初中数学三角形相似模型含答案
初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)
2初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1.比例线段的有关概念：在比例式 ab c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项，db 、c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。
把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质： ac b d②合比性质：acb dad bca b c d bd③等比性质：a c⋯b dm (b d ⋯ nn ≠ 0) a c ⋯ m ab d ⋯ nb3.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥ l 2∥ l 3 。
AB 则BCDE ， ABEF AC DE ， BCDF AC EF ，⋯DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
初三数学相似三角形典例及练习(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1。
理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1。
比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质: ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03。
平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
自学初中数学资料-相似三角形的性质和判定综合-(资料附答案)
自学资料一、相似三角形的性质和判定综合【知识探索】1．（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
【错题精练】例1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一第1页共23页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训定有（）A. △ADE∽△ECFB. △ECF∽△AEFC. △ADE∽△AEFD. △AEF∽△ABF【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D=∠C=90°，∠AEF=90°，∴∠DEA+∠CEF=90°，∠DEA+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∴△ADE∽△ECF．故选：A．【答案】A例2．如图，已知AB、CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC=α，则S△CDE：S△ABE等于（）A. sinαB. cosαC. sin2αD. cos2α【答案】D例3．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F 处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，第2页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√3例4．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于______．【解答】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴D′HPA′=PD′EA′，∴ax =x4a，∴x2=4a2，∴x=2a或-2a（舍弃），∴PA′=PD′=2a，∵12•a•2a=1，∴a=1，∴x=2，∴AB=CD=2，PE=√22+42=2√5，PH=√12+22=√5，第3页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴AD=4+2√5+√5+1=5+3√5，∴矩形ABCD的面积=2（5+3√5）=10+6√5．故答案为10+6√5【答案】10+6√5例5．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO=______．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=2，∠DAE=90°，∵AE=EB=1，∴DE=√22+12=√5，∵AO⊥DE，∴12×DE×AO=12×AE×AD，∴AO=2√55．故答案为2√55．【答案】2√55例6．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．第4页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠1+∠2=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠3=45°∴∠1+∠4=135°∴∠2=∠4，∵∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE；（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴BECN =EMNE，又∵BE=EC，∴ECCN =EMNE，∴ECEM =CNNE，又∵∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．例7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE．（1）求证：△ABE与△ADC相似；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积．【答案】第5页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例8．如图，AB是⊙O的直径，BE⊥CD于E．（1）求证：AB•BE=BC•BD；（2）若AB=26，CD=24，求sin∠CBD．【答案】（1）证明：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵BE⊥CD∴∠ADB=∠CEB∵∠A=∠C∴△CBE∽△ABD∴ABBC =BD BE∴AB•BE=BC•BD；（2）解：连接DO并延长交⊙O于点F，∵DF是直径，∴∠FCD=90°∴∠F=∠CBD AB=DF=26∴CD=24∴sin∠CBD=sin∠F=CDDF =2426=1213【举一反三】第6页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第7页 共23页 自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力 非学科培训1．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ，则S △ABE ：S △ECF 等于（ ）A. 1：2B. 4：1C. 2：1D. 1：4【答案】B2．矩形ABCD 中，AD=2AB=2√2，E 是AD 的中点，Rt ∠FEG 顶点与点E 重合，将∠FEG 绕点E 旋转，角的两边分别交AB ，BC （或它们的延长线）于点M ，N ，设∠AME=α（0°＜α＜90°），有下列结论：①BM=CN ；②AM+CN=√2；③S △EMN =1sin 2α，其中正确的是（ ）A. ①B. ②③C. ①③D. ①②③【解答】解：在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 的中点， 作EF ⊥BC 于点F ，则有AB=AE=EF=FC ，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN ，在Rt △AME 和Rt △FNE 中，{∠AEM =∠FENAE =EF ∠MAE =∠NFE，∴Rt △AME ≌Rt △FNE ，∴AM=FN ，∴MB=CN ，故①正确；∴CF=AM+CN=12BC=√2，当点M 在AB 的延长线上时，AM-CN=√2，故②错误；∵Rt△AME≌Rt△FNE，∴EM=EN，∴△EMN是等腰直角三角形，∵∠AME=α，∴sinα=AEEM，∴EM=√2sinα，∴S△EMN=12EM2=1sin2α，故③正确，故选：C．【答案】C3．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB＝4，∠E＝75°，则CD的长为．【答案】2√34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE×CA．（1）求证：BC=CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2√2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴DCCE =CADC，而∠ACD=∠DCE，第8页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD=∠CDE，∵∠CAD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD=CB，∴CD̂=CB̂，∴∠BOC=∠BAD，∴OC∥AD，∴PCCD =POOA=2rr=2，∴PC=2CD=4√2，∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴PCPA =PBPD，即4√23r=r6√2，∴r=4，即⊙O的半径为4．5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．第9页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEC=∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB=4，AE=5，∴BE=3，∵BC=5，∴EC=5-3=2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴ABBE =ECCD，∴43=2CD，∴CD=32；（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；理由是：过E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD=∠DEC，∵∠AED=∠C，∴∠ADE=∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF=EC，∵DE=DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF=DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF=AB，∴AD=AF+DF=AB+CD．