2014届北京体育大学附中高考数学一轮复习单元训练：《计数原理》

B． 成正比，比例系数为 2C D． 成反比，比例系数为 2C
【答案】D 8．由函数 y cos x,(0 x 2 )的图象与直线x 及y 1的图象所围成的一个封闭图形的 面积( A．4 【答案】B 9．已知 f(3)=2,f′(3)=－2,则 lim A．－4 【答案】B 10．曲线 y B．8
(2 x 3)dx
0
2
．
【答案】10
16．若曲线 y 为
3 2 1 x x 的某一切线与直线 y 4 x 3 平行，则切点坐标 2 2
，切线方程为 ．
【答案】 (1, 2) ， y 4 x 2 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数 f ( x ) e (ax 2 x 2) ， a R 且 a 0 .
【答案】 （ 1） f ( x ) ax bx 的图象经过点 M (1,4),
3 2
a b 4
①式
f ( x) 3ax 2 2bx, 则f (1) 3a 2b 1 f (1) ( ) 1, 即3a 2b 9 9 由条件
由①②式解得 a 1, b 3
x 2
⑴ 若曲线 y f ( x ) 在点 P (2, f (2)) 处的切线垂直于 y 轴，求实数 a 的值； ⑵ 当 a 0 时，求函数 f (| sin x |) 的最小值. 【答案】由题意得： f ( x ) (e ) (ax 2x 2) e (ax 2x 2)
2 2

1 。 函数 f ( x ) 是增函数， x 1 1 当 x 1 时， f ( x ) 2 x a 0 恒成立。 x 1 1 即当 x 1 时， a 2 x 恒成立。 x 1 f ( x ) 2 x a
当 x 1 时， 2 x
计数原理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1．函数 f ( x ) e sin x 的图象在点( 3, f (3) )处的切线的倾斜角为( A．
【答案】B 11．设 f ( x) 在 [a，b] 上连续，则 f ( x) 在 [a，b] 上的平均值是( A．
f (a ) f (b) 2
) D．
1 b f ( x )dx b a a
B．

