几何复习2012-3-4教师
九年级数学几何的回顾复习
角度与平行线的性质
角度
角度是几何学中重要的基本概念，包 括锐角、直角、钝角和平角等。
平行线的性质
平行线具有一系列的性质，如平行线的 交角相等、平行线之间的距离相等等。
三角形的基本性质
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形的边 三角形的角 三角形的面积 三角形内角之和等于180度，外角等于不相邻的两个内角之和。 三角形面积等于底乘高的一半。
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九年级数 学几何的 回顾复习
2023
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壹
几何基础概念回顾
几何图形的分类与性质
根据图形的边数和角数，可以将几何图形分 为多边形、圆、椭圆等类型。 分类 不同的几何图形具有不同的性质，如多边形 的内角和、圆的周长和面积等。 性质
生活中有许多有趣的几何现象，如彩虹、蜂巢、 植物生长的螺旋形状等。这些现象都与几何原 理有关，为我们提供了探索数学之美的机会。
生活中的几何现象
生活中的几何趣味题
伍 复习测验与巩固练习
基础概念测验
基础概念测验：通过选择题、填空题 等形式，测试学生对几何基础概念的 掌握程度，如线、角、三角形、四边
形等的基本性质和分类。
机械制造中的几何测量实例
汽车制造过程中，需要对车身各部分进行精确的几何测量，以确保车辆外观美观、性能优良。此外，在航空航天 领域，对零部件的几何测量要求更为严格，以确保飞行安全。
生活中的几何现象与趣味题
生活中也有一些有 趣的几何问题，如 “蚂蚁爬斜坡”问 题、莫比乌斯带等。 这些问题不仅富有 挑战性，而且能够 激发我们对数学的 兴趣和好奇心。
2012中考几何复习专题(1)
2012中考几何复习专题(3)一、方法指引中考解答题一般是分两部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础.第二部分往往就是开始拉分的中、难题了.线段与角问题就是中考数学有难度题的排头兵.几何证明题是指运用几何定义、公理、定理和基本方法进行逻辑推理、合情判断的一类题.解题策略：掌握基本图形的构成及性质，使复杂问题简单化.常用的方法有综合法和分析法.综合法是指从问题的条件出发，求其结论的方法，其特点是从已知看可知，逐步推出未知.分析法是指从问题的结论出发，求其成立条件的方法，其特点是从未知看需知，逐步靠近已知.二、例题分析例1:如图1，在△ABC 中，AB =BC =5，AC =6．△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE ．AC 和BE 相交于点O ．（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，说明理由； （2）如图2，P 是线段BC 上一动点（图2），（不与点B 、C 重合），连接PO 并延长交线段AB 于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为点R ．①四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积；②当线段BP 的长为何值时，△PQR 与△BOC 相似．解：（1）四边形ABCE 是菱形，证明如下：∵△ECD 是由△ABC 沿BC 平移得到的，∴EC ∥AB ，且EC ＝AB ， ∴四边形ABCE 是平行四边形，又∵AB =BC ，∴四边形ABCE 是菱形.（2）①四边形PQED 的面积不发生变化（1分），理由如下：方法一：∵ABCE 是菱形，∴AC ⊥BE ，OC =12AC =3，∵BC =5，∴BO =4，过A 作AH ⊥BD 于H ，（如图1）.∵S △ABC ＝12BC ×AH ＝12AC ×BO ，即：12×5×AH ＝12×6×4，∴AH ＝245.（2分）【或 ∵∠AHC ＝∠BOC ＝90°，∠BCA 公用， ∴△AHC ∽△BOC ，∴AH :BO ＝AC :BC ，即：AH :4＝6:5，∴AH ＝245.（2分）】由菱形的对称性知，△PBO ≌△QEO ，∴BP ＝QE ，（3分）∴S 四边形PQED ＝12（QE +PD ）×QR ＝12（BP +PD ）×AH ＝12BD ×AH（图1）P QH OEA＝12×10×245＝24.（4分）方法二: 由菱形的对称性知，△PBO ≌△QEO ，∴S △PBO ＝ S △QEO ，（2分） ∵△ECD 是由△ABC 平移得到得，∴ED ∥AC ，ED ＝AC ＝6， 又∵BE ⊥AC ，∴BE ⊥ED ，（3分）∴S 四边形PQED ＝S △QEO ＋S 四边形POED ＝S △PBO ＋S 四边形POED ＝S △BED ＝12×BE ×ED ＝12×8×6＝24.（4分） ②方法一：如图2，当点P 在BC 上运动， 使△PQR 与△COB 相似时，∵∠2是△OBP 的外角，∴∠2＞∠3， ∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应， 即∠2＝∠1，∴OP =OC =3（5分），过O 作OG ⊥BC 于G ，则G 为PC 的中点，△OGC ∽△BOC ，（6分）∴CG :CO ＝CO :BC ，即：CG :3＝3:5，∴CG =95，（7分）∴PB ＝BC －PC ＝BC －2CG ＝5－2×95＝75.