2015年历年华东师大版初三数学中考总复习二十九锐角三角函数精练精析2及答案
教育最新K12华师大版九年级数学下册课后练习：锐角三角函数 课后练习一及详解
学科：数学专题：锐角三角函数重难点易错点解析题面：已知：如图，△ABC中，AC=10，sin C=45，sin B=13，求AB．金题精讲题面：如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则( )A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°满分冲刺题一：题面：如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=210，AB=20，求∠A的度数.题二：题面：(1)如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．题三：题面：已知cos α+cos β=12，sin α+sin β=2，则cos(α-β)=______课后练习详解重难点易错点解析答案：24．详解：作AD ⊥BC 于D 点，如图所示，在Rt△ADC 中，AC =10，sin C =45， ∴AD =A Csin C =10×45=8， 在Rt△ABD 中，sin B =13，AD =8， 则AB =sin AD B=24．金题精讲答案：C.详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A 、由于在Rt △ABO 中∠AOB 是直角，所以B 到AO 的距离是指BO 的长. ∵AB ∥OC ，∴∠BAO =∠AOC =36°.在Rt △BOA 中，∵∠AOB =90°，AB =1，∴BO =AB sin36°=sin36°.故本选项错误.B 、由A 可知，选项错误.C 、如图，过A 作AD ⊥OC 于D ，则AD 的长是点A 到OC 的距离.在Rt △BOA 中，∵∠BAO =36°，∠AOB =90°，∴∠ABO =54°.∴AO =AB •sin54°= sin54°.在Rt △ADO 中， AD =AO •sin36°=AB •sin54°•sin36°=sin54°•sin36°.故本选项正确.D 、由C 可知，选项错误.故选C.满分冲刺题一：答案：∠A =30°.详解：∵在直角三角形BDC 中，∠BDC =45°，BD =210，∴BC =BD •sin∠BDC=. ∵∠C =90°，AB =20，∴101sin 202BC A AB ∠===. ∴∠A =30°.题二： 答案：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜si n62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．详解：(1)由图①，知sin∠B 1AC 1=111B C AB ，sin∠B 2AC 2=222B C AB ，sin∠B 3AC 3=333B C AB ． ∵AB 1=AB 2=AB 3且B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3， ∴111B C AB ＞222B C AB ＞333B C AB ． ∴sin∠B 1AC 1＞sin∠B 2AC 2＞sin∠B 3AC 3．而∠B 1AC 1＞∠B 2AC 2＞∠B 3AC 3，而对于cos∠B 1AC 1=11AC AB ， cos∠B 2AC 2=22AC AB ， cos∠B 3AC 3=33AC AB ． ∵AC 1＜AC 2＜AC 3，∴cos∠B 1AC 1＜cos∠B 2AC 2＜cos∠B 3AC 3．而∠B 1AC 1＞∠B 2AC 2＞∠B 3AC 3．由图②知sin∠B 3AC =33B C AB ，∴sin 2∠B 3AC =2323B C AB ． ∴1-sin 2∠B 3AC =1-2323B C AB =222332233AC =AB B C AB AB -=23AC AB ． 同理，sin∠B 2AC =22B C AB ，1-sin 2∠B 2AC =222AC AB ， sin∠B 1AC =12B C AB ，1-sin 2∠B 1AC =221AC AB ． ∵AB 3＞AB 2＞AB 1，∴223AC AB <222AC AB <221AC AB ． ∴1-sin 2∠B 3AC ＜1-sin 2∠B 2AC ＜1-sin 2∠B 1AC ．∴sin 2∠B 3AC ＞sin 2∠B 2AC ＞sin 2∠B 1AC ．∵∠B 3AC ，∠B 2AC ，∠B 1AC 均为锐角，∴sin∠B 3AC ＞sin∠B 2AC ＞sin∠B 1AC ．而∠B 3AC ＞∠B 2AC ＞∠B 1AC ．而对于cos∠B 3AC =3AC AB ， cos∠B 2AC =2AC AB ， cos∠B 1AC =1AC AB ． ∵AB 3＞AB 2＞AB 1， ∴3AC AB ＜2AC AB ＜1AC AB ． ∴cos∠B 3AC ＜cos∠B 2AC ＜cos∠B 1AC ．而∠B 3AC ＞∠B 2AC ＞∠B 1AC ．结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)由 (1)知sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．题三：答案：-12．详解：已知等式平方得：(cosα+cosβ)2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=14①，(sinα+sinβ)2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=34②，①+②得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1，即cosαcosβ+sinαsinβ= -12，则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= -12．。
[推荐学习]华师大版九年级数学下册课后练习：期中期末串讲--锐角三角函数+课后练习及详解
![[推荐学习]华师大版九年级数学下册课后练习：期中期末串讲--锐角三角函数+课后练习及详解](https://img.taocdn.com/s3/m/4f0a32f8b14e852459fb5701.png)
期中期末串讲--锐角三角函数课后练习主讲教师：黄老师题一：(1)在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AB =4，则sin B 的值是___________．(2)计算：sin 245°－2tan30°tan60°+cos 245°+0-．题二：(1)在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =12，AC =5，则sin A 的值是___________．(2)计算：22sin 60tan 45(-︒︒-．题三：已知：如图在△ABC 中，∠A =30°，tan B =13，BC AB 的长为________．题四：如图，在△ABC 中，∠A =45︒，∠B =30°，BC =8，求AC ，AB 的长．题五：如图，用线段AB 表示的高楼与地面垂直，在高楼前D 点测得楼顶A 的仰角为30°，向高楼前进60米到C 点，又测得楼顶A 的仰角为45°，且D 、C 、B 三点在同一直线上，求该高楼的高度．题六：如图，小明在坡度为1：2.4的山坡AB 上的A 处测得大树CD 顶端D 的仰角为45°，CD 垂直于水平面，测得坡面AB 长为13米，BC 长为9米，A 、B 、C 、D 在一个平面内，求树高CD ．题七：如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点F，且交BA的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若cos∠BAC=13，⊙O的半径为6，求线段CD的长．题八：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．(1)试判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；(2)若tan B DE=，求⊙O的直径．期中期末串讲--锐角三角函数课后练习参考答案题一：；0． 详解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AB =4，∴AC sin B =AC AB ；(2)原式2－2)2+1=－1+1=0．题二：94-． 详解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =12，AC =5，∴BC sin A =BC AB ；(2)原式2×1－3=34×1－3=94-．题三：详解：过点C 作CD ⊥AB 于D ，设CD =x ，根据题意BD =3x ，x 2+(3x )22，解得x =1，∴ BD =3，∵∠A =30°，tan A =x AD ，∴AD =tan30x ︒AB =AD +BD题四： 4+详解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △BCD 中，CD =BC sin ∠B =4，BD =BC cos ∠B =，在Rt △ACD 中，AD =tan CD A ∠=4，AC =sin CD A∠=∴AB =AD +BD =4+题五：米．详解：在Rt △ABC 中，∠ACB = 45°，∴BC =AB ，在Rt △ABD 中，∠ADB =30°，∴BD =tan30AB ︒，∴DC =BD －BC 1)AB =60，∴AB．答：楼的高度为米．题六： 26米．详解：作AF ⊥BC 延长线于点F ，AE 垂直大树于点E ，∵山坡AB 的坡比为1：2.4，∴AF BF =1：2.4， 设AF =x ，则BF =2.4x ，在Rt △AFB 中，AF 2+BF 2=AB 2=132，即x 2+(2.4x )2=132， 解得x =5，则BF =2.4x =12，∵BC =9，∴FC =12+9=21，∵四边形AFCE 为矩形，∴AE =FC =21，∵山坡AB 上的A 处测得大树CD 顶端D 的仰角为45°， ∴ED AE=tan45°，∴DE =tan45AE ⋅︒=21， 则DC =ED +EC =21+5=26，答：树高为26米．题七： 见详解．详解：(1)连接BD 、OD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°，即BD ⊥AC ，∵BA =BC ，∴D 为AC 中点，又O 是AB 中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥BC ，∴∠BFE =∠ODE ， ∵DE ⊥BC ，∴∠BFE =90°，∴∠ODE =90°，∴OD ⊥DE ， ∴直线DE 是⊙O 的切线；(2)∵⊙O 的半径为6，∴AB =12，在Rt △ABD 中，cos ∠BAC =AD AB =13，∴AD =4， 由(1)知BD 是△ABC 的中线，∴CD =AD =4．题八： 是，16．详解：(1)DE 是⊙O 的切线．理由如下：如图，连接OD ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ．∵OB =OD ，∴∠B =∠BDO ，∴∠C =∠BDO ，∴OD ∥AC ． ∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(2)如图，连接AD ，∵∠B =∠C ，tan B ，∴tan C ，∴∠C =30°，在Rt △DEC 中，∵sin C =sin30°=DE CD，∴CD =2DE在Rt △ADC 中，∵cos C =cos30°=CD AC ， ∴AC =16．∴直径AB =16．。
