备战中考--第09讲一元二次方程及其应用--(附解析答案)
第09讲 函数(一次函数二次函数和幂函数）模型及其应用高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过成立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题取得解决.数学模型方式是把实际问题加以抽象归纳，成立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方式；数学模型那么是把实际问题用数学语言抽象归纳，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象归纳加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去查验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方式的前提.二、函数是描述客观世界转变规律的根本数学模型，不同的转变现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模进程就是信息的获取、存储、处置、综合、输出的进程，熟悉一些根本的数学模型，有助于提高咱们解决实际问题的能力.三、一次函数、二次函数和幂函数的图像和性质一、一次函数的一般形式为,y kx b =+当0k >时，函数单调递增，当0k <时，函数单调递减，当0k =时，函数是常数函数.二、二次函数的一般形式是2(0)y ax bx c a =++≠，当0a >时，函数的图像抛物线开口向上，极点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a -∞-单调递减，在(,)2b a -+∞2b x a=-时，函数有最小值244ac b a -.当0a <时，函数的图像抛物线开口向下，极点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a-∞-单调递增，在(,)2b a -+∞2b x a=-时，函数有最大值244ac b a -. 3、 幂函数的一般形式为(,a y x a R a x =∈是常数，是自变量），其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其概念域随着常数a 取值的不同而不同. 所有幂函数都在(0,)+∞有概念，而且图像都过点〔1，1〕；0,a >幂函数在(0,)+∞是增函数，0a <，幂函数在(0,)+∞是减函数.四、解决实际问题的解题进程一、 对实际问题进展抽象归纳：研究实际问题中量与量之间的关系，肯定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 别离表示问题中的变量；二、成立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，咱们成立的函数模型一般都是函数的解析式；3、求解函数模型：按如实际问题所需要解决的目标及函数式的构造特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并恢复为实际问题的解.这些步骤用框图表示：五、解应用题的一般程序1读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是根底；2建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，成立相应的数学模型．熟悉根本数学模型，正确进展建“模〞是关键的一关；3解：求解数学模型，取得数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化进程；4答：将数学结论恢复给实际问题的结果．六、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等. 学科@网【方式讲评】【例1】某地域1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地域沙漠面积的转变情况，进展了持续5年的观测，并将每一年年末的观测结果记录如下表.按照此表所给的信息进展预测：〔1〕若是不采取任何办法，那么到2010年末，该地域的沙漠面积将大约变成多少万公顷；〔2〕若是从2000年末后采取植树造林等办法，每一年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年末该地域沙漠面积减少到90万公顷？〔2〕设从1996年算起，第x年年末该地域沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得+--=，x x950.20.6(5)90x=〔年〕解得20故到2015年年末，该地域沙漠面积减少到90万公顷.=+的图【点评】〔1〕由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y kx b象，这是解题的切入点和关键点.〔2〕求一次函数的解析式一般利用待定系数法.【反映检测1】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机械12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，从甲地调运1台至A地、B地的运费别离为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费别离为300元和500元.〔1〕设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式；〔2〕假设总运费不超过9000元，问共有几种调动方案？〔3〕求出总运费最低的调运方案及最低的费用.【例2】某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全数租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每一个月需要保护费150元，未租出的车每辆每一个月需要保护费50元.〔1〕当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？〔2〕当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【点评】〔1〕在实际问题背景下，成立收益、利润的函数模型，一般是利润＝收入－各项支出.〔2〕依照公司的月收益为：租出车辆⨯〔月租金－保护费〕－未租出车辆⨯保护费，将月收益视为月租金的函数，构造函数模型求解问题.【反映检测2】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总本钱y〔万元〕与年产量x〔吨〕之间的函数关系式可以近似地表示为24880005xy x=-+，此生产线年产量最大为210吨.〔1〕求年产量为多少吨时，生产每吨产品平均本钱最低，并求最低本钱.〔2〕假设每吨产品平均出厂价为40万元，那么昔时产量为多少吨时，可以取得最大利润？最大利润是多少？【例3】有一片树林现有木材储蓄量为7100c m3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即抵达28400 c m3．〔1〕求平均每一年木材储蓄量的增加率；〔2〕若是平均每一年增加率为8%，几年可以翻两番？【点评】〔1〕增加率〔降低率〕的问题一般是指数或幂函数模型，若是时间求增加率〔降低率〕，多是幂函数模型.〔2〕“翻两番〞指此刻是原来的4倍，“翻n番〞指的是此刻是原来的2n倍.【反映检测3】〔1〕在1975年某市每千克猪肉的平均价钱是1.4元，而到了2021年，该市每千克猪肉的平均价钱是15元，假定这30年来价钱年平均增加率一样，求猪肉价钱的年平均增加率.〔2〕另一方面，1975年时该市职工月平均工资是40元，而到了2021年，该市职工月平均工资是860元，通过猪肉价钱的增加和工资增加的对照，试说明人们的生活水平是日趋提高，并计算假设按这种速度，到2021年，估量该市职工月平均工资是多少元？高中数学常见题型解法归纳及反映检测第09讲：函数(一次函数、二次函数和幂函数〕模型及其应用参考答案【反映检测1答案】〔1〕2008600(06,)y x x x z =+≤≤∈；〔2〕共有3种调运方案；〔3〕乙分厂的6 台机械全数调往B 地，从甲分厂调往A 地10 台，调往B 地2台，最小值是8600元.【反映检测2答案】〔1〕年产量为200吨时，每吨平均本钱最低为32万元；〔2〕年产量为210吨时，可取得最大利润1660万元.【反映检测2详细解析】(1)每吨平均本钱为y x(万元)， 那么80008000482483255y x x x x x=+-≥-=，当且仅当80005x x =，即200x =时取等号， ∴年产量为200吨时，每吨平均本钱最低为32万元．(2)设年取得总利润为()R x 万元，那么R(x)=40x-y=40x-25x +48x-8 000=-25x +88x-8 000=-15 (x-220)2+1 680(0≤x ≤210)，∵()R x 在[0，210]上是增函数， ∴210x =时，()R x 有最大值为-(210-220)2+1 680=1 660，∴年产量为210吨时，可取得最大利润1 660万元.【反映检测3答案】〔1〕8.2%；(2)4000元.【反映检测3详细解析】〔1〕设猪肉价钱的年平均增加率是%x ，那么有3015 1.4(1%)x =+．利用计算器可得8.2x =.〔2〕该市职工月工资和年平均增加率是%x ，那么有3084040(1%)x =+，利用计算器可得10.8x =．因为10.88.2>，因这人们的生活水平是日趋提高.照这样的速度到2021年，职工月平均工资是15860(110.8%)4000+≈元.。
九上数学 第9讲 2.6应用一元二次方程(含答案)
