24.3第3课时 圆内接四边形
人教版九年级数学上册《圆内接四边形》课件
已 知 :BD1800
求 证 :四 边 形 ABCD内 接 于 圆
D
A
D’
B
C
例2 如 图210,CF是ABC
C
的AB边 上 的 ,高FP BC, FQ Q
P
AC.求 证: A、B、P、Q四
点 共 圆.
A
F
B
图2 10
证明 连接 PQ .
在四 QF 边 中 ,P 因 C F为 PB,C FQ A,C
图5
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则
∠A=_4_5_°__,
A
100 D
O
B
C
(4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则
∠C=__7_5_°_
A
D
O
B
C
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补充练习：
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪
个选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 （D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
所 F 以 Q A FP . 则 C Q、F、P、C四点共 .
故 QFCQP.又 C 因 C为 F A,B
所 以 QF 与 C Q互 FA .而 余 A 与 Q也 FA互 ,
则 A QF , A C QP . C 因此 ,A、B、P、Q四点共 . 圆
例2、如图，D为△ABC的边BC上一点，⊙O1 经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2 经过点 C、D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2 交于点 G，求证：（1）∠BAC+∠EGF＝180°
九年级数学圆的内接四边形
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
内接四边形对角互补定理
圆内接四边形的对角互补，即任一外 角等于其内对角。
利用角度关系求解问题
通过已知角度求解未知角度
01
利用内接四边形对角互补定理和圆心角定理，可以通过已知角
度求解出未知角度。
通过已知边长求解角度
02
在已知内接四边形的某些边长时，可以利用正弦、余弦定理等
利用边长关系求解问题
已知边长求角度
在已知内接四边形部分边 长的情况下，通过边长比 例关系求解未知角度。
已知角度求边长
在已知内接四边形部分角 度的情况下，通过三角函 数和边长比例关系求解未 知边长。
综合应用
结合已知条件和所求问题， 综合运用边长比例关系、 三角函数和相似三角形等 知识求解问题。
拓展：相似三角形在内接四边形中应用
求解出相应的角度。
角度与弧度的转换
03
在求解与圆相关的问题时，经常需要在角度与弧度之间进行转
换。
拓展：外角、内角和公式应用
内角和公式
多边形的内角和公式为（n-2） ×180°，其中n为多边形的边数。
对于圆内接四边形，其内角和为 360°。
外角公式
多边形的外角和公式为360°，即所 有外角之和等于360°。对于圆内接 四边形，每个外角都等于相邻的内 对角。
02
若一个四边形的对角互补，则这 个四边形的四个顶点共圆，即这 个四边形是某个圆的内接四边形 。
性质定理梳理
圆内接四边形的对角互补：即对于圆 内接四边形ABCD，有∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
若在圆内接四边形中，有一个角是直 角，则其对角也是直角。
九年级数学下册《圆的内接四边形》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：圆的内接四边形的性质及其应用，特别是对角互补定理的理解和应用。
2.难点：将圆的内接四边形的性质与实际问题相结合，解决复杂的几何问题。
（二）教学设想
1.引入新课：通过生活中常见的圆形物体（如硬币、圆桌等）引导学生观察和思考，激发学生对圆的内接四边形的兴趣。接着展示一些内接四边形的实例，让学生初步感知内接四边形的特点。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真审题，确保解题过程清晰、简洁。
2.培养良好的学习习惯，书写规范，保持作业整洁。
3.遇到问题要积极思考，可以与同学讨论，也可以向教师请教。
4.家长要关注学生的学习进度，鼓励孩子独立完成作业，培养自主学习能力。
5.课堂练习：布置一定数量的课堂练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。教师及时批改并给予反馈，针对学生的错误进行有针对性的讲解。
6.拓展延伸：针对学有余力的学生，提供一些拓展性的问题和实际应用案例，激发学生的探究欲望，培养他们的创新思维。
7.评价反思：在教学过程中，注重过程性评价，关注学生的参与度、合作交流能力、问题解决能力等方面。课后，教师和学生共同反思教学效果，为下一步教学提供参考。
1.基础巩固题：完成课本第56页的练习题第1、2、3题，要求学生在理解圆的内接四边形性质的基础上，正确解答相关问题。
2.能力提升题：完成课本第57页的练习题第4、5题，鼓励学生运用对角互补定理解决实际问题，提高解题技巧。
3.拓展思考题：思考并解答以下问题：
a.除了对角互补定理，你还能发现圆的内接四边形的其他性质吗？
二、学情分析
九年级学生已经具备了一定的几何基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能够运用这些知识解决一些简单问题。在此基础上，学生对圆的内接四边形的学习将更具挑战性。他们需要将已知的圆的性质与四边形的性质相结合，理解圆的内接四边形的独特性质，并学会运用这些性质解决实际问题。在这个过程中，学生可能会遇到一些困难，如对内接四边形对角互补性质的理解、解决实际问题时思路的拓展等。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，提供适当的引导和帮助，激发学生的学习兴趣，提高他们的自信心，使他们在探索和解决问题中不断成长。