6．已知，正方形DEFG内接于△ABC中，且点E、F在BC上，点D，G分别在AB，AC上．第10页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训（1）如图①，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的边长；（2）如图②，若S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，求正方形的边长．【答案】解：（1）设正方形DEFG的边长是x，∵△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，∴由勾股定理得：BC=5，过A作AM⊥BC于M，交DG于N，由三角形面积公式得：12AB×AC=12BC×AM，∵AB=4，AC=3，BC=5，∴AM=2.4，∵四边形DEFG是正方形，∴DG=GF=EF=DE=MN=x，DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴DGBC =AN AM，∴x5=2.4−x2.4，x=6037，即正方形DEFG的边长是6037；（2）过A作AM⊥BC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，∵四边形DEFG是正方形，∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，∵S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，∴12ab=1，12BE•a=3，12CF•a=1，∴BE=3b，CF=b，∴S△ADG+S△BED+S CFG=12ab+32ab+12ab=1+3+1=5，∴ab=2，∴b=2a①，=1（BE+EF+CF）×（AN+MN）-（S△ADG+S△BDE+S△CFG）2（a+4b）（a+b）-5=a2，=12∴a=2b②，由①②得：a=2，即正方形的边长是2．7．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的动点．沿EF折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，求CF的取值范围．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大值为3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG=√BG2−AB2=4，∴DG=AD-AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3-x）2+12=x2，，∴x=53∴5≤CF≤3．≤CF≤3．故答案为：538．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C 除外），AF与DC的延长线相交于点M．（1）求证：△AFD∽△CFM；（2）点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】1．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A. ∠1＞∠2B. ∠1＜∠2C. ∠1=∠2D. 无法确定【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1=∠2．【答案】C2．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB=4，BM=2，则△DEF的面积为（）A. 9B. 8C. 15D. 14.5【答案】A3．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A. S1=S2B. S1＞S2C. S1＜S2D. 3S1=2S2S矩形AEFC，即S1=S2，【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=12故选：A．【答案】A4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．=FCDF=3，∴CG=6，∴BG=BC+CG=10，∴△BEG的面积=12×BG×AB=20．5．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P、Q分别在直线CB与射线DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°，CQ=1，则线段BP的长为______．【解答】解：分三种情况：设BP=x，①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠CPQ=90°，∴∠BAP=∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ，∴ABBP=PCCQ，∴4x=4-x1，∴x1=x2=2，∴BP=2；②当P在CB的延长线上时，如图2，同瑆得：△ABP∽△PCQ，6．已知，如图，在圆O中，AB=CD。
初中数学重难点易错专题 相似三角形中的“8”字模型(3种题型)(解析版)
相似三角形中的“8”字模型(3种题型)一、【知识梳理】8字_平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字_不平行型条件：∠CDP=∠BAP.结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);二、【考点剖析】8字-平行型1.直接利用“8”字型解题1如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若DE :EC =1:2，则BF :BE =．【答案】3:5．【解析】DE :EC =1:2，可知CE CD =CE AB =23，由CE ⎳AB ，可知BF EF =AB CE=32，故BF :BE =3:5．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型．2如图，P 为▱ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ ∙PI =PR ∙PS ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴RB ⎳DI ，SD ⎳BQ ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PR =PD PB =PS PQ，∴PQ ⋅PI =PR ⋅PS ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．3如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交AD 于点G ．求证：BF 2=FG ∙EF ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴AB ⎳CE ，AG ⎳BC ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF BF =CF AF=BF FG ，∴BF 2=FG ∙EF ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．4如图，点C 在线段AB 上，ΔAMC 和ΔCBN 都是等边三角形．求证：(1)MD DC =AM CN；(2)MD ∙EB =ME ∙DC ．【解析】证明：(1)∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴∠ACM =∠NCB =∠AMC =60°．∵点C 在线段AB 上，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠NCB =60°=∠AMC ．∴AM ⎳CN ，∴MD DC =AM CN．(2)同(1)易证得CM ⎳BN ，则有ME EB =MC NB．∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴MC =AM ，NB =CN ，∴MD DC=ME EB ，∴MD ∙EB =ME ∙DC ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．5如图，已知AB ⎳CD ⎳EF ．AB =m ，CD =n ，求EF 的长．(用m 、n 的代数式表示)．【答案】mn m +n ．【解析】由AB ⎳CD ⎳EF ，则有EF AB =CF BC ，EF CD =BF BC ，即EF m +EF n =1，得EF =mn m +n．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．6如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE EC=13，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求BF :FG 的值．【答案】1:2．【解析】由AF ⎳BC ，可得AF BC =AE EC =13，即AF AD=13，故AF FD =12，由AB ⎳DG ，可得：BF :FG =AF :FD =1:2．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．7如图，l 1⎳l 2，AF :FB =2:5，BC :CD =4:1，求AE :EC 的值．【答案】2:1．【解析】由l 1⎳l 2，得：AG BD =AF FB =25，又BC :CD =4:1，可得AG CD=21，故AE :EC =AG :CD =2:1．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．2.添加辅助线构造“8”字模型解题8过ΔABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．求证：AE ED =2AF FB．【解析】过点D 作DG ⎳AB 交CF 于点G ．∵DG ⎳AB ∴AE ED =AF GD ，DG BF =CD CB ；∵AD 是中线， ∴BC =2CD ， ∴DG BF =12；∴AE ED =2AF BF．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．