安徽省合肥市高校附中2011年高三联考理科数学2011.2

安徽省合肥市高校附中2010年高三联考数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数201021z ii=++的虚部是( ) A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．12．设集合{}2560,M x x x =--+>{}|1|1N x x =+<，则M N ⋂=( )A ．{}23x x << B．{}21x x -<< C ．{}60x x-<< D ．{}20x x -<< 3．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的方程为12y x =，则此双曲线的离心率为（ ）A．2．2 D ．24．已知某个几何体的三视图如图1所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A ．43 B ．83 C ．23 D 5．给出下列四个命题，其中真命题的是（ ）A ．命题“若24,x =则2x =或2x =-”的逆否命题是“若2x ≠或2x ≠-则24x ≠”B ．“a b >”是“()n n a b n N +>∈”成立的必要不充分条件C ．若命题p ：所有幂函数的图象都不过第四象限；命题q ：所有抛物线的离心率都为1，则命题p q ∧为真图1D ．若命题:p x ∀∈R ，2230x x -+>，则:p x ⌝∃∈R, 2230x x -+< 6．运行如图2所示的程序框图，若输出的y 值的范围为[0,4]，则输入的x 的值的范围为（ ）A ．[1,2]-B ．[1,3]-C ．[0,2]D ．[2,2]-7．在边长为3的正三角形ABC 中，点M 、N 分别满足2,2AM BM BN NC =-= ，则||CM AN +=（ ）AC．．8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为（ ）AB ．2C ．4D ．19．从101)x的展开式中任选一项，使选出的项中x 的幂指数为整数的概率为（ ） A ．111 B ．211 C ．311 D ．41110．已知向量(sin ,cos ),(cos )a x x b x x ==，()f x a b = ，下面关于函数()f x 的导函数()f x '说法中错．误．的是（ ） A ．函数最小正周期是π B ．函数在区间(0,)3π为减函数C ．函数的图象关于直线2x π=对称D ．图象可由函数2sin 2y x =向左平移512π个单位长度得到第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．图211．甲、乙两个小组各5名同学数学测试成绩的茎叶图如图所示：记甲、乙两组中数学测试成绩的标准差分别为S 乙甲，S ，则S 乙甲，S 的大小关系为 ． 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1310a a +=，611a =，则7S = ．13．实数,x y 满足24010y xx y x ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2y z x =+的取值范围为 ．14．已知函数()21xf x x =+-的零点个数是a ，1(81)b x dx =+⎰，正数,m n 满足2m n +=，则a bm n+的最小值为 ． 15．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、11B C 的中点.下列说法正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①P 在直线EF 上运动时，GP 始终与平面11AAC C 平行； ②点Q 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D QC -的体积不变；③点M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则点M 的轨迹是一条的直线；④以正方体1111ABCD A BC D -的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱1AA 异面的有10条. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分12分）设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 面积为ABC S ∆，且S ABC ∆=bc cosA (1) 求sin 2A+sinAcosA 的值；，(2) 若b ac c a 2222-+=,b=5 求c ．17．（本小题满分12分）某企业生产一种风险较大的高科技产品M ，要用甲和乙两种初级产品组合而成，甲和乙两种初级产品生产相互独立，每种初级产品生产结果均有A 、B 两个等级． 若随机的选用甲、乙两种初级产品7 8 9 甲乙65 5 4 0 1 89 0 2各一个组装成一个产品M ，甲和乙两种初级产品均为A 级时组合而成产品M 为合格品，其余均为次品．该厂在生产甲和乙两种初级产品时的等级概率如下表： (Ⅰ)求该产品M 为合格品的概率；(Ⅱ)由于产品M 受国家强制认证，只有合格品被允许进入市场销售，其余产品必须销毁，已知生产一件产品M 可获利1500万元，销毁一件产品M 损失400万元，预计今年该厂生产甲、乙初级产品各3件，求今年该厂生产产品M 获纯利润的数学期望．18．（本小题满分12分）已知直四棱柱''''D C B A ABCD -，四边形ABCD 为正方形，'AA =2AB=2，E 为棱CC ′的中点．(1) 求证：BDE A 面⊥E '；(2)设F 为AD 中点， G 为棱'BB 上一点，且 FG//面BDE ，求的余弦值二面角B DE G --．．19．（本小题满分13分）已知离心率为22的椭圆C 1:12222=+b y a x (a>b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2, 椭圆C 1与抛物线C 2:的交点的横坐标为x y -=22-．概率 产品 产品级别BA 甲乙910 89 110 19（1）求椭圆的标准方程；（2）如果直线l:m kx y += 与椭圆相交于P 1、P 2两点,设直线P 1F 1与P 2F 1的倾斜角分别为πβαβα=+当,,时，求证：直线l 必过定点．20．（本小题满分13分）设函数()pf x px x=-，()2ln m x x =．。

