第四章 层流流动与湍流流动
层流和湍流
对于牛顿流体， 为一常量，与 无关； 而对于非牛顿流体， 不是常量。
三、雷诺数 ★ 决定粘性流体在圆筒形管道中流动形态的因素：
速度v、密度ρ、粘度η、管子半径 r
★ 雷诺提出一个无量纲的数——雷诺数作为流体由层流向湍流转变的判据
Re
vr
★ 实验证明： Re 1000
层流
1000 Re 1500
4 3
R3g
6vT
R
可得
vT
2gR2
9
——
收尾速度（沉降速度）
应用：
vT
2gR2
9
① 在已知 R、 ρ、 σ的情况下，只要测得收尾速度便可以 求出液体的粘滞系数 η 。
② 在已知 η 、 ρ、 σ 的情况下，只要测得收尾速度便可以 求出球体半径 R 。
§3.5 血液在循环系统中的流动
一、血液的组成及特性
103 0.2 1.3102 4
5.97 104
Pa s m3
P QRf 1.0104 5.97104 5.97Pa
三、斯托克斯定律
1、斯托克斯定律
固体在粘性流体中运动时将受到粘性阻力作用，若物体 的运动速度很小，它所受的粘性阻力可以写为
f kvl
比例系数 k 由物体形状决定。
对于球体，若半径为 R ，则 k = 6 π ，
由于血液是粘性流体，故血压在体循环过程中是 不断下降的。
作业： 习题三 3-12 、3-14 、3-16
S
取通过轴线的一个纵截面，如图，
abcd 表示 t=0 时截面上 b
的长方形的流体元，经 时间 t ，产生切变，变 dx 为 ab’c’d ，
则 bb tdv
a
c v dv
第四章 湍流流动
____ ____
uuzzuuxx
XX
xx
yy
zz
t xx
x
t yx
y
t z
x
z
——（5）
14
___
t xx ——湍流流动时x方向总法向应力。
___
r xx ——涡流粘性产生的附加法向应力。
___ ___ ___
t xx
,
t yx
,
t zx
——湍流时，总时均法向、切向应力的平均值。
表观运动粘度。
17
说明：
①涡流黏度与牛顿黏性定律中的动力黏度所表达的含义相同，但本质 不同。 ②涡流黏度不是流体的物性，而是与流道中流体所处的位置、流速及 边壁的粗糙度等因素有关的，是表示湍流中流体脉动程度的一个参数。 随时间和空间的变化很大，甚至有数量级的差别。除壁面附近外，涡 流黏度远大于分子黏度。
___ ___ ___
, , ——湍流时，法向、切向应力的时均值。
xx yx zx
（相当于层流时的应力值）
___ ___ ___
r xx
,
r yx
,
r zx
——脉动速度产生的法向、切向应力时均值。 （或附加应力时均值）
15
6.涡流粘度与混合长
宗旨：为求解上述方程，必须确立雷诺应力（脉动速度分量） 与时均速度梯度之间的关系。
7
4.湍流时的微分动量衡算方程
X方向的微分动量衡算方程
Dux X xx yx zx
D
x y z
ux
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
X
xx
x
yx
《湍流流动模型》课件
• 混合模型：结合基于方程的模型 和基于统计的模型的特点，通过 混合这两种方法来描述湍流流动 。如SST k-ω模型和修正后的k-ε 模型等。计算量适中，精度较高 ，适用于多种工程应用场景。
03 湍流流动模型的建立与求解
湍流流动模型的建立
湍流现象的描述
湍流是流体的一种复杂流动状态，具有高度的不规则性和 随机性。为了理解和模拟湍流，需要建立一个数学模型来 描述其基本特征和规律。
3
纳维-斯托克斯方程的满足度
检验模型是否满足纳维-斯托克斯方程，以评估 模型的物理意义和准确性。
湍流流动模型的应用Байду номын сангаас例
航空航天领域
湍流流动模型用于研究飞行器在高速飞行时 产生的湍流流动现象，以提高飞行器的性能 和安全性。
能源与环境领域
湍流流动模型用于模拟燃烧过程、流体机械内部流 动等复杂湍流现象，以提高能源利用效率和环境保 护水平。
化工与制药领域