9如图，AD 是ΔABC 的内角平分线．求证：AB AC=BD DC ．【解析】过点C作CM⎳AB交AD的延长线于点M．∵CM⎳AB ∴AB CM=BDDC，∠BAD=∠M∵AD是角平分线∴∠BAD=∠DAC；∴∠M=∠DAC∴AC=CM∴AB AC=BD DC．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．8字-不平行型1如图，∠BEC=∠CDB，下列结论正确的是()A.EF•BF=DF•CFB.BE•CD=BF•CFC.AE•AB=AD•ACD.AE•BE=AD•DC【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC=∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．【解答】解：∵∠BEC=∠CDB，∠EFB=∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EF DF=FB FC，∴EF•FC=DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴BE CD=BF FC，∴BE•CF=CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC=∠CDB，∠BEC+∠AEC=180°，∠BDC+∠ADB=180°，∴∠AEC=∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴AB AC=AD AE，∴AB•AE=AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．1.【过关检测】一、选择题(共3小题)1(2023•静安区校级一模)如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是()A. B. C. D.【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG=DE：AB=1：2，BG：EG=AB：DE，==，∴DG=AG，∵BG：EG=AB：DE=2：1，∴GB：BE=2：3，∴S△AGB：S△AEB=2：3，∵AE=EC，∴S△AEB=S△ABC，∴S△AGB=S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴==，∴S △CDE =S △ABC ，∴=，结论成立的是=，故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．2(2023•徐汇区一模)如图，点D 在△ABC 边AB 上，∠ACD =∠B ，点F 是△ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且AF =2EF ，则下列选项中不正确的是()A. B. C. D.【分析】过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，由条件可以证明△ACF ≌△GCE (ASA )，得到AF =EG ，CF =CE ，由△ADF ∽△GCF ，再由平行线分线段成比例，即可解决问题．【解答】解：过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，∴∠G =∠BAE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴∠G =∠CAE ，∴CG =CA ，∵∠ACD =∠B ，∠ECG =∠B ，∴∠ACF =∠ECG ，∴△ACF ≌△GCE (ASA )，∴CF =CE ，AF =EG ，∵AF =2FE ，∴EG =2FE ，令EF =k ，则AF =EG =2k ，AE =GF =3k ，∵△ADF∽△GCF，∴AD：CG=AF：FG=2k：(3k)=2：3，∴=，故A正确．∵AB∥CG，∴CE：BE=GE：AE=2k：(3k)=2：3，∴=，故B正确．∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴==，故C正确．∵=，AC和BD不一定相等，∴不一定等于．故选：D．【点评】本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形．3(2022秋•闵行区期末)如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB．如果==3，且量得CD=4cm，则零件的厚度x为()A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵==3，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=2，∵CD=4cm．∴AB=8cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-8)÷2=1(cm)，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．二、填空题(共8小题)4(2022秋•奉贤区期中)如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为4．【分析】由AE∥BC，可得△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD推出==，又有BC的值，再由==1，得出AE=CF，代入即可求解AE的长．【解答】解：∵AE∥BC，∴△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD，∴==，==1，即AE=CF，又BC=8，∴=AE=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．5(2022•浦东新区校级模拟)如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC=2：3，设=，试用向量表示向量，=- ．【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ACB，由DE：BC=2：3，可得DA=CD，即可表示，从而得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∵DE：BC=2：3，∴DA：CA=DE：BC=2：3，∵CD=DA+CA，∴DA=CD，∵=，∴=，∴=-，故答案为：-．【点评】本题考查向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算的解题的关键．6(2022•静安区二模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，AO：OC=1：4，设=，那么= ．(用含向量的式子表示)【分析】由相似三角形性质可得=4=4，再根据梯形中位线定理即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=4=4，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴=(+)=(+4)=，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，平面向量等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．7(2023•静安区校级一模)在矩形ABCD内作正方形AEFD(如图所示)，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，且PE=2，那么PF= -1．【分析】先根据黄金分割的定义可得=，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF=AE，从而可得=，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，∴==，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF=AE，∴=，∵DC∥AB，∴∠FCP=∠PAE，∠CFP=∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴==，∵PE=2，∴PF=-1，故答案为：-1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．8(2022春•浦东新区校级期中)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是2：3．【分析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，根据已知易得DM=BN，再根据S△BCD=2S△ABD，从而可得BC=2AD，然后再证明8字模型相似三角形△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可得==，从而可得=，最后根据△BOC与△BDC 的高相等，即可解答．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，∵AD∥BC，∴BN=DM，∵S△BCD=2S△ABD，∴BC•DM=2×AD•BN，∴BC=2AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=，∵△BOC与△BDC的高相等，∴==，故答案为：2：3．【点评】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2022秋•虹口区校级月考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E为边BC的中点，点F在边CD上且3CF=CD，EF交对角线AC于点G，则AG：GC=7：2．【分析】如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，首先利用AD∥BC，，点E 为边BC的中点，可以得到AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，然后利用MH∥EF，DH：HF= DM：ME=3：2=6：4，最后利用又3CF=CD即可求解．【解答】解：如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，∵AD∥BC，，点E为边BC的中点，∴△ADM∽△CME，∴AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，∵MH∥EF，∴DH：HF=DM：ME=3：2=6：4，又3CF=CD，∴DF=2CF，∴CF：HF=5：4，∴CG：MG=5：4，∴CG=CM，MG=CM，而AM：CM=3：2，∴AM=CM，∴AG=AM+MG=CM，∴AG：GC=CM：CM=7：2．