（8分）方法二：如图3，当点P 在BC 上运动， 使△PQR 与△COB 相似时，∵∠2是△OBP 的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，（5分）∴QR :BO ＝PR :OC ，即：245:4＝PR :3，∴PR ＝185，（6分）过E 作EF ⊥BD 于F ，设PB ＝x ，则RF =QE =PB =x ， DF ＝ED 2-EF 2=62-(245)2 =185，（7分）∴BD ＝PB ＋PR ＋RF ＋DF ＝x ＋185＋x ＋185＝10，x ＝75.（8分）方法三: 如图4，若点P 在BC 上运动，使点R 与C 重合， 由菱形的对称性知，O 为PQ 的中点， ∴CO 是Rt △PCQ 斜边上的中线， ∴CO =PO ，（5分）∴∠OPC ＝∠OCP ， 此时，Rt △PQR ∽Rt △CBO ，（6分）∴PR :CO ＝PQ :BC ，即PR :3＝6:5，∴PR ＝185（7分），∴PB ＝BC -PR ＝5－185＝75.例2：已知菱形ABCD 的边长为1．∠ADC =60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F .（图2）P QCOEDBA132G （图3）P QOEDBA132F (R )PC ODQEBA（图4）第25题 图1第25题 图2第25题 图3图1图3PDABC EFBOF E 图2ND C B A （1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断11D MD N+是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由.解：（1）证明：如图I ，分别连接OE 、0F ∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ，BD 平分∠ADC ．AD =DC =BC∴∠COD =∠COB =∠AOD =90°．∠ADO =12∠ADC =12×60°=30°又∵E 、F 分别为DC 、CB 中点∴OE =12CD ，OF =12BC ，AO =12AD∴0E =OF =OA ∴点O 即为△AEF 的外心. （2）①猜想：外心P 一定落在直线DB 上.证明：如图2，分别连接PE 、P A ，过点P 分别作PI ⊥CD 于I ，P J ⊥∴∠PIE =∠PJD =90°，∵∠ADC =60° ∴∠IPJ =360°-∠PIE -∠PJD -∠JDI =120°∵点P 是等边△AEF 的外心，∴∠EP A =120°，PE =P A ，∴∠IPJ =∠EP A ，∴∠IPE =∠JP A∴△PIE ≌△PJA ， ∴PI =PJ∴点P 在∠ADC 的平分线上，即点P 落在直线DB 上. ②11D MD N+为定值当AE ⊥DC 时．△AEF 面积最小，此时点E 、F 分别为DC 、CB 中点．连接BD 、AC 交于点P ，由（1） 可得点P 即为△AEF 的外心解法一：如图3．设MN 交BC 于点G 设DM =x ，DN =y (x ≠0．y ≠O )，则 CN =1y -∵BC ∥DA ∴△GBP ∽△MDP ．∴BG =DM =x ．∴1C G x =- ∵BC ∥DA ，∴△NCG ∽△NDM ∴C N C GD ND M=，∴11y x yx--=∴2x y xy +=∴112xy+=，即112D MD N+=例3： 如图, 在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P , PH ⊥OA ,垂足为H , △PHO 的中线PM 与NH 交于点G ． （1）求证：2P G G M=；（2）设P H =x , G P y =,求y 关于x 的函数解析式，并写自变量x 的取值范围； （3）如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长．（1）证明：连接MN ，∵NH 、PM 是三角形的中线，∴△OMN ∽△OHP ，MN =12PH ，∴P G G M=2；（2）解：在Rt △OPH 中，OH=，MH =12OH ，在Rt △MPH中，MP= =∴y =GP =23MP （0＜x ＜6）答：y 关于x 的函数解析式是y ，自变量x 的取值范围（0＜x ＜6）；（3）解：△PGH 是等腰三角形有三种可能情况： ①GP=PH =x，解得x （不合题意．舍去），②PH =GH ，即x =2， ③GP=GH =2，解得x综上所述，如果△PGH 是等腰三角形，那么线段PH 的长等于PH=GH 2．三、复习训练1.在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，如果AD ＝8，DB ＝6，EC ＝9，那么AE ＝__________．2.在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，如果AC ＝10，AE ＝4，那么BC＝.3.在△ABC中，如果AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是__________cm．4.在R t△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于__________度．5.已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条可以是__________．6.正方形ABCD的边长为1.如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D’处，那么tan ∠BAD’＝.7.矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12。
第十三节：几何图形章复习教案 人教版教案