沪科版九年级下册24.3圆周角教学设计(共三课时)
沪科版初中数学九年级第24章圆教学设计 24.3圆周角（共三课时）第一课时圆周角与圆心角的关系一．教学背景（一）教材分析本课内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基础上进行研究的。
通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧的关系定理，另一方面圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛。
所以这一节课既是前面所学知识的继续又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.另外，通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此，这节课无论在知识上，还是在方法上，都起着十分重要的作用。
（二）学情分析本课内容是在学生已经了解圆的基本性质，会判断圆心角，基本掌握了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，熟练掌握了三角形的外角定理的基础上进行研究的。
初三的学生已具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，再通过合作交流逐步完善自己的想法，因此本节课设计成探究课，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。
二．教学目标1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2.经历探索圆周角的有关性质的过程，渗透由“特殊到一般”的数学思想方法．体会分类、转化等数学思想方法。
三．教学重难点教学重点：1.圆周角及圆周角定理2.探索圆周角与圆心角的关系是本课时的重点.教学难点：了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”及圆周角定理的简单应用。
四．教学方法分析及学习方法指导教学方法分析本课以教师为主导，学生为主体，知识为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。
学习方法指导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。
3.4.3 圆内接四边形
)
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2 圆内接四边形对角互补
(1)如图1,A, B，C, D是⊙O上的四点， AC为⊙O的直径， ∠ BAD与∠ BCD 之间有什么关系？为什么？ (2)如图2,点C的位置发生了变化， ∠ BAD与∠ BCD之间的关系 还成立
B．40°
C．50°
D．80°
（来自《典中点》）
知2－练
5 (2015· 山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O 的直径，点C为 BD 的中点．若∠A＝40°，则∠B＝ ________．
（来自《典中点》）
知3－导
知识点
想一想
3
圆内接四边形的外角等于其内对角
如图， ∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个 外角， ∠A与∠DCE的大小有什么关系？
（来自《典中点》）
)
圆内接四边形的角的“两种关系”： (1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内
接四边形的外角等于其内对角．
1.必做: 完成教材P83随堂练习T3，P84习题
3.5T3、4
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
2 (2015· 青岛)如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长 线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则
∠F＝________.
（来自《典中点》）
知3－练
3 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延 长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于(
A．20° B．40° C．80° D．100°
圆内接四边形-九年级数学下册同步教学课件(沪科版)
定理
圆内接四边形的对角互补，且任何 一个外角都等于它的内对角.
24.3.2 圆内接四边形
“ THANKS ”
A
圆上一条弧所对的圆周角等于它
所接四边形 讲授新课 圆内接四边形及其性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
C
D O
A
B
如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是
四边形ABCD的外接圆.
∵ 2x+6x=180°， ∴ x = 22.5°.
∴ ∠A = 45°， ∠B = 67.5°， ∠C =135°， ∠D =180°-67.5°=112.5°.
24.3.2 圆内接四边形
例2 如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，点 O 在∠D 的内部， 四边形 OABC 为平行四边形，
则∠OAD＋∠OCD = _6__0__度．
24.3.2 圆内接四边形
例3 如图，已知 A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点E. 若BC＝BE. 求证：△ADE是等腰 三角形．
证明：∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°. ∵∠BCE＋∠DCB＝180°， ∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E， ∴AD＝DE， ∴△ADE是等腰三角形．
则∠APB = 120°.