九年级中考总复习(华师大版)精练精析：二十九、锐角三角函数1(17页)
九年级中考总复习（华师大版）精练精析：二十九、锐角三角函数1（17页）一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB 的正弦值是（）A．B．C．D．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A．2 B．8 C．2 D．44．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2 B．1 C．D．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，9在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是_________ ．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是_________ ．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= _________ ．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC= _________ ．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= _________ ．15．cos60°= _________ ．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= _________ ．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=_________ ．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC 的值．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB 的值．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）图形的变化——锐角三角函数1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，则BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．则tan∠CFB==．故选：C．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB 的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．专题：网格型．分析：作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．解答：解：作AC⊥OB于点C．则AC=，AO===2，则sin∠AOB===．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A． 2 B．8 C．2 D．4考点：锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．解答：解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选：A．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．解答：解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，∴tanA==．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A． 2 B．1 C．D．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A． 1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，考点：解直角三角形．专题：新定义．分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．9．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°考点：解直角三角形．分析：利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选：D．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是．考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．专题：计算题．分析：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．解答：解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=4，∴AB=2CD=8，则sinB===．故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．解答：解：tanA==，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．解答：解：如图，由勾股定理得AC=2，AD=4，cosA=，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．分析：根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．cos60°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：cos60°=．故答案为：点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= 60°．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．解答：解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C= 75°．考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：先根据△ABC中，tanA=1，cosB=，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0∴tanA=1，cosB=∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．故答案为：75°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题；压轴题．分析：（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C 所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．解答：解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，解答此题的关键是过B作BD⊥AC，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC 的值．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．解答：解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，∴AC===13，∴sinC==．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形，得到BD=BC，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．解答：解：∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=BC，在Rt△ABC中，tan∠A=tan30°=，即=，解得：BC=2（+1）．点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB 的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA==，求出AD=4，则BD=AB ﹣AD=8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB==，cosB==，由此求出sinB+cosB=．解答：解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴tanA===，∴AD=4，∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，∴BC==10，∴sinB==，cosB==，∴sinB+cosB=+=．故答案为：点评：本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解解答：解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD=1，∴AB=3，∵BD2=AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C=45°，∴CD=AD=1．∴BC=BD+DC=+1．点评：本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：（1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；（2）先计算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．解答：解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB=3，∴AD=BD=3；（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△BCD中，tan∠C===．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO 中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．。