课题：几何图形复习教案教学目标知识目标： 使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章的全部知识；对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识；掌握本章的全部定理和公理。
能力目标： 理解本章的数学思想方法。
情感、态度、价值观： 培养学生积极向上的学习精神。
教学重点： 重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理。
教学难点： 难点是理解本章的数学思想方法． 课时安排：2教学设计二次备课【知识结构】一、多姿多彩的图形（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 二、点、线、面、体（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．（2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．（3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．三、欧拉公式 简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 间的关系为：V+F-E=2．这个公式叫欧拉公式． 四、认识平面图形（1）平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破：通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 五、几何体的展开图 六、展开图折叠成几何体 七、正方体相对两个面上的文字 第二节 直线 射线 线段 一、直线、射线、线段的表示 （1） 直线、射线、线段的表示方法①直线：用一个小写字母表示，如：直线l ，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB ．②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l ；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA ．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．平面图形从不同方向看立体图形展开立体图形 平面图形几何图形立体图形直线、射线、线段角 两点之间，线段最短线段大小的比较 角的度量 角的比较与运算余角和补角 角的平分线等角的补角相等等角的余角相等两点确定一条直线③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外二、直线的性质（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．三、线段的性质线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．四、两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离五、比较线段的长短（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．（3）线段的和、差、倍、分及计算做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．第三节角一：角（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．钟面角（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．（3）钟面上的路程问题分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角：以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．二：角的比较与运算度分秒的换：（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．角平分线的定义第3题图（1）角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC 是∠AOB 的平分线 则∠AOC=∠BOC=12∠AOB 或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC ． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 角的计算 （1）角的和差倍分①∠AOB 是∠AOC 和∠BOC 的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC ．∠AOC 是∠AOB 和∠BOC 的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC ．②若射线OC 是∠AOB 的三等分线，则∠AOB=3∠BOC 或∠BOC=13∠AOB ．（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 三：余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【课堂习题】一）立体图形展开图、三视图1.将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ ）A ．★B ．★C ．★D ．★2.下图是八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图是（ ）A B C D 3.如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ） A. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 二）平面图形1）、直线的性质： __________确定一条直线。