湍流流动模型用于研究化学反应过程中产生 的湍流流动现象，以提高化学反应效率和制 药工艺水平。
05
湍流流动模型的发展趋势与展 望
湍流流动模型的发展趋势
多尺度模拟
随着计算能力的提升，湍流流动模型正朝着多尺度模拟的方向发 展，以更准确地模拟湍流在不同尺度上的行为。
非线性模型
传统的线性模型在处理复杂湍流时显得力不从心，非线性模型的研 发和应用成为新的趋势。
基于本征方程的模型
本征方程模型
通过求解湍流的本征方程来描述湍流 流动。本征方程基于湍流的物理特性 ，能够更准确地描述湍流流动。但计 算量大，对计算机性能要求高。
简化的本征方程模型
为了减小计算量，对基本的本征方程 进行简化处理，如忽略某些项或采用 近似解。计算量相对较小，精度有所 降低。
流体的湍流和层流
流体的湍流和层流流体的湍流和层流是流体力学中的两个重要概念。
湍流和层流是指在流动中流体颗粒的运动方式和流动特性。
本文将对流体的湍流和层流进行详细介绍。
一、什么是流体的湍流和层流？流体的湍流是指在流动中，流体颗粒的运动呈现混乱、无规律的状态。
湍流流动时，流体颗粒之间的速度和流动方向随机变化，并伴随着旋涡、涡旋和涡片的出现。
湍流的特点是流速变化大，存在高速区和低速区，流体颗粒之间相互穿插、交叉，流动产生的能量耗散较大。
而流体的层流则是指在流动中，流体颗粒的运动呈现有序、平行的状态。
层流流动时，流体颗粒之间的速度和流动方向保持一致，并按照一定的层次分布。
层流的特点是流速变化小，流体颗粒之间没有明显的穿插和交叉，流动产生的能量耗散较小。
二、湍流和层流的形成条件湍流的形成与流动的速度、流体的黏性以及几何形状等因素有关。
当流体的速度超过一定阈值时，流体会从层流向湍流转变。
此时流体颗粒之间的黏性作用减弱，流动变得不稳定，湍流现象开始出现。
层流的形成则需要考虑流体的黏性和几何形状。
当流体的黏性较大，流动的几何形状较简单时，流体容易形成层流。
此时流体颗粒之间的黏性作用较强，流动保持有序而稳定。
三、湍流和层流的特性和应用湍流和层流的特性对于流体力学和工程应用具有重要意义。
湍流的特性包括流体颗粒的速度和流动方向随机变化，能量耗散较大，流速变化大等。
湍流流动常见于自然界中的河流、大气运动、海浪等情况，也常见于工程领域中的管道流动、空气动力学等。
层流的特性包括流体颗粒的速度和流动方向保持一致，能量耗散较小，流速变化小等。
层流流动常见于实验室中的液体柱、细管流动等情况，也常见于工程领域中的管道流动、精细过滤等。
在工程应用中，湍流和层流的特性需要根据具体的情况进行分析和利用。
例如，在管道流动中，湍流常常会导致流体能量损失和阻力增加，需要通过合理的设计和控制手段来降低湍流的影响。
而在微流控技术中，层流的稳定性和均匀性对于实现精确的流体操控和混合非常重要。
流体力学中的湍流流动现象
流体力学中的湍流流动现象流体力学是研究流体运动规律的学科，而湍流流动现象是流体力学领域中一个极为重要和复杂的问题。
湍流流动的出现在我们的日常生活中随处可见，如水龙头的水流、风的吹拂、河流的水流等等都存在着湍流现象。
然而，湍流流动的本质却仍然是一个未解之迷。
湍流流动是指流体在运动过程中发生的一种无规则、混乱的流动状态。
与湍流相对的是层流，层流是指流体在运动过程中具有规律性和序列性的流动状态。
湍流的出现是由于流体分子之间相互碰撞和摩擦引起的，这种现象使得流体在运动中呈现出分流、交替、混合等复杂的运动状态。
湍流流动具有许多特点，比如湍流是不稳定的，它的速度和压力分布是时刻发生变化的；湍流流动能量的转换非常复杂，能量在各个方向上的分布非常均匀，并且湍流的能量分布与空间尺度相关，研究发现湍流流动中存在着许多不同尺度的涡旋结构；此外，湍流流动还表现出空间和时间上的混沌性，即使是对相同初始条件的湍流流动，其结果也会呈现出不可预测的变化。
湍流流动的理论研究非常困难，至今仍未完全解决。
目前，湍流流动的研究主要通过数值模拟和实验手段来开展。
数值模拟可以模拟湍流流动的物理过程，通过计算机模拟湍流的运动规律，可以得到湍流流动的速度、压力等物理量的分布情况，从而对湍流流动进行研究。