（1）当1p ≥时，证明：对任意(1,)x ∈+∞，()()f x m x >恒成立； （2）设2()eg x x=，若对任意∈21,x x []1,e ，112()()()f x m x g x -<成立，求实数p 的取值范围．21．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn qa S q-=-()n N *∈其中q 为非零常数，函数211()222f x x x =+-，数列{}n b 满足/1()n n b f b +=，()n N *∈，1(1)b f =，设112n n n c a b =，{}n b 的前n 项和为n T ，12111n nB T T T =+++ ，求12n n A c c c =+++ ． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等比数列； （Ⅱ）当13q =时，试比较4()3n f A 与()n f B 的大小，并说明理由．合肥市高校附中2010年高三联考数学试题（理）参考答案一、选择题二、填空题11． S 乙甲<S ; 12． 56; 13．5[1,]2-; 14． 3+．①②③ 三、解答题 16．解：(Ⅰ1)A bc A bc cos sin 21= tanA=2 原式=56tan 1tan tan cos sin cos sin sin 22222=++=++AA A A A A A A （2）cosB=222222=-+ac b c a sinB=22， 由tan 2sinA A A =⇒==， ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =22(sinA+cosA)=2210103553=⋅ 由于C c B b sin sin = 所以3sin sin ==BCb c ．17．解：（Ⅰ）设“产品M 为合格品”为事件X 则()P X =9841095⨯=．所以该产品M 为合格品的概率45． （Ⅱ）方法一：设今年该厂生产产品M 为合格品、次品数分别为ξ、3-ξ件，由题意可知ξ可取0、1、2、3,则3311(0)()55P ξ=== 12331434(1)()555P C ξ⨯===1（）2212331434(2)()555P C ξ⨯===（） 330333144(3)()555P C ξ===（）23333313434412012355555E ξ⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=3-5E ξ=（3）所以今年该厂生产产品M 获纯利润的数学期望15004003-3360Y E Eξξ=-⨯=（）万元． 方法二：设今年该厂生产产品M 为合格品、次品分别为ξ、3-ξ件，由题意可知4~(3,)5B ξ，13~(3,)5B ξ-，则125E ξ=，3-5E ξ=（3）所以今年该厂生产产品M 获纯利润的数学期望15004003-3360Y E Eξξ=-⨯=（）万元． 18．解：(-1,1,-1)A'),1,21(，t)G(1,1,BDE E A'：(2)BDEE A'BE E A'''3111'211,512'EA'BD ACEA'BD ',)1(2222222222==⊥⊥∴+==++==+==+=⊥∴⊥∴⊥⊥，t E A BE B A E A BE B A AA BD AC BD 则设的一个法向量为面由已知可得面所以所以面，21t ：0t 1-121A'22==⋅+-=⋅解得所以()()9351331,1,12,2,1cos B -DE -G )2,2,1(-2y 2,z 0)21,1,1(),,1(0)1,1,0(),,1(z)y,(1, DEG =⋅⋅-⋅-==-===⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅=⋅=z y z y θθ，则的大小为设二面角所以解得：则的一设面19．解：（1）由于21122222=-==a b a c e ，2122=a b ， 222b a =又因的交点的横坐标为x y -=2-2，,22=y 代入8,4,14,122)2(222222=∴===+-a b bb b 所以椭圆方程为 14822=+y x （2）联立14822=+y x 与m kx y +=得到 0824)12(222=-+++m mkx x k1282,1242221221+-=+-=+k m x x k mk x x 设直线P 1F 1与P 2F 1的倾斜角分别为πβαβα=+当,,时，若设121121,F P F P k k k k ==0,tan )tan(tan ,tan 21121=+∴-=-=-===k k k k k ααπβα2211111++=+=x mkx x y k , 2222222++=+=x m kx x y k=+21k k 211++x m kx +222++x m kx =)2)(2()2)(()2)((211221+++++++x x x m kx x m kx=)2)(2(4))(2(2212121++++++x x mx x m k x kx=0)12)(2)(2(416)12)(2)(2()12(4)4)(2()82(222122122=++++-=+++++-++-k x x m k k x x k m mk m k m k 所以 k m 4=直线方程为 ),4(4+=+=x k k kx y 故直线过定点 （-4， 0）20．解： 令()()()G x f x m x =-，222()px x pG x x -+'=令2()2h x px x p =-+，(1)当1p ≥时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为1(0,1]x p=∈ ∴()(1)220h x h p >=->，∴()G x '在(1,)+∞内为单调递增函数，()(1)0G x G >=,即()()f x m x >．