华师大版九年级数学下册课后练习：锐角三角函数+课后练习一及详解
学科：数学专题：锐角三角函数重难点易错点解析题面：已知：如图，△ABC中，AC=10，sin C=45，sin B=13，求AB．金题精讲题面：如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则( )A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°满分冲刺题一：题面：如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=210，AB=20，求∠A的度数.题二：题面：(1)如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．题三：题面：已知cos α+cos β=12，sin α+sin β=2，则cos(α-β)=______课后练习详解重难点易错点解析答案：24．详解：作AD ⊥BC 于D 点，如图所示，在Rt△ADC 中，AC =10，sin C =45， ∴AD =A Csin C =10×45=8， 在Rt△ABD 中，sin B =13，AD =8， 则AB =sin AD B=24．金题精讲答案：C.详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A 、由于在Rt △ABO 中∠AOB 是直角，所以B 到AO 的距离是指BO 的长. ∵AB ∥OC ，∴∠BAO =∠AOC =36°.在Rt △BOA 中，∵∠AOB =90°，AB =1，∴BO =AB sin36°=sin36°.故本选项错误.B 、由A 可知，选项错误.C 、如图，过A 作AD ⊥OC 于D ，则AD 的长是点A 到OC 的距离. 在Rt △BOA 中，∵∠BAO =36°，∠AOB =90°，∴∠ABO =54°.∴AO =AB •sin54°= sin54°.在Rt △ADO 中， AD =AO •sin36°=AB •sin54°•sin36°=sin54°•sin36°.故本选项正确.D 、由C 可知，选项错误.故选C.满分冲刺题一：答案：∠A =30°.详解：∵在直角三角形BDC 中，∠BDC =45°，BD =210，∴BC =BD •sin∠BDC=. ∵∠C =90°，AB =20，∴101sin 202BC A AB ∠===. ∴∠A =30°.题二： 答案：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．详解：(1)由图①，知sin∠B 1AC 1=111B C AB ，sin∠B 2AC 2=222B C AB ，sin∠B 3AC 3=333B C AB ． ∵AB 1=AB 2=AB 3且B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3， ∴111B C AB ＞222B C AB ＞333B C AB ． ∴sin∠B 1AC 1＞sin∠B 2AC 2＞sin∠B 3AC 3．而∠B 1AC 1＞∠B 2AC 2＞∠B 3AC 3，而对于cos∠B 1AC 1=11AC AB ， cos∠B 2AC 2=22AC AB ， cos∠B 3AC 3=33AC AB ． ∵AC 1＜AC 2＜AC 3，∴cos∠B 1AC 1＜cos∠B 2AC 2＜cos∠B 3AC 3．而∠B 1AC 1＞∠B 2AC 2＞∠B 3AC 3．由图②知sin∠B 3AC =33B C AB ，∴sin 2∠B 3AC =2323B C AB ． ∴1-sin 2∠B 3AC =1-2323B C AB =222332233AC =AB B C AB AB -=23AC AB ． 同理，sin∠B 2AC =22B C AB ，1-sin 2∠B 2AC =222AC AB ， sin∠B 1AC =12B C AB ，1-sin 2∠B 1AC =221AC AB ． ∵AB 3＞AB 2＞AB 1，∴223AC AB <222AC AB <221AC AB ． ∴1-sin 2∠B 3AC ＜1-sin 2∠B 2AC ＜1-sin 2∠B 1AC ．∴sin 2∠B 3AC ＞sin 2∠B 2AC ＞sin 2∠B 1AC ．∵∠B 3AC ，∠B 2AC ，∠B 1AC 均为锐角，∴sin∠B 3AC ＞sin∠B 2AC ＞sin∠B 1AC ．而∠B 3AC ＞∠B 2AC ＞∠B 1AC ．而对于cos∠B 3AC =3AC AB ， cos∠B 2AC =2AC AB ， cos∠B 1AC =1AC AB ． ∵AB 3＞AB 2＞AB 1， ∴3AC AB ＜2AC AB ＜1AC AB ． ∴cos∠B 3AC ＜cos∠B 2AC ＜cos∠B 1AC ．而∠B 3AC ＞∠B 2AC ＞∠B 1AC ．结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)由 (1)知sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．题三：答案：-12．详解：已知等式平方得：(cosα+cosβ)2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=14①，(sinα+sinβ)2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=34②，①+②得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1，即cosαcosβ+sinαsinβ= -12，则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= -12．。
华东师大初中数学中考总复习锐角三角函数综合复习 知识讲解提高精选
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．BcaACba的对边?A??sin A sinA，即；的正弦，记作锐角A的对边与斜边的比叫做∠Ac斜边b的邻边?A?cos?A，即cosAA的余弦，记作A锐角的邻边与斜边的比叫做∠；c斜边a的对边?A??A tan，即的正切，记作.tanA锐角A的对边与邻边的比叫做∠A b?的邻边AbB?的对边?B的对边baB的邻边???cos B???sin B?tan B 同理．；；aB斜边c?的邻边c斜边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．，，，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 (2)sinA，cosA，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成、．、、常写成“tanAEF ”；另外，、 (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：?sin90sin?0、、、、、、、1、的值依次为0，而cos0?cos90?的值的顺序正好相反，、、、、、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)．)或增大(而减小)或减小(②余弦值随锐角度数的增大考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．，；互余关系： (1)平方关系： (2)；；或倒数关系： (3)商数关系： (4)．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：勾股定理+b). ①三边之间的关系：a=c ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.222(③边角之间的关系：，，，.，，，h为斜边上的高 .④要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条解法步，由A求∠两ABCb)(a两直角边，△Rt 边，A°－∠B=90∠．由求∠A，∠B=90a)°－∠A，斜边，一直角边(如c，∠B=90°－∠A，锐角、邻边(如∠A，b)，一直角边一和一锐角，B=90°－∠A∠边锐角、对边一a) A，(如∠，角 B=90°－∠A，∠A)如c，∠(斜边、锐角，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则如图，，.的形式∶=坡度通常写成(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形例如：.来解．3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，222c?a?b； (1)三边之间的关系：°；∠B＝90 (2)两锐角之间的关系：∠A+aab cos A?cos B?cos A??sin A cos B?sin B?，之，，：间的关系边 (3)与角ccca1?tan A?．b tan B (4)如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD ＝h，AD＝q，DB＝p，则CBD∽△ABC，得a＝pc；2由△CAD∽△BAC，得b＝qc；2由△ACD∽△CBD，得h＝pq；2由△由△ACD∽△ABC或由△ABC面积，得ab＝ch．中斜边上的中线，则ABC是直角三角形CD如图所示，若(5)．1AB；BD＝①CD＝AD＝21AB．②点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径R＝2abc?b?ar??的内切圆半径，则是直角三角形 ABC(6)如图所示，若r．c?b?2a直角三角形的面积：111ab?ch?acS?sin B．（h为斜边上的高）①如图所示，ABC△2221r(a?b?S?c)．②如图所示，ABC△2【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例2】1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．10． D·sin50°10cos50 B10．·tan50°．10·° C． A sin50°3，求°，＝中，∠如图所示，在△(2)ABCC90sinAcosA+tanB＝的值．5．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．BC3?sin A?．，∠ (2)在△ABCC＝90°，AB5设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，4k4k32??tan B??cos A∴．