初中数学几何三大专题复习
初中数学几何三大专题复习一、平面几何平面几何是数学中重要的分支之一，涉及到点、线、面和图形等概念的研究。
初中数学几何的复重点主要包括以下三个方面：1. 图形的性质及相关定理- 点、线、面和图形的基本概念及定义；- 长度、角度、面积和体积的计算方法；- 直线、射线、线段、平行线和垂直线的性质；- 三角形、四边形、多边形等图形的性质及分类；- 圆的性质及相关定理。
2. 直线与角的关系- 同位角、内错角、对顶角等角度关系的计算和性质；- 平行线与转角、同旁内角等角度关系的计算和性质。
3. 图形的相似性- 相似图形的概念、判定和性质；- 相似三角形的相似判定定理和相应性质；- 相似三角形的比例关系及应用；- 射影定理及其应用。
二、立体几何立体几何是研究空间中的物体和几何体的形状、位置和运动的学科。
初中数学几何的复重点主要包括以下三个方面：1. 空间几何体的性质和关系- 空间几何体的基本概念和定义；- 球体、长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆台等几何体的性质；- 几何体的面积和体积的计算方法。
2. 空间直线和平面的关系- 平面与直线的关系及其相交情况；- 平面与平面的关系及其相互位置。
3. 空间几何体的投影和视图- 空间几何体的投影概念和特点；- 空间几何体在不同位置的视图。
三、坐标几何坐标几何是利用坐标系统来研究几何性质和关系的分支学科。
初中数学几何的复重点主要包括以下三个方面：1. 直角坐标系- 直角坐标系的基本概念和性质；- 平面直角坐标系和空间直角坐标系的关系。
2. 平面上的点和图形- 平面上点的坐标表示和计算；- 图形的坐标表示和计算。
3. 直线和曲线方程- 直线的斜率和截距的计算；- 直线和曲线方程的表示和应用。
以上是初中数学几何三大专题的复习内容概要，希望能帮助你有针对性地进行复习，取得更好的成绩！。
(完整版)立体几何复习专题
(完整版)立体几何复习专题立体几何复专题
立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是物体的形状、大小、位置及其相关性质。
本文档将为您提供立体几何的复专题，帮助您系统地回顾和巩固相关的知识。
1. 点、线、面与空间几何
首先我们从最基本的几何概念开始复，包括点、线、面以及空间几何的基本性质。
例如，点的定义、线的分类、平行线与垂直线的判定等。
2. 立体图形的表示方法
接下来，我们将研究立体图形的几种常用表示方法。
这些表示方法包括视图图、投影图、轴测图等，通过它们我们可以更直观地理解和描述立体图形的形状。
3. 立体图形的重要性质与公式
在本部分，我们将回顾立体图形的重要性质和相关公式。
例如，体积的计算公式、表面积的计算方法等。
同时，我们还将深入研究
不同立体图形的特点和相互之间的关系。
4. 空间几何的应用
最后，我们将介绍空间几何在实际生活中的应用。
例如，如何
测量不规则物体的体积、如何计算房屋的准确面积等。
这些应用案
例将帮助您更好地理解和应用空间几何的知识。
总结
本文档为您提供了立体几何的复专题，通过回顾和巩固相关知识，帮助您更好地掌握立体几何的基本概念、表示方法、重要性质
和应用。
希望这份文档能对您的研究有所帮助！。
2012届高三数学文科二轮专题复习教案――立体几何
专题八 立体几何知识点1.空间几何体的三视图:正俯长对正,正左高平齐,左俯宽相等.2.空间几何体的侧面积、表面积、体积（1）直棱柱的侧面积S ch =侧．V Sh =柱体(2)正棱锥的周长为c ，斜高为h '，12S ch '=侧．13V Sh =锥体（3）正棱台的上、下底面的周长是c c '，，斜高是h '，1()2S c c h ''=+侧．1()3V S S S S h '=++台体 (4)圆柱母线的长为l ，底面半径为r ，2πS rl =侧，2πS r =底.圆柱的表面积222π2π2π()S S S rl r r r l =+=+=+侧底．2πV r h =圆柱(5)圆锥底面半径为r ，母线长为l，πS rl=侧，2πππ()S S S rl r r r l =+=+=+侧底．21π3V r h =圆锥(6)圆台的上、下底面半径分别为r r '，，母线长为l ，π()S r r l '=+侧．圆台的表面积2222π()πππ()S S S S r r l r r r r r l rl ''''=++=+++=+++侧上底下底．221π()3V r Rr R h =++圆台（7）球的表面积24πS R =.334R V π=3.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
4. 直线与直线的位置关系（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. （2）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行那么这两个角相等或互补。