第8讲《一元二次方程》培优训练2.6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题列一元二次方程解应用题的步骤可归结为__审__、__设__、__列__、__解__、__验__、__答__．知识点：利用一元二次方程解决几何问题1．从一块正方形的木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是(C)A．8 cm2B．8 cm2或64 cm2C．64 cm2D．36 cm22．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(D)A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48,第2题图),第3题图)3．小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为(C)A．2 cm B．1 cm C．0.5 cm D．0.5 cm或9.5 cm4．一块矩形菜地的面积是120 cm2，如果它的长减少2 cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是__12__cm. 5．已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走__220__m后，他与购物中心的距离为340 m.6．现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得__x2－70x＋825＝0__．7．(教材习题改编)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P，Q分别从点A，B同时出发，经过__2或4__秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.8．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．解：∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，∴5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，整理，得x2＋12x－85＝0，(x＋6)2＝121，解得x1＝5，x2＝－17(不合题意，舍去).5×(52＋17)×2＝420(cm)．答：这两段铁丝的总长为420 cm9．为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30－2x)(20－x)＝532.整理，得x2－35x＋34＝0.解得，x1＝1，x2＝34.∴34＞30(不合题意，舍去)，∴x＝1.答：小道进出口的宽度应为1米10．如图，两艘船同时从A点出发，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，几小时后两船正好相距100海里？解：设x小时后两船相距100海里，根据题意，得(15x)2＋(20x)2＝1002，解得x1＝4，x2＝－4(舍去)．答：4小时后两船相距100海里11．如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m.(1)请求AD的长；(用含字母x的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长．解：(1)作BH⊥AD于点H，则AH＝3x，由BC＝DH＝20－9x得AD＝20－6x(2)由2(20－9x )＋3x ＋9x ≤30得x ≥53， 由12[(20－9x )＋(20－6x )]×4x ＝50得 3x 2－8x ＋5＝0，∴x 1＝53，x 2＝1(舍去)， ∴5x ＝253. 答：AB 的长为253米12．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时B 到墙C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B 将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整： 解：设点B 将向外移动x 米，即BB 1＝x ，则A 1B 1＝2.5，在Rt △A 1B 1C 中，由B 1C 2＋A 1C 2＝A 1B 12，得方程__(x ＋0.7)2＋22＝2.52__，解方程，得x 1＝__0.8__，x 2＝__－2.2(舍去)__，∴点B 将向外移动__0.8__米．(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．解：【问题一】不会是0.9米．若AA 1＝BB 1＝0.9，则A 1C ＝2.4－0.9＝1.5，B 1C ＝0.7＋0.9＝1.6, 1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，∵A 1C 2＋B 1C 2≠A 1B 12，∴该题的答案不会是0.9米．【问题二】有可能．设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米，则有(x ＋0.7)2＋(2.4－x )2＝2.52，解得：x ＝1.7或x ＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A 处下滑1.7米时，点B 向外也移动1.7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等第2课时 利用一元二次方程解决营销问题1．商品利润＝__售价__－__进价__．利润率＝____×100%.2．平均增长率公式为b＝__a(1＋x)n__，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数．平均降低率公式为b＝__a(1－x)n__，其中a为起始量，b为终止量，x为平均降低率，n为降低次数．知识点一：利润问题1．某种花卉每盆盈利与每盆株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝152．某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1 400元，每件应降价__6或10__元．3．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？解：∵80×10＝800(元)<1 200元，∴小丽买的服装数大于10件．设她购买了x件这种服装，根据题意，得x[80－2(x－10)]＝1 200.解得x1＝20，x2＝30.∵1 200÷30＝40<50，∴x2＝30不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装知识点二：增降率问题4．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是(B)A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝3895．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是(B)A．100(1＋x)2＝81B．100(1－x)2＝81C．100(1－x%)2＝81 D．100x2＝816．某小区2012年屋顶绿化面积为2 000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2 880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__20%__．7．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份利润将增加11万元，则六、七月份的平均增长率是__20%__．8．某汽车配件公司4月份产值1 000万元，到6月份总产值到达了3 640万元，则平均每月产值的增长率是__20%__．9．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则(C) A．50(1＋x2)＝196 B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝19611．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求两轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均每人传染了x个，1＋x＋x(x＋1)＝64，x＝7或x＝－9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人(2)64×7＝448(人)．答：第三轮将又有448人被传染12．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销售，决定降价销售(根据市场调查，单价每降价1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果销售这批旅游纪念品共获利1 250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋(4－6)[600－200－(200＋50x)]＝1 250，整理，得50x2－100x＋50＝0，即x2－2x＋1＝0.解得x＝1.∴10－1＝9(元)．答：第二周每个纪念品的销售价格为9元13．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：(1)(360－280)×60＝4 800(元)(2)设每件商品应降x元，根据题意，得(360－280－x)(60＋5x)＝7 200，解得x1＝8，x2＝60，为减少库存，则x＝60，答：每件商品应降价60元14．某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降价0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万．(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为__26.8__万元；(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利＝销售利润＋返利)解：设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－(x－1)×0.1＝27.1－0.1x(万元)．若x≤10，则(28－27.1＋0.1x)x＋0.5x＝12，解得x1＝6，x2＝－20(不合题意，舍去)；若x>10，则(28－27.1＋0.1x)x＋x＝12，解得x3＝5(∵x>10，舍去)，x4＝－24(不合题意，舍去)，∴公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车2.6.利用一元二次方程解决几何问题同步课时练习题1. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝62. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝03. 如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( )A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝484. 