湖南师大附中2019年高二下学期数学期末考试题

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湖南师大附中2019-2020学年高二下学期(在线)期中考试数学(文)试题Word版含答案

湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A ．∅ B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为A ．[1，2)∪(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，＋∞)3．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定4．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．25．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5y ＝－20IF x <0 THEN x ＝y －3 ELSEy ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos (A ＋B)的值为A ．－1665B ．－5665C .1665或5665D .16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是 A .15 B .13 C .14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答题卡11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是__________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x >0），2x （x ≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为__________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为__________．14．不等式sin x ≥12的解集是__________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD＝163，则球O 的表面积是________________________________________________________________________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)已知函数f ()x ＝－x 2＋2x .(1)证明：f ()x 在[1，＋∞)上是减函数；(2)当x ∈[]－5，2时，求f ()x 的最大值和最小值．17．(本小题满分8分)在等比数列{a n }中，其前n 项和记为S n ，若a 6－a 4＝216，a 3－a 1＝8，S n ＝13，求公比q ，首项a 1及项数n .18．(本小题满分8分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．已知直线l：y＝x＋2，一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切，该圆经过点A(－1，2)．(1)求圆C的方程；(2)求直线l被圆截得的弦长．第Ⅱ卷一、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．21．如图所示，图①是棱长为1的小正方体，图②，③是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，…，第n 层的小正方体的个数记为S n ，解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S n ＝__________．22．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________________________________________________________________________．二、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围．24.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e 2x＋mx ，其中m ≤0.(1)当m ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若不等式f (x )>0在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围．25．(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷二、填空题 11．4 12.14 13．614.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)略；(3分)(2)f (x )max ＝1，f (x )min ＝－35.(6分)17．【解析】设公比为q ，则q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1q 2－a 1＝8，a 1（1－q n）1－q ＝13，(5分)解得：⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝1，n ＝3.(8分)18．【解析】(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，∵AD 1⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ， ∴D 1A ∥平面C 1BD .(4分) (2)由(1)知，AD 1∥BC 1，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角即为∠C 1BD ，由题可知，△C 1BD 为等边三角形， ∴∠C 1BD ＝60°，即异面直线D 1A 与BD 所成的角为60°.(8分)19．【解析】(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(4分) (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.(8分)20．【解析】(1)∵圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切， ∴设圆心C (a ，0)，半径r ＝|a |，a ≠0，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，将点A (－1，2)代入得(－1－a )2＋22＝a 2， ∴a ＝－52，∴所求圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254.(5分)(2)方法一：联立方程y ＝x ＋2与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254得交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，Q (－4，－2)．∴直线l 被圆截得的弦长|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋22＝722.(10分) 方法二：∵圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0到直线l ：y ＝x ＋2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52－0＋22＝24， ∴直线l 被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝2254－216＝722.(10分) 第Ⅱ卷一、填空题 21．(1)10 (2)n ()n ＋12【解析】(1)图①有1层，第1层正方体的个数为S 1＝1；图②有2层，第2层正方体的个数为S 2＝1＋2；图③有3层，第3层正方体的个数为S 3＝1＋2＋3；依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为S 4＝1＋2＋3＋4＝10.(2)由(1)猜想：第n 个图有n 层，第n 层正方体的个数为S n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋n ＝n ()n ＋12.22．10 【解析】由f (x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＝－2cos πx .函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象都关于直线x ＝1对称，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象，如图所示．由图象可知在[－4，6]上共有5对关于x ＝1对称的交点，不妨设关于x ＝1对称的其中一对交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝1，即x 1＋x 2＝2，∴所有10个交点横坐标之和为5(x 1＋x 2)＝5×2＝10，即所有零点之和为10.二、解答题23．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0 ①(1分)当x ＜－1时，①式可化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式可化为x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式可化为x 2＋x －4≤0，解得－1－172≤x ≤－1＋172，∴1<x ≤－1＋172.(4分)综上所述，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172.(6分) (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，∴不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2恒成立．(8分) 又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)或f (1)，∴只需f (－1)≥2且f (1)≥2，解得－1≤a ≤1，即a 的取值范围为[－1，1]．(12分)24．【解析】(1)当m ＝－1时，f (x )＝e 2x－x ，∴f ′(x )＝2e 2x－1，则f ′(0)＝1.(2分)又f (0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(4分)(2)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f ′(x )＝2e 2x＋m (m ≤0)．(6分)①当m ＝0时，f (x )＝e 2x>0恒成立，满足条件；(7分)②当m <0时，由f ′(x )>0，得x >12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，＋∞上单调递增；同理函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2上单调递减．(9分)因此f (x )在x ＝12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2处取得最小值m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－1.(10分)∴m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2－1>0，解得－2e<m <0.(12分)综上所述，当m ∈(－2e ，0]时，不等式f (x )>0在定义域(－∞，＋∞)内恒成立．(13分)25．【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(3分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.(7分) 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.(8分)所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|，(10分) 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34，当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.(13分)。

湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附中2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