故答案为：7：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质于判定，同时也利用了平行线的性质，解题的关键是会进行比例线段的转换，有一定的难度．10(2022秋•黄浦区期末)如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去测量零件的内孔直径AB．如果==，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是0.5cm．的值．【解答】解：∵==，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=3，∵CD=3cm．∴AB=9cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-9)÷2=0.5(cm)，故答案为：0.5．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．11(2022春•闵行区校级月考)如图，梯形ABCD中，∠D=90°，AB∥CD，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果AB=4，且=，那么梯形ABCD的中位线等于7．【分析】过点B作BG⊥EC，利用同高的两个三角形的面积的比先求出EF：BF，再利用相似三角形的性质求出ED、EG，最后利用梯形中位线与上下底的关系得结论．【解答】解过点B作BG⊥EC，垂足为G∵=，∴=．∵AB∥CD，∴△EDF∽△BAF．∴==，∴ED=2，=．∵AD∥BG，∴=．∴EG=6．∵CB绕着点B按顺时针方向旋转，点C落在CD延长线上的点E处，∴BE=BC．∵BG⊥EC，∴EG=GC=6．∴DC=DG+CG=4+6=10．∴梯形ABCD的中位线=(AB+CD)=(4+10)=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的三线合一、等高的两个三角形的面积比等于底边的比、梯形的中位线等于上下底的和的一半是解决本题的关键．三、解答题(共12小题)1(2023•普陀区一模)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD=1：3．(1)求的值；(2)联结FC，设，，那么= ，= .(用向量、表示)【分析】(1)根据题意可证明四边形AECD为平行四边形，得到AE=CD，则EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，易证明△BEF∽△DAF，由相似三角形的性质即可求解；(2)由AF=2EF得，，由三角形法则求出和，再求出，最后利用三角形法则即可求出．【解答】解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE=CD，∵EF：CD=1：3，∴EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；(2)联结FC，如图，由(1)可得AF=2EF，∵，∴，，∴=，=，∵，AD=EC，∴，∴==，∴==．故答案为：，．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．2(2023•奉贤区一模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD=∠BDC．(1)求证：AE•BD=AD•DC；(2)如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．【分析】(1)利用平行线的性质证明∠ADB=∠DBC，然后利用已知条件可以证明△ADE∽△DBC，由此即可解决问题；(2)利用(1)的结论和已知条件可以证明△DEF∽△DBC，接着利用相似三角形的在即可求解．【解答】证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠EAD=∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD=DC：BD，∴AE•BD=AD•DC；(2)∵AE：AD=DC：BD，且，∴=，而∠EDF=∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF=∠DBC，∴EF∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例的基本性质，有一定的综合性．3(2023•青浦区一模)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF=2AF．(1)求EA：AB的值；(2)如果，，试用、表示向量．【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，易证△AEF∽△DCF，则=，由DF=2AF即可求解；(2)先算出，再根据即可求解．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF=2AF，∴，∴；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DF=2AF，∴，∵，，∴，，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键．4(2022秋•金山区校级期末)已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC 分别相交于点F、G，AF2=FG•FE．(1)求证：△CAD∽△CBG；(2)联结DG，求证：DG•AE=AB•AG．【分析】(1)通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG=∠E，由平行线的性质可得∠E=∠EBC=∠FAG，且∠ACD=∠BCG，可证△CAD∽△CBG；(2)由相似三角形的性质可得=，且∠DCG=∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得=，由平行线分线段成比例可得=，可得结论．【解答】证明：(1)∵AF2=FG⋅FE．∴=，∵∠AFG=∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG=∠E，∵AE∥BC，∴∠E=∠EBC，∴∠EBC=∠FAG，∵∠ACD=∠BCG，∴△CAD∽△CBG；(2)∵△CAD∽△CBG，∴=，∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴=，∵AE∥BC，∴=，∴=，∴=，∴DG•AE=AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5(2022•松江区二模)已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．(1)求证：；(2)如果BE2=BF•BD，求证：DF=BE．【分析】(1)根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB=∠EBC，=，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得=，即可解答；(2)根据已知易证△BFE ∽△BED ，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF =∠BDE ，进而可得∠DAF =∠BDE ，然后利用(1)的结论可证△ADF ≌△DBE ，再利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：(1)∵DA =DB ，EB =EC ，∴=，∵∠ADB =∠BEC ，∴△DAB ∽△EBC ，∴∠DAB =∠EBC ，=，∴AD ∥EB ，∴∠DAF =∠AEB ，∠ADF =∠DBE ，∴△ADF ∽△EBF ，∴=，∴；(2)∵BE 2=BF •BD ，∴=，∵∠DBE =∠EBF ，∴△BFE ∽△BED ，∴∠BEF =∠BDE ，∵∠DAF =∠AEB ，∴∠DAF =∠BDE ，∵∠ADF =∠DBE ，AD =DB ，∴△ADF ≌△DBE (ASA )，∴DF =BE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6(2023•宝山区二模)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，OB =OC ．(1)求证：AB =CD ；(2)E 是边BC 上一点，联结DE 交AC 于点F ，如果AO 2=OF •OC ，求证：四边形ABED 是平行四边形．【分析】(1)由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明△AOB 和△DOC 全等，利用全等三角形的性质得结论；(2)先说明△AOB∽△FOD，再说明AB∥DE，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：(1)∵OB=OC，∴∠DBC=∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC．∴∠DAC=∠ADB．∴OA=DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC(SAS)．∴AB=CD．(2)∵AO2=OF•OC，OA=OD，OC=OB，∴AO•OD=OF•OB，即．∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO=∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．7(2022秋•徐汇区期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2=BE•BD．(1)求证：△ABE∽△DCE；(2)AE•CD=BC•ED．【分析】(1)根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC=∠BDC，由此可得出△ABE ∽△DCE；(2)由(1)中的相似可得出AE：DE=BE：CE，再由∠BEC=∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，可得△BCD∽△ADE，进而可得结论．