5. 直线与平面的位置关系.（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. （2）直线与平面平行判定定理：ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ （3）直线和平面平行性质定理：m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα（4）直线与平面垂直判定定理：αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. （5）直线与平面垂直的性质定理：m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα6. 平面与平面的位置关系：（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.ml αlmβαABC αlm αlγmβαllαβ（2）平面平行判定定理：βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. （3）两个平面平行的性质定理：m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂（4）两个平面垂直性质判定：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l（5）两个平面垂直性质定理：αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 7.空间距离,空间角(1)点到平面的距离的求解方法①直接求解法：从该点向平面引垂线，求垂线的长度 ②等体积代换法(2)空间角:①异面直线所成的角②直线和平面所成的角：直线和在平面的摄影所成的角 二面角例题１.（2008安徽文\理）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖例2 .下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ( )A ．9πB ．10π C ．11π D ．12π例3.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900. （1）求证：PC⊥BC； （2）求点A 到平面PBC 的距离.例4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ， 2PO =，M 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面ACM（Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．DCABPMOmβαllβαlβαmP A B D C练习1.（2010浙江）（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m //2.（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）133．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A.26B. 23C. 33D. 234.（湖北卷）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ） A.38π B. 328πC. π28D. 332π 5.（2010全国卷）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ） 34 (B) 54(C)74(D) 346．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．429+πB ．1836+πC ．1229+πD ．1829+π7.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .9.(2011.上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .10.如图，在四棱台111A B C D A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD，11AD=A B ，BAD=∠60°（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.11.如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP,AD的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD正视图俯视图侧视图图1233FE ADPxyz NMABD C OP利用空间向量解立体几何一、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行⇔两线的方向向量平行线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行⇔两面的法向量平行 2.垂直关系线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 线面垂直⇔线与面的法向量平行 面面垂直⇔两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离1.点点距离:点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+-2.