相似三角形的常见模型
模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为．【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，＝S△ABC，∴S△ABF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△AEF＝2，∵S△AEF＝6S△AEF＝6×2＝12，故选：C．∴S△ABC【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝1：2．解：如图，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB＝2OE，＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BOD＝3，∴S△BDE∵AD＝BD，＝2S△BDE＝6，∴S△ABE∵AE＝CE，＝2S△ABE＝2×6＝12．故选C．∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，＝1，则S△ABC＝24．若S△EFG解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∴S△DMF∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，＝2S△DMF＝2，∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线，∴＝，＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S△ABG＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S梯形DMGB＝S梯形DMGB＝6，∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线，＝4S△BDE＝4×6＝24，∴S△ABC方法二：连接AE，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中点，∴＝，∴＝＝，＝1，∵S△EFG＝16，∴S△ACG∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，＝S△ACG＝4，∴S△AEG＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ACE＝2S△ACE＝24，故答案为：24．∴S△ABC【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；：S△EBC：S△ECD．（2）求S△ABE（1）证明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，＝4m，∴S△CDE∵＝＝，＝2m，∴S△BEC：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合题意，舍去），故选：D．【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案为：．变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案为：．实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正确，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正确．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正确．D、∵DE∥BC，∴＝，显然DE≠CF，故D错误．故选：D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A．4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则BE＝AD＝2，DE＝2，设B′C＝BC＝x，则DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（负值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故选：A．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP•AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，＝4，＝（）2＝，∵S△AEF＝36，故答案为36．∴S△BCE8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．解：∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，过B作BH⊥DE于H，则DH＝AH，BD2＝DH•DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案为：．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案为：1．②如图②，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）证明：如图1，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴点K、点B、点E在同一条直线上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周长是8．②如图2，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中点，∴NG＝EF＝×＝，故答案为：．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．解：（1）①猜想：BG ⊥DE ，BG ＝DE ；故答案为：BG ＝DE ，BG ⊥DE ；②结论成立．理由：如图2中，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG ⊥DE ．（2）∵AB ＝a ，BC ＝b ，CE ＝ka ，CG ＝kb ，∴＝＝，又∵∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，＝＝，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG⊥DE．故答案为：＝，BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．。