实验手段则通过设计实验装置，观察流体在湍流流动状态下的特性和行为，并测量一些相关的物理量，以获得湍流流动的性质。
湍流的形成和发展与流体的黏性密切相关。
在一些高黏性的流体中，湍流流动很难形成，流体呈现出较为稳定的层流状态。
而在一些低黏性的流体中，湍流流动很容易发生，湍流现象十分明显。
湍流流动还和流体的速度、密度、粘度以及流动条件等因素紧密相关。
湍流流动的研究对于提高流体力学的应用水平具有重要意义。
湍流流动在工程、地质、生物学以及大气环境等领域中起着重要的作用。
例如，在工程领域，湍流的产生会给管道输送、搅拌等工艺过程带来许多问题，研究湍流流动可以帮助我们更好地设计和优化工艺设备。
第04章 流体在圆管中的流动-t
试求: 确定其流动状态？
解：水的流动雷诺数
Re
油的流动雷诺数
vd
1
27933 2300 ——湍流流态
Re
vd
2
1667 2300 ——层流流态
4.2 圆管中的层流运动
ghf 2 2 (r0 r ) 4l ghf 4 ghf 4 Qv r0 d 8l 128l ghf 2 Q 32l v v d , hf v 2 A 32l gd ghf 2 ghf 2 umax r0 d 2v 4l 16l
Re k
vk R
575
R— 水力半径 R — 水力半径
vk R
300
水力半径： R
A
A 过流断面面积
过流断面上流体与固体接触周长（湿周）
水 力 直 径 ： d k 4R 水力直径越大，说明流体与管壁接触少，阻力小，过流能力大
（3）水头损失与速度的关系
水头损失：单位重量的液体自一断面流至另一断面所损失的机械 能。 内因— 流体的粘滞性和惯性 造成能量损失的原因：流动阻力 外因— 流体与固体壁面的接触情况 流体的运动状态 能量损失按性质可分为两类：
相对运动所产生的粘性切应力。
1
u x — 流体质点沿流向的时均速度
第二部分：由脉动流速所引起的时均附加
切应力，又称为紊动切应力。
2 u xu y
2
——只与流体的密度和脉动流速有关，而与流体粘
性无关，所以又称为雷诺切应力或惯性切应力。 雷诺切应力反映了流层之间的动量交换效应。
（4）雷诺数：
因为下临界雷诺数 Rec 就是流体两种流态的判别准则，雷诺数
第四章 层流、湍流与湍流流动
t
则可引入有粘度系数：eff t ，并有N—S方程：
v x t
vx
v x x
vy
v x y
vz
v x z
p x
eff
2v x
x 2
2v x y 2
2v z z 2
dv p l t g
两无限大平板，其一静止，其二以 v 0 速度匀速运动，流体为等温、
不可压层流流动( =常数)求稳定后的速度场分布。
⑴定解问题：实际流体 两平面无限大→稳定态
连续性方程
：v x
x
+
vy y
=0
运动方程
X方向：vx
vx x
vy
vx y
1
p x
2v x x 2
对于不可压缩流体：N—S方程（以X方向为例）取时均：
v x t
v x
v x x
vy
v x y
vz
v x z
p x
2v x x 2
2v x y 2
2v x z 2
v
'2 x
v
y' v
' x
v
记：dp dz
pL
L
p0
dp
，
dz
gz
C1
C1
1 r
r
(r
v z r
传输原理-层流与紊流
传输过程原理（课程编号：30120172）2003.9.27沈厚发焊接馆308电话：89922Email：shen@第四章层流流动及湍流流动第一节流动的状态及阻力分类第二节流体在圆管中的层流流动第三节流体在平行平板间的层流流动第四节流体在圆管中的湍流运动第五节沿程阻力系数的确定第六节局部阻力本课学习内容雷诺实验Reynolds (1882)层流过渡状态湍流第一节流动的状态及阻力分类层流（流线型流）：流线呈平行状态的流动。
流体质点在流动方向上分层流动，各层互不干扰和渗混特点：流速很小、粘度很大平壁面绕流的边界层边界层（附面层Boundary Layer ）：由速度为零的壁面到速度分布“较均匀”的区域。
流体的粘性在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动。
