用点差法解圆锥曲线问题
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
高考数学《圆锥曲线定点定值问题之定比点差法》
圆锥曲线定点定值问题之定比点差法一：定比点差法原理定比分点：若,MB AM λ=则称点M 为AB 的入定比分点，若()()2211,,,y x B y x A 则⎪⎭⎫ ⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x M 若MB AM λ=且NB AN λ-=,则称N M ,调和分割B A ,,根据定义，那么B A ,也调和分割N M ,.1.定理：在椭圆或双曲线中，设A,B 为椭圆或双曲线上的两点。
若存在P ,Q 两点，满足PBAP λ=，QBAQ λ-=，一定有122=±b y y a x x Q P QP 证明：若()()2211,,,y x B y x A ， PB AP λ=，则⎪⎭⎫⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x P,QB AQ λ-=则⎪⎭⎫⎝⎛----λλλλ1,1:2121y y x x Q ，有2211222222222221x y a b x y a b ①②①—②得：()()()()121212122221.x x x x y y y y a b λλλλλ+-+-±=-即11111112121221212=--•++•±--•++•λλλλλλλλy y y y b x x x x a122=±by y ax x Q P Q P2.在抛物线pxy 22=中，设A,B 为抛物线上的两点。
若存在P ,Q 两点，满足PBAP λ=，QBAQ λ-=，一定有)(Q P Q P x x p y y +=证明：若()()2211,,,y x B y x A ， PB AP λ=，则⎪⎭⎫⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x P,QB AQ λ-=则⎪⎭⎫ ⎝⎛----λλλλ1,1:2121y y x x Q ，有2112222222y px y px ①②①—②得：22222121122()y y p x x x x λλλ-=+--即22121212121212))()y y y y p x x x x x x x x λλλλλλλλ+-=++-+---(( 12121212))()(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y y y p x x p x x λλλλλλλλλλλλ+-+--+=++--+-+(()(Q P Q P x x p y y +=定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程。
圆锥曲线点差法拓展的几个小结论,快速解题
点差法拓展的常考结论点差法拓展的结论有四个，但是推导的方法都是高度一致的。
如下结论1：如下图，直线l 为任意直线，与椭圆22221x y a b+=有两个交点A 、B ，M 为线段AB的中点，则有结论22OM ABb k k a=-推导：根据点差法，设()11,A x y 和()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则2212121222121212OM ABy y y y y y k k x x x x x x +--==+-- 又因为2211221x y a b +=和2222221x y a b +=，二者做差可得22221212220x x y y a b--+= 整理得2221222212y y b x x a-=--，即22OM AB b k k a =- 结论2：如下图，直线l 过原点，交椭圆22221x y a b+=于A 、B 两点，C 为椭圆上任意一点，则有结论22CA CBb k k a=-推导：因为直线过原点，所以必有点A 和点B 关于原点对称，因为可设()11,A x y 和()11,B x y --，设()22,C x y则2221212122212121CA CBy y y y y y k k x x x x x x -+-==-+- 剩下的就跟结论1的推导一模一样的，如下又因为2211221x y a b +=和2222221x y a b +=，二者做差可得22221212220x x y y a b--+= 整理得2221222212y y b x x a-=--，即22CA CB b k k a =- 结论3：如下图，l 为任意直线，交双曲线22221x y a b-=于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则有结论22OM ABb k k a=推导：与结论1的过程一样。
根据点差法，设()11,A x y 和()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则2212121222121212OM ABy y y y y y k k x x x x x x +--==+-- 又因为2211221x y a b -=和2222221x y a b -=，二者做差可得22221212220x x y y a b---= 整理得2221222212y y b x x a-=-，即22OM AB b k k a = 结论4：如下图，直线l 过原点，交双曲线22221x y a b-=于A 、B 两点，点C 为双曲线上任意一点，则有结论22CA CBb k k a=推导：推导与结论2一样。
高中数学圆锥曲线点差法
点差法及其应用一、方法背景弦的中点问题是解析几何中的一类经典问题，除了联立方程组，利用韦达定理并借助设而不求的方法实现问题的求解外，还可以借助点差法进行求解.点差法是解析几何中一种非常经典的思想方法，是体现解析几何核心思想——设而不求的另一重要载体，在解题中占有重要地位，这种方法将直线与曲线的两个交点代入曲线方程，然后作差并进行因式分解运算，借助斜率与中点公式进行求解，这种方法尤其适用于解决圆锥曲线中涉及弦的中点问题通过研究可发现，点差法不仅可以解决弦的中点问题，对其它相关问题也能较为圆满的解决，如涉及圆锥曲线弦的垂直平方线问题、圆锥曲线直径的斜率问题、切线问题等，并且可以类比点差法的思想方法，得到点乘法，解决一些圆锥曲线中的面积问题 二、方法介绍 1.椭圆中的点差法（1）设点B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k证明：设),(),,(2211y x B y x A ，则2212122121222222221221))(())((11b y y y y a x x x x b y a x b y a x +--=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+ 2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--⇒=⋅⇒OP AB k k同理可得：（2）设点B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k 2.