5k3k15 (3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°2AC?∠B＝∠D，所以． sinB＝sinD＝3AD【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin A+cos A＝1，读者可自22 (2)己尝试完成．举一反三：）的值为（cosA的三个顶点均在格点上，则（2015?乐山）如图，已知△ABC】变式【．．C．D A ．B．【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，=，AB=AD==2， cosA===故选：D．类型二、特殊角的三角函数值【高清课堂：锐角三角函数综合复习例1】2．解答下列各题：tan60°?tan45°sin45°??sin30°；化简求值： (1) sin60°?cos30°cos45°1?2sin A cos A．°，化简＝90 中，∠ (2)在△ABCC【思路点拨】(2)题可以先利用关系式sin A+cos A＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式．22第【答案与解析】tan60°?tan45°sin45°??sin30° (1)解sin60°?cos30°cos45°131??1???1?23233?2213-?32．1?2sin A cos A∵ (2)22A?2sincos?A cos?sin AA2?|sin A?cos A?(sin A?cos A)|，cos A?sin A(0°≤A?45°)?1?2sin A cos A?∴．?sin A?cos A(45°?A?90°)?【总结升华】(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sinαcosα=(sinα±cosα)．2由第12??(t cos??1)sin．，则＝t 例如，若设sinα+cosα2举一反三：【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例1】32?????2sinsincos?)tan(的值)，求. ，(2α，，β为锐角【变式】若23【答案】3?2sin，且2α为锐角，∵2∴2α＝60°，α＝30°．12???cos??sin，∴22∴β＝45°．23??tan30tan(°)?．∴33，2015（春?凉州区校级月考）如图，在锐角△ABC中，AB=15BC=14，S=84，求：．3△ABC sinA2的值；）（1tanC（）的值．ABC【思路点拨】．（1）过A作AD⊥BC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD、AC的长，此时再求tanC的值就不那么难了．（2）同理作AC边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA的值．【答案与解析】解：（1）过A作AD⊥BC于点D．=BC?AD=84，∵S ABC△AAD=84，∴×14×AD=12．∴E，又∵AB=14B BD=∴．=9CD．﹣9=5∴CD=14=13AC=△ADC中，，在Rt；=∴tanC= E．⊥AC于点（2）过B作BE，AC?EB=84∵S=ABC△∴，BE=．sin∠BAC===∴考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，以及解直角三角形公式的灵【总结升华】活应用．举一反三：为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在千米，C】如图，变式AB是江北岸滨江路一段，长为3【处连接两岸的最短的桥长为C在C的东北方向，从30经测量得A在C 北偏西°方向，BC渡口处架桥.)千米精确到0.1多少千米？(D.AB于点CD【答案】过点C作⊥CD就是连接两岸最短的桥.设CD=x（千米）.在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.=°x.∠ACD=x·tan30°，所以在直角三角形ACD中，∠ACD=30AD=CD×tanx=≈1.9(x=3，千米因为AD+DB=AB，所以).x+答：从C处连接两岸的最短的桥长约为1.9千米.类型三、解直角三角形及应用432::S?S?DCB cos?，⊥4．如图所示，D是AB上一点，且CDAC于C，，CDB△ACD△5的长．＝18，求tanA的值和ABAC+CD【思路点拨】解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．【答案与解析】解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．CD4?cos?DCE?，∵CE5设CD＝4k(k＞0)，则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，S:S?2:3．＝∴AD:DB CDB△△ACD55DE??3k?5kAC?即．334kCD4?tan??A∴．5AC5k∵AC+CD＝18，∴5k+4k＝18，解得k＝2．22?41k?241AD?AC?CD．∴3541．∴ABAD＝＝AD+DB＝AD+2．【总结升华】在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．5．如图所示，山脚下有一棵树AB，小华从点B沿山坡向上走50 m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．【思路点拨】本题是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解．【答案与解析】解：如图所示，延长CD交PB于F，则DF⊥PB．∴DF＝DB·sinl5°≈50×0.26＝13.0，CE＝BF＝DB·cos15°≈50×0.97＝48.5．∴AE＝CE·tan10°≈48.5×0.18＝8.73．∴AB＝AE+CD+DF＝8.734+1.54+13.0≈23.2(m)．答：树高约为23.2 m．【总结升华】一些特殊的四边形，可以通过切割补图形的方法将其转化为若干个直角三角形来解．举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC的边长为2，点D在BC的延长线上，CD＝3．(1)动点P在AB上由A向B移动，设AP＝t，△PCD的面积为y，求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC＝z，求z与t之间的函数关系式．【答案】．BP＝AB-AP＝2-t(0≤t＜2)解：(1)作PE⊥BC于E，则°，∵∠B＝603113)?t sin B?(2CDS?PE?CDBP，∴PCD△22223333t?(0y???t?2)．即4231(2?t)PE?)(2?tBE?不难得出，(2)由(1)，．2211(2?t)?(2?t?EC?BC?BE?2)．∴2231222222PC?PE?EC?(2?t)?(2?t)?t?2t?4．∵442?2t?4(0?z?tt?2)．∴6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO与BO的长．(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD＝2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑了多少米；②如图(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．【思路点拨】．（1）在直角△AOB中，已知斜边AB，和锐角∠ABO，即可根据正弦和余弦的定义求得OA，OB的长；（2）△APO和△P′A′O都是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等，即可求得∠PAO的度数，和∠P′A′O的度数，在直角△ABO和△A′B′O中，根据三角函数即可求得OA与OA′，即可求得AA′的长．【答案与解析】解：(1)Rt△AOB中，∠O＝90°，α＝60°，∴∠OAB＝30°．又AB＝4米，1AB＝2米．∴OB＝2332×4sin 60°＝ OA＝＝AB)(米．·2 (2)①设AC＝2x，BD＝3x，在Rt△COD中，23?2x，OD＝＝2+3x，CD＝4， OC＝CD，根据勾股定理：OC2224x)?2x)?(2?3(23?．∴213x?(12?83)x?0．∴222+OD13x?12?83?0．，∴∵x≠083?12?x．∴13163?24AC?2x?．1324163?下滑了NOA 米．沿即梯子顶端13②∵点P和点P′分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt △A′OB′的斜边A′B′的中点，∴PA＝PO，P′A′＝P′O．∴∠PAO＝∠AOP，∠P′A′O＝∠A′OP′．∴∠P′A′O-∠PAO＝∠POP′＝15°．∵∠PAO＝30°，∴∠P′A′O＝45°．2?224?．＝A′OA′B°＝cos 45 ′·∴2(23?22)米．AA∴′＝ OOA-A′＝【总结升华】．解答本题的关键是理解题意．此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠P′A′O=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．。
九年级数学上册24.3《锐角三角函数》分层练习2华东师大版(new)
（2）原式=2× － － + －1=－ ．
拓展提高：
1、B 点拨：此题的关键是二次根式的化简，判断绝对值里的值的正负．
2、C 点拨：把cos（A+10°）看做未知数，利用方程思想解题．
3、C 点拨:熟记三角函数值．
4、A 点拨：勾股定理和三角函数的灵活应用是解题的关键．
5、原式= －3 + +2 =1－ ．
A．1 B． C． D．无法判断
4、计算：
（1）sin30°·cos60°－sin245°； （2）2cos60°－sin60°－│－cot30°│+ ．
◆典例分析
已知在△ABC中，sinA= ，cosB= ，且AC=10cm，求△ABC的面积．