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为( )A．2 cm B．1 cm C．0.5 cm D．0.5 cm或9.5 cm5. 一块矩形菜地的面积是120 cm2，如果它的长减少2 cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是____cm.6. 已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走____m后，他与购物中心的距离为340 m.7. 现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得______________________________．8. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P，Q分别从点A，B同时出发，经过_______秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.9. 已知菱形的周长为40，两对角线之比为3∶4，则两对角线的长分别为________________．10. 如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．11. 为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)12. 如图，两艘船同时从A点出发，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，那么几小时后两船正好相距100海里？13. 如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m.(1)请求AD的长；(用含字母x的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长．14. 要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2300 m2.小颖设计的方案如图②所示，BC＝HE＝x，AB∥CD，HG∥EF，AB⊥EF，∠1＝60°.(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)15. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(如图所示)．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙的建造单价为每米400元，中间两条隔墙的建造单价为每米300元，池底的建造单价为每平方米80元(墙的厚度忽略不计)．当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x.16. 小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，则A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B12，得方程___________________，解方程，得x1＝____，x2＝______________，∴点B将向外移动____米．(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．参考答案：1---4 BCDC 5. 12 6. 220 7. x 2－70x ＋825＝0 8. 2或4 9. 12和1610. 解：∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，∴5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x)，整理，得x 2＋12x －85＝0，(x ＋6)2＝121，解得x 1＝5，x 2＝－17(不合题意，舍去).5×(52＋17)×2＝420(cm)．答：这两段铁丝的总长为420 cm11. 解：设小道进出口的宽度为x 米，依题意得(30－2x)(20－x)＝532.整理，得x 2－35x ＋34＝0.解得x 1＝1，x 2＝34.∴34＞30(不合题意，舍去)，∴x ＝1.答：小道进出口的宽度应为1米12. 解：设x 小时后两船相距100海里，根据题意，得(15x)2＋(20x)2＝1002，解得x 1＝4，x 2＝－4(舍去)．答：4小时后两船相距100海里13. (1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x(2)由2(20－9x)＋3x ＋9x ≤30得x ≥53， 由12[(20－9x)＋(20－6x)]×4x ＝50得 3x 2－8x ＋5＝0，∴x 1＝53，x 2＝1(舍去)， ∴5x ＝253. 答：AB 的长为253m 14. (1)根据小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2 300，解得x 1＝2，x 2＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m(2)易证四边形ADCB 为平行四边形，由(1)得x ＝2，∴BC ＝HE ＝2＝AD ，过点A 作AI ⊥CD 于点I ，则ID ＝12AD ＝1，∴AI ＝3，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2 299(m 2)15. (2x ＋200x ×2)·400＋200x×2×300＋200×80＝47 200， 整理得x 2－39x ＋350＝0，解得x 1＝25(舍去)，x 2＝1416. (1) (x ＋0.7)2＋22＝2.52 0.8 －2.2(舍去) 0.8（2） 【问题一】不会是0.9米．若AA 1＝BB 1＝0.9，则A 1C ＝2.4－0.9＝1.5，B 1C ＝0.7＋0.9＝1.6, 1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，∵A 1C 2＋B 1C 2≠A 1B 12，∴该题的答案不会是0.9米【问题二】有可能．设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米，则有(x ＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52，解得x ＝1.7或x ＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A 处下滑1.7米时，点B 向外也移动1.7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等。
中考数学复习集训第9讲一元二次方程(含答案)
第9讲 一元二次方程一元二次方程的概念及解法一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【易错提示】 (1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件；(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b 2－4ac≥0.一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的．在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．1．已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解．2．解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法．命题点1 一元二次方程的解法(2015·徐州)解方程：x2－2x－3＝0.【解答】解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松．1．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m等于( )A．1 B．2 C．1或2 D．02．(2015·聊城)一元二次方程x2－2x＝0的解是________．3．(2015·丽水)解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写其中的一个一元一次方程________________．4．(2014·徐州)解方程：x2＋4x－1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系(2014·南充)已知关于x的一元二次方程x2－22x＋m＝0，有两个不相等的实数根．(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x21＋x22－x1x2的值．【思路点拨】(1)根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”可知Δ＞0，然后解不等式求出m的取值范围；(2)通过把条件x21＋x22－x1x2变形，构造出“x1＋x2”与“x1x2”，然后利用根与系数的关系求得代数式的值．【解答】①利用一元二次方程根与系数关系求解字母系数的值的前提条件是方程必须要有两个实数根；②利用根与系数关系求代数式的值一般是通过变形将代数式转化为含有“x1＋x2”与“x1x2”的式子．1．(2015·衡阳)若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为( )A．－2 B．2 C．4 D．－32．(2015·铜仁)已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．(2015·金华)一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( )A．4 B．－4 C．3 D．－34．(2015·凉山)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( )A．m≤3 B．m＜3C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2命题点3 一元二次方程的应用(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万，可变成本逐年增长．已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元．设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.