋ ↗ 0 极大值 － ↘ 0 极小值 ＋ ↗
范围：§ 3.1～§ 3.3
(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.
解 若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数， 则f′(x)＝x－ a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， x 即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立.
所以有a≤1.
范围：§ 3.1～§ 3.3
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10.函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
范围：§ 3.1～§ 3.3
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π 6.函数y＝x＋2cos x在区间[0， ]上的最大值是___________. 2
解析 y′＝1－2sin x，令y′＝0， π π 又 x∈[0，2]，得 x＝6， π 则 x∈[0，6)时，y′>0； π π x∈(6，2]时，y′<0，
b的值；
a 解 因为 f′(x)＝x－x(x>0)，
又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
范围：§ 3.1～§ 3.3
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2－aln 2＝2＋b， 所以 a 2－2＝1，
解得 a＝2，
b＝－2ln 2.
范围：§ 3.1～§ 3.3
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又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5，
∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3.
范围：§ 3.1～§ 3.3
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二、解答题 9.已知函数f(x)＝1 x2－aln x(a∈R). 2 (1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，
解
当 a>0 ， x>0 时， f′(x) ＝ 3ax2 ＋ 6x ＋ 3>0 ，故当 a>0 时，
f(x)在区间(1,2)是增函数．
当 a<0 时， f(x) 在区间 (1,2) 是增函数当且仅当 f′(1)≥0 且 5 f′(2)≥0，解得－ ≤a<0. 4 5 综上，a 的取值范围是[－4，0)∪(0，＋∞)．
范围：§ 3.1～§ 3.3
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π 故函数 y＝x＋2cos x 在[0，6)上递增， π π π 在(6，2]上递减，所以当 x＝6时， π 函数取得最大值，最大值为6＋ 3. π 答案 6＋ 3
范围：§ 3.1～§ 3.3
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范围：§ 3.1～§ 3.3
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函数f(x)在( π ，π)上单调递减； 2 π 当 0<x<2时，导函数 f′(x)>0， π 函数 f(x)在(0，2)上单调递增. 由题意可知函数f(x)的草图如图所示，
由图象可知方程f(x)＝cos x在[－2π ，2π ]上的根的个数为
1－x x－1 解析 令 f(x)＝ x ＋ln x， 则 f′(x)＝ x2 ， 1 当 x∈[2，1)时，f′(x)<0，
当x∈(1,2]时，f′(x)>0，
范围：§ 3.1～§ 3.3
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1 ∴f(x)在[2，1)上单调递减，
在(1,2]上单调递增， ∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0， 即a的最大值为0. 答案 0
故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；
范围：§ 3.1～§ 3.3
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当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
故f(x)在(x1，x2)是增函数．
范围：§ 3.1～§ 3.3
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(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围．
－1＋ 1－a －1－ 1－a x1＝ ，x2＝ . a a
若 0<a<1 ，则当 x∈( － ∞ ， x2) 或 x∈(x1 ，＋ ∞) 时， f′(x)>0 ， 故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；
当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数；
若 a<0 ，则当 x∈( － ∞ ， x1) 或 x∈(x2 ，＋ ∞) 时， f′(x)<0 ，
范围：§ 3.1～§ห้องสมุดไป่ตู้3.3
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4.已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与
1 (2，＋∞) ． 直线y＝ x垂直的切线，则实数m的取值范围是__________ 2
解析 因为函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C， 1 若曲线C存在与直线y＝ x垂直的切线， 2 即说明ex－m＝－2有解，转化得m＝ex＋2， 则实数m的取值范围是m>2.
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－ a3－3a－ a＋b＝6， 从而 3 a －3a a＋b＝2，
a＝1， 解得 b＝4，
所以f(x)的单调递减区间是(－1,1).
答案 (－1,1)
范围：§ 3.1～§ 3.3
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8.已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a， [3，＋∞) 则a的取值范围为__________. 解析 由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0或x＝2.
范围：§ 3.1～§ 3.3
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又直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，
1 所以－a· (－2)＝－1，
解得a＝－2.
答案 －2
范围：§ 3.1～§ 3.3
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2.已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－x－1 在 R 上是单调减函数，