2019—2020学年度第一学期高二年级期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）（一）单选题1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2.如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r表示NM u u u u r，则NM u u u u r等于（）A. 1()2a b c -++r r rB. 1()2a b c +-r r rC. 1()2a b c -+r r rD. 1()2a b c --+r r r【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量的基本运算求解即可.【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r11()22OA OC OB OA =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-u u ur u u u r u u u r r r r . 故选：B .【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型. 3.设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（）A. 4a b +…B. 4a …C. 2a …且2b … D. 4b <-【答案】D 【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D .【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型.4.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.在101)的展开式中，x 项的系数为（） A. 45- B. 90-C. 45D. 90【答案】C 【解析】【分析】根据二项式定理公式分析求解即可.【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k kkkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k =, 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C .【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型.6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（）A. 8080-B. 4040-C. 8080D. 4040【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=,故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7.袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.考点：条件概率8.某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（） A. 4B. 12C. 16D. 24.【答案】B 【解析】【分析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可.【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数. 第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种；第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B .【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.（二）多选项择题：本题共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A. 甲类水果的平均质量10.4kg μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的图像意义判定即可.【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC .【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10.设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（） A. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C. 存在点P ，使12PF PF ⊥D. 1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可.【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为00y b <=…,则12PF F ∆B 项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=；当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型. 11.下列命题中为真命题的是（） A. (0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+>B. 2000,2x R x x ∃∈+=-C. 220001,sincos 333x x x R ∃∈+= D. 13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=,又1sin 1x -剟,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真； B 项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭…,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sincos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D 项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；①曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（） A. 直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B. 直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x =C. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线.当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；B 项,1y x'=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-. 令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -…, 即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误； C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =,.由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处切线方程_________________.【答案】20x y -= 【解析】【分析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+，可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2，则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=．故答案为20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________ 【答案】12【解析】【分析】的根据数学期望的求法列式求解即可.【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =.故答案为：12【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为7的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3 【解析】【分析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=,则2,BF c BP =,所以tan PAB ∠=由27a c =+,解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16.已知ABC ∆是边长为D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________（2）球O 的体积为_____________.【答案】 (1).32 (2). 6【解析】【分析】 (1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可.【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=.因为DB DC ==则BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD .因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD .取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得112sin 60DE ︒=⨯=.在Rt OED ∆中,OD ==,所以34326V π⎛=⋅= ⎝⎭球.故答案为：(1). 32 (2). 6【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--.（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin 10A =；1c = 【解析】【分析】 (1)根据面积公式与余弦定理求解即可.(2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =,再利用面积公式与正弦定理化简求解即可.【详解】（1）因为in 12s S ab C =, 所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--, 即222sin cos 2c a b C C ab--==-,所以tan 1=-C , 又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=. （2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=,所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因1sin 2ABC S ab C ∆=,且s in sin 2ABC S A B ∆=,所以1sin sin 2ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型.18.已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈L ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】【分析】 (1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可.【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=,又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=,又因为13a =,所以21n a n =+.（2）因为）11222n n n b b b na -+++=L ,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+L ,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n …时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭L , 则211111137(45)(41)22222n n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 两式相减,得211111134(41)22222n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 11147341(41)7222n n n n n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19.如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN 平面CDE ；（2）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE .【答案】（1）证明见解析（2）2PF =【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN 即可.(2)分别取线段,AB DE 的中点,G H ,再根据题意分析PG ⊥平面CDE 时的点P ,根据三角形的全等与相似的关系求得PF 的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE ,AB 在平面DEF 外,则//AB 平面DEF .因为平面PAB ⋂平面DEF MN =,则//AB MN ,从而//DE MN .因为MN 在平面CDE 外,所以//MN 平面CDE .（2）解法一：分别取线段,AB DE 的中点,G H ,则//GH CP ,所以,,,P C G H 四点共面.因为Rt PCA Rt PCB ∆≅∆,则PA PB =,所以PG AB ⊥.因为//AB DE ,则PG DE ⊥.若PG CH ⊥,则PG ⊥平面CDE ,从而平面PAB ⊥平面CDE .此时,CPG HCG ∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC ∆是边长为2的正三角形,则2sin 60CG ︒==又1GH =,则23CG PC GH==, 从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点,直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系由已知,2,1,AB OH OC ===则点(1,0,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,(1,0,0)CH HE OB ===u u u ru u u ru u u r设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =u r ,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得111(010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则m =u r设CP t =则点)P t ,从而)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =r ,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ,得222010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,n t =r .因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=u r r ,得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE . 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20.在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）23（2）详见解析【解析】【分析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为： 123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ,则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21.如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r .（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）【解析】【分析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +u u u r u u u r,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可. 【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py=-⎧⎨=-⎩, 得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk +=+-=--.所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r因为(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离d === 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅= 解法二：由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==设点21,(222P t t t ⎛⎫---<<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =此时点(2,2)P --. 故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22.已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a ee ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩… 【解析】【分析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()x x x f x e++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()x x x a f x e----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f ex -'-=„, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-；当()222121e a e -<+„时,(1)(1)f f -…,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --„,即2a …时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩…【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。

湖南师范大学附属中学高二下学期期末考试理数(答案)