管内层流速度的发展1.1 层流与边界层层流起始段长度（AC ）：l = 0.065dReA B湍流质点的运动湍流：流体流动时，各质点在不同方向上作复杂的无规则运动，互相干扰地向前运动。
湍流运动在宏观上既非旋涡运动，在微观上又非分子运动。
流体质点的运行路径v xtv x 湍流脉动：在总的向前运动过程中，流体微团具有各个方向的脉动。
在湍流流场空间中的任一点上，流体质点的运动速度在方向和大小上均随时间而变。
瞬时平均速度：瞬时速度在一定时间内 t 内的平均值。
管内湍流中心区域特征：流体“层”与“层”之间粘性摩擦阻力小（可忽略），相对速度很小；湍流中的流动阻力（及动量交换）主要由流体微团的无规则迁移、脉动引起。
湍流主流湍流边界层层流底层湍流起始段长度：l = 25~40 d惯性力愈大，层流趋向于紊流转变；惯性力愈小，紊流趋向于层流转变。
粘性力惯性力===νηρDv D v Re 式中：v －流体在圆管中的平均速度（m/s ）；D －圆管内径（m ）。
雷诺数（Reynolds Number ）：惯性力和粘性力比。
对于在管内强制的流体，由层流开始向湍流转变：Re cr ≤2320层流（Recr 临界雷诺数）；Re cr ’≥13000湍流（Re cr ’上临界雷诺数）；2320＜Re ＜13000，流动处于过渡区（不稳定），可能是层流、也可能是湍流。
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第四章层流流动及湍流流动由于实际流体有粘性，在流动时呈现两种不同的流动形态：层流流动及湍流流动，并在流动过程中产生阻力。
对可压缩流体，阻力使流体受压缩。
对不可压缩流体，阻力使流体的一部分机械能转化为热能散失，这个转变过程不可逆。
散失的热量称为能量损失。
单位质量（或单位体积）流体的能量损失，称为水头损失（或压力损失），并以h w（或Δp）表示。
本章首先讨论流体的流动状态，再对粘性流体在两种流动状态下的能量损失进行分析。
第一节流动状态及阻力分类一、流体的流动状态1．雷诺试验：1882年雷诺作了如教材45页图4-1所示的流体流动形态试验。
试验装置：在圆管的中心用细玻璃管向圆管的水流中引入红色液体的细流。
试验情况：（1）当水的流速较小时（图4-1a），红色液体细流不与周围水混和，自己保持直线形状与水一起向前流动。
（2）如把水的流速逐渐增大，至一定程度时，红色细流便开始上下振荡，呈波浪形弯曲（如图4-1b）。
（3）当再把水流速度增大，红色细流的振荡加剧，至水的流速增大至某一速度后，圆管中红色细流消失，红色液体混入整个圆管的水中（如图4-1c）。
试验的三种不同状况说明：（1）对（图4-1a）所示，表明水的质点只有向前流动的位移，没有垂直水流方向的移动，即各层水的质点不相互混和，都是平行地移动的，这种流动称为层流；（2）对（图4-1b）所示，说明流动的水质点已开始有垂直水流方向的位移，离开圆管轴线较远的部位水的质点仍保持平行流动的状态；（3）对（图4-1c）所示，说明流动中水的质点运动已变得杂乱无章，各层水相互干扰，这种流动形态称为紊流或湍流。
2．雷诺数：流体之所以出现不同的流动形态，主要由流体质点流动时其本身所具有的惯性力和所受的粘性力的数值比例决定。
惯性力相对较大时，流体趋向于作紊流式的流动；粘性力则起限制流体质点作纵向脉动的作用，遏止紊流的出现。
雷诺根据此原理提出了一个判定流体流动状态的无量纲参数——雷诺数（Re）：对在圆管中流动的流体而言，雷诺数的表现形式为v：圆管内流体的平均流速（m/s）；ε：动力粘度（Pa·s）。
D：圆管直径（m）；ν：运动粘度（m2/s）。
实验确定，流体开始由层流形态向紊流转变时，称为下临界雷诺数，Re=2100～2320；当Re＞10000～13800时流体的流动形态为稳定的紊流，称上临界雷诺数；当Re=（2100～2320）～（10000～13800），流动形态为过渡状态，可以是紊流或层流。