点线距离:求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ在法向量(),n A B =上的射影P Q n n⋅ =0022Ax By C A B+++即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 :求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ，计算平面α的法向量n ，计算PQ在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角1.线线夹角（共面与异面）线线夹角⇔两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角:求线面夹角的步骤：① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.1.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.2．安徽卷（18）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。
立体几何复习教案
立体几何复习教案教案：立体几何复习教学内容：立体几何的基本概念和性质复习教学目标：1.复习立体几何的基本概念，如立体图形、多面体等。
2.复习立体几何的性质，如表面积、体积等。
3.强化学生对立体几何的理解和应用能力。
教学重点：1.立体几何的基本概念的复习。
2.立体几何的性质的复习。
教学难点：对立体几何的应用能力的强化。
教学准备：教学用具：课件、多面体模型等。
教学过程：Step 1：引入立体几何的复习通过引导学生回忆立体几何的基本概念，如点、线、面、体等，并简要介绍立体几何的应用领域和重要性。
Step 2：复习立体几何的基本概念1.复习点、线、面的概念。
2.复习立体图形的概念及种类，如球体、圆柱体、锥体、棱柱体等。
3.复习多面体的概念及种类，如四面体、六面体等。
Step 3：复习立体几何的性质1.复习表面积的计算方法，并通过实例进行计算练习。
2.复习体积的计算方法，并通过实例进行计算练习。
3.复习立体几何图形的旋转、翻转和镜像等性质。
Step 4：巩固立体几何的知识进行一些小组讨论和练习题，强化学生对立体几何的理解和应用能力。
Step 5：拓展应用通过引导学生思考，在实际生活、工程等领域中应用立体几何的情况，拓展学生的思维和应用能力。
Step 6：复习总结对本堂课所学内容进行总结和复习，帮助学生巩固所学知识。
Step 7：作业布置布置一些与立体几何相关的作业，以进一步巩固学生的学习成果。
教学评价：在整个教学过程中，通过学生回答问题、小组讨论和练习题等方式进行评价，以了解学生对立体几何知识的掌握程度和应用能力的发展情况。
教学反思：通过本堂课的复习教学，学生对立体几何的基本概念和性质有了较好的理解和掌握，学生对立体几何的应用能力也有了一定的提高。
在教学过程中，可以适当引入更多的生活实例，并加强练习的设置，以进一步巩固学生的学习成果。
中考几何复习教案.docx
第17课时图形的初步认识一、知识点1.立体图形：视图，平面展开图；2.平面图形：点和线，两点之间线段最短。
(1)角：对顶角相等，等角的补角相等，等角的余角相等；(2)平行线：两位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等。
二、三、中考知识梳理1.立体图形的展开图这类问题，主要考查对立体图形与平面图形的关系的认识，因此要求掌握常用多面体的平面展开图的识别及逆向判断。
2.角的有关计算这类问题一般主要考查互余、互补、对顶角的性质及平行线的性质的运用，首先根据己知条件观察图形，分析角与角之间的数量关系，从中找到解决问题的思路及途径，在中考中通常和三角形的内角和定理，内外角性质，或特殊三角形相联系。
3.平行线的性质与判定的运用平行线的特征与识别是互逆的，有时易混淆，在中考中往往综合运用，也经常与后续知识，平行四边形、相似形等相联系，是中考的重点之一。
题型一有关立体图形例1 （2015 •杭州市）在图所示的长方体中，和平面Al C1垂直的平面有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个解析：利用长方体的特征判断即可。
答案:Ao例2 （2014 -仙桃市）如图是一个正方体的展开图，每个图内都标注了字母，则展开与面E相对的是（）A.面DB.面BC.面CD.面A解析：已知这是一个正方体的表面展开图，共有6个面，其中和D相邻的有4个面，它们是：A、C、F、B,因此和E相对的只有D。
答案：A点评：为了培养空间的相象能力：一时要动手操作，仔细观察；二是要善于想象，把想象的样子亲自折一折，经过训练，就会大大提高自己的空间想象能力，另外，善于总结规律，会提高识别能力。
题型二角的有关计算例3 （2015 •南京市）如查Za=20°,那么Za的补角等于（）A. 20°B. 70°C. 110°D. 160解析：利用补角的定义，即可得出结果。
答案：D例4 （2014 -长沙市）如图，AB〃CD, EF分别交AB、CD于点E、F,Zl=70°,则/2=。