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D2．A 【解析】函数y ＝ln(1－x )的定义域为M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1}，结合选项M ∩N ＝N 正确，选A.3．C 【解析】由均值不等式知p 为真命题；因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4≤2，所以q 为假命题，则綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )为真命题．故选C.4．A 【解析】由题意可得a 23＝a 1a 4，即(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解之可得a 1＝－8，故S 10＝－8×10＋10×（10－1）2×2＝10.故选A.5．C 【解析】由题意，因为函数f (x )＝e x ＋a e x (a ∈R )为奇函数，则f (0)＝e 0＋ae0＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝e x －1e x ，则f ′(x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(0)＝e 0＋1e0＝2，即k ＝2，且当x ＝0时，f (0)＝e 0－1e0＝0，即切点的坐标为(0，0)，所以切线的方程为y ＝2x ，故选C.6．B 【解析】如图，过E 作EF ∥BC ，由向量加法的平行四边形法则可知BE →＝BF →＋BC →＝－12AB →＋AD →，故选B.7．C 【解析】f (x )＝y 1－y 2＝－2x 3＋18x 2，f ′(x )＝－6x 2＋36x ＝0，x ＝6，故选C.8．A 【解析】如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|MN →|＝|MA →＋AB →＋BN →|＝⎪⎪⎪⎪－13AC 1→＋AB →＋12BB 1→＝⎪⎪⎪⎪23a －13b ＋16c . 又a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0， ∴|MN →|2＝⎝⎛⎭⎫23a －13b ＋16c 2，可得|MN →|＝216a .或者建立空间直角坐标系来求解．9．B 【解析】抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标F (1，0)，准线为x ＝－1也就是直线l 1，故P 到直线l 1的距离就是P 到F 的距离．如图所示，设P 到直线l 2的距离为d ，则d ＋|PF |≥|1－0＋1|2＝2，当且仅当P ，E ，F 三点共线时等号成立，故选B.10．A 【解析】g (x )＝f (x )＋m ＋x 有两个零点，等价于f (x )＋m ＋x ＝0有两个根，即y ＝f (x )与y ＝－x －m 有两个交点，画出y ＝f (x )与y ＝－x －m 的图象，如图，由图可知，当y ＝－x －m 在y 轴的截距不大于1时，两函数图象有两个交点，即－m ≤1，m ≥－1，m 的取值范围是[－1，＋∞)，故选A. 11．C 【解析】因为M 是PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线．因为OM ⊥PF 1，所以PF 2⊥PF 1.又因为|PF 2|－|PF 1|＝2a ，2|PF 1|＝|PF 2|，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a .在△F 1PF 2中，PF 2⊥PF 1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2. 代入得(2a )2＋(4a )2＝(2c )2，所以c 2a2＝5.即e ＝ 5.选C.12．A 【解析】根据题意，对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≤0，即f (x 1)≤g (x 2)，f (x )max ≤g (x )min 恒成立，g ′(x )＝－3x 2＋2x ，在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2内先增后减，g (2)<g ⎝⎛⎭⎫12，故g (x )min ＝1. 则f (x )≤1，ax＋x ln x ≤1，解a ≤x －x 2ln x .令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，h ″(x )＝－2ln x －3.在区间⎣⎡⎦⎤12，2内，h ″(x )<0，h ′(x )递减，h ′(1)＝0，故x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，h ′(x )>0， x ∈[1，2]时，h ′(x )<0，h (x )min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝⎛⎭⎫12，h （2）＝h (2)＝2－4ln 2， ∴a ≤2－4ln 2，则实数a 的取值范围是(－∞，2－4ln 2]．故选A. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．x n ＋nx>n ＋114．2 【解析】作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3≤0x －1≤0y －1≥0表示的平面区域，得到如图的区域，其中A (－1，1)，设z ＝F (x ，y )＝－x ＋y ，将直线l ：z ＝－x ＋y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值＝F (－1，1)＝1＋1＝2. 故答案为：2. 15.π4－2 【解析】由定积分的几何意义可知，⎠⎛011－x 2d x 是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于π4.⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0＝－cos π＋cos 0＝2.∴⎠⎛011－x 2d x －⎠⎛0πsin x d x ＝π4－2.答案为：π4－2.16．－12<a<0 【解析】f(x)＝x ln x ＋ax 2(x ＞0)，f ′(x)＝ln x ＋1＋2ax.令g(x)＝ln x ＋1＋2ax ，函数f(x)＝ax 2＋x ln x 有两个极值点 g(x)＝0在(0，＋∞)上有两个实数根．g′(x)＝1x＋2a ＝1＋2ax x，当a ≥0时，g ′(x)＞0，函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，因此g(x)＝0在区间(0，＋∞)上不可能有两个实数根，应舍去．当a<0时，令g ′(x)＝0，解得x ＝－12a .令g′(x)＞0，解得0＜x ＜－12a，此时函数g(x)单调递增；令g′(x)＜0，解得x ＞－12a，此时函数g(x)单调递减．∴当x ＝－12a 时，函数g(x)取得极大值．要使g(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个实数根，则g ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＞0，解得－12<a<0.∴实数a 的取值范围是－12<a<0. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】(Ⅰ)∵b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，S ＝12bc sin A ，∴代入已知等式得：2bc cos A ＝433·12bc sin A ，得：tan A ＝3，∵A 是三角形内角，∴A ＝60°.6分(Ⅱ)∵B 为三角形内角，cos B ＝45，∴sin B ＝1－cos 2B ＝35，∴sin C ＝sin (B ＋A)＝sin (B ＋60°)＝12sin B ＋32cos B ＝3＋4310，∵a ＝53，sin A ＝32，sin C ＝3＋4310， ∴由正弦定理得：c ＝a sin Csin A＝3＋4 3.12分18．【解析】(Ⅰ)∵3a n ＝2S n ＋n ，∴a 1＝1，当n ≥2时，3a n －1＝2S n －1＋n －1，即a n ＝3a n －1＋1，∴a n ＋12＝3a n －1＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n －1＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列.6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a n ＋12＝32·3n －1，∴a n ＝12×3n －12，∴S n ＝3a n －n 2＝34·3n －14()2n ＋3，8分∴T n ＝S 1＋S 2＋...