临界雷诺数随体系的不同而变化，即使同一体系，它也会随其外部因素（如圆管内表面粗糙度和流体中的起始扰动程度等）的不同而改变，所以临界雷诺数为一个范围数。
对于非圆管中的流体流动，雷诺数的表现形式为R：水力半径（m）；A：流体的有效截面积（m2）；x：截面上与流体接触的固体周长（湿周）（m）。
（但水力半径R不是圆截面的几何半径r，如充满流体圆管的水力半径为：）这里，取下临界雷诺数为500。
对工程中常见的明渠水流，下临界雷诺数常取300。
当流体绕过固体（如绕过球体）流动时，出现层状绕流（物体后无旋涡）和紊状绕流（物体后形成旋涡）的现象，此时雷诺数用下式计算：l：固体的特征长度（球形物体为直径）； v：主流体的绕流速度。
[例]：在水深h=2cm，宽度b=80cm的槽内，水的流速v=6cm/s，已知水的运动粘度ν=0.013cm2/s。
问水流处于什么运动状态？如需改变其流态，速度v应为多大？解：这是非圆管内的流体流动，先计算水力半径水力半径cm 其雷诺数为＞300故水流状态为紊流状态。
如需改变流动状态，则先算出层流的临界速度，即cm/s 即水流速度v≤1.95cm/s时水流将改变为层流状态。
二、层流和边界层层流：流体质点在流动方向上分层流动，各层互不干扰和渗混，这种流线呈平行状态的流动称为层流。
层流是在流体具有很小的速度或粘度较大的流体流动时才出现。
若流体沿平板流动，则分层互不干扰。
若流体在圆管内流动，则形成同心圆筒流动。
对管内流动，由于实际流体的粘性而在流层之间及流体与管壁之间产生摩擦阻力，原来均匀分布的速度逐渐变得不均匀，在管壁附件一定厚度的区域内流体的速度要减低，形成速度的曲线分布规律（如教材46页图4-2b）。
在接近管壁处，由流速为零的壁面对速度分布较均匀的地方（速度为均匀速度的99%的地方），这一流体层称为边界层，或附面层。
边界层厚度为δ表示，δ随流体流进管内的距离的增加而增大。
流体粘性大，δ增大就快。
管内流体速度分布变化：1．流体刚流入管内时，同一截面上速度相同；2．由于粘性阻力和摩擦阻力的影响，形成边界层，边界层内流体速度降低；3．流过管子各截面的流量不变，而边界层内流速降低，引起边界层处流速的提高；如教材46页图4-2a所示。
层流时圆管内流体速度分布最终呈旋转抛物面。
图4-2中AC管段称为“层流起始段”。
对于直径为d的直管，层流起始段长度l=0.065Re。
三、紊流及紊流边界层紊流（湍流）：流体流动时，流体质点在不同方向上作复杂的无规则运动，互相干扰地向前运动。
在总的向前运动过程中，流体微团具有各个方向上的脉动，即在紊流流场空间中任一点上，流体质点的运动速度在方向和大小上均随时间而变，这种运动状态可称为紊流脉动。
如书图4-3所示。
紊流时，流场空间中任一质点速度均随时间而变，为瞬时速度。
瞬时速度在一定时间t内的平均值，称为瞬时平均速度。
紊流边界层：（其结构与层流边界层不同。
）由于粘性力作用，紧贴壁面的那一层流体对邻近层流体产生阻滞作用。
管口处，管内紊流与边界层均未充分发展，边界层极薄，边界层内为层流流动。
管内一定距离后（l=25～40d），紊流边界层包括层流底层和外面的紊流部分。
四、流动阻力分类流体运动时，由于外部条件不同，其流动阻力与能量损失分为以下两种形式：1．沿程阻力：（摩擦阻力）沿流动路程上由于各流体层之间的内摩擦力而产生的流动阻力。
层流时，沿程阻力完全由粘性摩擦产生。
紊流时，沿程阻力主要由流体微团的迁移和脉动造成，一小部分由边界层内的粘性摩擦产生。
2．局部阻力：流体在流动中因遇到局部障碍而产生的阻力。
局部障碍：流道发生弯曲、流通截面扩大或缩小、流道中设置了各种阻碍等。
第二节流体在圆管中的层流运动一、有效断面上的速度分布如教材49页图4-6所示，取一长度为l，半径为r0的圆管，粘度为ε的流体在左端压力和自身重力的作用下在管中作等速v的层流运动。
初始条件：现观察半径为r的圆柱形流体段，设1-1及2-2断面的中心距基准面O-O的垂直高度为z1和z2；压力分别为p1和p2；圆柱侧表面上的切应力为τ；圆柱形流体段的重力为。