相似三角形常见模型(总结材料)
第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCDE（平行）CBA DE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC D E B2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。
3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。
相似三角形的20种模型
相似三角形的20种模型三角形是数学中最基本的形状之一，它由三条线段相互连接而成，具有十分重要的意义。
一般而言，三角形可分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形，但实际上，三角形的种类远远不止三类，有许多比较特殊的三角形，其中相似三角形是最为常见的一类，今天就来探究一下相似三角形的模型。
相似三角形定义为：“在三角形中，如果彼此之间关于某个点连续旋转一定角度，得到的两个三角形就是相似三角形”。
也就是说，相似三角形是关于某个点旋转一定角度后得到的两个三角形，它们具有相同的形状，但可能具有不同的大小。
相似三角形具有十分特殊的性质，其中最重要的就是：它们的各内角的度数，以及同一外角的两个内角的度数之比，是完全一样的。
这表示，只要掌握了一组相似三角形的度数，就能够立即推断出另一组相似三角形的度数。
目前关于相似三角形，已经有许多种模型，有小学、初中、高中乃至大学级别的，其中最基本的模型有20种，具体如下：1.AB等腰相似，CA/CB=A/B2.AB等边相似，CA=CB3.AB等比例相似，CA/CB=A^2/B^24.AB相似，且BD平分CA角，则CD/DC=A/B5.AB相似，且CD平分AB角，则BD/DC=A/B6.ABC三边相似，则CA/CB=A/B，CD/DC=B/C，BD/DC=A/C7.AB等腰相似，且BD平分AC角，则CD/DC=A/B8.AB等腰相似，且CD平分AB角，则BD/DC=A/B9.AB等边相似，且BD/DC=1/210.AB等边相似，且CD/DC=1/211.AB等比例相似，且BD/DC=A/B12.AB等比例相似，且CD/DC=A/B13.ABC三边相似，且BD/DC=A/B14.ABC三边相似，且CD/DC=B/C15.ABC三边相似，且BD/DC=A/C16.ABC三边等边相似，且BD/DC=1/217.ABC三边等边相似，且CD/DC=1/218.ABC三边等腰相似，且BD/DC=A/B19.ABC三边等腰相似，且CD/DC=B/C20.ABC三边等腰相似，且BD/DC=A/C上面是相似三角形的20种模型，其中有一些模型是非常常见的，例如AB等腰相似，CA/CB=A/B，即比较常见的模型，也可以看出一个相似三角形可以分解多种不同的模型，而这些模型的具体定义也有一定的差别。
专题07 相似三角形的五种模型(老师版)
专题07 相似三角形的五种模型相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。
模型一、A 字型A 字型（平行） 反A 字型（不平行）例.如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】见解析【详解】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵，，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴,，∴．【变式训练1】已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ．（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．ABC ∆,E F ,AB AC AE ABAF AC=AEF ABC ∆∆:D BC AD EF G EG FGBD CD=EAF BAC ∠=∠AE ABAF AC=EG AG BD AD =FG AGCD AD =EG FG BD CD=【答案】见解析【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC =CECB，∵CD2＝CF•CA．∴CDAC =CFCD，∴CFCD=CECB，∴EF∥BD；（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，∵AC•CF＝BC•CE，∴ACBC =CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD =BDDE∴BD2＝BA•DE【变式训练2】如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ =PEQC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【答案】（1）6；（2）见解析【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD=AEAE+EC，∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ =APAQ，同理可得：EPCQ=APAQ，∴DPBQ=EPCQ【变式训练3】如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．【答案】（1）4；（2）【解析】解：（1）∵平分，，∴．在中，，，，∴．在中，，，，∴．∴．∵，∴∴．∴．（3）∵点是线段的中点，∴．∵，∴∴．∴．∵，∴∴∴．模型二、8字型与反8字型相似Rt ABC∆90ACB∠=︒60BAC∠=︒6AC=AD BAC∠BC D D CA AB E DE AD MBM DE F BM AC GEFDF23EFDF=AD BAC∠60BAC∠=︒30DAC∠=︒Rt ACD∆90ACD∠=︒30DAC∠=︒6AC=CD=Rt ACB∆90ACB∠=︒60BAC∠=︒6AC=BC=BD BC CD=-=//DE CA BDE BCAV V∽23DE BDCA BC==4DE=M ADDM AM=//DE CA DFM AGM△∽△DF DMAG AM=DF AG=//DE CA BEF BAG△∽△23EF BE BDAG BA BC===23EFDF=例.如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ．（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：AD 2＝BD •DE ．