华师大版初中数学九年级上册《24.3.1 锐角三角函数》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《24.3.1 锐角三角函数》同步练习卷一．选择题（共20小题）1．在Rt△ABC中，如果∠C=90°，那么表示∠A的（）A．正弦B．正切C．余弦D．余切2．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．24．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2B．C．D．6．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．7．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t 的值是（）A．1B．1.5C．2D．38．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是（）A．B．C．D．9．如果∠A=30°，则sinA的值为（）A．B．C．D．10．如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是（）A．B．C．D．211．若α是直角三角形的一个锐角，sinα=cosα，则=（）A．B．C．D．12．已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=（）A．4B．3C．D．513．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（）A．B．C．D．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A．B．C．D．15．已知a为锐角，sina=cos50°，则a等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°16．如果α是锐角，且sinα=，那cos（90°﹣α）=（）A．B．C．D．17．在△ABC中，∠C=90°，若sinB=，则cosA的值为（）A．B．C．1D．18．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）19．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°20．计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1C．D．二．填空题（共3小题）21．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．22．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．23．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．三．解答题（共24小题）24．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．25．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．26．在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．27．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，求sinA，cosB，tanA的值．28．矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=．当c=2，a=1时，求cosA．30．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．31．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinB和tanB的值．32．已知α为锐角且cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，求的值．33．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）若∠α=45°，则sinαcosα；若∠α＜45°，则sinαcosα；若∠α＞45°，则sinαcosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．34．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根．（1）求实数p、q应满足的条件；（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？35．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．36．用锐角α的三角函数的定义去说明（1）0＜sinα＜1（2）0＜cosα＜1（3）tanα＞sinα37．3sin60°﹣2cos30°+tan60°•cot45°38．计算：|﹣2|+2sin30°﹣（﹣）2+（tan45°）﹣1．39．求值：|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°．40．计算：|﹣3|+•tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．41．计算：﹣（π+1）0+4sin45°+（）﹣1．42．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．43．已知α为一锐角，sinα=，求cosα，tanα．44．若α为锐角，tanα=4，求的值．45．如果α是锐角，且cosα=，求sinα，tanα的值．46．对于同一锐角α有：sin2α+cos2α=1，现锐角A满足sinA+cosA=．试求：（1）sinA•cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．47．已知tanα=，α是锐角，求tan（90°﹣α），sinα，cosα的值．华师大新版九年级上学期《24.3.1 锐角三角函数》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．在Rt△ABC中，如果∠C=90°，那么表示∠A的（）A．正弦B．正切C．余弦D．余切【分析】根据余切的定义求解可得．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴cotA=，故选：D．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义．2．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB==，∴tanB′=tanB=．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．∴cos∠AOB===．故选：A．【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．【分析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．【解答】解：根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8﹣x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8﹣x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE===．故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．6．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD===，只有选项C错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．7．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t 的值是（）A．1B．1.5C．2D．3【分析】根据正切的定义即可求解．【解答】解：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，则斜边AB=2CD=4，则即可求得sinB的值．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AB=2CD=4．∴sinB=．故选：C．【点评】本题主要运用了直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），并考查了正弦函数的定义．9．如果∠A=30°，则sinA的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵∠A=30°，∴sinA的值为：．故选：A．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是（）A．B．C．D．2【分析】因为cosα=所以利用sin2α+cos2α=1直接解答即可．【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，∴sinα===．故选：C．【点评】本题利用了同角的三角函数式sin2α+cos2α=1来求解．11．若α是直角三角形的一个锐角，sinα=cosα，则=（）A．B．C．D．【分析】把sinα=cosα代入原式，转化为关于cosα的式子，约分即可．【解答】解：把sinα=cosα代入原式，则原式==．故选：C．【点评】本题较简单，把已知关系代入原式化简即可．12．已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=（）A．4B．3C．D．5【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．【解答】解：由sinα==知，如果设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴cosA==，∴5cosA=4．故选：A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．13．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（）A．B．C．D．【分析】根据sinA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．【解答】解：由sinA=知，如果设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴tanA===．故选：C．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=．故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．15．已知a为锐角，sina=cos50°，则a等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵sina=cos50°，∴α=90°﹣50°=40°．故选：C．【点评】掌握锐角三角函数的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．16．如果α是锐角，且sinα=，那cos（90°﹣α）=（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：cos（90°﹣α）=sinα=．故选：A．