【思路点拨】根据“第3年的可变成本＝第1年的可变成本×(1＋增长率)2”，结合题中已知数据即可得到关于增长率的方程，求解即可．【解答】列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．增长率问题：基本数量关系：若基数为a，末数为b，增长率(下降率)为x，时间间隔为n，则有关系式a(1±x)n＝b.1．(2015·巴中)某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315C．560(1－2x)2＝315 D．560(1＋x2)＝3152．(2015·济南)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为( )A．10 cm B．13 cmC．14 cm D．16 cm3．(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？1．(2015·石河子校级模拟)把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a、b、c的值分别是( ) A．1，－3，10 B．1，7，－10C．1，5，12 D．1，3，22．如果关于x的方程(m－3)xm2－2m－1＋mx＋1＝0是一元二次方程，则m为( )A．－1 B．－1或3C．3 D．1或－33．(2015·重庆B卷)已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根4．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝05．(2015·烟台)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为( )A．2或－1 B．0或1C．2 D．－16．(2015·烟台)等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )A．9 B．10C．9或10 D．8或107．(2015·厦门)方程x2＋x＝0的解是__________．8．(2015·漳州)若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________________．9．(2015·江西)已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________. 10．(2014·德州)方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x21＋x22＝4，则k的值为________．11．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有________．12．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列得方程．13．选择适当的方法解下列方程：(1)x2－5x＋1＝0(用配方法)；(2)3(x－2)2＝(x－2)；(3)2x2－22x－5＝0(公式法)；(4)(y＋2)2＝(3y－1)2.14．(2015·自贡)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．15．(2015·河南)已知关于x的一元二次方程(x－3)·(x－2)＝|m|.(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．16．(2015·长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？17．(2014·威海)方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( ) A．－2或3 B．3C．－2 D．－3或218．(2014·荆门)已知α是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下面对α的估计正确的是( ) A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜319．(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若将准备获利2 000元，则应进货多少个？定价多少元？20．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC的三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．温馨提示：“整合集训”完成后，可酌情使用P34滚动小专题(二)类型2“不等式(组)的解法”P35类型4“不等式的应用”进行强化训练！考点解读①一 ②2 ③降次 ④配方 ⑤因式分解 ⑥b 2－4ac⑦有两个不相等 ⑧有两个相等 ⑨没有 各个击破例1 方法一(配方法)：配方，得(x －1)2＝4.两边开平方，得x －1＝±2.解得x 1＝－1，x 2＝3.方法二(公式法)：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.∴x ＝－（－2）±162×1＝1±2.∴x 1＝－1，x 2＝3.方法三(因式分解法)∵x 2－2x －3＝0，∴(x ＋1)(x －3)＝0.∴x ＋1＝0或x －3＝0.∴x 1＝－1，x 2＝3.题组训练 1.B 2.0或2 3.x ＋3＝0(或x －1＝0)4.方法一(配方法)：配方，得(x ＋2)2＝5.两边开平方，得x ＝±5－2.∴x 1＝5－2，x 2＝－5－2.方法二(公式法)：∵a ＝1，b ＝4，c ＝－1，∴Δ＝42－4×1×(－1)＝20>0.∴x ＝－4±252＝－2± 5.∴x 1＝5－2，x 2＝－5－2.例2 (1)由题意，得Δ＝(－22)2－4m ＝8－4m.∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即8－4m ＞0，解得m ＜2.∴m 的最大整数值为m ＝1.把m ＝1代入关于x 的一元二次方程x 2－22x ＋m ＝0得x 2－22x ＋1＝0. 根据根与系数的关系：x 1＋x 2＝22，x 1x 2＝1，∴x 21＋x 22－x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝(22)2－3×1＝5.题组训练 1.A 2.B 3.D 4.D例3 (1)2.6(1＋x)2(2)根据题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.题组训练 1.B 2.D3.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意，得1＋x ＋x(1＋x)＝64.解得x 1＝7，x 2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：又有448人被传染．整合集训1.A2.A3.A4.D5.C6.B7.x 1＝0，x 2＝－18.a ＞－94且a ≠0 9.2510.1 11.512.(30－2x)(20－x)＝78×6或x 2－35x ＋66＝013.(1)x 2－5x ＝－1，x 2－5x ＋(52)2＝－1＋(52)2，(x －52)2＝214，x －52＝±212，所以x 1＝5＋212，x 2＝5－212.(2)3(x －2)2－x(x －2)＝0，(x －2)(3x －6－x)＝0，所以x 1＝2，x 2＝3.(3)Δ＝(－22)2－4×2×(－5)＝48，x ＝22±482×2＝22±434＝2±232， 所以x 1＝2＋232，x 2＝2－232. (y ＋2)2－(3y －1)2＝0，(y ＋2＋3y －1)(y ＋2－3y ＋1)＝0，y ＋2＋3y －1＝0或y ＋2－3y ＋1＝0，所以y 1＝－14，y 2＝32. 14.设垂直于墙的一边为x 米，得x(58－2x)＝200.解得x 1＝25，x 2＝4.∴另一边为8米或50米．答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米．15.(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋6－|m|＝0.∵Δ＝(－5)2－4(6－|m|)＝25－24＋4|m|＝1＋4|m|＞0，∴总有两不等实数根．把x ＝1代入原方程，得|m|＝2.∴m ＝2或m ＝－2.原方程为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，∴方程的另一个根是4.16.(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x ，由题意，得10(1＋x)2＝12.1.解得，x 1＝0.1，x 2＝－2.1(舍)．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.(2)6月：12.1×1.1＝13.31(万件)．∵21×0.6＝12.6(万件)<13.31万件，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．∵22<13.310.6<23， ∴至少还需增加2名业务员．17.C 18.C19.设定价为x 元，则进货为180－10(x －52)＝180－10x ＋520＝(700－10x)个． (x －40)(700－10x)＝2 000.解得x 1＝50，x 2＝60.∵每批次进货个数不得超过180个，∴700－10x ≤180.∴x ≥52.∴x ＝60.当x ＝60时，700－10x ＝700－10×60＝100.答：商店若准备获利2 000元，应进货100个，定价为60元．20.(1)把x ＝－1代入方程得2a －2b ＝0，即a ＝b.∴△ABC 是等腰三角形．∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0，即b 2＋c 2＝a 2.∴△ABC 是直角三角形．∵△ABC 是等边三角形，∴a ＝b ＝c.∴原方程变为2ax 2＋2ax ＝0.∵a ≠0，∴x 2＋x ＝0.∴x 1＝0，x 2＝－1.。
第09讲 一元二次方程
方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则
可列方程为( )
(A)x(x-10)=200
(C)2x+2(x+10)=200
(B)2x+2(x-10)=200
(D)x(x+10)=200
【解析】选D.宽为x米,则长为(10+x)米, 可得x(x+10)=200.