双曲线中的点差法（1）设点B A ,是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k（2）设点B A ,是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k 3.抛物线中的点差法（1）设点B A ,是抛物线px y 22=上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB 的斜率存在，则=AB k（2）设点B A ,是抛物线py x 22=上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB 的斜率存在，则=AB k 三．典例分析例1.（2014年江西卷理15）过点)1,1(M 作斜率为21-的直线，与椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x相交于B A ,两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于例2.（2013年全国Ⅰ卷理10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,3(F ，过点F 的直线交E 于B A ,两点，若AB 的中点坐标为)1,1(-P ，则E 的方程为（ ）A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x例3.（2003年江苏卷文10理8）已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y x B.1342=-x C.12522=-y x D.15222=-y x例4.（2014年浙江卷理6）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =，则双曲线的离心率是例5.（2012年浙江卷理8）如图所示，21,F F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C 的两条渐近线分别交于Q P ,两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若221MF F F =，则C 的离心率是（ ）A.332 B.26C.2D.3例6.已知椭圆13422=+y x 上存在两点关于直线m x y +=2对称，则实数m 的取值范围为例7.已知双曲线1322=-y x 上存在两点B A ,关于直线l ：4+=kx y 对称，则实数k 的取值范围为例8.（1992年全国卷理28）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，B A ,是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于点)0,(0x P ，求证：ab a x a b a 22022-<<--例9.（2006年福建卷理20）已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点 （1）求过点F O ,且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程（2）如图所示，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围例10.（2010年天津卷文理21）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，已知点A 的坐标为)0,(a -，),0(0y Q 在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅QB QA ，求0y 的值例11.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，离心率为21，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），21F AF ∆的面积的最大值为3 （1）求椭圆C 的方程（2）设过点1F 的直线l （l 的斜率存在且不为0）与椭圆C 相交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断ABPF 1是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由注：设圆锥曲线Γ的离心率为e ，过其焦点F 且不与轴垂直的弦AB 的垂直平分线交焦点所在的轴于点P ，则=ABFP例12.（2011年江苏卷文理18）在平面直线坐标系xOy 中，N M ,是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于A P ,两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC 并延长，交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值 （2）当2=k 时，求点P 到直线AB 的距离d （3）对任意0>k ，求证：PB PA ⊥例13.（2015年上海卷理21）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点B A ,和D C ,，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S（1）设),(),,(2211y x C y x A ，用C A ,的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明：12212y x y x S -=（2）设21,l l 的斜率之积为21-，求S 的值例14.（2013年山东卷文22）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22 （1）求椭圆C 的方程（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆的面积为46的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OE t OP =，求实数t 的值例15.（2011年山东卷理21）已知动直线l 与椭圆C ：12322=+y x 交于两不同点),(11y x P ，),(22y x Q ，且OPQ ∆的面积26=∆OPQ S ，其中O 为坐标原点 （1）证明：2221x x +和2221y y +均为定值（2）设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值（3）椭圆C 上是否存在点G E D ,,，使得26===∆∆∆OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由练习：例1.