【解答】证明：(1)∵AB2=BE•BD，∴AB：BE=BD：AB，∵∠ABE=∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC=∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=∠BAC，∴△ABE∽△DCE；(2)由(1)中相似可得，AE：DE=BE：CE，∵∠BEC=∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE=CD：ED，AE•CD=BC•ED．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．8(2022春•杨浦区校级期中)如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E=∠ABC．(1)求证：AB2=AC•AE；(2)如图2，D在BC上且BD=3CD，延长AD交BE于F，若=，求的值．【分析】(1)利用两角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；(2)过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，利用(1)的结论可得===，先AC=2a，AB=3a，从而求出AE的长，进而求出的值，再根据已知设CD=m，BD=3m，从而求出BC，BE的长，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性质可得EH=m，再证明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性质可得=，从而求出EF的长，进行计算即可解答．【解答】(1)证明：∵∠E=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△AEB，∴=，∴AB 2=AC •AE ；(2)解：过点E 作EH ∥CB ，交AF 的延长线于点H ，∵△ABC ∽△AEB ，∴===，∴设AC =2a ，AB =3a ，∴=，∴AE =a ，∴==，∵BD =3CD ，∴设CD =m ，则BD =3m ，∴BC =CD +BD =4m ，∴=，∴EB =6m ，∵EH ∥CD ，∴∠ACD =∠AEH ，∠ADC =∠AHE ，∴△ACD ∽△AEH ，∴==，∴EH =m ，∵EH ∥BD ，∴∠BDF =∠DHE ，∠DBF =∠FEH ，∴△BDF ∽△EHF ，∴===，∴EF =BE =m ，∴==，∴的值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2023•崇明区二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．(1)求证：AG2=GF•GM；(2)联结CG，如果∠BAG=∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．【分析】(1)由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性质得结论；(2)利用“两角对应相等”先说明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三线合一说明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得结论．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴=，=．∴=．∴AG2=GF•GM．(2)∵AB∥DM，∴∠BAG=∠M．∵∠BAG=∠BCG，∴∠M=∠BCG．∵∠MGC=∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴=，即CG2=GF•GM．∵AG2=GF•GM，∴CG2=AG2．∴CG =AG ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE =CE ．∴GE ⊥AC ，即BD ⊥AC ．∴平行四边形ABCD 是菱形．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．10(2021秋•虹口区期末)如图，在梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，BC =2AD ，对角线AC 与BD 交于点E ．点F 是线段EC 上一点，且∠BDF =∠BAC ．(1)求证：EB 2=EF •EC ；(2)如果BC =6，sin ∠BAC =，求FC 的长．【分析】(1)先由AD ∥BC 得到△EAD ∽△ECB ，从而得到，然后由∠BDF =∠BAC 、∠AEB =∠DEF 得证△EAB ∽△EDF ，进而得到，最后得到结果；(2)先利用条件得到AC 、AB 的长，然后利用BC =2AD 得到AD 、BD 的长，再结合相似三角形的性质得到EB 、EC 的长，进而得到EF 的长和FC 的长．【解答】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴△EAD ∽△ECB ，∴，即，∵∠BDF =∠BAC ，∠AEB =∠DEF ，∴△EAB ∽△EDF ，∴，∴，∴EB2=EF•EC．(2)解：∵BC=6，sin∠BAC==，BC=2AD∴AC=9，AD=3，∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°，∴AB===3，∴BD===3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC=AC=×9=6，EB=BD=×3=2，∵EB2=EF•EC，即(2)2=6EF，∴EF=4，∴FC=EC-EF=6-4=2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．11(2021秋•嘉定区期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE=2：3，BC=4DE，CE=10．求EH、GE的长．【分析】根据题目的已知并结合图形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC=4DE，∴，∵CE=10，∴HC=10-EH，∴，∴EH=2，∵BC=4DE，DE：AE=2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE=∠GBC，∠GEA=∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE=10，∴GC=10+GE，∴，∴GE=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形，熟练掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD<AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．(1)当点D在边AB上时，①求证：∠AFC=45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；(2)联结CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．【分析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90°-2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；(2)分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：(1)①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∴∠ACE=90°-2α，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠AEC=∠EAC=[180°-(90°-2α)]=45°+α，∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，∴∠AFC=45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由(1)知：∠AFC=45°，∴∠BEF=45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G=∠BCD=∠BAG，∵∠G+∠BAG=∠ABC=45°，∴∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BD，BH=BD，∠BHD=45°，∵∠CDH=∠BHD-∠BCD=45°-22.5°=22.5°=∠BCD，∴CH=DH=BD，∵CH+BH=BC=5，∴BD+BD=5，∴BD==5-5，∴线段BD的长为5-5；(2)Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，∴①AM2+CM2=AC2=25，∵S△ACE=AE•CM=12，∴②AM•CM=12，①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，①-②×2，得：(AM-CM)2=49③，∵CM>AM>0，∴AM=3，CM=4，∴AE=6，由(1)知：∠AFC=45°，BE⊥CF，∴∠BEF=45°，∵∠AFC=∠ABC=45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB=180°，∴∠AFB=90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，设EF=BF=x，则AE=x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(x+6)2+x2=50，解得：x=1或x=-7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×6×1=3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由(1)知：∠AFC=45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF=45°，BF=EF，∴∠EBF=∠BEF=45°，∴∠BFE=90°，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，设BF=EF=y，则AF=8-y，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(8-y)2+y2=50，解得：y=1或y=7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×8×1=4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。