10.(2012·湘潭中考)如图，某中学准备在校园里利用围墙的
一元二次方程的基本概念
◆中考指数:★★★★☆
1.一元二次方程的三个特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是 整式方程. 2.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整 式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程.
解二元一次方程组
结果
选D
【对点训练】
1.(2011·兰州中考)下列方程中是关于x的一元二次方程的
是( ) (B)ax2+bx+c=0 (D)3x2-2xy-5y2=0
x
(A) x 2 12 0 (C)(x-1)(x+2)=1
【解析】选C.A项分母中含有未知数，不一定是一元二次方程； B项中未强调a≠0，不一定是一元二次方程；D项中含有两个未 知数，不是一元二次方程．
2 1 2 的值为( ) 2 a 1 a a (A) 1 5 (B) 1 5 2 2
(C)-1
(D)1
【解析】选D.根据题意，得a2+a-1=0，∴a2+a=1． ∴原式＝
2a a 1 a a 1 a 1 a a 1 (a 1) a 1 1 1 2 1. a a 1 a 1 a a 1 a a
专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)
专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求该一元二次函数的解析式．【答案】见解析【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝－34． ∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+，即y ＝－34x 2＋32x+54． 【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开得 y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 【说明】：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、对点精练1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<，∴函数y ＝－x2＋x －1图象与x 轴的交点个数是0个。
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析一、列一元二次方程解决率类问题例1、今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元。
假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 （B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．例2、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。
则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资万元。
【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x11（1+x）2=18.59x=30%（则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%11×（1+30%）=14.3万元11+14.3+18.59=43.89万元故答案为：30%；43.89练习1、股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。
已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。
若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=【解答】解：设平均每天涨x，则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B。
（2、某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%，故选：A3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。
一元二次方程及其应用(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编
一元二次方程及其应用一、单选题1(2023·四川泸州·统考中考真题)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数a的取值有关【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式求出Δ=2a2-4a2-1=4a2-4a2+4=4>0，即可得出答案．【详解】解：∵Δ=2a2-4a2-1=4a2-4a2+4=4>0，∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有两个不相等的实数根，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．2(2023·天津·统考中考真题)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根，则()A.x1+x2=6B.x1+x2=-6C.x1·x2=76D.x1·x2=7【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．【详解】解：方程x2-6x-7=0中的a=1,b=-6,c=-7，∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根，∴x1+x2=-ba =6，x1·x2=ca=-7，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．3(2023·广西·统考中考真题)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为()A.3.2(1-x)2=3.7B.3.2(1+x)2=3.7C.3.7(1-x)2=3.2D.3.7(1+x)2=3.2【答案】B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，3.2(1+x)2=3.7．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．4(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是()A.5mB.70mC.5m或70mD.10m【答案】A【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为100-2xm的矩形的面m，宽为50-2x积，根据花草的种植面积为3600m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为100-2xm，宽为50-2xm的矩形的面积，依题意得：100-2x=360050-2x解得：x1=5，x2=70(不合题意，舍去)，∴小路宽为5m．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5(2023·河南·统考中考真题)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案】A【分析】对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ>0, 方程有两个不相等的实根，当Δ=0, 方程有两个相等的实根，Δ<0, 方程没有实根，根据原理作答即可．【详解】解：∵x2+mx-8=0，∴Δ=m2-4×-8=m2+32>0，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．6(2023·四川眉山·统考中考真题)关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()B.m>3C.m≤3D.m<3A.m<32【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=-22-4m-2>0，∴m<3，故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ= b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ= b2-4ac<0，则方程没有实数根．7(2023·新疆·统考中考真题)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0，配方后得到的方程是() A.x+62=28 B.x-62=28 C.x+32=1 D.x-32=1【答案】D【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即-622计算即可．【详解】∵x2-6x+8=0，∴x2-6x+8+-622=-62 2，∴x2-6x+-32=9-8，∴x-32=1，故选：D．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．8(2023·四川乐山·统考中考真题)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为()A.4B.8C.12D.16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x1、x2，∴x1+x2=8，∵x1=3x2，∴x2=2,x1=6，∴m=x1x2=12，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．9(2023·山东滨州·统考中考真题)一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定【答案】A【分析】根据题意，求得Δ=b2-4ac=9+8=17>0，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2+3x-2=0中，a-1,b=3,c=-2，∴Δ=b2-4ac=9+8=17>0，∴一元二次方程x2+3x-2=0有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．10(2023·全国·统考中考真题)一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是() A.33 B.23 C.17 D.17【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式△=b2-4ac求出答案．【详解】解：∵a=1，b=-5，c=2，∴△=b2-4ac=-52-4×1×2=17．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．11(2023·四川·统考中考真题)关于x的一元二次方程2x2-3x+32=0根的情况，下列说法中正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2x2-3x+32=0，其中a=2，b=-3，c=3 2，∴Δ=-32-4×2×32=-3<0，∴方程没有实数根．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ= b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ= b2-4ac<0，则方程没有实数根．12(2023·山东聊城·统考中考真题)若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是()A.m≥-1B.m≤1C.m≥-1且m≠0D.m≤1且m≠0【答案】D【分析】由于关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知Δ≥0，且m≠0，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，4-4m≥0，且m≠0，解得，m≤1，且m≠0.故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2-4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．13(2023·山东·统考中考真题)一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为()A.32B.-3 C.3 D.-32【答案】C【分析】先求得x1+x2=-3，x1⋅x2=-1，再将1x1+1x2变形，代入x1+x2与x1⋅x2的值求解即可．【详解】解：∵一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1、x2，∴x1+x2=-3，x1⋅x2=-1∴1 x1+1 x2=x1+x2 x1x2=-3-1=3．