＋S n ＝34()3＋32＋ (3)－14×()5＋2n ＋3n 2＝98()3n －1－n ()n ＋44.12分19．【解析】(Ⅰ)如图，作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥AB. 又AB ⊥AD ，SO ∩AD ＝O ，∴AB ⊥平面SAD.又∵AB 平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面SAD.5分 (Ⅱ)连结BO ，CO ，∵SB ＝SC ，∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ，BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形，∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ，∴OA ＝OD. 取BC 中点E ，得OE ∥AB ，连结SE ，∴SE ＝3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS ＝3－12＝ 2.由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∴DC →＝(0，1，0)，SC →＝(－1，1，－2)，BC →＝(－2，0，0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面SCD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝0，m ·SC →＝0，即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1－2z 1＝0，令z 1＝1得m ＝(－2，0，1)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面SBC 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SC →＝0.即⎩⎨⎧－2x 2＝0，－x 2＋y 2－2z 2＝0，令z 2＝1得n ＝(0，2，1)．则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝13×3＝13.12分20．【解析】(Ⅰ)圆M: x 2＋y 2＋22y －10＝0的圆心为M ()0，－2，半径为23，点N()0，2在圆M 内， ||PM ＋||PN ＝23>||MN ，所以曲线E 是以M, N 为焦点，长轴长为23的椭圆，由a ＝3， c ＝2，得b 2＝3－2＝1，所以曲线E 的方程为x 2＋y 23＝1.4分(Ⅱ)①设B ()x 1，y 1， C ()x 2，y 2，直线BC: x ＝ty ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 2＋y 23＝1，得()1＋3t 2y 2＋6mty ＋3m 2－3＝0，Δ＝36t 2－12m 2＋12，y 1＋y 2＝－6mt1＋3t 2， y 1y 2＝3m 2－31＋3t 2，由k 1k 2＝9知y 1y 2＝9()x 1－1()x 2－1＝9()ty 1＋m －1()ty 2＋m －1＝9t 2y 1y 2＋9()m －1t ()y 1＋y 2＋9()m －12，且m ≠1，代入化简得()9t 2－1()m ＋1－18mt 2＋3()m －1()1＋3t 2＝0，解得m ＝2.8分 ②由Δ＝36t 2－12m 2＋12＝36(t 2－1)>0，解得t 2>1，S △ABC ＝12||y 2－y 1＝3t 2－11＋3t 2＝3t 2－14＋3()t 2－12＝34t 2－1＋3t 2－1≤34(当且仅当t 2＝73时取等号)．综上，△ABC 面积的最大值为34.12分21．【解析】(Ⅰ)由已知x >0，f ′(x )＝2x ＋a ＋1x ＝2x 2＋ax ＋1x，①当a ≥－22时，f ′(x )≥0，则函数f (x )在(0，＋∞)单调递增. 2分 ②当a <－22时，Δ＝a 2－8>0时，2x 2＋ax ＋1＝0有两个正根，记x 1＝－a －a 2－84，x 2＝－a ＋a 2－84，当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )递增，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增．综上，当a ≥－22时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <－22时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a －a 2－84，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－84，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－84，－a ＋a 2－84上单调递减.5分 (Ⅱ)函数g (x )＝e x －1＋x 2＋a －f (x )＝e x －1－ln x －ax ＋a ，则g ′(x )＝e x －1－1x －a ＝h (x )，则h ′(x )＝e x －1＋1x2>0，所以g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当x →0时，g ′(x )→－∞；x →＋∞时，g ′(x )→＋∞；所以g ′(x )∈R ，所以g ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，所以g (x 0)为g (x )的最小值．由已知函数g (x )有且只有一个零点m ，则m ＝x 0.所以g ′(m )＝0，g (m )＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧e m －1－1m －a ＝0，e m －1－ln m －am ＋a ＝0，则e m －1－ln m －⎝⎛⎭⎫e m －1－1m m ＋⎝⎛⎭⎫e m －1－1m ＝0，得(2－m )e m －1－ln m ＋m －1m＝0，令p (x )＝(2－x )e x －1－ln x ＋x －1x (x >0)，所以p (m )＝0，则p ′(x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫e x －1＋1x 2，所以x ∈(0，1)时，p ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)时，p ′(x )<0，所以p (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，因为p (1)＝1>0，p (e)＝(2－e)e e －1－1＋e －1e ＝(2－e)e e －1－1e<0，所以p (x )在(1，e)上有一个零点，在(e ，＋∞)无零点，所以m <e.12分22．【解析】(Ⅰ)∵圆C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，∴消去参数α得普通方程为：x 2＋(y －1)2＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴(ρcos θ)2＋(ρsin θ－1)2＝1，化简得圆C 的极坐标方程为：ρ＝2sin θ.4分(Ⅱ)∵射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P .∴把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得：ρP ＝2sin π6＝1.又射线OM ：θ＝π6与直线l 的交点为Q ，∴把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得：ρsin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝2.ρQ ＝2.∴线段PQ 的长|PQ |＝|ρP －ρQ |＝1.10分23．【解析】(Ⅰ)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≤2.∴－1≤x ≤1，∴不等式解集为[－1，1].4分 (Ⅱ) ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2， ∴m ＝2，6分又1a ＋4b ＝2，a >0，b >0，∴12a ＋2b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋2＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋4b ＝2，b ＝2a ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3时取等号，所以(a ＋b )min ＝92.10分(这是边文，请据需要手工删加)。

湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题

湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题一、单选题 1．31ii++＝（） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋iD ．2－i2．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N ⋂= B ．()UM N N ⋂= C ．M N U ⋃=D ．()UM N U ⋃=3．已知命题:p a R ∀∈，且10,2a a a>+≥，命题000:,sin cos q x R x x ∃∈+=列判断正确的是（） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝ 是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则{}n a 前10项的和为 A ．10B ．8C ．6D ．-85．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =（）A ．12AB AD -+ B ．12AB AD - C ．12AB AD +D ．12AB AD -7．某产品的销售收入1y （万元）是产品x （千台）的函数，2117y x =；生产总成本2y （万元）也是x 的函数，()32220y x x x =->，为使利润最大，应生产A ．9千台B ．8千台C ．6千台D ．3千台8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M 在1AC 且112AM MC =，N 为1B B 的中点，则MN 为( )A．6a B．6CD9．已知直线1 : =-1l x ，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为 A ．2BC ．1D．210．已知()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，则m 的取值范围是 A ．[)1,-+∞B ．[)1,0-C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞11．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为 AB ．2 CD12．已知函数()ln a f x x x x =+，32()5g x x x =-++，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()0f x g x -≤成立，则实数a 的取值范围是A ．(],24ln 2-∞-B ．(],1-∞C ．1124ln 2,ln 224⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D ．11,ln 224⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦二、填空题13．已知1x >，观察下列不等式：12 xx +>；223xx+>；334xx+>；…按此规律，第n个不等式为________.14．若x，y满足约束条件2301010x yxy-+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则z x y=-+的最小值为______．15．12001sinx dx xdxπ--=⎰⎰______．16．若函数()2lnf x ax x x=+有两个极值点，则实数a的取值范围是__________．三、解答题17．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且22243b c a S+-=. ()1求A；()2若53a=，cos45B=，求c．18．已知数列{}n a，n S是其前n项的和，且满足()*32n na S n n=+∈N（1）求证：数列12na⎫⎧+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12n nT S S S=++⋯+，求nT的表达式．19．如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD上.(1)证明：平面SAB⊥平面SAD；(2)若1AB =，求平面SCD 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值.20．如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2,22,AD PA CD E F ===、分别是AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ⊥平面PCD ． (2)求三棱锥P EFC -的体积．21．已知圆M ：2222100x y ++-=和点2)N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线和QM 相交于点P ，P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点A 是曲线E 与x 轴正半轴的交点，直线x ty m =+交E 于B 、C 两点，直线AB ，AC 的斜率分别是1k ，2k ，若129k k ⋅=，求：①m 的值；②ABC ∆面积的最大值． 22．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为P （异于极点），与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23．已知函数()11f x x x =-++．（1）解不等式()2f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且14m a b+=，求+a b 的最小值．函数与方程的思想．。

湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题文(含答案)

湖南师范大学附属中学2018～2019学年第一学期高二期末考试数学(文科)时量：120分钟满分：150分得分：______________一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在复平面上，复数3－2i 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若綈(p ∧q )为假命题，则A ．p 为真命题，q 为假命题B ．p 为假命题，q 为假命题C ．p 为真命题，q 为真命题D ．p 为假命题，q 为真命题 3．“x <1”是“|x |<1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋y ≥1，2x －y ≤4，则z ＝3x ＋y 的最大值为A ．2B ．6C ．8D ．116．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 A ．－10 B ．6 C ．14 D ．187．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是 A.1ab ≤14 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥89．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±12xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状一定是A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．不确定11．已知数列a n ＝2n ＋1，其前n 项和为T n ，若不等式n log 2(T n ＋4)－λ(n ＋1)＋7≥3n 对一切n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围为A ．λ≤3B ．λ≤4C ．2≤λ≤3D ．3≤λ≤4 12．已知定义在R 上的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x ≥0时，恒有x2f ′(x )＋f (－x )≤0.若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1－2x )的解集为A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 选择题答题卡二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是____________．15．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝____________．16．已知函数f (x )＝ln x －x a(a >0)，若x 0∈R ，使得x 1∈[1，2]都有f (x 1)<f (x 0)，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ＝cos θ＋sin θ，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆C 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆C 公共点的极坐标．高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；(2)求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；(3)设m ，n 表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m ，n ∈[)13，14∪[]17，18，求事件||m －n >2的概率．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝22，E、F分别是AB、PD的中点．(1)求证：AF⊥平面PCD；(2)求三棱锥P－EFC的体积．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)、A(x1，y1)、B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．已知函数f (x )＝x ln xa(a ＞0)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求函数f (x )在[a ，2a ]上的最小值；(3)证明：x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x.湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试数学(文科)参考答案故选C.5．D 【解析】作出变量x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋y ≥1，2x －y ≤4的可行域如图，由z ＝3x ＋y 知，y ＝－3x ＋z ，所以动直线y ＝－3x ＋z 的纵截距z 取得最大值时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x －y ＝4，得A (3，2)，结合可行域可知当动直线经过点A (3，2)时，目标函数取得最大值z ＝3×3＋2＝11.6．B 【解析】程序框图为直到型循环结构，初始值S ＝20，i ＝1. 执行一次循环，i ＝2，S ＝20－2＝18；执行两次循环，i ＝2×2＝4，S ＝18－4＝14；执行三次循环，i ＝2×4＝8，S ＝14－8＝6，满足i ＞5，终止循环，输出S ＝6.7．A 【解析】∵BA →·BC →＝34＋34＝32，|BA →|＝|BC →|＝1，∴cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32，又0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.8．D 【解析】4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab≥14，选项A 、C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立．9．B 【解析】因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B.10．C 【解析】在△ABC 中，∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵sin B ·sin C ＝sin 2A ，∴bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c .∴△ABC 的形状是等边三角形．11．A 【解析】∵a n ＝2n ＋1，∴T n ＝4（1－2n）1－2＝2n ＋2－4.不等式n log 2(T n ＋4)－λ(n ＋1)＋7≥3n 化为n 2－n ＋7≥λ(n ＋1)，∵n ∈N *，∴λ≤n 2－n ＋7n ＋1对一切n ∈N *恒成立．而n 2－n ＋7n ＋1＝（n ＋1）2－3（n ＋1）＋9n ＋1＝n ＋1＋9n ＋1－3≥2（n ＋1）·9n ＋1－3＝3，当且仅当n ＋1＝9n ＋1即n ＝2时等号成立，∴λ≤3. 12．A 【解析】∵f (x )为定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∵x ≥0时，恒有x2f ′(x )＋f (－x )≤0，∴x 2f ′(x )＋2xf (x )≤0.∵g (x )＝x 2f (x )，∴g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )≤0，∴g (x )在[0，＋∞)上为减函数，∵f (x )为偶函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )在(－∞，0)上为增函数，∵g (x )<g (1－2x )，∴|x |>|1－2x |，即(x －1)(3x －1)<0，解得13<x <1.二、填空题 13．－314．π是无理数15. 2 【解析】由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝ 2.16．(0，1)∪(2，＋∞) 【解析】f ′(x )＝1x －1a(x >0)，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )max ＝f (a )．x 0∈R ，使得x 1∈[1，2]都有f (x 1)<f (x 0)，即f (a )>f (x 1)x 1∈[1，2]恒成立，故a [1，2]，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．三、解答题17．【解析】(1)圆C ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.3分直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，8分故直线l 与圆C 公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.10分18．【解析】(1)由图可知众数落在第三组[)15，16中，其值是15＋162＝15.5.3分(2)因为数据落在第一、二组的频率为1×0.04＋1×0.18＝0.22，所以该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11.6分 (3)成绩在[)13，14的人数有：50×0.04＝2人，设为a ，b ，成绩在[]17，18的人数有：50×0.06＝3人，设为A ，B ，C .8分m ，n ∈[)13，14时有ab 一种情况，m ，n ∈[]17，18时有AB ，AC ，BC 三种情况， m ，n 分别在[)13，14和[]17，18时有aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 六种情况，基本事件的总数为10，设事件||m －n >2为事件A ，它由aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 这6个基本事件组成.11分所以P ()A ＝610＝35.12分19．【解析】(1)设公差为d (d ≠0)，由已知得：(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，∴d ＝3a 1，又∵a 3＝7，∴a 1＋2d ＝7，解得：a 1＝1，d ＝3， ∴a n ＝3n －2.6分(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，S n ＝n3n ＋1.12分 20．【解析】(1)∵PA ＝AD ＝2，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD . ∴PA ⊥CD .∵AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD . ∵AF 平面PAD ，∴AF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD .6分(2)取PC 的中点G ，连接EG 、GF ，则GF ∥CD ，GF ＝12CD ，又∵EA ∥CD ，EA ＝12CD ，∴AE ∥GF ，AE ＝GF ，∴四边形AEGF 为平行四边形， ∴EG ∥AF ，由(1)AF ⊥平面PDC ，∴GE ⊥平面PCD ，EG 为三棱锥E －PFC 的高，又GF ＝AF ＝EG ＝2，PF ＝12PD ＝2，∴S △PCF ＝12PF ·CD ＝2，得三棱锥P －EFC 的体积V ＝13S △PCF ·EG ＝223.12分21．【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，3分准线方程是x ＝－1.6分(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)．11 ∴y 1＋y 2＝－4.9分由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2).12分22．【解析】(1)a ＝1时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1，x ∈(0，＋∞)，切线斜率k ＝f ′(1)＝1，切点为(1，0)，切线方程为y ＝x －1.4分(2)f ′(x )＝ln x ＋1a ，令f ′(x )＝0x ＝1e .①当a ≥1e 时，f ′(x )>0，f (x )在[a ，2a ]上单调递增，∴f (x )min ＝f (a )＝ln a ；②当a <1e <2a ，即12e <a <1e 时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1e 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2a 上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1a e ；③当2a ≤1e ，即0<a ≤12e 时，f ′(x )<0，f (x )在[a ，2a ]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2a )＝2ln(2a ).8分(3)要证的不等式两边同乘以x ，则等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))．令g (x )＝x ln x ，则由(1)知g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .令φ(x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则φ′(x )＝1－xe x ，当0<x <1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增；当x >1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；∴φ(x )max ＝φ(1)＝－1e ，所以g (x )min ＝φ(x )max ，且最值不同时取到，即x ln x >x e x －2e ， ∴x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x .12分。