初中数学相似6大模型问题(完整可编辑)
已知N1=N2 结论：AADE S AABC模型浅析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A 型或8型相似.在做题使，我们也常常关注题 目由平行线所产生的相似三角形.模型题源【例1】如图，在ABC 中，中线AF 、BD 、CE 相交于点。
，求证:模型1: 4、 8模型相似模型OF _OE OD \加一五一下一5DE 1证法一：如图①，连接。
£七是中点，，——=一.，DE//BCBC 2OF DF 1OF I•••△EODsacoB（8 模型）.••& = &!=2.同理：—=1OC BC 2 OA 2• OF _OE _OD _1GF BF 1 证法二：如图②，过尸作"V/AC 交8。
于点G, ••加是中点，； ------ =——=-AD BC 2QF 1•；AD=CD,:.——=一・•:FG"AD, •二△G 。
/（8 模型）AD 2OF GF 1 lXi OE 1 OD 1 . OF OE OD 1 OAAD 2 OC2OB2 OAOCOB2【例2】如图，点从厂分别在菱形A8C 。
的边AB 、AO 上，且AE=O 凡BF 交DE 于点、G,延长斯交C 。
的延长AF 线于H,若——=2,DF••市一无一方一天图②求器的值.解答：:四边形A8CQ是菱形，：.AB^=BC=CD=AD.设。
/=小则OF=AE=a, AF=EB=2a. 9：HD//AB, MHFDsABFAHD DF ■ —AB AF HFFB1=一,••HD = 1.5a, 2FHBH1=-93：.FH1= -BH 3■:HD”EB,：.△DGHs NGB,：-------- =GBHDEB\.5a2a_3=-9 4.BGHB4-7练习:1 .如图，D 、上分别是△ABC 的边AB 、8C 上的点，且DE 〃AC, AE,。
相交于点0,若S ：： S^COA =1： 25.则 S/.BD E 与Szxc 的比是.DE 1解答：VDE//AC, AADOE^ACOA,又 S SOE ： S^COA = 1： 25,； -------- -AC 52 .如图所示，在248CO 中，G 是8c 延长线上的一点，AG 与BD 交于点、E,与OC 交于点F,此图中的相似三 角形共有对.解：：四边形ABCD 是平行四边形，，AD 〃BC, AB//CD，(1) AABD^ACDB ： (2) AABE^AFDE ； (3) A AED ^A GEB ：(4) AABG^AFCG^AFDA,可以组成3对相似三角形.，图形中一共有6对相似三角形.3.如图，在aABC 中，中线8。
初中数学几何模型之相似三角形模型
数学模型-----相似三角形模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考中的常考题型，如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了．下面就介绍一下相似三角形模型． 一、模型类别二、相关结论的运用 （一）模型1：A 字型图1平行A 字型条件：//DE BC ，图1结论：~ADE ABC ； 图2斜交A 字型条件：C AED ∠=∠，图2结论：~ADE ABC ；典例精讲：如图，在Rt ABC 中，90,4cm,3cm C AC BC ∠=︒==．动点,M N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA CB 、向终点,A B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接,PM PN ，设移动时间为t （单位：秒，025t <<．）．（1）当t 为何值时，以,,A P M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】根据勾股定理求得5cm AB =．（1）根据模型1：平行A 字型的结论得出APM ABC ∽，和模型1：斜交A 字型模型的结论得出AMP ABC ∽两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值． （2）过点P 作PH BC ⊥于点H ，构造平行线//PH AC ，根据模型1：平行A 字型的结论得出PBH ABC ∽，从而求得以t 表示的PH 的值；然后根据“ABCBPHSSS=-”列出S 与t 的关系式24321(0 2.5)525S t t ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值． 【详解】解：∵如图，在Rt ABC 中，90,4cm,3cm C AC BC ∠=︒==．∴根据勾股定理，得5cm AB ==．（1）以,,A P M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： ①当APM ABC ∽时，AM AP AC AB =，即45245t t--=，解得0t =（不合题意，舍去）．②当AMP ABC ∽时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解得32t =；综上所述，当32t =时，以A P M 、、为顶点三角形与ABC 相似．（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值． 如图，过点P 作PH BC ⊥于点H ．则//PH AC ， ∴PBH ABC ∽∴PH BPAC BA =， 即245PH t=． ∴85tPH =． ∴ABC BPN S S S =-△△()118343225t t =⨯⨯-⨯-⋅ ()24321=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭． ∵405>， ∴S 有最小值． 当32t =时，215S =最小值．答：当32t =时，四边形A P NC 的面积S 有最小值，其最小值是215． 【解题技法】作平行线构造A 字型相似，是解题中常用的一种作辅助线的方法实战演练：1. 如图，AD经过ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作//EG BC交AD 于点G，若12BC=，则线段GE的长为（）A. 6B. 4C. 5D. 3【答案】D【解析】【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到12AE GEAC CD==，从而求出GE.【详解】解：∵AD经过ABC的重心，∴点D是BC中点，∵BC=12，∴CD=BD=6，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，∵点E是AC中点，∴12AE GEAC CD==，即162GE=，解得：GE=3，故选D.【点睛】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键.2. 如图，在ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，则下列结论正确的是（ ）A.AD DEDB BC= B.BF EFBC AD= C.EF BFAB BC= D.AE DEEC FC= 【答案】D 【解析】【分析】由两直线平行，得到两对同位角相等，证明△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB ；由等代换可证明△ADE ～△EFC ，最后由相似三角形的性质判断四个答案的正误． 【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，DE AD ADBC AB DB∴=≠ ∴答案A 错舍去； 又∵EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A ，∠CFE=∠B ， ∴△CEF ∽△CAB ，EF CE FC BFAB AC BC BC∴==≠ ∴答案C 错舍去； ∵//DE BC ，//EF AB ， ∴四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF∵∠ADE=∠B ，∠CFE=∠B ， ∴∠ADE=∠CFE ， 又∵∠AED=∠C ， ∴△ADE ～△EFC ，EF BF BFAD FC D B E FC C∴==≠ ∴答案B 舍去 ∵△ADE ～△EFC ，AE DEEC FC∴= ∴答案D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点，重点掌握三角形相似的判定与性质，易错点学生不会找两个相似三角形对应边的比相等．3. 如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连结AM 交DE 于点N ，则（ ）A.ADANAN AEB.BD MNMN CEC.DN NEBM MCD.DN NEMC BM【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三角形的性质即可得到答案.【详解】∵//DE BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴,DN AN ANNE DN NEBMAM AM MC BM MC，故选C.【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.（二）模型2：8字型图1平行8字型条件：//AB CD ， 图1结论：AOB DOC ∽△△； 图2斜交8字型条件：A D ∠=∠，，图2结论：AOB DOC ∽△△；典例精讲：如图1，在矩形ABCO 中，8,6,,OA OC D E ==分别是,AB BC 上一点，2,3,AD CE OE ==与CD 相交于点F ．（1）求证：OE CD ⊥；（2）如图2，点G 是CD 的中点，延长OG 交BC 于H ，求CH 的长． 【思路点拨】（1）根据四边形ABCO 是矩形，可得8,6OA BC OC AB ====，根据模型1中的图1结论得出ADP OCP ∽，从而求出PA 和PO ，再根据模型2中的图1结论得出OPF ECF ∽，求出EF 和CF 的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE CD ⊥；（2）在Rt CBD △中，8,624CB BD AB AD ==-=-=，根据勾股定理可得CD =G 是CD 的中点，可得CG DG ==G 是CP 的三等分点，根据模型2中的图1结论得出OPG HCG ∽即可求出CH 的长． 