b
a
f ( x)dx
C．
1 f ( x)dx 2 a
b
【答案】C 12．已知函数 f A． 【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图，直线 y 1 与曲线 y x 2 所围图形的面积是
x
)
2
B． 0
C．钝角
D．锐角
【答案】C 2．如果说某物体作直线运动的时间与距离满足 s (t ) 2 1 t ，则其在 t 1.2 时的瞬时速
2
度为( A． 4 【答案】D 3．函数 y
) B． 4 C． 4.8 D． 0.8
1 x x e e 的导数是( 2
【答案】 （Ⅰ）因为 f ' ( x ) x 2 ( 2a 1) x ( a 2 a ) ( x a )[ x ( a 1)] 令 f ' ( x) 0, 得x1 (a 1), x2 a ，所以 f ' ( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表：
1 ， 6
当 1 a
1 6 时， f ( x ) 在 x 1 取得最大值 f (1) a 2 6 6
当
6 a 0 时， f ( x) 在 x 0 取得最大值 f (0) 0 6 6 时， f ( x ) 在 x 0 ， x 1 处都取得最大值 0. 6
当 a 0 时，在 x (0,1) 时， f ' ( x ) 0 ， f ( x ) 单调递减 所以当 x 0 ， f ( x ) 取得最大值 f (0) 0 当 1 a 0 时，在 x (0, a 1) 时， f ' ( x ) 0, f ( x ) 单调递减 在 x ( a 1,1) 时， f ' ( x ) 0 ， f ( x ) 单调递增 又 f (0) 0, f (1) a 2
x 3
3 2
) B．
3 1 2
C．
1 2
)
D． 2
2 x 3 f ( x) 的值为( x3 C．0
D．不存在
x 在点 1,1 处的切线方程为( 2x 1
) D． x 4 y 5 0
A． x y 2 0 B． x y 2 0
C． x 4 y 5 0
2a 1 2 1 ) k 无实数解 2 4
只要 f ' ( x ) 的最小值大于 k
1 4 (Ⅲ）因为 a 1 ，所以 a 1 0 ，
所以 k 当 a 1 时， f ' ( x ) 0 对 x [0,1] 成立 所以当 x 1 时， f ( x ) 取得最大值 f (1) a 2
所以 a 1 (由 f ' (1) 0 得出 a 0 ，或 a 1 ，在有单调性验证也可以（标准略） ） (Ⅱ）因为 f ' ( x ) ( x
2a 1 2 1 ) 2 4
因为 m R ，直线 y kx m 都不是曲线 y f ( x ) 的切线， 所以 f ' ( x ) ( x
5． 设 f ( x ) 为可导函数， 且满足 lim f (1) f (1 2 x) 1 ， 则过曲线 y f ( x ) 上点 (1, f (1)) 处 x 0 2x 的切线斜率为( A．2 【答案】B 6．设曲线 y x
n1
) B．－1
*
C．1
D．－2
( n N )在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,则 )
令 f ( x ) 0 ，解得 x
2 2 ymin f ( ) 2e a . a
综上可知，当 0 a ≤ 2 时，函数 f (| sin x |) 的最小值为 ( a 4)e ；当 a 2 时，函数
f (| sin x |) 的最小值为 2e a .
18．已知函数 f ( x )
1 6
当 0 a 1 时，在 x (0, a ) 时， f ' ( x ) 0 ， f ( x ) 单调递增 在 x (a,1)时, f ' ( x) 0, f ( x) 单调递减 所以当 x a 时， f ( x ) 取得最大值 f ( a )
1 3 1 2 a a 3 2
2
1 3 1 x (2a 1) x 2 (a 2 a ) x . 3 2
(Ⅰ）若 f ( x ) 在 x 1 处取得极大值，求实数 a 的值； (Ⅱ）若 m R ，直线 y kx m 都不是曲线 y f ( x ) 的切线，求 k 的取值范围； (Ⅲ）若 a 1 ，求 f ( x ) 在区间［0，1］上的最大值。
x 2 x 2
2 e x (ax 2 2x 2) e x (2ax 2) ae x ( x )( x 2) ； a
(1)由曲线 y f ( x ) 在点 P (2, f (2)) 处的切线垂直于 y 轴，结合导数的几何意义得
2 2a 2 f (2) 0 ，即 a e 2 (2 )(2 2) 4ae 2 0 ，解得 a 1 ； a a
20．设函数 f ( x ) x ax b ln( x 1) (a, b R, 且a 2) ⑴当 b 1 且函数 f ( x ) 在其定义域上为增函数时，求 a 的取值范围； ⑵若函数 f ( x ) 在 x 1 处取得极值，试用 a 表示 b ； ⑶在⑵的条件下，讨论函数 f ( x ) 的单调性。 【答案】 （1）当 b 1 时，函数 f ( x ) x ax ln( x 1) ，其定义域为 ( 1, ) 。
log 2011 x1 log 2011 x2 … log 2011 x2010 的值为(
A． log 2011 2010 B． 1 【答案】B
C． log 2011 2010 1 D． 1
7．设球的半径为时间 t 的函数 R t 。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长 速度与球半径( ) A．成正比，比例系数为 C C．成反比，比例系数为 C
(2) 设 | sin x | t (0 ≤ t ≤ 1) ，则只需求当 a 0 时，函数 y f (t )(0 ≤ t ≤ 1) 的最小值.
2 2 或 x 2 ，而 a 0 ，即 2 . a a 2 2 从而函数 f ( x ) 在 ( , 2) 和 ( , ) 上单调递增，在 (2, ) 上单调递减. a a 2 当 ≥ 1 时，即 0 a ≤ 2 时，函数 f ( x ) 在 [0,1] 上为减函数， ymin f (1) (a 4)e ； a 2 当 0 1 ，即 a 2 时，函数 f ( x ) 的极小值即为其在区间 [0,1] 上的最小值， a
当a
综上所述， 当 a 1或 1 a
1 6 时， f ( x ) 取得最大值 f (1) a 2 6 6 1 3 1 2 a a 3 2