（2）∵2()eg x x=在[]1,e 上是减函数，∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =， 即[]()2,2g x e ∈．①当0p =时，()2h x x =-，因为x ＞0，所以()h x ＜0，2()0G x x'=-<， ∴()G x 在(0,)+∞内是单调递减函数；②当p ＜0时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为1(0,)x p=∉+∞，在(0,)+∞，()0h x ≤恒成立，所以，当0p ≤时，()G x 在[]1,e 上递减max ()(1)02G x G ==< ③当0＜p ＜1时，由[]11,0x e x x∈⇒-≥， 又当1p =时，()G x 在[]1,e 上是增函数，∴11()()2ln 2ln 22G x p x x e x e=--≤--< ④当1p ≥时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为1(0,)x p=∈+∞，∴min 11()()0h x p p p==->，∴()G x 在[]1,e 上为单调递增函数，又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max min ()()G x g x <，[]1,x e ∈ ，而max 1()()()2ln G x G e p e e e==--，min ()2g x =，即 1()2l n p e e e --<2， 解得1≤241e p e <-， 综上，p 的取值范围是24,1ee ∞-（-）．21．解：（Ⅰ）2(1)21nn n n qa S q S qa q-=⇒-=--且1q ≠ 当1n =时，111(1)22q S qa a -=-⇒=当2n ≥时，111(1)(1)n n n n n n q S q S qa qa a qa ------=-⇒= ∴{}n a 是以2为首项，公比为q 的等比数列．（Ⅱ） 当13q =时，由（1）得 112()3n n a -= 又 211()222f x x x =+-，∴/()2f x x =+由/1()n n b f b +=得/1()2n n n b f b b +==+ ∴{}n b 是以2为首项，公差为2的等差数列， 故2n b n =∴11()123n n n n c a b n == 1()(1)2n n n b b T n n +==+， 12111111111223(1)1n n B T T T n n n =+++=+++=-⨯⨯++ 2312111112()3()()3333n n n A c c c n ⎛⎫=+++=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭ ……①23411111111()2()3()(1)()()333333n n n A n n +∴=⋅++++-+ ……② ①-②得12312111111()()()()()333333n n n A n +∴=⋅++++-=11111(1)111333()()32313n n n n n n ++---=-- ∴412113333n n nn A =--⋅ ∴1211412111233(253)113333113(1)3n n n n n n n n n n n A B n n n ++++-++-=--⋅-+=-=+++⋅ 当1n =时，12143(253)91003(1)318n n n n n n A B n ++-++--==<+⋅ ∴43n n A B < 当2n ≥时，解一：令12()3(253)x g x x x +=-++则/1()3ln3(45)x g x x +=-+//12()3(ln3)4x g x +=-在[2,)+∞上为单调增函数，∴//1232()3(ln3)43(ln3)40x g x +=-≥->∴/1()3ln3(45)x g x x +=-+在[2,)+∞上为单调增函数， /13()3ln3(45)3ln392790x g x x +=-+≥->->12()3(253)x g x x x +=-++在[2,)+∞上为单调增函数,∴当2n ≥时，123()3(253)3(24103)0n g n n n +=-++≥-⨯++>即当2n ≥时，12143(253)03(1)3n n n n n n A B n ++-++-=>+⋅ ∴当2n ≥时，43n n A B > 又/()2f x x =+>0对0x ≥恒成立，∴()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴当1n =时4()3n f A <()n f B 当2n ≥时4()3n f A >()n f B ．解二：（数学归纳法）令12()3(253)n g n n n +=-++当2n =时，21(2)3(24103)0g +=-⨯++>假设n k =时，1212()3(253)03253k k g k k k k k ++=-++>>++即则当1n k =+时，(1)1222(1)3[2(1)5(1)3]3(253)[2(1)5(1)3]k g k k k k k k k +++=-++++>++-++++ 2226159(2910)4610 (2)k k k k k k k =++-++=+->≥这就是说，当1n k =+时，(1)0g k +>也成立，综上所述，当2n ≥时,12()3(253)0n g n n n +=-++> 成立,下同解一．解三：当2n ≥时，110122331111111012233221111223(12)222242221(22)(22)(1)34>2432533n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n n n n n n n n n n +++++++++++++=+=+++++≥+++=+++++-+++>++∴当2n ≥时,12()3(253)0n g n n n +=-++> 成立下同解一．。