【答案】见解析【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBC ，∵BA •BC ＝BD •BE ．即ABBC =BDBE ，∴△ABD ∽△EBC ；（2）∵△ABD ∽△EBC ，∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ，∵∠AED ＝∠BEC ，∴∠BAD ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BEC ，∴△AED ∽△ABD ，∴ADBD =DEAD ，即AD 2＝BD •DE ．【变式训练1】如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．【答案】【解析】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．∴OBOC =AODO ，∵∠AOB ＝∠COD ，∴△OAB ∽△ODC ，∴∠A ＝∠D ．（2）∵∠A ＝∠D ，∴AB ∥CD ，∴AEDF =OEOF ，BECF =OEOF ，∴AEDF =BECF ．∵AE ＝BE ，∴CF ＝DF ．【变式训练2】如图，AG ∥BD ，AF ：FB ＝1：2，BC ：CD ＝2：1，求GEED 的值【答案】32【解析】∵AG ∥BD ，∴△AFG ∽△BFD ，∴AGBD =AFBF =12，∵BCCD =2，∴CD =13BD ，∴AGCD =32，∵AG ∥BD ，∴△AEG ∽△CED ，∴GEED =AGCD =32．【变式训练3】如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q ．（1）求证：△PCQ ∽△RDQ ；（2）求BP ：PQ ：QR 的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）∵，∴．又∵．∴．（2）∵四边形和四边形都是平行四边形，∴，．∴，．又∵点是中点，∴．由（1）知，∴，∴．又∵，∴．模型三、AX 型（A 字型及X 字型两者相结合）例.如图，△ABC 中，D ．E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE ．（1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若DF ＝2，求FC 的长度．【答案】见解析【解答】（1）证明：∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴ADAB =AEAC =13，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ；:3:1:2BP PQ QR =PC DR ∥PCQ RDQ ∠=∠PQC RQD ∠=∠PCQ RDQ △∽△ABCD ACED BC AD CE ==//AC DE PB PR =12PC RE =R DE DR RE =PCQ RDQ △∽△12PQ PC PC QR DR RE ===2QR PQ =3BP PR PQ QR PQ ==+=::3:1:2BP PQ QR =（2）解：∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AD AB =13，∠ADE ＝∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DFCF =DECB ，即2CF =13，∴FC ＝6．【变式训练1】如图，在菱形ABCD 中，∠ADE 、∠CDF 分别交BC 、AB 于点E 、F ，DF 交对角线AC 于点M ，且∠ADE ＝∠CDF ．（1）求证：CE ＝AF ；（2）连接ME，若＝，AF ＝2，求的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠DAF ＝∠DCE ，又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ﹣∠EDF ＝∠CDF ﹣∠EDF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，在△ADF和△CDE 中，，∴△ADF ≌△CDE ，∴CE ＝AF ．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，由（1）得：CE ＝AF ＝2，∴BE ＝BF ，设BE ＝BF ＝x ，∵＝，AF ＝2，∴，解得x ，∴BE ＝BF ，∵＝，且CE ＝AF ，∴＝＝，∵∠CMD ＝∠AMF ，∠DCM ＝∠AMF ，∴△AMF ∽△CMD ，∴，∴，且∠ACB ＝∠ACB,∴△ABC ～△MEC, ∴∠CAB ＝∠CME=∠ACB ，∴ME=CE=2．【变式训练2】如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，AB CD =12，BF CF =12．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴ABCD =BEED =12，CE BE CDCEME ADF CDF AD CD DAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩CE BE CD CE 222x x +=11CE BE CD CE CE BE CD CE CDAFCD CMAF AM=CD CM CEAF AM BE==∵BF CF =12，∴BE ED =BFFC ，∴EF ∥CD ，∴AB ∥EF ．（2）设△ABE 的面积为m ．∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴S △ABES △EDC =（ABCD ）2=14，∴S △CDE ＝4m ，∵AECE =ABCD =12，∴S △BEC ＝2m ，∴S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ＝m ：2m ：4m ＝1：2：4．【变式训练3】如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 交DB 于点F ，已知AD ＝6，BC ＝8，AE ＝6，EF ＝2．（1）求EB 的长；（2）求FG 的长．【答案】见解析【解答】解：（1）∵EG ∥AD ，∴△BAD ∽△BEF ，∴BEBA =EFAD ，即BE BE+6=26，∴EB ＝3．（2）∵EG ∥∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EGBC =AEAB ，即EG8=66+3，∴EG =163，∴FG ＝EG ﹣EF=103．