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（一份）代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、（北京丰台）如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠C P A O P B P B OO P B C P A P B O9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒B O P P AC 90 ∴∆∆B O P P A C ~∴=PO ACBO PA，∴=+||||||x y x 22，x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =-32，∴=C A 32B Oa B O QC A Q O Q A Q B OC A//~,，∴∴=∆∆设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m=-2 ∴-=∴=m m m 223287， ∴Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．（2005年玉溪）如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分）(3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）ABCDOyB aO Q AP xC2．（2005年玉林）如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．（2005年绍兴）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A 在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4。
①如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；②在①中，设BD与CE的交点为P，若点P，B在抛物线2y x bx c=++上，求b，c的值；③ 若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l 的解析式。
4、（2005年绍兴）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A 在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4。
①求直线AC的解析式；②若M为AC与BO的交点，点M在抛物线285y x kx=-+上，求k的值；③将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在②的抛物线上，并说明理由。
5．（2005年盐城）已知：在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 边上的一点，沿直线DE 将矩形折叠，使C 点落在AB 边上的C 点处。
过C ′作C ′H ⊥DC ，C ′H 分别交DE 、DC 于点G 、H ，连结CG 、CC ′，CC ′交GE 于点F 。
（1） 求证：四边形CGC ′’E 为菱形； （2） 设x CDE =∠sin ，并设DEDGE C y +='，试将y 表示成x 的函数；（3） 当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC 的长能力训练1、（2005年福州课改）已知抛物线)0(22>--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。
（1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）；（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。
2、（2005年泸州）如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，其顶点为D ．注：抛物线)0(2≠++=a c bx axy 的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．3、（2005年梅州）如图，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合）设PC=x ，点P 到AB 的距离为y 。
（1）求y 与x 的函数关系式；（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围。
FGHC'DABCEABD Co xyAB C P4、（2005年枣庄）如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E 与点A ，D 不重合)．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ． (1)设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式； (2)当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大?最大值是多少?5、（2005年金华）如图，在直角坐标系中，点M 在y 轴的正半轴上，⊙M 与x 轴交于A ，B 两点，AD 是⊙M 的直径，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点C. 已知点A 的坐标为（－3，0），点C 的坐标为（5，0）. （1）求点B 的坐标和CD 的长；（2）过点D 作DE ∥BA ，交⊙M 于点E ，连结AE ，求AE 的长.xEDCBAM yO6．（2005年湘潭）如图，已知：AB 是定圆的直径，O 是圆心，点C 在⊙O 的半径AO 上运动，PC ⊥AB 交⊙O 于E ，交AB 于C ，PC=5。
PT 是⊙O 的切线(T 为切点)。
(1)当CE 正好是⊙O 的半径时，PT=3，求⊙O 的半径； (2)当C 点与A 点重合时，求CT 的长； (3)设PT 2=y ，AC=x ，写出y 关于x 的函数关系式，并确定x 的取值范围。