湖南师大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理) Word版含答案

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学第页(共8页)(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定3．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．24．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B＝A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π3 5．如图的程序运行后输出的结果为 x ＝5 y ＝－20IF x<0 THEN x ＝y －3 ELSE y ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A.15B.13C.14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π3，πC.⎣⎡⎭⎫π3，πD.⎣⎡⎦⎤π6，π11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是________．12．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x （x>0），2x （x ≤0），则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19的值为________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)；(2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．已知函数f(x)＝a·2x －12x ＋1的图象经过点⎝⎛⎭⎫1，13. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域； (3)证明：函数f(x)是奇函数．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面AEC ； (2)求证：CD ⊥平面PAD ；(3)若三棱锥C －ADE 的体积为23，求四棱锥P －ABCD 的侧面积．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求tan x 的值；(2)设函数f(x)＝(a ·b )·cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求f(x)的值域．20．(本小题满分10分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)若b n ＝n·a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)对于(2)中的T n ，设c n ＝T n －2a 2n ＋1，求数列{}c n 中的最大项．第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．21．给出下列四个命题①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”； ②命题“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“x ∈R ，x 2＋x －1>0”； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题； ④“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件．其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A 1，A 2，其虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是A.5－1B.3＋52C.5＋12D.3＋123．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数称为a i (i ＝1，2，…，n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A ．96B ．144C ．192D ．240 答题卡题号 21 22 23 得分答案二、填空题24．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||AF ＋||BF 的值为________．25．若存在实数a ，b(0<a<b)满足a b ＝b a ，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．(本小题满分12分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A作与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且||QF 1＝||F 1F 2.(1)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m ，0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．27．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln ()x ＋1，g(x)＝12ax 2＋bx.(1)若a ＝0，f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立，求b 的取值范围；(2)设数列c n ＝nn ＋1，S n 为数列{c n }的前n 项和，求证：S n <n －ln ⎝⎛⎭⎫n ＋22； (3)当a ≠0时，设函数f(x －1)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M ，N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)参考答案第Ⅰ卷 (满分100分)二、填空题11．4. 12.14 13.6 14.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π. 三、解答题 16．【解析】(1)由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内．设中位数为x ，则有(x －70)×0.03＝0.5－0.4，解得x ≈73.3. 所以中位数约为73.3.(3分)(2)因为不低于80分的频率＝(0.025＋0.005)×10＝0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.(6分) 17．【解析】(1)由已知，f(1)＝2a －13＝13，解得a ＝1.(1分)(2)由(1)知，f(x)＝2x －12x ＋1，∵2x >0，2x ＋1>1，∴f(x)的定义域为R .∵f(x)＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，又∵2x ∈(0，＋∞)，∴22x ＋1∈(0，2)，∴f(x)的值域为(－1，1)．(5分)(3)∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(8分)18．【解析】(1)连结BD ，交AC 于点O.连结OE.因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以OE 为△PBD 的中位线，所以OE ∥PB.又PB 平面AEC ，OE平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(3分)(2)因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA.又AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD.(6分) (3)因为V C －ADE ＝V E －ACD ＝13·h·S △ACD ＝23，又因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以S △ACD ＝2，所以h ＝1. 又因为E 是PD 的中点，所以PA ＝2h ＝2.所以PB ＝PD ＝2 2.所以四棱锥P －ABCD 的侧面积＝2S △PAB ＋2S △PBC ＝2⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.(8分)19．【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin x －3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x －3cos x ＝0，解得tan x ＝ 3.(4分)(2)f(x)＝()sin x －3cos x cos x ＝sin xcos x －3cos 2x ＝12sin 2x －3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，1－32.(8分) 20．【解析】(1)∵2a n ＝2＋S n ， ①∴2a n －1＝2＋S n －1(n ≥2)． ②①－②得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又2a 1＝2＋a 1，a 1＝2，∴a n ＝2n .(3分) (2)b n ＝n·a n ＝n·2n ，用错位相减法得：T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ， ①2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1， ②①－②，得T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(6分)(3)c n ＝T n －2a 2n ＋1＝（n －1）·2n ＋122n ＋1＝n －12n ，由⎩⎨⎧c n ≥c n ＋1，c n ≥c n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n －12n≥n2n ＋1，n －12n≥n －22n －1，解得2≤n ≤3(n ∈N *)． ∴n ＝2或n ＝3时，c n 最大，即c 2＝c 3＝14为{}c n 中的最大项．(10分)第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题 21．A 【解析】①为假命题，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；②为假命题，“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定应为“x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；③正确；④为假命题，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件．选A.22．C 【解析】解：由题意可得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b)，B 2(0，－b)， F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且a 2＋b 2＝c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为b 2＋c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D. 由面积相等，可得12·2b·2c ＝12a·4b 2＋c 2，即为b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，即有c 4＋a 4－3a 2c 2＝0，由e ＝ca，可得e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，可得e ＝1＋52，或e ＝5－12(舍去)．故选C.23．B 【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，(1)5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A 44＝48种．(2)6在5前面， 5在第7位，有4A 44＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.二、填空题24.163 【解析】抛物线C 的直角坐标方程为x 2＝4y ，直线l 的方程为x ＝3(y －1)，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）解得y 1＋y 2＝103，又直线过抛物线的焦点F(0，1)，所以||AF ＋||BF ＝y 1＋1＋y 2＋1＝103＋2＝163.25．(1，e) 【解析】因为0<a<b ，对等式a b＝b a的两边取自然对数，得bln a ＝aln b ，即ln a a ＝ln b b .构造函数f(x)＝ln xx (x>0)，则f′(x)＝1－ln x x 2，令f′(x)＝0得x ＝e.易知f(x)在区间(0，e)内单调递增，在区间(e ，＋∞)内单调递减，所以f(x)max ＝f(e)＝1e .因为f(1)＝0，所以当x ∈(0，1)时f(x)<0；当x>1时f(x)>0.如图所示，a ，b 可以看成是函数f(x)＝ln xx (x>0)的图象与直线y＝k(k>0)的两个交点的横坐标．因为0<a<b ，所以a 的取值范围是(1，e)．三、解答题 26．【解析】(1)设Q(x 0，0)，由F 2(c ，0)，A(0，b)，知F 2A →＝(－c ，b)，AQ →＝(x 0，－b)，∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c .由于||QF 1＝||F 1F 2，故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即c ＝12a ，于是F 2⎝⎛⎭⎫12a ，0，Q ⎝⎛⎭⎫－32a ，0. 又因为△AQF 2的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫－12a ，0，半径r ＝a.该圆与直线x －3y －3＝0相切，所以⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a a ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由(1)知F 2(1，0)，设l ：y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消掉y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(6分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)，(7分)PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)，由于菱形的对角线垂直，故(PM →＋PN →)·MN →＝0，(9分)故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即：k 2⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0，由已知条件知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m<14，故存在满足的点P(m ，0)且m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14.(12分) 27．【解析】(1)a ＝0时，f(x)<g(x)ln(x ＋1)<bx ，设h(x)＝ln(1＋x)－bx ，则h′(x)＝11＋x－b. 若b ≤0，显然不满足题意；若b ≥1，则x ∈[)0，＋∞时，h ′(x)＝11＋x －b ≤0恒成立， ∴h(x)在()0，＋∞上为减函数，有ln(x ＋1)－bx<h(0)＝0在()0，＋∞上恒成立；若0<b<1，则h′(x)＝11＋x－b ＝0时，x ＝1b －1，x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时h′(x)≥0，所以h(x)在⎣⎡⎭⎫0，1b －1上单调递增． ∵h(0)＝0，∴x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时，h(x)>0，不满足题意．综上，b ≥1时f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立．(4分)(2)由(1)得ln(x ＋1)<x 在()0，＋∞上恒成立．令x ＝1n ＋1有 ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1<1n ＋1，1－1n ＋1<1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1，则c n ＝1－1n ＋1<1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1)， ∴S n <()1－ln 3＋ln 2＋(1－ln 4＋ln 3)＋…＋(1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1))，即S n <n －ln ⎝⎛⎭⎫n ＋22.(8分) (3)f(x －1)＝ln x ，设点P ，Q 的坐标是P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且0<x 1<x 2，则点M ，N 的横坐标为x ＝x 1＋x 22. C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝⎪⎪1x x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ |ax ＋b x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2.即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b.所以2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝a （x 22－x 21）2＋b(x 2－x 1) ＝⎝⎛⎭⎫a 2x 22＋bx 2－⎝⎛⎭⎫a 2x 21＋bx 1＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1. 所以ln x 2x 1＝2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2x 1－11＋x 2x 1.(10分) 设u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2（u －1）1＋u，u>1. ① 令r(u)＝ln u －2（u －1）1＋u，u>1，则r′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2. 因为u>1，所以r′(u)>0，所以r(u)在[1，＋∞)上单调递增．故r(u)>r(1)＝0，则ln u>2（u －1）u ＋1. 这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行．(13分)(这是边文，请据需要手工删加)。

高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一-2019年精选教育文档

高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担心，看了高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一以后你会有很大的收获：高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z＝(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a的值为A．2 B．－2(1) C.2(1) D．－22．如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是A．概念与分类是从属关系B．等差数列与等比数列是从属关系C．数列与等差数列是从属关系D．数列与等比数列是从属关系，但数列与分类不是从属关系3．下列说法中错误的是A．对于命题p：?x0R，sin x01，则綈p：?xR，sin x1；B．命题若01，则函数F(X)＝AX在R上是增函数的逆命题为假命题；C．若pq为真命题，则p，q均为真命题；D．命题若x2－x－2＝0，则x＝2的逆否命题是若x2，则x2－x－2．4．7是方程K－2(X2)＋K－6(Y2)＝1表示双曲线的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件5．某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：x3456y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是A.^(y)＝0.7x＋0.35B.^(y)＝0.7x＋1C.^(y)＝0.7x＋2.05D.^(y)＝0.7x＋0.456．三角形的面积为S＝2(1)(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为A．V＝3(1)abcB．V＝3(1)ShC．V＝3(1)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D．V＝3(1)(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)7．函数f(x)＝5(1)x5－x4－4x3＋7的极值点的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知椭圆25(x2)＋9(y2)＝1，F1、F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|(O 为原点)的长为A．1 B．2 C．3 D．4选择题答题卡题号12345678得分答案二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．9．已知复数z＝1＋1＋i(1－i)，则|－(z)|＝____________．10．读下面的程序框图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中的白色地面砖有______________块．12．曲线f(x)＝xsin x在点2()处的切线方程是______________．13．已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a，b0)的顶点到渐近线的距离等于2(a)，则双曲线的离心率e是________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．(本小题满分11分)在某测试中，卷面满分为100分，60分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：分数段[29～40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 午休考生人数23473021143114不午休考生人数1751671530173参考公式及数据：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(n （ad－bc）2)P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879(1)根据上述表格完成列联表：及格人数不及格人数总计午休不午休总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系？对今后的复习有什么指导意义？15．(本小题满分12分)已知：a，b，c0.求证：a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)6abc.通过阅读高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一这篇文章，小编相信大家对高中数学的学习又有了更进一步的了解，希望大家学习轻松愉快!。