模型四、共边角模型（子母型）例.在中，，垂足为，求的长【答案】4【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴，Rt ABC V 90,ACB CD AB ∠=︒⊥,8,2D AD DB ==CD CD AB ⊥90ADC CDB ∠=∠=︒90ACD A ∠+∠=︒90ACB ∠=︒90ACD BCD ∠+∠=︒A BCD ∠=∠∴，∴，∴，∴．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，ADAB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵ADAB =12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC ∴a 2＝CE •5a ，4a 2＝AE •5a ，∴CE =5a5，AE=45a5，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CEAE ）2=116，故选：A ．【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：13D ．2：13．【答案】B【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°，∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ，∴ACBC =CDBD =64=32∴BCAC =23，故选：B ．【变式训练3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP •BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【答案】见解析【解析】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．∵∠APD=∠B ，∴∠APD=∠B=∠C ．∵∠APC=∠BAP+∠B ，∠APC=∠APD+∠DPC ，∴∠BAP=∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴，∴AB•CD=CP•BP ．∵AB=AC ，∴AC•CD=CP•BP ；ADC CDB V V ∽CD ADBD CD=28216CD AD BD =⋅=⨯=4CD =BP ABCD CP=（2）∵PD ∥AB ，∴∠APD=∠BAP ．∵∠APD=∠C ，∴∠BAP=∠C ．∵∠B=∠B ，∴△BAP ∽△BCA，∴．∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．模型五、手拉手模型例.如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ）A ．5：3B ．4：3C ．5：2D ．2：3【答案】A【解析】∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，ACAB =AEAD ，∵∠BAC +∠BAE ＝∠DAE +∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD ，∵ACAB =AEAD ，∴△ACE ∽△ABD ，∴BDCE =AB AC ，∵AC ：BC ＝3：4，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5，∴BD ：CE ＝5：3，选A ．【变式训练1】如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB 与DE 交于点O ，AB ＝4，AC ＝3，F 是DE 的中点，连接BD ，BF ，若点E 是射线CB 上的动点，下列结论：①△AOD ∽△FOB ，②△BOD ∽△EOA ，③∠FDB +∠FBE ＝90°，④BF =56AE ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④【答案】D【解析】∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADO ＝∠OBE ，∵∠AOD ＝∠BOE ，∴△AOD ∽△EOB ，∴ODOB =OAOE ，∴ODOA =OBOE ，∵∠BOD ＝∠AOE ，∴△BOD ∽△EOA ，故②正确，BA BPBC BA=101210BP =253∵△AOD ∽△EOB ，△BOD ∽△EOA ，∴∠ADO ＝∠EBO ，∠AEO ＝∠DBO ，∵∠ADO +∠AEO ＝90°，∴∠DBE ＝∠DBO +∠EBO ＝90°，∵DF ＝EF ，∴FD ＝FB ＝FE ，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴∠FDB +∠FBE ＝∠FBD +∠FBE ＝90°，故③正确，在R t △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴BC =32+42=5，∵△ABC ∽△ADE ，∴DEAE =BCAC =53，∵BF =12DE ，∴2BFAE =53，∴BF =56AE ，故④正确，∵∠ADO ＝∠OBE ，∴∠ADO ≠∠OBF ，∴无法判断△AOD ∽△FOB ，故①错误．选D ．【变式训练2】已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD ＝AF ，AE •CE ＝DE •EF ．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE •BD ＝EF •AF ，求证：AB ＝AC ．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵AD ＝AF ，∴∠ADF ＝∠F ，∵AE •CE ＝DE •EF ，∴AEDE =EFCE ，又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ，∴∠F ＝∠C ，∴∠ADF ＝∠C ，又∵∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ．（3）∵AE •BD ＝EF •AF ，∴AEAF =EFBD ，∵AD ＝AF ，∴AEAD =EFBD ，∵∠AEF ＝∠EAD +∠ADE ，∠ADB ＝∠EAD +∠C ，∴∠AEF ＝∠ADB ，∴△AEF ∽△ADB ，∴∠F ＝∠B ，∴∠C ＝∠B ，∴AB ＝AC ．【变式训练3】已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ．（1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；V BFAE【答案】（1）1；（2）不成立，，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值＝sinα【解析】（1）连接BF，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等边三角形，∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．（2）不成立，结论：．证明：连接BF，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．课后训练1.如图，在中，、分别是边、的中点，、分别交于点、，则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为 A．B．C．D．【解答】B【解析】，是的中点，，，即，同理可得，，，，、分别是边、的中点，，，，AEBFDFDCBFAEAEBFACBCCECFAEBFACBCABCDY E F BC CD AE AF BD G HABCDY()7:127:2413:3613:72//BE AD E B∽∴∆∆BEG DAG∴BG12==BEDG DA13=BG BD13=DH BD13∴=GH BD1136四边形∆∆∴==AGH ABD ABCDS S SE F BC CD//∴EF BD12=EF BD∽∴∆∆CEF CBD，，图中阴影部分图形的面积，即图中阴影部分图形的面积与的面积之比为.2.如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AF FC 为（ ） A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：2【答案】D【解析】过D 作BF 的平行线，交AC 边于G ，如下图所示：∵D 为BC 中点，DG ∥BF ，∴∠CGD ＝∠CFB ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CDG ∽△CBF∴CG CF =CD CB =12，即：CG =12CF ＝FG又E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，DG ∥BF同理可得：△AEF ∽△ADG ，∴AE AD =AF AG =12，即：AF =12AG ＝FG∴AF ＝FG ＝GC ，∴AF FC =AF 2AF =12=1：2，选D ．3.如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，则 ．【答案】2:9【解析】如图，连接∵四边形是平行四边形，，，为中点，，，，，，，∴211()24∆∆==CEF CBD S S 1148四边形∆∆∴==CEF BCD ABCD S S S ∴1176824四边形四边形⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ABCD ABCD S S Y ABCD 7:24=ABCD F BC AD E :1:3DE AD =EF DC G :DEG BGC S S ∆∆=BGABCD //∴AD BC =AD BC ∴∠=∠E CFG F BC 1122∴==FC BC AD :1:3= DE AD :1:3∴=DE BC :2:3∴=DE CF ∠=∠ E CFG ∠=∠DGE CGF ∽∴∆DGE CGF :4:9∆∆∴=DEG CFG S S为中点，，.4.如图，等边三角形ABC 中，AB ＝3，点D 是CB 延长线上一点，且BD ＝1，点E 在直线AC 上，当∠BAD ＝∠CDE 时，AE 的长为 ．【分析】分两种情形分别画出图形，利用相似三角形的性质解决问题即可．【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝3，∴∠ABD ＝120°，①当点E 在边AC 上时．作EF ∥AB 交BC 于F ，如图1所示：则△EFC 是等边三角形．∴∠CFE ＝60°，EF ＝CF ＝CE ，∴∠BFE ＝120°＝∠ABD ，∵∠BAD ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△DFE ，∴AB BD =DF EF ，即31=DF EF ，∴DF ＝3EF ，∴DF ＝3CF ，∴CD ＝4CF ，∵BC ＝3，BD ＝1，∴CD ＝BC +BD ＝4，∴CF ＝1，∴CE ＝1，∴AE ＝AC ﹣CE ＝2；②点E 在AC 的延长线上时．如图2所示：∵∠ABD ＝∠DCE ＝120°，∠BAD ＝CDE ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AB CD =BD CE ，即34=1CE ，解得：CE =43，∴AE ＝AC +CE ＝3+43=133；综上所述，当∠BAD ＝∠CDE 时，AE 的长为2或133；5.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC =DF CG ．（1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若AD AC =37，求AF FG的值． F BC 2∆∆∴=BGC CFG S S :4:182:9∆∆∴==DEG BGC S S【解答】（1）证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△AED ∽△ABC ，∴∠ADF ＝∠C ，又∵AD AC =DF CG ，∴△ADF ∽△ACG ；（2）解：∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC =AF AG ，∵AD AC =37，∴AF AG =37，∴AF FG =34．6.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE =23，求FE EG 的值．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ．∵AD ∥BE ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EF AF =BE DA ．又∵BC ＝BE +CE ，CE BE =23，∴BE =35BC =35DA ，∴EF =35AF ，∴AE =3+53EF =83EF ．∵CE ∥AD ，△CEG ∽DAG ，∴GE GA =CE DA =22+3，∴GE =25GA ，∴GE =25−2AE =23×83EF =169EF ，∴FE EG =916．