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca是解决本题的关键．14(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)用配方法解方程x2-4x-1=0时，配方后正确的是()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=17C.(x-2)2=5D.(x-2)2=17【答案】C【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4，即可求解．【详解】解：x2-4x-1=0移项得，x2-4x=1两边同时加上4，即x2-4x+4=5∴(x-2)2=5，故选：C．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．二、填空题15(2023·湖南常德·统考中考真题)若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】k<1【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac>0，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=-22-4k>0，解得k<1．故答案为：k<1．【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．16(2023·湖北宜昌·统考中考真题)已知x 1、x 2是方程2x 2-3x +1=0的两根，则代数式x 1+x 21+x 1x 2的值为．【答案】1【分析】根据x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根，则有x 1+x 2=-bax 1·x 2=c a，求解即可．【详解】解：由题意得x 1+x 2=32x 1·x 2=12，原式=321+12=1．故答案：1．【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．17(2022秋·河南新乡·九年级统考期中)关于x 的一元二次方程x 2-2x -m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．【答案】m >-1【分析】根据有两个不相等的实数根得到Δ=-2 2-4×1×-m >0，解不等式即可．【详解】解：根据题意，得Δ=-2 2-4×1×-m >0，解得m >-1；故答案为m >-1．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系：当Δ>0时，原方程有两个不相等的实数根，当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，原方程无实数根．18(2023·四川宜宾·统考中考真题)若关于x 的方程x 2-2m +1 x +m +4=0两根的倒数和为1，则m 的值为．【答案】2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设方程的两个根分别为a ，b ，由题意得：a +b =2m +1 ，ab =m +4，∴1a +1b =a +bab =2m +1 m +4，∴2m +1 m +4=1，解得：m =2，经检验：m =2是分式方程的解，检验：Δ=-2m +1 2-4m +4 =4×2+1 2-4×2+4 =12>0，∴m =2符合题意，∴m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．19(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根为x1与x2，则1x1 +1x2的值为．【答案】-2 3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=4，x1x2=-6，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2+x=5x+6，即x2-4x-6=0，的两根为x1与x2，∴x1+x2=4，x1x2=-6，∴1 x1+1x2=x1+x2x1x2=4-6=-23，故答案为：-2 3．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20(2023·重庆·统考中考真题)某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．【答案】15011+x2=1815【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意得，15011+x2=1815，故答案为：15011+x2=1815．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．21(2023·四川达州·统考中考真题)已知x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根，且x1-2x2-2=10，则k的值为．【答案】7【分析】根据根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后整体代入求值即可．【详解】∵x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根，∴x1+x2=-ba =-k2，x1x2=ca=-22=-1，∵x1-2x2-2=10，∴x1x2-2x1-2x2+4=10，x1x2-2(x1+x2)-6=0，-1-2×-k2-6=0，∴解得k=7．故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2=-b a 和x 1⋅x 2=ca是解题关键．22(2023·四川遂宁·统考中考真题)若a 、b 是一元二次方程x 2-3x +1=0的两个实数根，则代数式a +b -ab 的值为．【答案】2【分析】根据根与系数的关系得到a +b =3，ab =1，由此即可得到答案．【详解】解：∵a 、b 是一元二次方程x 2-3x +1=0的两个实数根，∴a +b =3，ab =1，∴a +b -ab =3-1=3-1=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 ，若x 1，x 2是该方程的两个实数根，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．23(2023·四川眉山·统考中考真题)已知方程x 2-3x -4=0的根为x 1,x 2，则x 1+2 ⋅x 2+2 的值为．【答案】6【分析】解方程，将解得的x 1,x 2代入x 1+2 ⋅x 2+2 即可解答．【详解】解：x 2-3x -4=0，对左边式子因式分解，可得x -4 x +1 =0解得x 1=4，x 2=-1，将x 1=4，x 2=-1代入x 1+2 ⋅x 2+2 ，可得原式=4+2 ×-1+2 =6，故答案为：6．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．24(2023·湖南怀化·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程x 2+mx -2=0的一个根为-1，则m 的值为，另一个根为．【答案】-1；2【分析】将x =-1代入原方程，解得m ，根据一元二次方程根与系数的关系，得出x 1×x 2=-2，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+mx -2=0的一个根为-1，∴1-m -2=0解得：m =-1，设原方程的另一个根为x 2，则x 1·x 2=-2，∵x 1=-1∴x 2=2故答案为：-1，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．25(2023·甘肃武威·统考中考真题)关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则c=(写出一个满足条件的值)．【答案】-2(答案不唯一，合理即可)【分析】先根据关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根得到Δ=4-16c>0，解得c<14，根据c的取值范围，选取合适的值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22-4×1×4c=4-16c>0，解得c<1 4，当c=-2时，满足题意，故答案为：-2(答案不唯一，合理即可).【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx +c=0a≠0有两个不相等的实数根是解题的关键．26(2023·上海·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a的取值范围是．【答案】a>9【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，∴Δ=b2-4ac=36-4a<0，解得：a>9；故答案为：a>9．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．27(2023·湖南·统考中考真题)已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是-4，则它的另一个根是．【答案】5【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1⋅x2=ca=-20，根据该方程一个根为-4，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意可得：a=1,b=m,c=-20，∴x1⋅x2=ca=-20，∵该方程一个根为-4，令x1=-4，∴-4x2=-20，解得：x2=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两根为x1，x2，则x1⋅x2=ca，x1+x2=-ba．28(2023·山东枣庄·统考中考真题)若x=3是关x的方程ax2-bx=6的解，则2023-6a+2b的值为．【答案】2019【分析】将x=3代入方程，得到3a-b=2，利用整体思想代入求值即可．【详解】解：∵x =3是关x 的方程ax 2-bx =6的解，∴a ⋅32-3b =6，即：3a -b =2，∴2023-6a +2b =2023-23a -b =2023-2×2=2023-4=2019；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．29(2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习)已知一元二次方程x 2-3x +1=0有两个实数根x 1，x 2，则x 1+x 2-x 1x 2的值等于．【答案】2【分析】先根据根与系数的关系得x 1+x 2=3，x 1x 2=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得：x 1+x 2=3，x 1x 2=1，∴x 1+x 2-x 1x 2=3-1=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．30(2023·四川内江·统考中考真题)已知a 、b 是方程x 2+3x -4=0的两根，则a 2+4a +b -3=．【答案】-2【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a +b =-3,a 2+3a -4=0，从而得到a 2+3a =4，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+3x -4=0的两根，∴a +b =-3,a 2+3a -4=0，∴a 2+3a =4，∴a 2+4a +b -3=a 2+3a +a +b -3=4+-3 -3=-2．故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．31(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知一元二次方程x 2-3x +k =0的两个实数根为x 1,x 2，若x 1x 2+2x 1+2x 2=1，则实数k =．【答案】-5【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出x 1+x 2=3,x 1x 2=k ，代入已知等式，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2，∴x1+x2=3,x1x2=k∵x1x2+2x1+2x2=1，∴k+6=1，解得：k=-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．32(2023·湖南·统考中考真题)某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为．