（2010年全国新课标卷理12）已知双曲线E 的中心为原点，)0,3(F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于B A ,两点，且AB 的中点为)15,12(--N ，则E 的方程为（ ） A.16322=-y x B.15422=-y x C.13622=-y x D.14522=-y x例2.（2006年北京卷文19）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，341=PF ，3142=PF （1）求椭圆C 的方程（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于B A ,两点，且B A ,关于点M 对称，求直线l 的方程例3.（2014年浙江卷理21）如图所示，设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限（1）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -例4.（2015年陕西卷理20）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距为c ，原点O 到经过两点),0(),0,(b c 的直线的距离为c 21 （1）求椭圆E 的离心率（2）如图所示，AB 是圆M ：25)1()2(22=-++y x 的一条直径，若椭圆E 经过B A ,两点，求椭圆E 的方程例5.（2019年全国II 卷理21）已知),(),0,2(),0,2(y x M B A -为坐标系内任意一点，且满足直线MA 和MB 的斜率之积为21-，设M 的轨迹为曲线C （1）求C 的方程，并说明表示什么曲线（2）过坐标原点的直线交C 于Q P ,，点P 在第一象限，⊥PE x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G（i ）证明：PQG ∆为直角三角形（ii ）求PQG ∆面积的最大值例6.（2012年湖北卷文理21）设A 是单位圆122=+y x 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足0(>=m DA m DM ，且)1≠m ，当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于Q P ,两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的0>k ，都有PH PQ ⊥若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。
圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）
圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）点差法分析中点及斜率（圆锥曲线）Ø方法导读我们在解答圆锥曲线题目时,经常会碰到一些中点弦的问题,比如根据弦的斜率求中点坐标,根据中点坐标求弦的斜率,或者其它一些跟中点弦相关的计算和证明等等.按照常规思路,我们会联立直线和圆锥曲线方程,消去或,然后通过韦达定理来处理中点弦的问题,这样能得到我们所要求的结果,但计算量会比较大,一不小心就会算错,造成失分.今天来介绍下圆锥曲线中的点差法,专门针对中点弦的问题进行简化运算,快速得到答案.Ø高考真题【2018年高考Ⅲ卷理20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.Ø解题策略【过程分析】我们来分析下第一问,第二问不在本专题研究范围之内,学生可自行总结.题目中出现了弦的中点坐标条件,证明的结论是弦的斜率范围.根据正常思路,先设出直线方程为,代入中点坐标可得,联立直线和椭圆,消去y得,然后将代入得到不等式,再结合中点的条件及的范围得到的范围,又或者先求出的表达式,然后结合的范围分析求解. 解题思路上不算太复杂,套路也是常用的处理方式,但计算量大,非常容易算错,费事费力,一不小心就会造成选择不对,努力白费的局面,所以这个时候选择一个好方法就显得尤为重要,点差法就是专门处理这类中点弦的问题的快捷方法,通过将点的坐标代入曲线方程,然后作差能快速得到斜率和中点的关系,从而大大简化运算,轻松得分.Ø解题过程(1)设,,则,,两式相减,并由得.由题设知,,,于是.①又数形结合可知,故;(2)由题意得,设,则,由(1)及题设得,.又点在上,所以,从而,. ∴. 同理,所以,故,即,,成等差数列.设该数列的公差为,则.②将代入①得.所以的方程为,代入的方程,并整理得.故,,代入②解得.所以该数列的公差为或.Ø解题分析从解析第一问中可以看出,我们用点差法来处理中点弦的问题是极为方便的,计算量小,思路也很简单.设出弦与曲线的交点坐标,,因为点在曲线上,故代入曲线方程可得,,然后作差,作差是点差法的精髓所在,作差之后我们可以得到,平方差公式展开得,然后根据两点间的斜率公式和中点坐标公式,代入就可以得到,表达式中中点坐标和弦的斜率关系一目了然,简明扼要,然后在根据的范围得到的范围. 所以点差法用在弦的中点和斜率关系的求解上绝对可以起到事半功倍的效果,没有了冗长的计算,学生学起来不但轻松了,而且学习兴趣也会大大提高,增强学习数学的自信心.Ø拓展推广点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点坐标和斜率有关的式子,我们称这种代点作差的方法为“点差法”.结论:结论1:斜率为的直线与椭圆交于,两点,中点为,则.结论2:斜率为的直线与双曲线交于,两点,中点为,则.结论3:斜率为的直线与抛物线交于,两点,中点为,则.若圆锥曲线的焦点在y轴上,结论如何,请同学们结合点差法自己动手推理试试.点差法应用题型:1.以定点为中点的弦所在的直线方程2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹3.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题4.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程或离心率等5.与中点弦有关的证明定值,求参数范围,存在性问题等等注意事项:利用点差法时,有时要验证求出的结果是否满足直线与曲线相交的要求,可用判别式分析.举例说明:已知双曲线的方程,问是否存在被点平分的弦,如果存在,求出弦所在的直线方程,如果不存在,请说明理由.按照常规的解法:设直线的方程为,与双曲线方程联立,由得,且,但是由“点差法”仍然可得到一条直线的斜率,显然不符合题意,由此可见“点差法”是有局限性的.事实上,(1)若中点在圆锥曲线(包括圆)内部,则满足条件的直线必定存在;(2)若中点在圆锥曲线(包括圆)上,则满足条件的直线必不存在;(3)若中点在圆锥曲线(除双曲线外)外部,则满足条件的直线必不存在.