7．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．【解析】（1）∵是等边三角形 ∴，在中，∴∵点是线段的中点∴∴是等边三角形∴，∴∴∴∴四边形为平行四边形；（2）①如图，连接，交于点 ∵∴∴Rt ABC V 90ACB ∠=︒30CAB ∠=︒AB ABD E AB CE AD F BCFD CD AB M 6AB =BM MN AC ⊥N 111BC AD MN+=ABD △AD AB BD ==60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒Rt ABC V 30CAB ∠=︒60ABC ∠=︒E AB 12CE BE AE AB ===BCE V 60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒BC CE =60ABD CEB ∠=∠=︒//CF BD606060180CBD D CBE ABD D ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒//BC FD BCFD CD AB M //BC FD BCM ADM ~V V BM BC AM AD=∵，∴ ∵∴；②如图，作，垂足为∵，，∴∴，∴，∴ ∴．8.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）AE【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，；，，，；（2）解：∵四边形是平行四边形，，，．，，．在中，，，，9.如图1，在矩形中，于点．（1）求证：；（2）如图2，若点是边上一点，且．求证：．【答案】（1）见解析；（1）见解析12BC CE AB ==AB AD =12BM BC AM AD ==6AB BM AM =+=123BM AB ==MN AC ⊥N90ACB ∠=︒306090CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒MN AC⊥////BC MN DA AMN ABC V :V C CMN DA ~V V MN AN BC AC =MN CN DA CA=1MN MN AN CN AN CN AC BC DA AC CA AC AC ++=+===111BC AD MN+=ABCD A AE BC ⊥E DE F DE AFE B ∠=∠ADF DEC ∆∆∽8AB =AD =AF =AE ABCD //∴AD BC //AB CD ∴∠=∠ADF CED 180∠+∠=︒B C 180∠+∠=︒ AFE AFD ∠=∠AFE B ∴∠=∠AFD C ∽∴∆∆ADF DEC ABCD 8∴==DC AB ∽∆∆ ADF DEC ∴=AD AFDE DC =12∴=DE // AD BC ⊥AE BC ∴⊥AE AD Rt ADE ∆90∠=︒EAD 12=DE =AD ∴===AE ABCD AE BD ⊥E BE BC AE CD =g g P AD PE EC ⊥AE AB DE AP =g g【详解】证明：∵在矩形中，，，，，，，，，，，；（2）证明：，，，，，，，，，，.10.已知，正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，若，的值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）四边形是正方形，，，又，，又，，，在和中，，，；（2）过点作，设，，如图2所示：ABCD =AB CD =AD BC 90∠=︒BAD ⊥ AE BD 90∴∠=∠=︒AEB AED ∴∠+∠=∠+∠BAE ABE BAE EAD ∴∠=∠ABE DAE ∽∴∆∆ABE DAE ∴=AB BE AD AE ∴=CD BE BC AE∴=g g BE BC AE CD ⊥ AE BD ⊥PE EC 90∴∠=∠=︒AED PEC ∴∠=∠AEP DEC 90∠+∠=︒ EAD ADE 90∠+∠=︒ADE CDE ∴∠=∠EAP EDC ∽∴∆∆AEP DEC ∴=AE AP DE CD= AB CD ∴=g g AE AB DE AP ABCD E BC DE B BF DE ⊥F BF CD G CG CE =BD BE =DG =cos DBG ∠cos ∠=DBG ABCD ∴=BC DC 90∠=∠=︒BCG DCE ⊥ BF DE 90∴∠=︒GFD 180∠+∠+∠=︒ GBC BGC GCB 180∠+∠+∠=︒GFD FDG DGF ∠=∠BGC DGF ∆BGC ∆DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCG DCE BC DCCBG CDE ()∴∆≅∆BGC DEC ASA ∴=CG CE G ⊥GH BD =CE x =HD y，，又，，，，，，解得：，在中，由勾股定理得：，同理可得：，又，，在中，由勾股定理得：，= CG CE ∴=CG x =+ BE BC CE =+DC DG GC =BC DC =BE =DG ∴=+x x =x ∴=BC Rt BCD ∆6===BD 2=HD =+ BD BH HD 624∴=-=BH Rt HBG ∆===BG cos ∴∠===BH DBG BG。
九年级数学相似三角形常见模型
九年级数学相似三角形常见模型一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
二、常见模型1. 三角形的细节在解决相似三角形问题时，我们需要注意三角形的细节。
例如，三角形的对角线将三角形分成两个小的相似三角形，利用这一特点可以求解未知边长或角度。
2. 旗杆模型设有一根高度为h的旗杆，我们可以利用相似三角形的原理来求解旗杆的高度。
假设旗杆的阴影长度为a，阴影长度与旗杆的高度成比例。
设旗杆的高度为x，则有a/h = (a+x)/x。
通过解这个方程，我们可以求得旗杆的高度。
3. 相似三角形的证明当两个三角形的对应角相等时，它们就是相似三角形。
我们可以通过证明对应角相等来证明两个三角形的相似性。
4. 平行线与三角形当一条直线与两条平行线相交时，所形成的三角形与其他三角形相似。
利用这一特点，我们可以求解未知边长或角度。
5. 高度与底边比例在一个直角三角形中，高度与底边的比例等于斜边与底边的比例。
这个比例关系可以帮助我们求解直角三角形的未知边长。
6. 海伦公式与三角形面积海伦公式可以用来计算任意三角形的面积。
通过将三角形分成两个相似三角形，我们可以利用海伦公式求解未知边长。
7. 等角三角形与相似三角形等角三角形是指具有相同内角度数的三角形。
等角三角形之间也是相似三角形。
通过利用等角三角形的特点，我们可以求解未知边长或角度。