【答案】10001+x2=1440【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x，依题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为10001+x2=1440，故答案为：10001+x2=1440．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．33(2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习)关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】k<1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=22-4×1×k>0，解得：k<1，故答案为：k<1.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0中，若方程有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac >0”是解答本题的关键.34(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1⋅x2=2，则实数m=．【答案】3【分析】利用一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到x1+x2=-2m,x1x2=m2-m+2，代入x1+x2+x1⋅x2=2，解得m的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=2m=4m-8>0，2-4m2-m+2解得m>2，∵x1+x2=-2m,x1x2=m2-m+2，x1+x2+x1⋅x2=2，∴-2m+m2-m+2=2，解得m1=3,m2=0(不合题意，舍去)，∴m =3故答案为：3.【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．三、解答题35(2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末)解方程：x 2-3x +2=0．【答案】x 1=1，x 2=2【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．【详解】解：x 2-3x +2=0(x -1)(x -2)=0∴x -1=0或x -2=0∴x 1=1，x 2=2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．36(2023·辽宁大连·统考中考真题)为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020-2022年买书资金的平均增长率．【答案】20%【分析】设2020-2022年买书资金的平均增长率为x ，根据2022年买书资金=2020年买书资金×1+x 2建立方程，解方程即可得．【详解】解：设2020-2022年买书资金的平均增长率为x ，由题意得：50001+x 2=7200，解得x =0.2=20%或x =-2.2<0(不符合题意，舍去)，答：2020-2022年买书资金的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．37(2023·湖北·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程x 2-2m +1 x +m 2+m =0．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若2a +b a +2b =20，求m 的值．【答案】(1)见解析；(2)m 的值为1或-2【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式可进行求解；(2)根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】(1)证明：∵Δ=-2m +1 2-4×m 2+m =1>0，∴无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根．(2)解：∵x 2-2m +1 x +m 2+m =0的两个实数根为a ,b ，∴a +b =2m +1,ab =m 2+m ．∵2a +b a +2b =20，∴2a 2+4ab +2b 2+ab =20，2(a +b )2+ab =20．∴2(2m +1)2+m 2+m =20．即m 2+m -2=0．解得m =1或m =-2．∴m 的值为1或-2．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．38(2023·四川南充·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程x 2-(2m -1)x -3m 2+m =0(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若x 1，x 2是方程的两个实数根，且x 2x 1+x 1x 2=-52，求m 的值．【答案】(1)见解析；(2)25或1【分析】(1)根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0即可得到答案；(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=2m -1，x 1x 2=-3m 2+m ，整体代入得到m 2+2m -3=0求解即可得到答案．【详解】(1)证明：∵关于x 的一元二次方程x 2-(2m -1)x -3m 2+m =0，∴a =1，b =-2m -1 ，c =-3m 2+m ，∴Δ=b 2-4ac =-2m -1 2-4×1×-3m 2+m =4m -1 2，∵4m -1 2≥0，即Δ≥0，∴不论m 为何值，方程总有实数根；(2)解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-(2m -1)x -3m 2+m =0的两个实数根，∴x 1+x 2=2m -1，x 1x 2=-3m 2+m ，∵x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=x 1+x 2 2-2x 1x 2x 1x 2=-52，∴x 1+x 2 2x 1x 2=-12，∴(2m -1)2-3m 2+m =-12，整理，得5m 2-7m +2=0，解得m 1=25，m 2=1，∴m 的值为25或1．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．39(2023·浙江杭州·统考中考真题)设一元二次方程x 2+bx +c =0．在下面的四组条件中选择其中一组b ,c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b =2,c =1；②b =3,c =1；③b =3,c =-1；④b =2,c =2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】选②，x 1=-3+52，x 2=-3-52；选③，x 1=-3+132，x 2=-3-132【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：x 2+bx +c =0中a =1，①b =2,c =1时，Δ=b 2-4ac =22-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根；②b =3,c =1时，Δ=b 2-4ac =32-4×1×1=5>0，方程有两个不相等的实数根；③b =3,c =-1时，Δ=b 2-4ac =32-4×1×-1 =13>0，方程有两个不相等的实数根；④b =2,c =2时，Δ=b 2-4ac =22-4×1×2=-4<0，方程没有实数根；因此可选择②或③．选择②b =3,c =1时，x 2+3x +1=0，Δ=b 2-4ac =32-4×1×1=5>0，x =-b ±b 2-4ac 2a =-3±52，x 1=-3+52，x 2=-3-52；选择③b =3,c =-1时，x 2+3x -1=0，Δ=b 2-4ac =32-4×1×-1 =13>0，x =-b ±b 2-4ac 2a =-3±132，x 1=-3+132，x 2=-3-132．【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．40(2023·湖南郴州·统考中考真题)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【分析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x ，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y 万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．【详解】(1)解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x ，由题意，得：1.61+x 2=2.5，解得：x =0.25=25%(负值已舍掉)；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y 万人，由题意，得：2.125+y ≤2.51+25% ，解得：y ≤1；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．41(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知关于x 的一元二次方程kx 2-2k +4 x +k -6=0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当k =1时，用配方法解方程．【答案】(1)k >-25且k ≠0；(2)x 1=3+14，x 2=3-14【分析】(1)根据题意，可得2k +4 2-4k k -6 >0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，(2)将k =1代入kx 2-2k +4 x +k -6=0，利用配方法解方程即可．【详解】(1)解：依题意得：k ≠0Δ=2k +4 2-4k k -6 =40k +16>0 ，解得k >-25且k ≠0；(2)解：当k =1时，原方程变为：x 2-6x -5=0，则有：x 2-6x +9=5+9，∴x -3 2=14，∴x -3=±14，∴方程的根为x 1=3+14，x 2=3-14．【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．。
备战中考数学综合题专题复习【一元二次方程】专题解析及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n . 【解析】 【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.2．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×6×1=3a （a+1），故答案为3a （a+1）； （6）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×1=()()ab a 1b 14++，故答案为()()ab a 1b 14++；探究三：（8）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．3．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．试题解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1.4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元． （1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35. 【解析】 【分析】（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克 年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克， 11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去) 所以a =35. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.8．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ，AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可. 【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==， ∵QB 16t =-， 当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,即212t 16t -=-： 解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2=； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ , 所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ , 得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.9．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）55t ±= 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90,8,6C AC BC ︒∠===，10AB ∴===102//,,1068PA PE AE t PE AEPE BC AB BC AC -∴==∴== 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形，3(102)5t t ∴-= 解得3011t = （2）由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯整理得2t 550t -+=，解得52t =52t ∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。