【详解】（1）∵四边形ABCO 是矩形， ∴8,6OA BC OC AB ====， 在Rt OCE 中，3CE =，∴OE ===∵//AB OC ，即//AD OC ，且2AD =， ∴ADP OCP ∽ ∴AD PAOC PO =， ∴268PA PA =+， ∴4PA =，∴12PO PA OA =+=， ∴在Rt OPC △中，6OC =，∴CP ===，∵//OA BC ，即//OP CE ， ∴OPF ECF ∽ ∴CE EF CFOP OF PF ==， ∴31124EF CF OF PF ===，∴15EF OE ==155CF CP ==∵22936955+=+=⎝⎭⎝⎭， ∴222EF CF CE +=， ∴CEF △是直角三角形， ∴90CFE ∠=︒， ∴OE CD ⊥；（2）在Rt CBD △中，8,624CB BD AB AD ==-=-=，根据勾股定理，得CD ===，∵点G 是CD 的中点，∴CGDG ==由（1）知：CP =，∴DP CP CD =-=∴点G 是CP 的三等分点， ∵//OA BC ，即//OP CH ， ∴APG HCG ∽ ∴CH CGOP GP=， ∴1122CH =， ∴6CH =． 答：CH 的长为6．【解题技法】利用A 字型和8字型混合模型得出三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例得出线段的长或比值，解决本题的关键实战演练：4. 已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ．（1）证明：AFG ∆∽CMG ∆ （2）求证：GF EFGM EM=； 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明AFG ∆∽CMG ∆；（2）由相似三角形的性质可知GF AF GM CM=，由AD∽BC 可知AF EFBM EM =，通过等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：AD ∥BCFAG MCG ∴∠=∠ AGF CGM ∠=∠ AFG ∴∆∽CMG ∆（2）证明：∵AFG ∆∽CMG ∆GF AFGM CM∴= ∽AD∽BC ， ∽AF EFBM EM= 又∵CM ＝BM ，AF EFCM EM∴=GF EFGM EM∴=【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果23CEBE=，求FEEG的值．【答案】916 FEEG=【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，即可证得△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，∴EF BE EG ECAF AD AG AD＝，＝，∵23 CEBE=，∴3255 BE CEAD AD＝，＝，∴3255FE EGAF AG==，，∴3283FE EGAE AE==，，∴916FEEG=．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．6. 如图， ,BD AC 相交于点P ，连结,,,,AB BC CD DA DAP CBP ∠=∠． (1)求证: ADP BCP ∽；(2)直接回答ADP △与BCP 是不是位似图形? (3)若8,4,3AB CD DP ===，求AP 的长．【答案】（1）详见解析；（2）不是；（3）6AP = 【解析】【分析】（1）根据已知条件可知DAP CBP ∠=∠，根据对顶角相等可知DPA CPB ∠=∠，由此可证明ADP BCP ∽；（2）根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）（3）由△ADP ∽△BCP ，可得AP BPDP CP=，而∠APB 与∠DPC 为对顶角，则可证△APB ∽△DPC ，从而得AP ABDP DC=，再根据8,4,3AB CD DP ===即可求得AP 的长．【详解】(1)证明:∵,DAP CBP DPA CPB ∠=∠∠=∠， ∴ADP BCP ∽；(2)点A 、D 、P 的对应点依次为点B 、C 、P ，对应点的连线不相交于一点，故ADP △与BCP 不是位似图形；(3)解:∵ADP BCP ∽ ∴=AP BP DP CP∵APB DPC ∠=∠，∴APB DPC ∽，AP ABDP DC∴= ∴8=43AP ∴6AP =．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，位似图形的定义．熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．7. 在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．（1）如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AFBC ，交BE 的延长线于点F ，易得APPD的值为 ； （2）如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求APPD的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ． 【答案】（1）32；（2）23；（3）6【解析】【分析】（1）易证△AEF ≌△CEB ，则有AF=BC ．设CD=k ，则DB=2k ，AF=BC=3k ，由AF ∥BC 可得△APF ∽△DPB ，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（2）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据FP BP的值求出BFBP的值，就可求出BP的值．【详解】解：（1）如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴32 PA AFPD BD==，故答案是：32；（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k ，DB=DC+BC=3k ． ∵E 是AC 中点， ∴AE=CE ． ∵AF ∥DB ， ∴∠F=∠1．在△AEF 和△CEB 中，123F AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CEB ， ∴EF=BE ，AF=BC=2k ． ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP ， ∴2233PA FP AF k PD BP BD k ====； （3）当CD=2时，BC=4， ∵AC=6， ∴EC=AE=3， ∴EB=5=∴EF=BE=5，BF=10． ∵23FP BP =， 53BF BP ∴=， ∴BP=35BF=35×10=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．（三）模型3：k 字型图1一线三垂直条件：,,AB BD DE BD AC CE ⊥⊥⊥，图1结论：ABC CDE ∽△△； 图2一线三等角条件：B ACE D ∠=∠=∠，图2结论：ABC CDE ∽△△；典例精讲：如图，点P 是线段BD 上一个动点，90,6,4,B D AB CD BD a ∠=∠=︒===． （1）当90,14APC a ∠=︒=时，求BP 的长度；（2）若90APC ∠=︒时，点P 有两个符合要求即12,P P ，且122PP =，求a 的值； （3）若120APC ∠=︒时，点P 有且只有一个点符合要求，求a 的值．【思路点拨】（1）根据模型3：k 字型一线三垂直，证得ABP PDC △∽△，根据相似三角形的性质即可求得；（2）设BP x =，则PD a x =-，根据模型3：k 字型的一线三垂直证得ABP PDC △∽△，由相似三角形的性质得到2240x ax -+=，设方程的两个根为12,x x ，根据根与系数的关系可知1212,24x x a x x +=⋅=，根据题意即可得到()2121244x x x x =+-=，即可得到24244a -⨯=，解得即可；（3）作120AEP CFP ∠=∠=︒，解直角三角形求得33BE DF AE CF ====，根据模型3：k 字型的一线三等角证得EPA FCP ∽，由相似三角形的性质得到2320x a x ⎛--+= ⎝⎭，根据题意241320a ⎛∆=--⨯⨯= ⎝⎭，即可即可．【详解】解：（1）∵90,90B D APC ∠=∠=︒∠=︒， ∴90A APB CPD APB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴A CPD ∠=∠， ∴ABP PDC △∽△， ∴BP AB CD PD =，即6414BP BP=-， 解得2BP =或12；（2）设BP x =，则PD a x =-， 由（1）可知ABP PDC △∽△， ∴AB BP PD DC=，即64xa x =-， ∴2240x ax -+=，设方程的两个根为12,x x ，根据根与系数的关系可知1212,24x x a x x +=⋅=，∵122PP =， ∴122x x -=，∴()()2212121244x x x x x x -=+-=，∴24244a -⨯=， 解得10a =±（负数舍去）， ∴10a =；（3）作120AEP CFP ∠=∠=︒， ∴60AEB CFD ∠=∠=︒， ∵6,4AB CD ==，∴BE AB DF ====∴223AE BE CF DF ====∵120AEP CFP APC ∠=∠=∠=︒， ∴EAP CPF ∠=∠， ∴EPA FCP ∽， ∴AE EPPF FC=， 设EP x =，则3PF a x =--，=，∴2320x a x ⎛--+= ⎝⎭，∵0=，∴2413203a ⎛--⨯⨯= ⎝⎭， ∵0a >，∴3a =+【解题技法】通过运用模型3：k 字型中从特殊到一般的方法，证明出两组对应角相等，从而得出相似三角形，利用对应边成比例是解题的关键．实战演练：8. 