C P
B A
24.3.2 圆内接四边形
5. 在⊙O 中，∠CBD =30°，∠BDC =20°，求∠A.
解：∵∠CBD = 30°，∠BDC = 20°，
A
∴∠C = 180°－∠CBD－∠BDC = 130°.
圆的内接四边形
圆的内接四边形1. 知识结构2. 重点、难点分析重点：圆内接四边形的性质定理.它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法.难点：定理的灵活运用.使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置.3. 教法建议本节内容需要一个课时.（1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看示例），组织学生自主观察、分析和探究；（2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法.一、教学目标：（一）知识目标（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明.（二）能力目标（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力.（三）情感目标（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.二、教学重点和难点:重点：圆内接四边形的性质定理.难点：定理的灵活运用.三、教学过程设计（一）基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图中的四边形ABCD 叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆.（二）创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）教师组织、引导学生研究.1、边的性质：（1）矩形：对边相等，对边平行.（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等.（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行.归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质.2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补.（三）证明猜想教师引导学生证明.（参看思路）思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠B OD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢?∠A= ，∠C=∴∠A+∠C=思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点.把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角.在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢?这时有2(α+β+γ+δ)=360°所以α+β+γ+δ=180°而β+γ=∠A，α+δ=∠C，∴∠A+∠C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补.（四）性质及应用定理：的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角.（对A层学生应知，逆定理成立， 4点共圆）例已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D.过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F.求证：CE∥DF.（分析与证明学生自主完成）说明：①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法.对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决.②教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新.巩固练习：教材P98中1、2.（五）小结知识：圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质.思想方法：①“特殊——一般”研究问题的方法；②构造圆内接四边形；③一题多解，一题多变.（六）作业：教材P101中15、16、17题；教材P102中B组5题.探究活动问题：已知，点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，点D是⊙A上（不与B、C重合）一点，直线BD与⊙O相交于点E.试问：当点D在⊙A上运动时，能否判定△CED的形状？说明理由.分析要判定△CED的形状，当运动到BD经过⊙A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现△CED是等腰三角形，从而猜想对一般情况是否也能成立，进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变，△CED的形状保持不变.提示：分两种情况（1）当点D在⊙O外时.证明△CDE∽△CAD’即可（2）当点D在⊙O内时. 利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE∽△CAD’即可说明：（1）本题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角顶点位置，进行角的转换；（2）本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索同样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时获得添辅助线的方法，这也是添辅助线的常用的思想方法；（3）一般地，有时对几种不同位置图形探索得到相同结论，但不同位置的证明方法不同时，也要进行分类讨论.本题中，如果将直线BD 运动到使点E在BD的反向延长线上时，△CDE仍然是等腰三角形.。
圆内接四边形.PPT
80
C
100
O B C
在⊙O 中，A、B、C、D 都在同一个圆上． （1）请指出图中圆内接四边形的外角． （2）∠ADC 的内对角是哪一个角，∠DCB 呢？ （3）与∠DCB 互补的角是哪个角？
A
D E
O B C F
3．利用性质解决问题
已知：△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆 AC 上的点（不与 A，C 重合），延长 BD 到 E． 求证：AD 的延长线平分∠CDE．
填空
A D E
B (1)四边形ABCD内接于⊙O，则 180° 180° ，∠B+∠ADC=_____; ∠A+∠C=__ 80° 100° ∠CDE=______ 若∠B=800， 则∠ADC=______ (2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000 50° 130° 则∠B=______∠D=______ A (3)四边形ABCD内接于⊙O, 45° ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____, D
学习目标： 1．掌握圆内接四边形的概念和性质； 2．会运用圆内接四边形的性质证明和计算 一些问题． 学习重点： 圆内接四边形的概念和性质．
1．提出问题
什么叫圆内接三角形？
什么叫圆内接四边形？
2．性质探究
观察圆内接四边形对角之间有什么关系． 如何验证你的猜想呢？ A D E O
B C F
圆内接四边形的对角互补，并且任何一角的外角都 等于它的内对角．
A
D E
O B C F
3．利用性质解决问题
拓展：如图，AD、BE 是△ABC 的两条高． 求证：∠CED=∠ABC．
C E D
A
B
2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB=CF,