答案：练习1、（1）连结BC 交OA 于点E 略（2）∵CD ∥AO ，∴∠3＝∠4. ∵AB 是⊙O 的切线，DB 是直径， ∴∠BCD ＝∠ABO ＝90°∴△BDC ∽△AOB. ∴B D D CA OO B ＝∴6x y 3＝ ∴18y x＝ ∴0＜x ＜6 （3）由已知和（2）知 x y 11xy 18⎧⎨⎩＋＝＝解这个方程组得：1212x 2x 9y 9 y 2⎧⎧⎨⎨⎩⎩＝＝（舍去）＝＝TPO E C B A∴AB＝22937262－＝＝. 2．解：(1)由题意，得22-4(m-3)=16-m>0①x1x2=m-3<O．②①得m<4．解②得m<3．所以m的取值范围是m<3．(2)由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°.所以BC=2BO，AB=2BC=4BO．所以A0=3BO(4分)从而得 x1=-3x2．③又因为 x1+x2=-2．④联合③、④解得x1=-3，x2=1．代入x1·x2=m-3，得m=O．(3)过D作DF⊥轴于F．从(2)可得到A、B两点坐标为A(-3，O)、B(1，O)．所以BC=2，AB=4，OC=3因为△DAB≌△CBA，所以DF=CO=3，AF=B0=1，OF=A0-AF=2．所以点D的坐标为(-2，3)．直线AD的函数解析式为y=3x=333．4、5．（1）根据题意，C 、C ′两点关于直线DE 成轴对称，DE 是线段CC ′的垂直平分线，故DC ＝DC ′，GC ＝EC ′，∠C ′EG ＝∠CEG由C ′H ⊥DC ，BC ⊥DC 得：C ′G ∥CE ， ∴∠C ′GE ＝∠GEC ，∵∠C ′EG ＝∠CEG ，∴∠C ′GE ＝∠C ′EG ，∴C ′G ＝C ′E ，∴C ′G ＝C ′E ＝EC ＝GC ， ∴四边形CGCE 为菱形 （2）解法一：由题意知：在△RtDCE 中， sin ∠CDE ＝DECE＝x 由（1）得：CC ′⊥CE ，又DC ⊥CE ， ∴Rt △C ′EF ∽Rt △DEC ′， ∴''EC EF DEE C =，即EF DE E C ∙=2'∴222222121,)('x DEEF DEGE DE DEDG x DECE DEE C DEEF -=-=-====∴221''x x DEDG DEE C DEDGE C -+=+=+，即122++-=x x y解法二：设DE ＝a ，由sin ∠CDE=DECE =x ，则CE=ax ，又DC ⊥CE ，CF ⊥DE ，∴△DCE ∽△CFE ∴2)(22CE EF ,ax DECEDE FECE aax ===∴=DG ＝DE -2EF ＝a-2ax 2，∴22212'x x aaxa ax DEDG CE DEDGE C -+=-+=+=+∴y=-2x 2+x+1FGH C'DABC E（3）由（2）得：y=-2x 2+x+1＝89)41(22+--x可见，当x=41时，此函数的图象达到最高点，此时87811212=-=-=xDE DG∵GH ∥CE ，∴87==DEDG DCDH ，由DH ＝2，得DG ＝47在Rt △DHC ′中41516494''22=-=-=DHDC H C∴BC ＝415能力训练 1、（1）所求对称轴为直线x ＝1 C （0，-m ） C ′（2，-m ） （2）满足条件的P 、Q 坐标为P （-1，3-m ），Q （1，3-m ）；P ′（3，3-m ）。
Q （1，3—m ）；P ″（1，-1-m ），Q ′（1,1-m ）。
（3）所求平行四边形周长为1024+或24。
2、解：（1）322++-=x x y （2）由（1）可知4)1(2+--=x y∴顶点坐标为D （1,4），设其对称轴与x 轴的交点为E ∵OC AO S AOC ∙=∆213121⨯⨯=23=()OEDEDCS OEDC ⨯+=21梯形 ()14321⨯+=27=DE EB S DEB ⋅=∆214221⨯⨯=4=D E BO E D C A O C A B D C S S S S ∆∆++=梯形四边形42723++=9=（3）△DCB 与△AOC 相似证明：过点D 作y 轴的垂线，垂足为F∵D （1,4），∴Rt △DFC 中，DC ＝2，且∠DCF ＝45° 在Rt △BOC 中，∠OCB ＝45°，BC ＝23 ∴∠AOC ＝∠DCB ＝90°12==COBC AODC ∴△DCB ∽△AOC3、（1）过P 作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ=y ， 312(04)55y x x =-+<< （2）令x ≤y ，得：31255x x ≤-+，解得：32x ≤∴当302x <<时，圆P 与AB 所在直线相离；32x =时，圆P 与AB 所在直线相切；342x <<时，圆P 与AB 所在直线相交4．解：(1)连接ME ，设MN 交BE 于P ，根据题意，得MB=ME ，MN ⊥BE ．过N 作AB 的垂线交AB 于F ， 在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°， ∴∠MBP=∠MNF ．又AB=FN ，∴RT △EBA ≌Rt △MNF ，故MF=AE=x在Rt △AME 中，AE=x ，ME=MB=2-AM ，∴(2-AM)2=x 2+AM 2． 解得AM=2411x -所以四边形ADNM 的面积2212221224122AM D NAM AFS AD AM AE x xx x ++⎛⎫=⨯=⨯=+=-+ ⎪⎝⎭=-++即所求关系式为2212++-=x x s . (2) ()()22211515221122222S x x x x x =-++=--++=--+.∴当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积s 的值最大。