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备战2019中考初中数学导练学案50讲第09讲一元二次方程及其应用【疑难点拨】1.一元二次方程易误易混辨析：误区一：忽视一元二次方程的一般形式，易出现将常数项写成1的错误，原因是没将方程化为一元二次方程的一般形式，另外，不用忽视各项系k=±的错误，原因是忽略数的符合.误区二：在解答过程中忽略条件，本题易出现答案为1了二次项系数不为0这一隐含条件.因此，在解答一元二次方程中所含字母的值时，一定要保证二次项系数不为0，从而避免出错.2.一元二次方程的解法：（1）配方法：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐，适合用配方法来解；（2）公式法：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解；（3）因式分解法：适合用因式分解法来解；解一元二次方程关键是方法的选择。
当一个方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。
在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。
注意用公式法求解时，应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0，再确定a、b、c的值，同时还应明确其使用的前提是b2-4ac≥0.3.列一元二次方程解应用题的一般步骤是：(1)审题．分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系． (2)设未知数．一般采取直接设法，有的要间接设．(3)列出方程．要注意方程两边的数量相等．方程两边的代数式的单位相同．(4)解方程．应注意一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．4.、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法：(1)三连续整数：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－1，x＋1．三连续偶数(奇数)：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－2，x＋2．(2)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数为100a＋10b＋c．（3）增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，二次增长后的值为a(1＋x)2．降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，二次降低后的值为a(1－x)2．（4）三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据。
【基础篇】一、选择题：1.用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，3，12.已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣23.九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=284.（2018•山东菏泽•3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣15.（2018•安徽•4分）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b 万件，则（）A. B. C. D.二、填空题：6.．（2018年四川省南充市）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n 的值为．7.（2018年四川省内江市）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是．8.（2018年四川省内江市）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a （x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为．三、解答与计算题：9.（2018•四川成都•6分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.10.（2018•湖北黄石•8分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．【能力篇】一、选择题：11.已知a、b、c是的三边长，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等，则为 .A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12.（2018年江苏省泰州市•3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜013.（2018·山东潍坊·3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D ．不存在二、填空题：14.（2018·四川自贡·4分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m 的值为．15.（2018•湖北黄冈•3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.三、解答与计算题：16.（2018·广西梧州·6分）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．17.（2018·湖北省孝感·9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．18.观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程：x2+x=0；第2个方程：x2﹣1=0；第3个方程：x2﹣x﹣2=0；第4个方程：x2﹣2x﹣3=0；…（1）第2018个方程是；（2）直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；（3）请说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．【探究篇】19.（2018·湖北省宜昌·10分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求n的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．20.（2018·广东广州·14分）已知抛物线。
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在圆P上。
①试判断：不论m取任何正数，圆P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由；②若点C关于直线的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为，圆P的半径记为，求的值。
第09讲一元二次方程及其应用【疑难点拨】1.一元二次方程易误易混辨析：误区一：忽视一元二次方程的一般形式，易出现将常数项写成1的错误，原因是没将方程化为一元二次方程的一般形式，另外，不用忽视各项系k=±的错误，原因是忽略数的符合.误区二：在解答过程中忽略条件，本题易出现答案为1了二次项系数不为0这一隐含条件.因此，在解答一元二次方程中所含字母的值时，一定要保证二次项系数不为0，从而避免出错.2.一元二次方程的解法：（1）配方法：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐，适合用配方法来解；（2）公式法：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解；（3）因式分解法：适合用因式分解法来解；解一元二次方程关键是方法的选择。
当一个方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。
在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。
注意用公式法求解时，应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0，再确定a、b、c的值，同时还应明确其使用的前提是b2-4ac≥0.3.列一元二次方程解应用题的一般步骤是：(1)审题．分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系． (2)设未知数．一般采取直接设法，有的要间接设．(3)列出方程．要注意方程两边的数量相等．方程两边的代数式的单位相同．(4)解方程．应注意一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．4.、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法：(1)三连续整数：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－1，x＋1．三连续偶数(奇数)：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－2，x＋2．(2)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数为100a＋10b＋c．（3）增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，二次增长后的值为a(1＋x)2．降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，二次降低后的值为a(1－x)2．（4）三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据。
【基础篇】一、选择题：1.用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，3，1【分析】将方程整理为一元二次方程的一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可．【解答】解：将方程整理为一般形式为﹣x2+3x﹣1=0，可得二次项系数a=﹣1，一次项系数b=3，常数项为﹣1．故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，然后计算出根的判别式的值，当b2﹣4ac≥0时，将a，b及c 的值代入求根公式可求出解．2.已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【分析】把x=1代入x2+px+1=0，即可求得p的值.【详解】把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得1+p+1=0，∴p=-2.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.3.九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解．【详解】设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，故x（x-1）=28．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键。