第一讲：线段的比和黄金分割

第一讲线段的比与黄金分割一、教学目标：1、理解掌握比例线段的概念，并灵活运用。

2、理解比例的性质，掌握性质如何推出来的，并能用其方法灵活做题。

3、理解黄金分割的概念，掌握一些比较常考的题型。

二、教学重难点：教学重难点：比例性质的灵活应用。

三、基础知识点：1.两条线段的比：如果选用同一长度单位得两条线段AB 、CD 的长度分别为m 、n ，那么就说这两条线段的 比是AB ：CD=m ：n ，或写成n m CD AB =，两条线段的比AB:CD 中，AB 叫做这个线段比的前项，CD 叫做这个 线段比的后项。

注意：（1）针对两条线段；（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；（3）其比值为一个不带单位的正数。

2.比例尺在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺，即比例尺=实际长度图上长度。

3.比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。

注意： （1）比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb =。

（2）()ac a b cd b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,a 、c 叫比例前项，b 、d 叫 比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

4.比例性质：（1）基本性质：bc ad dc b a =⇔=(a,b,c,d 都不等于0)ac b c b b a =⇔=2 注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a =，还可化为d b c a =，b a d c =，c a d b =，c d a b =，b d a c =，a b c d =，ac bd =。

（2）合比性质：d d c b b a d c b a ±=±⇒= 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立。

如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 。

（3）等比性质：)0(≠+++=++++++⇒==n d b b a n d b m c a n m d c b a 注意：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法。

②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零。

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b 。

5.黄金分割：如图所示，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AB AC =ACBC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割。

点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比。

（1）由黄金分割的意义知，2AC AB BC =⋅ （2）黄金比AB AC =AC BC =215-≈0.618，简记为：12长短＝＝全长 （3）线段AB 有两个黄金分割点，其中一点D 靠近点A ，有AB BD =215-；另一点C 靠近点B,有AB AC =215- 四、例题讲解：考点一、两条线段的比例1、已知线段a=2m ，b=40cm ，则a:b= 。

例2、线段AB 被点M 分成32=BM AM ,则=MB AB ，=AM MB 。

练习1、设2a-3b=0（b 不为0），则a:b= 。

考点二、比例尺例3、A,B 两地的实际长度AB=250m ，画在图上的长度A’B’=5cm，求图上长度和实际长度的比。

例4、在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm ，它的实际长度约为（） 练习2、在1∶500000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm ，那么福州到厦门的实际距离约为 km 。

考点三、成比例线段例5、下列线段的长度成比例的是（）A.2cm ，3cm ，4cm ，5cmB.1.5cm ，2.5cm ，4cm ，5cmC.1.1cm ，2.2cm ，3.3cm ，4cmD.1cm ，2cm ，2cm ，4cm例6、已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cn ，则d=_______cm例7、已知三个数1，2， 3 ，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是_____________.练习3、（1）若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ；a 、c 的比例中项x ＝ cm 。

（2）如果线段a=4，b=16，c=8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（）A 、8B 、16C 、24D 、32考点四、比例性质例8、如果d cb a =，那么下列比例中不成立的是（） A.d dc b b a +=+ B.b db a ca +=+ C.b db c ca -=- D.b db a ca -=-例9、已知x ：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A 、x+y y =52B 、x-y y =12C 、x x+y =35D 、x y-x =31例10、已知43=y x,则._____=-y yx例11、已知0432≠==c b a ,则c ba+的值为() A.54B.45C.2D.21例12、若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ 。

例13、已知13y x -＝7y ，则yy x +的值为 . 练习4、（1）已知b a ＝43，那么bba +＝ 。

（2）已知,则（3）已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）︰（x －y ）的值等于（）A 、91B 、－9C 、9D 、－91例14、已知x:y:z=3:4:5，且x+y-z=6，求2x-3y+2z练习5、 已知875cb a==，且20=++c b a ，求c b a -+2例15、已知,32===f e d c b a 则fb e a ++=___________. 例16、若b a ＝dc ＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ . 例17、如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232 例18、已知,22ac c b b a ==求cb ac b a -+++22的值。

例19、已知a 、b 、c 是非零实数，且k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，k= 。

例20、如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，且△ABC 与△ADE 的周长之差为15cm ，求△ABC 与△ADE 的周长.考点五、黄金比例 例21、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

已知这本书的长为20cm,则它的宽约为()A.12.36B.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm例22、如图所示,点C 是线段AB 的黄金分割点,B C ＞AC,D 、E 分别是AC 、BC 的中点，那么点C 是线段DE 的黄金分割点吗？例23、已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且（1）在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感。

小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m,她应该选多高的高跟鞋看起来更美?（2）已知线段AB=6cm,点P 为线段AB 的黄金分割点,求线段AP 的长。

五、课后作业1、A 、B 两地实际距离为500m ，在比例尺为1：1000的地图上，AB 的图上距离是（）A5mB5cmC2cmD0.5m2、下列四条线段成比例的是（）A 、1cm ，2cm ，4cm ，6cmB 、3cm ，4cm ，7cm ，8cmC 、2cm ，4cm ，8cm ，16cmD 、1cm ，3cm ，5cm ，7cm3、已知a ，b ，m ，n 是成比例线段，其中a=2cm ，b=3cm ，n=9cm ，则m=4、若a=2，b=18，且a ：x=x ：b ，则x=5、已知b a 32=（0≠a ），则下列比例成立的是（）A 、32b a =B 、23b a =C 、32=b aD 、ba 32= 6、若=y x 25，则=y x 2 ；x y y-=___________； 7、如果，则，。

8、如果y y x +=47，那么y x 的值是（） A 、43B 、32C 、34D 、23 9、、已知：d c b a ==fe =5，且f d b ++=3，则e c a ++=_____________ 10、若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶x x z y -+＝ . 11、已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 12、节目主持人站在舞台的黄金分割点处的效果最佳，如图所示，线段AB 表示舞台上主持人应站立的水平线，主持人现在的位置是A 点，要使她主持节目时给观众的视觉是最美观的，又让他走的路最短，请你在图中设计出主持人应站的最佳位置。

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