数学：第10讲《图形计数综合》讲义

例4 如图，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可以画 出多少线段、三角形、四边形？
【答案】 （1）36； （2）74； （3）81 【分析】 （1）任选两点可以确定一条线 98 2 段： C9 36 ； 2 （2）任选三点再排除三点共线 3 的情况： C3 C 9 5 84 10 74 ； （3）任选四点再排除三点共线 和 四 点 共 线 的 情 况 ：
3 1 1 1 1 1
6 1 1
6 1 1 1 1
6 1
3
3
新增的三角形必然使用新增的 线作为边，同时也一定使用了一 个原有的点作为顶点. 以原有的 点按顺序枚举新增三角形不易 混乱. 左图中新增三角形的个数 已在各顶点标出，另外一半与已 标的一半完全对称，新增加的三 角形数量也相同，故知左图有三 角形 32 (3 3 1 1 1) 2 32 18 50 个；进而中间图有三角形 50 (6 3 1 1 1 1) 2 50 26 76 个，右图有
左边的三角形，每个长条中包含 4 个，故其个数是第（4）问中 64 的 4 倍； 右边的三角形， 每个 2 3的长方形中包含 4 个，故其 个数是第（4）问中 84 的 4 倍； 故共有 4 64 4 84 592个. 例2 如图，圆周上有 10 个点，并且 已知这些点之间的连线中，任意 三线不共点. 那么
C C C C 126 40 5 81 .
4 9 3 5 1 的矩形网络， 每一个小格都是一个小正方形 . 请问： （1） 包含两个“☆”的矩形共有多 少个？ （2） 至少包含一个“☆”的矩形有 多少个？ ★ ★
【答案】 （1）30 个； （2）162 个 【分析】 （1）在两个星的上下左右各选
76 (6 6 1 1 1 1 1) 2 76 34 110
个.
练一练 图中有多少个长方形？
【答案】 72 个 【分析】 去掉长方形 EFGH 后图中有长 方形C52C32 10 3 30 个； 去掉长方形 ABCD 后图中有长方 形C52 C32 30个； 两部分共同构成的长方形有 12 个，所以，图中长方形总数为 30 30 12 72 个.
五年级数学星队秋季班第十讲 工程问题进阶 例1 在下面边长为 8 的大正方形中， （1）有 个正方形； （2）有 个“田”字形； （3）有 个 形； （4）有 个 形； 有 个 形； （5）有 个以图中交 点为顶点的、面积为 2.5 的直角 三角形.
【答案】 （1）204； （2）49； （3）196； （4）64；84； （5）592 【分析】 （1） 82 7 2 62 52 42 32 22 11 204 个； （2） 7 7 49 个； （3） 每一个田字格中都有 4 个 L 形， 且不同的田字格中的 L 形一 定不重复，故 L 形有 4 49 196 个； （4） 长条横着有 4 8 32个， 竖 着也有 32 个，共 64 个； 2 3长 方形横竖都是 6 7 42 个， 共 84 个； （5） 面积为 2.5 的直角三角形有 2 种：
（1）以这些点为顶点，可以组 成 条不同的线段； （2）以这些点为顶点，可以组 成 个不同的三角形； （3）以这些点为顶点，可以组 成 个不同的凸四边形； （4）以这些点为顶点的线段， 它们之间的交点有_______个； （5）以这些点为顶点的线段在 圆周内部交出的三角形（不与圆 周接触） 有 个(例如上 图中的阴影三角形).
【答案】 2 3 （ 1 ） C10 （ 2 ） C10 45 ； 120 ； 4 4 （3） C10 （4） C10 210 ； 210 ； 6 （5） C10 210 例3 （1）图中线段之间的交点（顶 点也算）的个数为 ； （2）图中可数出的三角形的个 . 数为
【答案】 （1）28； （2）56
【答案】 （1）142； （2）838 【分析】 （1） 这个图形可以看做两个5 8 的长方形叠合而成的，中间重叠 了一个 4 7 的长方形; 58 的 长 方 形 中 有 5 8 4 7 3 6 2 5 1 4 100 个正方形； 47 的 长 方 形 中 有 4 7 3 6 2 5 1 4 60 个 正 方形，另外，在两个5 8的长方 形叠合时，新增了两个 6 6的正 方形，100 2 60 2 142 个； （2）先把两个角补回来，有 2 2 C10 C7 45 21 945 个长方形 . 去掉包含左上角的长方形 6 9 54 个，再去掉包含右下角
例8 分界法：下图中有多少个三角 形？
【答案】 80 【分析】 以中间的竖线为界， 左右各有 35 个三角形. 但还有跨越界限的三 角形，如下图： 所以共有35 2 2 4 4 80 个.
【分析】 容易发现，这个图中的直线两两 相交，而两条相交的直线一定有 1 个交点；三条两两相交的直线 一定能形成一个三角形；则图中 2 三角形 的交点个数为 C8 28个， 3 数量为 C8 56 个. 练一练 下图共有多少个三角形？
【答案】 72 个
【分析】 图中任意的三条长线段唯一确 定了一个三角形，而每个三角形 的三边（或延长后）都是图中 9 条长线段中的三条，因此三条长 线段和三角形建立了一一对应 关系，因此三角形的个数就是 9 条线段中选 3 条线段的方法数， . 但是在三个顶点 即 C3 9 84 个 处出现了 4 条直线交于 1 点的情 况，在这样的三条直线中选择 3 条，不会组成三角形. 故最终三 角 形 的 总 数 为 3 . C3 C 9 4 3 84 4 3 72 个
的长方形 54 个， 但这样做的话， 最大的长方形就被去掉了 2 次. 根 据 容 斥 原 理 ， 共 有 945 54 54 1 838个长方形. 例7 增线法：请分别求出下面三个图 中各有多少个三角形.
【答案】 50、76、110 【分析】 若无过中心的对角线，则容易数 出有 32 个三角形. 之后开始增 线：
一条线： 2 1 3 5 30 个 （ 2 ）包含左边的 ☆ 的长方形有 4 1 3 6 72个，包含右边的☆ 的长方形有 2 3 4 5 120 个， 由容斥原理至少包含一个☆的矩 形有120 72 30 162 个. 例6 将 6×9 方格表的两个角落的小 方格切除 （如下图所示） ， 那么： （1）图中总共包含 个正方形； （2）图中总共包含 个长方形.