8. 斜边比例当两个三角形的相邻两边成比例时，它们是相似三角形。
通过利用斜边比例，我们可以求解未知边长。
9. 三角形的相似定理在相似三角形中，相似定理成立。
即比例定理、高度定理和角平分线定理在相似三角形中仍然成立。
三、小结相似三角形是数学中重要的概念，广泛应用于几何学和实际问题中。
通过了解相似三角形的定义和常见模型，我们可以更好地解决与相似三角形相关的问题。
熟练掌握相似三角形的性质和定理，将有助于我们在解决实际问题时更加灵活和准确地运用相似三角形的知识。
相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形是指拥有相似的形状但大小不同的三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，而对应边长之间存在比例关系。
以下是一些基本的相似三角形模型：
1. 比例模型：在两个相似三角形中，对应边长之比相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 三角形高度模型：在两个相似三角形中，对应高度之比等于对应边长之比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有h_1/h_2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中h_1和h_2分别为∆ABC和
∆DEF的高度。
3. 角平分线模型：在两个相似三角形中，对应角的平分线所延伸的比例相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，角A和角D相等，则有BD/CE = AB/DE = AC/DF。
4. 底角模型：在两个相似三角形中，底角对应相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，并且∠A = ∠D，则有∠B = ∠E和∠C
= ∠F。
5. 周长模型：在两个相似三角形中，对应边长之比等于相似三角形的周长比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有
(A+B+C)/(D+E+F) = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
这些是常见的相似三角形模型，可以根据具体问题选择适合的模型进行求解。
但需要注意的是，在相似三角形中，只有形状
相似，而边长比例相等，因此，对于三角形中角度的求解通常更加重要。
完整版相似三角形几种基本模型
(3)满足1、
(
AC2=AD- AB, 2、/ACD=/ B,
AE
AB
3、/ACB=/ ADC都可判定^ADBA ACB
或AD - AB=AC- AE时，△AD0A ACB
△
(1)
(2)如图：其中/仁/2,
则^ADE^A ABC称为“斜交型”的相似三角形。
(有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、
“蝶型”)
D
E
直型”)
D
C
C(D)
(4)如图：/仁/2,
/B=/。，则^AD0A ABC称为“旋转型”
的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用:
(1)若DE// BC( A型和X型)则^AD0A ABC
相似三角形几种基本模型
经典模型
平移
A
/平行型\
翻折180°
一般
特殊
匚
斜交型
A翻折180°
斜交型
一边平移
特殊
般
/】/双垂直』
斜交型
特殊
双垂直
般
“平行旋转型”
图形梳理:
E'
F'
BC
△AEF旋转到△AE ‘ F'
E'
F'
BC
AaEF旋转到△AE ‘ F'
BC
AAEF旋转到△AE ‘ F'
A
E'
BC
△AEF旋转到△AE ‘ F'
特殊情况：B、E'、F'共线
A
F'
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专题相似三角形的常见模型
一、下面六个图中△ADE与△ABC均相似，在相应图的下方写出对应角，及对应边的比例式。
二、如图，若∠A=∠ECD=∠B,则△AEC∽△BCD,我们可以把这种类型的相似叫做
“一线三等角”型或“K字型”，请在下方空白处写上对应角，及对应边的比例式。
三、如图，已知△ABC∽△ADE，这种像是一边转一边缩小（或扩大的）相似，我们可以叫做“旋转”型。
先写出对应角及对应边的比例式。
连结BD,CE,你有什么新发现？你能证明吗？
练习：1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若,DE＝4，则BC＝．
2.如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
3.由36个边长为1的小正方形组成的6×6网格中，线段AB的两个端点都在格点上．
（1）如图1，C，D也在格点上，连接AB，CD相交于点O，求的值和OC的长；
（2）如图2，仅用无刻度直尺在线段AB上找一点M，使得．
4.如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD＝2GE；
②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是
5.如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
6.(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
(2)如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE ＝3，求AD的长．
7.如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣1，2），点B在第一象限，且
OB⊥OA，OB＝2OA，则B点的坐标为．
8.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝8，BD＝2，
则CF等于．
相似三角形模型一———A字型&8字型
例1、如图，在△ADE中，BC∥DE，AB＝3，BD＝DE＝6，则BC的长是（）A．2 B．3 C．4 D．6
变式1、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且AD＝3BD，若S△ABC＝16，则S△ADE＝（）
A．B．9 C．D．12
变式2、如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若△ABC与△DEC的周长比为3：2，AC＝6，则DC＝．
变式3、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB＝15，则EF＝．
