2014-2015年北京市大兴区魏善庄中学高二上学期期中数学试卷及答案(文科)

2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2 B．3 C．4 D．52．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④3．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．364．（3分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④5．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：86．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④7．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2二、填空题8．（3分）面面垂直的判定定理：文字语言：；符号语言：．9．（3分）经过平面外一点可以作个平面平行于这个平面；可以作条直线平行于这个平面．10．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．11．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．12．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．13．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．三、简单题（写出必要的证明过程）14．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH ∥FG．求证：EH∥BD．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°．若AB=BC=AD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，求证：BE∥平面PCD．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点，∴EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD不包含于平面EFGH，∴BD∥平面EFGH，故①正确，③错误；∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴GH∥AC，又GH⊂平面EFGH，AC不包含于平面EFGH，∴AC∥平面EFGH，故②正确，④错误；∵AB∩平面EFGH=E，∴AB与平面EFGH相交，故⑤正确．故选：B．2．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①如果m∥α，n⊂α，m与n平行或异面，故①错误；②如果m⊥α，m⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故②正确；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β或m⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n与β相交，平行或n⊂β，故④错误．故选：B．3．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．36【解答】解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以正视图为底，三棱柱的高为3，直角三角形的两个直角边长度分别为4和3，∴三棱柱的体积为．故选：B．4．（3分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．其中为真命题的是（）【解答】解：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行，故①是假命题；若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行，故②是真命题；若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线与另外一个平面相交或平行，故③是假命题；若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面，故④是真命题．故选：D．5．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8【解答】解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，r=，扇形的面积B=×1×=，圆锥的表面积A=B+πr2=+=，∴A：B=11：8故选：A．6．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）【解答】解：①根据线面垂直的性质以及直线平行的性质可知，若a∥b，a⊥α，则b⊥α，∴①正确．②根据垂直于同一平面的两条直线平行可知②正确．③若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴③错误．④若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴④错误．故选：A．7．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故选：B．二、填空题8．（3分）面面垂直的判定定理：文字语言：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直；符号语言：⇒α⊥β．【解答】解：平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直，用符号语言表示为：⇒α⊥β，故答案为：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直，⇒α⊥β．9．（3分）经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．【解答】解：由平面与平面平行的性质，得：经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．故答案为：1；无数．10．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【解答】解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．11．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．【解答】解：可以设该侧面的正方形边长为A，=A2则S侧面积全面积S=A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比==故答案：12．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．【解答】解：如图，连接BD1，BC1，∵几何体是正方体，∴异面直线BD1与CD所成角，就是直线BD1与C1D1所成角，即∠BD1C1，sin∠BD1C1===．∴异面直线BD1与CD所成角的正弦值为：．故答案为：．13．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．三、简单题（写出必要的证明过程）14．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH ∥FG．求证：EH∥BD．【解答】证明：∵EH∥FG，EH⊄面BCD，FG⊂面BCD∴EH∥面BCD，又∵EH⊂面ABD，面BCD∩面ABD=BD，∴EH∥BD15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°．若AB=BC=AD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，求证：BE∥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠PAD=90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以PA⊥底面ABCD．而CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD．在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，，所以，所以AC⊥CD．又因为PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（6分）（Ⅱ）设侧棱PD的中点为F，连接BE，EF，FC，则EF∥AD，且．由已知∠ABC=∠BAD=90°，所以BC∥AD．又，所以BC∥EF．且BC=EF．所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE∥CF．因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD．（13分）16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．﹣ABC赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EB4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。