【点评】掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．17．在△ABC中，∠C=90°，若sinB=，则cosA的值为（）A．B．C．1D．【分析】△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosA=sinB=．故选：A．【点评】本题考查在直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系．18．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）【分析】先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．【解答】解：∵sin60°=，cos60°=，∴点M（﹣）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．故选：B．【点评】考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．19．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°【分析】根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C的度数．【解答】解：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选：D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1C．D．【分析】首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．【解答】解：∵cos45°=sin45°=，∴cos245°+sin245°===1．故选：B．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．二．填空题（共3小题）21．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．【分析】根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．22．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．【分析】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．23．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，∴AC==，∴cosA==．【点评】本题考查锐角三角函数的概念及勾股定理，比较简单．三．解答题（共24小题）24．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．【分析】（1）直接利用三角函数求解即可；（2）根据旋转的性质求出旋转后对应点的坐标；（3）根据平移的规律求出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可．【解答】解：（1）∵点B（4，2），BA⊥x轴于A，∴OA=4，BA=2，∴tan∠BOA===．（3分）（2）如图，由旋转可知：CD=BA=2，OD=OA=4，∴点C的坐标是（﹣2，4）．（5分）（3）△O′A′B′如图所示，O′（﹣2，﹣4），A′（2，﹣4）．（8分）【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．25．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；（2）由于tanA=，所以可设BC=3x，AC=4x，则AB=5x，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，∴BC=AB，∴AC===AB，∴ctan30°==．故答案为：；（2）∵tanA=，∴设BC=3x，AC=4x，∴ctanA===．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．26．在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，求出较小锐角的正弦值．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2=0的解，∴a+b=m，ab=2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2=c2，而a2+b2=（a+b）2﹣2ab，c=5，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=25，即：m2﹣2（2m﹣2）=25解得，m1=7，m2=﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b=m＞0，m=﹣3不合题意，舍去．∴m=7，当m=7时，原方程为x2﹣7x+12=0，解得，x1=3，x2=4，不妨设a=3，则sinA==，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为．【点评】本题难度较大，利用了一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．27．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，求sinA，cosB，tanA的值．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，根据勾股定理可得：AC=4，∴sinA=，cosB==，tanA==．【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数，正切函数的定义，是需要识记的内容．并且根据定义可得：sinA=cosB．28．矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．【分析】根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan ∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．【解答】解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，根据折叠的性质，∠EFC=∠EDC=90°，即∠AFE+∠BFC=90°，而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC=90°，易得∠AFE=∠BCF，在Rt△BFC，根据折叠的性质，有CF=CD，在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得：BF=6，则tan∠BCF=；故有tan∠AFE=tan∠BCF=；答：tan∠AFE=．【点评】本题考查折叠的性质，注意在折叠变化中，线段的位置一定变化与长度是否变化，及变化前后的关系．29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=．当c=2，a=1时，求cosA．【分析】根据勾股定理求出b，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，c=2，a=1，∴b==，∴cosA==．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．30．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．31．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinB和tanB的值．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据正弦=锐角的对边与斜边的比，正切=锐角的对边：邻边进行计算即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AC=．∴，tanB=．【点评】此题主要考查了勾股定理，以及锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦和正切的定义．32．已知α为锐角且cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，求的值．【分析】根据一元二次方程的求根公式，求出cosα的值，再代入求解．【解答】解：∵cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，∴由求根公式有，cosα=，∴cosα=（cosα=3不符合题意，舍去），∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=1﹣（）2=，∴sinα=，∴===sinα﹣cosα=．【点评】掌握一元二次方程的求根公式以及三角函数的计算公式．注意sinα和cosα的取值范围．33．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．【解答】解：（1）在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC 于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC=，sin∠B2AC=，sin∠B3AC=，而＞＞．∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，cos∠B1AC=，cos∠B2AC=，cos∠B3AC=，∵AB3＜AB2＜AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．【点评】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法．34．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根．（1）求实数p、q应满足的条件；（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？【分析】（1）根据sinA+cosA=sin（A+45°），sinA•cosA=sin2A，以及根与系数的关系，即可得到关于p，q的不等式，以及sin2A+sinB2=1，即可求得p，q的关系；（2）根据（1）可以得到sin2A=2q，求得A的值，证明A的值可以取互余的两个角的度数，即可证得．【解答】解：（1）由题意，由此推得∴实数p、q应满足的条件是：p2﹣2q=1，p＜0，0＜q≤．（2）∵0＜q≤，设sin2A=2q，则2A=2a，或180°﹣2a，即A=a或90°﹣a，∵sina和sin（90°﹣a）是方程的两根，即它们是直角三角形的两个锐角的正弦值．