湖南师大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷

END
x－y
A ．－ 17 B． 22 C． 25 D． 28
6．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是
A ．异面 B．相交 C．平行 D ．平行或重合
5
4
7．在△ ABC 中，已知 cos A＝ 13，cos B＝ 5，则 cos C 的值为
A. 16 65
16 点 P 在球面上，如果 V P－ABCD ＝ 3 ，则球 O 的表面积是 ________．
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 40 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16． (本小题满分 6 分 ) 某校从参加环保知识竞赛的 1200 名学生中，随机抽取 60 名，将其成绩 (均为整数 )分成六段 [40， 50)， [50 ，60)， … ， [90， 100]后画出如图的频率分布直方图．
(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数 (结果保留小数点后一位 )； (2) 若这次竞赛成绩不低于 80 分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的 1200 名学生中可以获得礼物的人数．
17.(本小题满分 8 分) a ·2 x－ 1
已知函数 f(x) ＝ 2x ＋1 的图象经过点
(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x) 的定义域和值域； (3)证明：函数 f(x) 是奇函数．
得 f (1)<0， f(1.5)>0，f( 1.25)<0，则方程的根落在区间
A ． (1， 1.25) B． (1.25 ， 1.5) C． (1.5，2) D．不能确定
3．如果直线 ax＋2y ＋ 1＝0 与直线 x＋ y－ 2＝0 互相平行，那么 a 的值等于

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湖南师大附中2019年高二下学期数学期
末考试题
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湖南师大附中xxxx年高二下学期数学期末考试题答案
[编辑推荐]高中如何复习一直都是考生们关注的话题，下面是中国（）的编辑为大家准备的湖南师大附中xxxx年高二下学期数学期末考试题答案
数学参考答案
必考Ⅰ部分
【解析】△ABc的内心为o，连结oA、oB、oc，将△ABc分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c;类比：设四面体A-BcD 的内切球球心为o，连接oA、oB、oc、oD，将四面体分割为四个以o为顶点，以原面为底面的四面体，高都为r，所以有V=r.
【解析】f′=x4-4x3-12x2=x2，
所以f有两个极值点x=-2及x=6.
【解析】据椭圆的定义，由已知得|mF2|=8，而oN是△mF1F2的中位线，故|oN|=4.
9.
【解析】①A=-50，⑤A=2×1=2.
+2【解析】第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n+2块.
=0
13.【解析】由题意知
∵k2≈>，
因此，有%的把握认为午休与考生及格有关系，即能在犯错误的概率不超过的前提下认为午休与考生及格有关系.
对今后的复习的指导意义就是：在以后的复习中，考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态.
据题意设A，m，
由A、m、o三点共线有-4，
又y1y2=-4
则y2=ym，故直线mB平行于x轴.
必考Ⅱ部分
一、填空题
【解析】设P，∵|Pm|=|PF|=yP+1=5，∴yP=4，则|xP|=4，S△mPF=|mP||xP|=10.
【解析】由选择支分析可考查函数y=的单调性，而f′>0且f>0，则当x1时，f在上递增，在上递减，即当x∈[0，a]时fmax=f=2
综上有h=
4.【解析】设函数φ=xlnx-x+1，则φ′=lnx
则φ在上递减，在上递增，
φ有极小值φ，也是函数φ的最小值，则φ≥φ=1×ln1-1+1=0
故xlnx≥x-1.
f′=ex-a
①a≤0时，f′>0，f是单调递增函数，又f=0，
所以此时函数有且仅有一个零点x=0;
②当a>0时，函数f在上递减，在上递增，
函数f有极小值f=a-alna-1
ⅰ.当a=1时，函数的极小值f=f=a-alna-1=0
则函数f仅有一个零点x=0;
ⅱ.当01时，由知极小值f=a-alna-11时，2lna>lna>0，计算f=a2-2alna-1
考查函数g=x2-2xlnx-1，则g′=2，
再设h=x-1-lnx，h′=1-=>0
故h在递增，则h>h=1-1-ln1=0，
所以g′>0，即g在上递增，则g>g=12-2×1×ln1-1=0 即f=a2-2alna-1>0，
则f还必恰有一个属于的正根.
故01时函数f都是恰有两个零点.
综上：当a∈恰有一个零点x=0，
当a∈∪时函数f恰有两个不同零点.
5.【解析】当mN⊥x轴时，mN的方程是x=±，
设m，N
由⊥知|y1|=，
即点在椭圆上，代入椭圆方程得b=2.
当l⊥x轴时，由知⊥;
当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx-y+m=0
则
-8=0,
Δ=16k2m2-4=>0，
设A，B
则，
x1x2+y1y2=x1x2+km+m2
-+
==0，即⊥.
即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点
A、B时总有⊥.
当l⊥x轴时，易知|AB|=2=
当l不与x轴垂直时，|AB|==
=
设t=1+2k2∈[1，+∞)，&is
in;=，t∈[1，+∞)的最大值与最小值)
综上|AB|∈.
考生们只要加油努力，就一定会有一片蓝天在等着大家。

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