流体段沿管轴作等速v的直线运动，流体段沿管轴方向满足力平衡条件，即。
（4-2）其中，另由牛顿粘性定律可得，代入（4-2）得。
（4-3）再由1-1、2-2两断面的伯努利方程得圆管内流体作等速运动，v1=v2，则得代入式（4-3）得积分后得边界条件：r=r0时，v=0，则积分常数C：所以得出速度的表达式：，这就是管中层流有效断面上的速度分布公式。
可见速度在半径方向上的分布曲线是抛物线，最大流速v max位于圆管轴线部位，此时r=0，。
（4-5）二、平均流速和流量圆管内流体平均流速 为圆管流体流量Q除以圆管有效截面积，其中dA=2πrdr，则。
（4-6）可知，平均流速为管轴上最大流速的一半。
圆管中层流的流量Q：Q= A=d0：圆管直径。
（4-7）此式表明，流量与沿程损失水头及管径四次方成正比。
由于式中Q、γ、h f、l及d0都可测出，则利用上式可求得流体的动力粘度ε。
三、管中层流沿程损失的达西公式常用能量损失形式，即液柱高度h来描述圆管长度上流体受管壁摩擦阻力所出现的能耗，这种损失又称沿程损失，其单位为m，式（4-6）中的h f即为沿程损失。
由式（4-6）得。
（4-8）上式即为圆管中沿程损失水头的表达式。
由雷诺数，可将上式改写为，令，则或。
（4-10）此式为达西公式，其中Δp f为沿程压力损失。
若流量为Q的流体，在管中作层流运动时，其沿程损失的功率为。
（4-11）此式表明，在一定的长度，流量时，流体的动力粘度越小，则损失的功率越小。
加热后石油的动力粘度降低，所以在长距离输送石油时，常预先将石油加热到某一温度后再输送。
[例4-2]：沿直径d=305mm的管道，输送密度ρ=980kg/m3，运动粘度ν=4cm2/s 的重油。
若流量Q=60L/s，管道起点标高z1=85m，终点标高z2=105m，管长l=1800m。
试求管道中重油的压力降及损失功率各为多少？解：（1）所求压力降，指管道起点与终点之间的静压力之差Δp。
列起点和终点之间的伯努利方程：其中由于管道的流量Q不变，管道截面积一定，则流速不变，上式成为式中只有h f未知，下面来求解h f。
先确定流动类型，计算雷诺数Re：Q=60L/s=0.06m3/s，平均流速m/s雷诺数Re：＜2320，流动状态为层流。
按达西公式（4-10）：m （为重油柱高度）所以压力降为=394000N/m2（2）计算损失功率：由式（4-11），第三节流体在平行平板间的层流运动两平行平板间的流体层流流动在很多机械中存在，如导轨、导槽、方形导孔等，在铸造中也常可遇到金属液充填较薄的平板型腔的现象。
在上述导向零件的表面之间都有一个很小的充满润滑油的缝隙，其中一个表面往往以一定的速度移动，就会促使润滑油在缝隙中作层流运动。
现设有由两块平行平板构成的流道（教材54页图4-8、图4-10、图4-11所示），有粘度为η的流体在x轴方向上的压力差dp/dx的作用和上面平板沿x轴方向以速度v0的带动之下，在流道中只作x轴方向上的层流流动，板的长度L和宽度W都比流道的高度h大得很多，故可忽略流道侧壁影响及入口、出口效应，同时可忽略质量力的影响。
因此（速度不随时间变化），（y、z方向上速度分量为零），则，（忽略质量力的影响）假定平板沿y方向无限宽，y方向的边界面对流体运动无影响，故流体作稳定的层流流动，沿x方向上速度不变化，由连续性方程，，故。
将上述条件用到纳维尔-斯托克斯方程：（下式为纳维尔-斯托克斯方程）得到：此三式上后两式说明，压力只与x方向有关，故有又有速度v x只是z的函数，则，则上三式中第一式成为对此式两次积分，得。
（4-15）下面分三种情况求解速度：1．（即无压力差），上板以定速度v0运动，下板不动，如图4-8所示。
边界条件：时，；时，代入式（4-15）得，则速度v：2．，两平板均静止，如图4-10所示。
边界条件：时，；时，代入式（4-15）得，则速度v：3．，上板以v0运动，如图4-11所示。
求出速度v：第四节流体在圆管中的紊流运动实际工程中，流体的流动只有很少一部分是层流流动，绝大部分是紊流流动，下面就来分析紊流流动。