【点评】本题是一元二次方程与三角函数相结合的题目，正确理解一元二次方程的根与系数的关系以及锐角三角函数的性质是解题关键．35．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．【分析】根据余弦函数，函数值随角度的增大而减小即可作出判断．【解答】解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．【点评】本题主要考查了余弦函数值随角度的增大而减小，是需要熟记的内容．36．用锐角α的三角函数的定义去说明（1）0＜sinα＜1（2）0＜cosα＜1（3）tanα＞sinα【分析】（1）根据锐角三角函数的正弦，可得答案；（2）根据锐角三角函数的余弦，可得答案；（3）根据正切函数与正弦函数的关系，可得答案．【解答】解：（1）sinα=，0＜a＜c，0＜1，即0＜sinα＜1；（2）cosα=，0＜b＜c，0＜＜1，即0＜cosα＜1；（3）tanα=，sinα=，由0＜b＜c，得＞，即tanα＞sinα．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正切大于同角的正弦，注意锐角的正弦大于零小于1，锐角的余弦大于零小于1．37．3sin60°﹣2cos30°+tan60°•cot45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=3×﹣2×+×1=．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．计算：|﹣2|+2sin30°﹣（﹣）2+（tan45°）﹣1．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=2+1﹣3+1=1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．39．求值：|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°．【分析】负数的绝对值是它的相反数；任何不等于0的数的0次幂都等于1；一个数的负指数即这个数的正指数次幂的倒数；熟悉特殊角的锐角三角函数值：tan30°=．【解答】解：原式=2﹣+1+3+3•=6．【点评】注意能够判断﹣2＜0，熟练把负指数转换为正指数．40．计算：|﹣3|+•tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．【分析】按照实数的运算法则依次计算：|﹣3|=3，tan30°=，=2，（2008﹣π）0=1．【解答】解：原式==3+1﹣2﹣1=1．（注：只写后两步也给满分．）【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．41．计算：﹣（π+1）0+4sin45°+（）﹣1．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式===．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．42．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．【分析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的纵坐标；再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得该角的正弦值．【解答】解：作PC⊥x轴于C．∵tanα=，OC=6∴PC=8．则OP=10．则sinα=．【点评】综合运用了点的坐标、勾股定理以及锐角三角函数的概念．43．已知α为一锐角，sinα=，求cosα，tanα．【分析】根据sinα=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．【解答】解：由sinα==，设a=4x，c=5x，则b==3x，故cosα==，tanα==．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．44．若α为锐角，tanα=4，求的值．【分析】首先根据已知条件设出直角三角形的两条直角边的长，再根据勾股定理求出斜边的长，由三角函数的定义求出cosαsinα的值，最后代入即可．【解答】解：由tanα=4知，如果设a=4x，则b=x，结合a2+b2=c2得c=x；∴sinα=，cosα=，∴==﹣．【点评】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．45．如果α是锐角，且cosα=，求sinα，tanα的值．【分析】根据同角的三角函数关系式：sin2α+cos2α=1，tanα=，进行计算．【解答】解：∵cosα=，∴sinα==，tanα==2．【点评】熟练运用同角的同角三角函数关系式进行求解．46．对于同一锐角α有：sin2α+cos2α=1，现锐角A满足sinA+cosA=．试求：（1）sinA•cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．【分析】利用同角的三角函数的关系sin2α+cos2α=1进行适当的变形转换来求解．【解答】解：（1）∵sinA+cosA=，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=，即1+2sinAcosA=，∴sinAcosA=；（2）∵（sinA﹣cosA）2=sin2A+cos2A﹣2sinAcosA，=1﹣，=，∴sinA﹣cosA=±．【点评】本题考查了对sin2α+cos2α=1变形应用能力．47．已知tanα=，α是锐角，求tan（90°﹣α），sinα，cosα的值．【分析】根据题意表示出AC，BC，AB的长，再利用锐角三角函数定义得出即可．【解答】解：∵如图所示：tanB=tanα=，∴设AC=2x，BC=5x，则AB=x，∴tan（90°﹣α）==，sinα===，cosα===．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．。
九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案.docx
九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案专训 1求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，(第 1 题)则 tan B 的值是 ()43A.5B.534C.4D.32．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠3BAD ＝4，求 sin C 的值．(第 2 题)133．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.(1)求点 B 的坐标；(2)求 sin∠BAO 的值．(第 3 题)利用同角或互余两角三角函数间的关系．若∠A 为锐角，且sin A＝3，则 cos A＝ ()42321 A．1 B. 2 C. 2 D.2125．若α为锐角，且cosα＝13，则sin(90°－α)＝()512512A.13B.13C.12D. 56．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．巧设参数47．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝5，则tan B的值为()4334A.3B.4C.5D.58．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c 满足 b2＝ (c＋a)(c－a)．若 5b－ 4c＝0，求 sin A＋sin B 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A 作AE ⊥CD，AE 分别与 CD， CB 相交于点 H，E 且 AH ＝2CH，求 sin B 的值．(第 9 题)专训 2同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：2α＝1，tan α＝sinα．同角三角函数关系：21sinα＋cos.cos α2．互余两角的三角函数关系： sin α＝cos(90 °－α)，cos α＝sin(90 °－α)，tan α·tan(90 °－α)＝1.同角间的三角函数的应用sin A＝4，求sin A －3cos A1．已知cos A4sin A ＋cos A的值．22．若α为锐角，sinα－cosα＝2，求sinα＋cosα的值．余角的三角函数的用3．若45°－α和45°＋α均角，下列关系式正确的是()A．sin(45 °－α)＝sin(45 °＋α)22B．sin (45 °－α)＋cos (45 °＋α)＝122C．sin (45 °－α)＋sin (45 °＋α)＝122D．cos (45 °－α)＋sin (45 °＋α)＝14．算tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°的．同角的三角函数的关系在一元二次方程中的用125．已知sinα·cosα＝25(α 角)，求一个一元二次方程，使其两根分sin α和 cos α.26 ．已知α角且sinα 是方程2x － 7x ＋ 3 ＝ 0 的一个根，求3用三角函数解与有关名点金：用三角函数解与有关的，是近几年中考命内容，型多化；一般以中档、形式出，高度重．一、1．如，已知△ABC的外接⊙O的半径3，AC＝4，sin B＝() 1342A.3B.4C.5D.3(第 1 )(第 2 )2．如是以△ABC的AB直径的半O，点C恰好在半上，C作CD ⊥AB 交 AB于D，已知∠ACD＝3，BC＝4， AC 的 ()cos52016A．1 B. 3C．3 D. 343．在△ABC中， AB ＝ AC ＝5，sin B＝ 5.⊙O 过B，C 两点，且⊙O 半径r ＝10，则OA的长为 ()A．3 或5B． 5C．4 或 5D． 44．如图，在半径为 6 cm 的⊙ O 中，点 A 是劣弧 BC 的中点，点 D 是优弧BC 上一点，且∠ D＝30°.下列四个结论：(第 4 题)①OA⊥BC；②BC＝6 3 cm；3③sin∠AOB ＝2；④四边形 ABOC 是菱形．其中正确结论的序号是 ()A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④二、填空题5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.(第 5 题)(第 6 题)6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________.7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A， B 重合 )，则 cos C 的值为 ________．