特别地,对于点在双曲线的外部时,满足时直线必定存在,否则一定不存在(当点在坐标轴上时属于特殊情况,应当特殊考虑). 拓展:定比点差法圆锥曲线中涉及“中点、中点弦”等问题可以考虑使用“点差法”. 有时问题中不出现“中点”,而是“定比分点”,这时可以考虑使用“定比点差法”. 定比点差法与点差法类似,都是根据某两点在圆锥曲线上,则这两点满足曲线方程,然后作差. 定比点差法代点后一个等式不变,另一个等式两边同乘以,再相减.设,在二次曲线上,则,两式作差得,即①,若,则,即②,将②代入①得③,然后根据条件进行相应分析即可.变式训练1已知直线与抛物线交于,两点,则线段中点坐标是__________.变式训练2已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、两点,且点是线段的中点.若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,请说明理由.变式训练3已知椭圆,(1)求斜率为的平行弦的中点轨迹方程;(2)过的直线的椭圆相交,求被椭圆截得的弦的中点轨迹方程;(3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 变式训练4已知过点的直线与椭圆且相交于,两点,中点坐标为且(为坐标原点).(1)求直线的方程;(2)证明:为定值. 变式训练5 如图,在中,,,,椭圆以,为焦点且过点,点为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点满足,问是否存在不平行的直线与椭圆交于不同的两点,且,若存在,求出直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由. 答案变式训练1设中点坐标为,则①又由点差法知,即②由①②知:,故所求为.变式训练2见解析设存在被点平分的弦,且,,则,.∵点在曲线上,∴,, 两式相减,得,∴,故直线.由消去y,得,,方程无解,故不存在这样的直线. 变式训练3见解析(1)设这些平行弦的方程为,弦的中点为.联立直线方程和椭圆方程:,消去y得,因此,,∴,的横纵坐标是,,,消去得平行弦的中点轨迹方程为:,.(2)设弦的端点为,,弦的中点为.∴,∴,∵,因此,化简得.(包含在椭圆内部的部分) (3)由(2)可得弦所在直线的斜率为,因此所求直线方程是:,化简得:.变式训练4 见解析(1)设,,∴,①-②得,∵中点坐标为,∴.∴直线的方程为。
圆锥曲线问题中的“设而不求”和“用点差法解圆锥曲线的中点弦问题”
⎪⎪ 3 ⎧x + x = 6 ， 即 ⎨ 1 ⎨⎩ 1 ⎪0 = ⎪⎩又 B 、 C 在椭圆上，∴ x 21 ⋅ 1 = -2 2=y -y圆锥曲线问题中的“设而不求”设而不求是解析几何中一种常用的重要方法和技巧，它能使问题简化。
但如何使用这种 方法，在使用中应注意哪些问题，却经常困扰着同学们。
在此笔者愿跟大家谈谈对上述问题 的看法与认识。
一、 哪些问题适合“设而不求”一般说来，解题中涉及不到但又不具体求出的中间量（称为相关量）可采取“设而不求，整体思想”。
具体体现在：①与弦的中点有关的问题；②定值与定点问题；③对称性问 题。
中点坐标公式、斜率公式和根与系数的关系是“设而不求，整体思想”的马前卒。
1、与弦中点有关的问题例 1、 已知 ∆ABC 是椭圆 x 2 y 2+ = 1 的一个内接三角形，且 A(0,4) ，若 ∆ABC 的20 16重心恰为椭圆的右焦点，求 BC 边所在直线的方程。
解：易求得椭圆的右焦点为 F (2,0) ，令 B( x , y ), C ( x , y ) ，由重心公式，得2 11222 =12⎧ 0 + x + x 2 4 + y + y y + y = -41 2 2 3。
∴ BC 的中点 D(3,-2) ，y 2 x 2 y 21 + 1 = 1 ，2 + 2 = 1 ，20 16 20 16两式相减，得 x 2 - x 2 y 2 - y 2 2 1 +2 120 16= 0 ，∴ y 2 - y 2 4 y - y y + y 42 1 =- ，即 。
x 2 - x 2 5 x - x x + x 52 1 2 1 2 1∴ kx - x2 12 1= 6 5。
由点斜式， BC 边所在直线的方程为 y + 2 = 6( x - 3) ，即 6 x - 5 y - 28 = 0 。
5点评：与弦中点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中 点坐标联系起来，相互转化。
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为、为的中点又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。
例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。
若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。
策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。
（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。
二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。
解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即点的坐标为。
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立①②解得，所求椭圆的方程是四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，这就是弦中点轨迹方程。
它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得例7、已知抛物线C: 和直线为使抛物线上存在关于对称的两点，求的取值范围。
解：设抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，线段的中点为，则，①，②① －②可得：＝，即由于，所以，故，即，即。
[圆锥曲线的易错类型题剖析] 圆锥曲线点差法