例2、如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（）
A．3：5 B．4：9 C．3：4 D．2：3
变式1、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若△ADE 与四边形DBCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为（）
A．B．C．D．
变式2、如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝，S1：S2：S3＝．
例3、如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式1、在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则S
：S△CBF等于（）
△EDF
A．B．C．D．
变式2、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，若DE＝12，则DF=（）
A．3 B．4 C．6 D．8
变式3、如图，已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点，线段CM交BD于点E，S△BEM＝2，则图中阴影部分的面积为（）
A．5 B．4 C．8 D．6
变式4、如图，在矩形ABCD中，AB＝，点E是BC的中点，AE⊥BD于点F．（1）求BE的长；
（2）延长FE交DC的延长线于点G ，求证：．
例4、如图▱ABCD 中，E 、F分别是AD 、CD边上的点，连接BE 、AF交于点G，延长BE交CD的延长线于H，下列结论错误的是（）
＝B．＝C．＝D．＝A．
变式1、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（）
A．12 B．9 C．6 D．16
变式2、如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．
变式3、如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝．
例5、如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且，则＝．
变式1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为．
变式2、如图，在正方形AOCB中，AB＝3，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点P 在边AB上，且OP交AC于点Q，函数y＝（x＜0）的图象经过点Q．若S△APQ＝S△OCQ，则k 的值为（）
A．﹣B．﹣2 C．2 D．
例6、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AF：EF的值为（）
A．3：2 B．4：3 C．5：3 D．5：4
变式1、在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，且AC＝2EC，连结AD，BE，交于点F．设x ＝CD：BD，y＝AF：FD，则（）
A．y＝x+1 B．y＝x+1 C．y＝D．y＝
变式2、如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝cm．
例8、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC•BC；③OE：AC ＝：6；④S▱OEF＝S▱ABCD，成立的是．
变式、如图，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，且AD⊥BD，一动点P在AB上方，且∠APB＝60°，AP与BD交于点E，则的最大值为.
相似三角形模型二———反（斜）A字型&反（斜）8字型
例1、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝2，AB＝5，那么DE：BC＝（）
A．B．C．D．
变式、如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝
例2、如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠A＝∠C，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．
变式、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC ＝∠ABC，联结BE．
（1）求证：△ACD∽△EBD；
（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．
例3、如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADG∽△ABF；
（2）若，AF＝6，求GF的长．
变式1、如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．
变式2、已知∠ADE＝∠C，AG平分∠BAC交DE于F，交BC于G．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）连接DG，若DG∥AC，＝，AD＝6，求CE的长度．
例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA 边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．
（1）若BM＝BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值．
变式1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度向点B运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达B点或点Q到达C点即停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和△ABC相似？
（2）当t为多少秒时，△PCQ的面积是△ACB面积的？
变式2、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：
（1）经过多少秒后，△CPQ的面积为8cm？
（2）经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．。