27.2.1相似三角形 333333的判定(第一课时)

27.2.1相似三角形的判定
（第1课时）
复习：
成比例 的两个 相等 对应边—————— 1. 对应角_______, 三角形, 叫做相似三角形 对应角相等 成比例 。 2. 相似三角形的——————— , 各对应边—————— 如果△ ABC∽ △DEF, 那么 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
例：如图，BE, CF是ABC的中线，交于点G, GE GF 1 求证： 。 证明：连接EF , EF为AC , AB的中点， GB GC 2
A
F
G
E
B
C
1 EF为ABC的中位线,即EF // BC , 且EF BC , 2 EGF BGC EF GF GE 1 . BC GC GB 2
A
3
l3
B
A
l4
D B
E l4 l （图1） C 5
l5 C （图2）
如果把多余的线去掉如下图：
A
E
D
D B
E C
B
A C
“A”型
“X”型
2、除了刚才的结论，你还能得出△ABC与它平行的 线DE所截得△ADE之间还有什么关系？你能用语言 叙述这个结论？
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线) 引理：
A O E F
B
△AOB ∽△DOC
△EOF∽△COD
C
D
3.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、Ｇ Ｆ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有 多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
A G
△AＤＥ
△ＧＦＣ △ＧＯＥ
B D O
E C
F
4.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1： 4 。 （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
A E F D
G H I C
B
例1、如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. C (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E
解: (1) DE ∥ BC
=k,
1 △A’B’C’ ∽△ABC的相似比为 k
如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找出哪些角 的关系？ 边呢？
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AD
=
AC AE
=
BC DE
D B
A E C
DE ∥ BC
合作交流，探究新知：
探究活动1： 如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5。 分别度量l3、l4 、l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的
两条线段DE、EF的长度，
AB 与 DE 相等吗？ （ 1） BC EF
AB DE （2）任意平移l5，在度量AB、BC、DE、EF的长度， BC 与 EF 相等吗？ BC EF BC EF 是否也相等呢？ （3）在图中 AB 与 DE 、 与 、 与 AC DF AB DE AC DF
l1
l2
（4）由此你能得出什么样的结论？
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
练习4： （2013恩施州）如图所示，在平行四边形 ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点， 连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
．
A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2
练习5：（2013乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD， 点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3， 则GH的长为 _____ ．
B A
AB AC BC DE DF EF
D
E F
C
符号表示： △ABC∽△A’B’C’
A D B E C F
读作“相似于”
注意：
(1)记两个三角形相似时，表示对应顶点的字 母写在对应的位置上。 （2）相似比带有顺序性，如 △ABC∽△A’B’C’，则
AB BC CA A' B' B' C ' C ' A'
A
F
三角形相似的（预备）定理：
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交 ,所得的三角形与原三角形相似。
B
C
A L4 L5 总结： D E B C
L1
L2
L5 E
L4 D
A B C
L1
L2 L3
“A”型
数学符号语言 ∵ DE∥BC
∴
L3
“X”型
数学符号语言 ∵ DE∥BC ∴
预备定理：平行于三角形一边的直线与其它两边(或 延长线)相交,所得的三角形与原三角形相似。
．
C．
D．
练习2：（2013温州）如图，在△ABC中，点D，E 分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， ，则EC的长是（ ）
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
练习3：（2013上海市）如图，已知在△ABC中， 点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点 ，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5， 那么CF：CB等于（ ）
重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等 于它到对边中点的距离的两倍。
1、“三角形相似的预备定理”。这个定理揭示了有三角形一边 的平行线，必构成相似三角形， 因此在三角形相似的解题中，常 作平行线构造三角形与已知三角形相似。
2、相似比是带有顺序性和对应性的。
2.已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 对相似三角形。 图中共有____ AB∥EF AB∥CD EF∥CD △AOB∽ △FOE

∠AED=∠C=400.
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
A
D
B
△ADE∽△ABC （2）
AE DE ,即
50 DE . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm). 50 30
练习1：（2013新疆）如图，△ABC中，DE∥BC， DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（ ） A． B
平行线分线段成比例定理：
A
D E F
l3 l4 l5
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。 B
C
定理的符号语言
L3//L4//L5 DE AB
L1 L2 A D B
C
E
F
L3 L4
L5
BC
=
EF
(平行线分线段成比例定理)
平行线分线段定理：三条平行线截两条直线， 所得的对应线段的比相等。
探究活动2：
相交,所得的三角形与原三角形相似。
1. 如图,已知：DE//BC, 求证： △ADE∽△ABC
证明：在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
A E
C
AE BF 过E作EF//AB交BC于F 则 AC BC
∵四边பைடு நூலகம்DBFE是平行四边形
AD AE AB AC D
∴DE=BF F ∴△ADE∽△ABC
AE DE AC BC
AD AE DE AB AC BC
B
2. 如图,已知：DE//BC, 求证： △ADE与△ABC相似
方法一：延长BC，过点E作EF//DB，
E A
D
F
B E D
G
C
方法二：在AB上截取AF=AD，过点F作 FG//DE，证△ADE ≌ △A FG
1、 如图 请尽可能多地找出下列图中的 相似三角形，并说明理由。
A
D E F A
A
B O
D
E G
E C
图3
F D
B
F 图1
C
B
C
图2
DE∥BC ，DF∥AC,
DE∥FG//BC
AB∥EF∥CD,
2、如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E
C
解: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400. A D 在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. △ADE∽△ABC （2） AE DE 50 DE ,即 . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm). 50 30
1、把图中L2向左平移时，两 直线相交时有两种特殊的交 点如下图，图（1）是把L4看 成平行于△ABC的边BC的直 线，图（2）是把L3看成平行 于△ABC的边BC的直线，那 我们能得出什么样的结论呢？
L1
L2
L3 L4
L5
平行线分线段成比例定理推论： 平行三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段的比相等。 l1 l2 l1 l D El 2

B

（3）求△ABC与△ADE的相似比？
例：如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而 且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h。
(设网球是直线运动)
图中有几个相 似三角形？
解：图中的两个竖线都是
垂直于水平线的，即互相平行，
所以，图中的两个直角三角形是相似的， 则对应边的比相等， h 15 所以， , h 2.4米。 0.8 5