201x-201X学年高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念和通项公式优化练习新人教

第1课时 等差数列的概念和通项公式
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…的通项公式是( )
A ．a n ＝a ＋(n －1)d
B ．a n ＝a ＋(n －3)d
C ．a n ＝a ＋2(n －2)d
D ．a n ＝a ＋2nd
解析：数列的首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2(n －2)d . 答案：C
2．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是它的第几项( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
解析：由已知数列可知，此数列是以3为首项，6为公差的等差数列，∴a n ＝3＋(n －1)×6＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14.
答案：C
3．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( )
A ．－9
B ．－8
C ．－7
D ．－4
解析：法一：由题意，得⎩⎨⎧
a 1＋d ＝－5，a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，
解得a 1＝－8. 法二：由a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)， 得d ＝a n －a m n －m
， ∴d ＝a 6－a 4
6－4＝66－4
＝3. ∴a 1＝a 2－d ＝－8.
答案：B
4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 017等于( )
A ．2 009
B ．2 010
C ．2 018
D ．2 017 解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，且公差d ＝1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，故
a2 017＝2 017.答案：D
5．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( ) A ．50
B ．51
C ．52
D ．53
解析：依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，将a 1＝13代入，得d ＝23
. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13
， 令a n ＝35，解得n ＝53.
答案：D
6．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项是________．
解析：等差中项A ＝
lg 3－2＋lg 3＋22＝lg 12
＝0. 答案：0
7．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
解析：设首项为a 1，公差为d ，
由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，
所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.
答案：3
8．已知48，a ，b ，c ，－12是等差数列的连续5项，则a ，b ，c 的值依次是________． 解析：∵2b ＝48＋(－12)，∴b ＝18，
又2a ＝48＋b ＝48＋18，
∴a ＝33，
同理可得c ＝3.
答案：33,18,3
9．在等差数列{a n }中，已知a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？ 解析：由题意，得d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108.
令450≤a n ≤600，
解得85.5≤n ≤123.
又因为n 为正整数，所以共有38项．
10．一个各项都是正数的无穷等差数列{a n}，a1和a3是方程x2－8x＋7＝0的两个根，求它的通项公式．
解析：由题意，知a 1＋a 3＝8，a 1a 3＝7，
又{a n }为正项等差数列，∴a 1＝1，a 3＝7，
设公差为d ，∵a 3＝a 1＋2d ，∴7＝1＋2d ，
故d ＝3，a n ＝3n －2.
[B 组 能力提升]
1．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( )
A ．52
B ．51
C ．50
D ．49
解析：∵2a n ＋1＝2a n ＋1，
∴2(a n ＋1－a n )＝1.即a n ＋1－a n ＝12
. ∴{a n }是以12为公差的等差数列． a 101＝a 1＋(101－1)×d ＝2＋50＝52.
答案：A
2．在等差数列中，a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，则a m ＋n 为( )
A ．m －n
B ．0
C ．m 2
D ．n 2
解析：法一：设首项为a 1，公差为d ，则 ⎩⎨⎧ a 1＋m －1d ＝n ，a 1＋n －1d ＝m ，解得⎩
⎨⎧
a 1＝m ＋n －1，d ＝－1. ∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d ＝m ＋n －1－(m ＋n －1)＝0.
故选B.
法二：因结论唯一，故只需取一个满足条件的特殊数列：2,1,0，便可知结论，故选B. 答案：B
3．已知1，x ，y,10构成等差数列，则x ，y 的值分别为________．
解析：由已知，x 是1和y 的等差中项，
即2x ＝1＋y ，① y 是x 和10的等差中项，即2y ＝x ＋10②
由①，②可解得x ＝4，y ＝7.
答案：4,7
4．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是________． 解析：由题意得⎩⎨⎧
a 10>1，a 9≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 125＋9d >1，125＋8d ≤1，
∴875<d ≤325. 答案：875<d ≤325
5．已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解析：法一：设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 2，a 3.依题意得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66，
∴⎩⎨⎧ 3a 1＋3d ＝18，a 1·a 1＋d ·a 1＋2d ＝66. 解得⎩⎨⎧ a 1＝11，d ＝－5，或⎩
⎨⎧
a 1＝1，d ＝5. ∵数列{a n }是递减等差数列，∴d <0.
故取a 1＝11，d ＝－5，
∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16，
即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16.
令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10.
∴－34是数列{a n }的项，且为第10项．
法二：设等差数列{a n }的前三项依次为：a －d ，a ，a ＋d ， 则⎩⎨⎧
a －d ＋a ＋a ＋d ＝18，a －d ·a ·a ＋d ＝66，
解得⎩⎨⎧
a ＝6，d ＝±5.
又∵{a n }是递减等差数列，即d <0，
∴取a ＝6，d ＝－5.
∴{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－5.
∴通项公式a n ＝11＋(n －1)·(－5)，
即a n ＝－5n ＋16.
令a n ＝－34，解得n ＝10.
即－34是数列{a n }的项，且为第10项．
6．已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出项数被4除余3的项组成数列{b n }．
(1)求b1和b2；
(2)求{b n}的通项公式；
(3){b n}中的第110项是{a n}的第几项？
解析：(1)∵a1＝3，d＝－5，
∴a n＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n(n∈N*)．
数列{a n}中项数被4除余3的项是{a n}的第3项，第7项，第11项，…，所以其首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项，
即b n＝a m，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴b n＝a m＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n.
∵b n－b n－1＝－20(n≥2，n∈N*)，
∴{b n}是等差数列，其通项公式为b n＝13－20n，n∈N*.
(3)设它是{a n}中的第m项，由(2)知m＝4n－1，
又n＝110，则m＝439.
故{b n}中的第110项是{a n}的第439项．
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