高中数学知识点精编——函数(2)

高中数学知识点精编——函数（2）
一、函数的单调性：
1. 定义：
设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数.区间D 称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质
2. 图象的特点：
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
3. 函数单调区间与单调性的判定方法：
(1)定义法：
○
1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○
2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○
3 变形（通常是因式分解和配方）； ○
4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2
)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (2)图象法(从图象上看升降)
4.函数单调性的常用结论：
(1)若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数；
(2)若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数；
(3)若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则[()]y f g x =是减函数；其规律：“同增异减”
(4)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；
(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象；
(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。

二、函数的奇偶性：
1. 定义：
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
2. 具有奇偶性的函数的图象的特征:
偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
3. 判断函数奇偶性的步骤：
○
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○
2确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
4. 函数奇偶性的常用结论：
（1）如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立）
（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

（3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

（4）两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

（5）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为
11()[()()][()()]22
f x f x f x f x f x =+-+--， 该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

（6）若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；
若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.
（7）多项式函数的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
三、函数的对称性：
1.函数自对称：
（1）关于y 轴对称的函数（偶函数）的充要条件是)()(x f x f =-
（2）关于原点()0,0对称的函数（奇函数）的充要条件是0)()(=-+x f x f
（3）关于直线y x =对称的函数的充要条件是1()()f x f x -=
（4）函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2
a b x +=对称。

（注：特别地，当a =b =0时，该函数为偶函数） （5）函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（
2a b +，2c ）对称。

（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数）
2.两个函数的图象对称性：
（1）)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

（2）)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

（3）)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

（4）)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。

（5）)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(),a b 对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(),a b 对称。

（6）)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2b a x +=
对称。

（7）()y f x =与1()y f x -=关于直线y x =对称。

四、函数的周期性：
1．定义：
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(T)()f x f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做函数的周期。

2．函数周期性的性质：
（1）对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。

（2）对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A)()f x f x +=
，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

（3）对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()
f x f x =-，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

3.对称性和周期性之间的联系：
（1）函数()y f x =有两根对称轴x =a ，x =b 时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。

（2）函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=（a ≠b ）时，函数()y f x =是周期函数。

（函数()y f x =图象有两个对称中心（a ，2c ）、（b ，2
c ）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。

）
（3）函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =）（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。