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[圆锥曲线的易错类型题剖析] 圆锥曲线点差法圆锥曲线是高中数学的重点内容，也是高考命题的一个热点.圆锥曲线题目涉及的知识面广，综合性强，在解题过程中稍有疏忽就会出现错误.下面以双曲线为例将最常见的错误解法举例说明，并进行错因剖析.一、在涉及直线与圆锥曲线位置关系时，忽略联立后所得方程的判别式的情况.1.中点弦问题使用“点差法”不注意直线存在的条件.例1：已知双曲线x-=1，问过点A（1，1）是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在求出直线l的方程，若不存在请说明理由.错解：设符合题意的直线l存在，并设P（x，y），Q（x，y），x-=1x-=1？圯（x-x）（x+x）=（y-y）（y+y）.由A（1，1）为PQ的中点，∴x+x=2，y+y=2，∴直线l的斜率k==2，∴符合条件的l直线存在，其方程为：2x-y-1=0.错解分析：以上解法中忽略了直线的存在性，故必须结合题意进行验证.正解：在上述解题的基础上，由y=2x-1x-=1得2x-4x+3=0，再由Δ=-80，b>0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为，直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m的取值范围.错解：由已知，有e=1+==解之得：a=3，b=1所以双曲线方程为-y=1.把直线y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：（1-3k）x-6kmx-3m-3=0由题意得△=m+1-3k>0（1）设CD中点为P（x，y），则AP⊥CD，且易知：x=，y=所以k==-？圯3k=4m+1（2）将（2）式代入（1）式得m-4m>0，解得m>4或m0所以m>-，故所求m的范围应为m>4或-。
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用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一、 以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y
又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642
222=+y x
两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x
于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2
1244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2
11--=-x y ，即042=-+y x 。
例2、已知双曲线12
2
2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B
则221=+x x ，221=+y y
122121=-y x ，122
222=-y x 两式相减，得
0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22
121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB
由⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。
（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆125
752
2=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2
10=x 12021==+x x x ， 0212y y y =+
又 125752121=+x y ，125
752222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y
即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0
212123y x x y y -=-- 32
121=--=x x y y k ∴ 3230=-y ，即210-=y ∴点M 的坐标为)2
1,21(-。
例4、已知椭圆125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则
x x x 221=+， y y y 221=+
又 125752121=+x y ，125
752222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y
即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即y
x x x y y 32121-=--
32
121=--=x x y y k ∴33=-y x ，即0=+y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+125
75022x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内
∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2
35235(0<<-
=+x y x 三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为
21，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为122
22=+b
x a y ，则5022=-b a ┅┅① 设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则
210=x ，2
12300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又1221221
=+b x a y ，1222222
=+b
x a y 两式相减得0))(())((21212
21212=-++-+x x x x a y y y y b
即0)()(212212=-+--x x a y y b ∴ 2
2
2121b a x x y y =-- ∴ 322=b a ┅┅② 联立①②解得752=a ，252
=b ∴所求椭圆的方程是125
752
2=+x y 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦21P P 的中点，则12432
121=+y x ，12432
222=+y x
两式相减得，0)(4)(322212221=-+-y y x x
即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x
x x x 221=+，y y y 221=+，4
12121-=--x x y y ∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。
它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立⎩⎨⎧+==m x y x y 43，得⎩⎨⎧-=-=m
y m x 3 则必须满足22433x y -<， 即22433)3(m m -<，解得13
13213132<<-m 五、注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。