(第 7 题)(第 8 题)8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与 OA ，OC， BC 相切于点 E，D， B，与 AB 交于点 F，已知 A(2 ，0)， B(1，2)，则 tan∠FDE＝________.三、解答题19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，tan B＝2，半径为 2 的⊙ C 分别交 AC ，BC 于点 D， E，得到 .(1)求证： AB 为⊙ C 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第 9 题)10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.(1)求证： AT 是⊙ O 的切线；(2)连接 OT 交⊙ O 于点 C，连接 AC ，求 tan∠TAC 的值．(第 10 题 )11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD 且与 AC 的延长线交于点 E.(1)求证： DC＝DE；1(2)若 tan∠CAB ＝2，AB ＝3，求 BD 的长．(第 11 题 )12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为 D， E，且＝ .(1)试判断△ ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求 sin∠ABD 的值．(第 12 题 )13．如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，对角线 AC ，BD 交于点 E ，点 O3在线段 AE 上，⊙ O 过 B ， D 两点，若 OC ＝ 5， OB ＝ 3，且 cos ∠BOE ＝5.求证： CB 是⊙ O 的切线．(第 13 题 )答案专训 1 1．CBD2．解： ∵AD ⊥BC ，∴ tan ∠BAD ＝AD .∵ t an ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴34＝BD12 ，∴ BD ＝ 9. ∴CD ＝BC －BD ＝ 14－ 9＝5，∴在 Rt △ADC 中， AC ＝ AD 2＋CD 2＝ 122＋ 52＝13，AD 12∴sin C ＝AC ＝13.13y ＝ x ＋ ，x ＝1，3．解： (1)解方程组2 2得y ＝2x ，∴点 B 的坐标为 (1， 2)．(第 3 题)13(2)如图，过点 B 作 BC ⊥x 轴于点 C ，由 2x ＋ 2＝ 0，解得 x ＝－ 3，则 A( －3，0)，∴ OA ＝3， ∴AB ＝ AC 2＋BC 2＝2 5，∴ sin ∠ BAC ＝BC＝ 2 ＝ 5， AB2 5 55即 sin ∠BAO ＝ 5 .4．D 5.B 6.30° 7.B8．解： ∵b 2＝(c ＋ a)(c －a)，∴ b 2 ＝c 2－a 2，即 c 2＝a 2＋b 2，∴△ ABC 是直角三角形．∵5b －4c ＝0，∴ 5b ＝4c ，则bc ＝45，设 b ＝ 4k ，c ＝5k ，那么 a ＝ 3k.3k 4k 7∴sin A ＋sin B ＝ 5k ＋5k ＝ 5.9．解： ∵CD 是斜边 AB 的中线， ∴CD ＝AD ＝ BD. ∴∠ DCB ＝∠ B.∵∠ ACD ＋∠ DCB ＝90°，∠ ACD ＋∠ CAH ＝90°， ∴∠ DCB ＝∠ CAH ＝∠ B.在 Rt △ACH 中， AH ＝ 2CH ，CH5∴AC ＝ 5CH.∴sin B ＝sin ∠CAH ＝5CH ＝ 5 .专训 2sin Acos A ， 1．分析： 本题可利用 cos A 求解，在原式的分子、分母上同时除以sin Asin A＝ 4，把原式化为关于 cos A 的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由cos A 得到 sin A 与 cos A 之间的数量关系，代入式子中求值．sin A －3解： (方法 1)原式＝ （sin A －3cos A ）÷cos A ＝ cos A （4sin A ＋cos A ）÷cos A 4sin A .＋1cos A sin A4－ 3 1∵cos A ＝ 4，∴原式＝ × ＋＝ 17.441方法 sin A＝4，∴ sin A ＝4cos A.(2)∵ cos A4cos A － 3cos A cos A1＝17cos A＝17.∴原式＝4×4cos A＋cos A2．分析：要求 sin α＋cos α的 ， 必 利用 角三角函数之 的关系找出它与已知条件的关系再求解．解： ∵sin α－ cos α＝ 2 2 12 ，∴ (sin α－cos α)＝2，即 sin 2α＋ cos 2α－ 2sin αcos α＝12.11∴1－2sin αcos α＝2，即 2sin αcos α＝2.2221 3α＋ 2sin αcos α＝1＋2＝ 2.∴(sin α＋cos α)＝sin α＋cos 又∵ α 角，∴ sin α＋cos α＞0.∴ s in α＋cos α＝ 26.3．C 点 ： ∵(45 °－α)＋(45 °＋α)＝90°，∴ sin (45 °－ α)＝cos (45 °＋α)， sin 2(45 °－α)＋sin 2(45 °＋ α)＝cos 2(45 °＋α)＋sin 2(45 °＋α)＝1.4．解： tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°＝ (tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan88°)·⋯·(tan 44 °·tan 46 °)·tan 45 °＝1.点 ：互余的两角的正切 的 1，即若 α＋β＝ 90°， tan α·tan β＝ 1.5．解： ∵sin 2α＋ cos 2α＝1，sin α·cos α＝1225，2 2 21249∴(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α＋ 2sin αcos α＝1＋2× 25＝25.7∵α 角，∴ sin α＋ cos α＞ 0.∴sin α＋cos α＝5.又∵ sin α·cos α＝1225，2 712∴以 sin α， cos α 根的一元二次方程x － 5x ＋25＝0.点 ：此 用到两方面的知 ： (1)公式 sin 2α＋cos 2α＝1 与完全平方公式的 合运用； (2)若 x 1＋x 2 ＝p ，x 1x 2＝ q ， 以 x 1 ，x 2 两根的一元二次方程 x 2 － px ＋q ＝026．解： ∵sin α是方程 2x －7x ＋ 3＝ 0 的一个根，－（－ 7） ± （－ 7）2－ 4× 2× 37±5 sin α＝2× 2＝ 4.∴sin α＝1或 sin α＝3(不符合 意，舍去 )．22221 2 3∵sin α＋cos α＝ 1，∴ cos α＝1－ 2 ＝4.3又∵ cos α＞ 0，∴ cos α＝ 2 .∴ 1－2sin αcos α＝ sin 2α＋cos 2α－ 2sin αcos α＝21 33－ 1（sin α－cos α） ＝|sin α－cos α|＝ 2－2 ＝2 .专训 3 一、 1.D2．D 点拨：∵AB 为直径， ∴∠ ACB ＝ 90°.又∵ CD ⊥ AB ，∴∠ B ＝∠ ACD.BC 3 20 2 2 16∴ cos B ＝AB ＝5，∴ AB ＝3 .∴AC ＝ AB －BC ＝ 3 .3．A 4.B3 141二、 5.4 6.2 7.5 8.2三、(第 9 题)AC9．(1)证明：如图，过点 C 作 CF ⊥AB 于点 F ，在 Rt △ABC 中， tan B ＝BC＝12，∴ BC ＝2AC ＝ 2 5.∴ AB ＝ AC 2＋BC 2＝ （ 5）2＋（ 2 5）2＝ 5，∴ CF· 5×2 5＝ AC BC＝＝2.∴ AB 为⊙ C 的切线．AB 51 n πr2 1 90π× 22(2)解： S 阴影 ＝S △ABC －S 扇形 CDE ＝2AC ·BC － 360 ＝2× 5× 2 5－ 360 ＝5－ π.10． (1)证明： ∵ AB ＝AT ，∴∠ ABT ＝∠ ATB ＝ 45°，∴∠ BAT ＝90°，即 AT 为⊙ O 的切线．AT(2)解：如图，过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ，则∠ TAC ＝∠ ACD ，tan ∠ TOA ＝ AO＝ CD OD ＝ 2，设 OD ＝x ，则 CD ＝ 2x ，OC ＝ 5x ＝ OA. ∵AD ＝AO － OD ＝( 5－1)x ，∴ tan ∠TAC ＝tan ∠ACD ＝AD（ 5－1）x＝5－1＝2x2 .CD(第 10 题 )(第 11 题 )11． (1)证明：连接 OC ，如图，∵ CD 是⊙ O 的切线，∴∠ OCD ＝ 90°，∴∠ ACO ＋∠ DCE ＝ 90°.又∵ ED ⊥ AD ，∴∠ EDA ＝90°，∴∠ EAD ＋∠ E ＝90°.∵OC ＝OA ，∴∠ ACO ＝∠ EAD ，故∠ DCE ＝∠ E ，∴ DC ＝DE.(2)解：设 BD ＝x ，则 AD ＝AB ＋BD ＝3＋x ，OD ＝OB ＋ BD ＝ 1.5＋ x.在 Rt1 1 1 1△ EAD 中，∵tan ∠CAB ＝2，∴ED ＝2AD ＝ 2(3＋ x) ．由(1)知，DC ＝2(3＋x)．在Rt △ OCD 中，OC 2＋CD 2＝DO 2，则 1.52＋ 1（ 3＋ x ） 2 ＝(1.5＋x)2，解得 x 1＝－23(舍去 )， x 2＝1，故 BD ＝1.12． 解： (1)△ABC 为等腰三角形，理由如下：连接 AE ，如图， ∵＝，∴∠ DAE ＝∠ BAE ，即 AE 平分∠ BAC. ∵AB 为直径，∴∠ AEB ＝90°，∴ AE ⊥ BC ， ∴△ ABC 为等腰三角形．(2)∵△ ABC 为等腰三角形， AE ⊥BC ，1 1∴BE ＝CE ＝ 2BC ＝2×12＝ 6.在 Rt △ABE 中，∵ AB ＝10， BE ＝ 6，∴ AE ＝ 102－62＝8.∵AB 为直径，∴∠ ADB ＝90°，∴S △ABC＝ 1 · ＝1· ，∴BD ＝ 8×12＝ 482AE BC 2BD AC10 5 .在 Rt △ABD 中，∵ AB ＝10，BD ＝485，142 2 14AD 5 7 ∴AD ＝AB －BD ＝ 5 ，∴ sin ∠ABD ＝AB＝10＝25.(第 12 题 )(第 13 题 )13． 证明：如图，连接 OD ，可得 OB ＝ OD. ∵AB ＝AD ，∴ AE 垂直平分 BD.3 9在 Rt △BOE 中， OB ＝ 3， cos ∠BOE ＝ 5，∴ OE ＝ 5.16 ∴CE ＝OC －OE ＝ 5 .2212根据勾股定理得 BE ＝ BO －OE ＝ 5.在 Rt △CEB 中， BC ＝ CE 2＋BE 2＝4.∵OB ＝3， BC ＝ 4，OC ＝ 5，∴ OB 2＋BC 2 ＝OC 2， ∴∠ OBC ＝ 90°，即 BC ⊥OB ，∴ CB 为⊙ O 的切线．。