如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP =；（3）当03x ≤≤时，24482525d x =+；当39x ≤≤时，33355d x =-+；（4）23t s =【解析】【分析】（1）根据当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，即可求出答案； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，证明△APQ ∽△ABC ，可得2APQ ABCS AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据S S 上下=45可得 24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23AP AB =，求出AB=5，即可解出MP ；（3）先讨论当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ ·sinC ，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，根据d=CP·sinC 即可得出答案； （4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小， ∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形， ∴PA min =tanC·2BC =34×4=3； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，S 上=S △APQ ， S 下=S 四边形BPQC ， ∵APQ B ∠=∠， ∴PQ ∥BC ， ∴△APQ ∽△ABC ，∴APAQPQAB AC BC ==， ∴2APQ ABCS AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴23APAB =， AE=2BC·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5， ∴2253APMP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2， ∴25APx PQAB BC +==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ， d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩； （4）AM=2<AQ=94， 移动的速度=936=14， ①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒， ②P 在BC 上时，K 与Q 重合时 CQ=CK=5-94=114， ∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B ∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-， 整理得y 2-8y=554-， （y-4）2=94， 解得y 1=52，y 2=112， 52÷14=10秒， 112÷14=22秒， ∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．9. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝1 x 的图象上．若点B在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为_____．【答案】-4【解析】【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：BD OD OB OC AC OA==＝2，然后用待定系数法求解即可．【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，设点A的坐标是(m，n)，则AC＝n，OC＝m．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∴BD OD OB OC AC OA==，∵OB ＝2OA ，∴BD ＝2m ，OD ＝2n ，因为点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上， ∴mn ＝1，∵点B 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∴B 点的坐标是(﹣2n ，2m)，∴k ＝﹣2n •2m ＝﹣4mn ＝﹣4，故答案为﹣4．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B 的坐标(用含n 的式子表示)是解题的关键． 10. 如图，在ABC 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】(1)理由见详解；（2）2BD =-1，理由见详解．【解析】【分析】∽1∽根据题目已知条件易得：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，问题得证．∽2∽由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE ，②AD=DE ，③AE=DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．【详解】（1）如图可知：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，∴ 180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒ 又B ADE C ∠=∠=∠∴EDC DAB ∠=∠∴BDA CED △∽△．（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC=2，∴AB=AC=2 ①当AD=AE 时，∴ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．②当AD=DE 时，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）结论可知：BDA CED ≌∴∴2BD =③当AE=DE 时，45ADE DAE ∠=∠=︒∴AED 是等腰直角三角形45B ∠=︒，∴==45B C DAE ∠∠∠=︒∴90ADC ∠=︒，即AD BC ⊥ ∴1=12BD BC =．综上所诉：2BD =1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．11. 感知：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，点P 在BC 边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝，BD＝4，则DE的长为．【答案】探究：见解析；拓展：52.【解析】【分析】感知：先判断出∠BAP＝∠DPC，进而得出结论；探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；拓展：利用△BDP∽△CPE得出比例式求出CE，结合三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC＝AB；最后在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．【详解】解：感知：∵∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△PCD；探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．∵∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠CPD．∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD；拓展：同探究的方法得出，△BDP ∽△CPE ， ∴BD BP CP CE=， ∵点P 是边BC 的中点，∴BP ＝CP ＝，∵BD ＝4，CE=， ∴CE ＝92， ∵∠B ＝∠C ＝45°，∴∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝90°，即AC ⊥AB 且AC ＝AB ＝6，∴AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣92＝32，AD ＝AB ﹣BD ＝6﹣4＝2，在Rt △ADE 中，DE 52． 故答案是：52． 【点睛】此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．解本题的关键是判断出△ABP ∽△PCD ．（四）模型4：母子型图1垂直母子型条件：,AC BC AB CD ⊥⊥，图1结论：ABC ACD CBD ∽∽； 图2斜交母子字型条件：C ABD ∠=∠，图2结论：ABC ABD ∽；典例精讲：1、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【思路点拨】根据垂直母子型模型4证得ADC CDB ∽△△，再根据对应边成比例，即可求出CD 的值．【详解】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，∴ADC CDB ∽△△， ∴CD AD BD CD=， ∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =．2、如图，在ABC 中，AB AC =，点P 、D 分别是BC AC 、边上的点，且APD B ∠=∠．（1）求证：AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）若10,12AB BC ==，当//PD AB 时，求BP 的长．【思路点拨】（1）根据已知得出APD B C ∠=∠=∠，再根据斜交母子型模型4得出ABP PCD ∽，根据相似三角形的性质得到AB CD CP BP ⋅=⋅，由AB AC =即可得到AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）由//PD AB 根据斜交母子型模型4得出BAP BCA ∽，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．【详解】（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠．∵APD B ∠=∠，∴APD B C ∠=∠=∠．∵,APC BAP B APC APD DPC ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴BAP DPC ∠=∠，∴ABP PCD ∽， ∴BP AB CD CP=， ∴AB CD CP BP ⋅=⋅．∵AB AC =，∴AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）如图，∵//PD AB ，∴APD BAP ∠=∠．∵APD C ∠=∠，∴BAP C ∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BAP BCA ∽， ∴BA BP BC BA=． ∵10,12AB BC ==， ∴101210BP =， ∴253BP =．【解题技法】利用母子型模型4中有一组隐含的等角，此时需要通过已知得出判定三角形相似的条件，把证明AC CD CP BP ⋅=⋅转化为证明AB CD CP BP ⋅=⋅是解题的关键． 实战演练：12. 如图，已知BC 是O 的直径，AC 切O 于点C ，AB 交O 于点D ，E 为AC 的中点，连接CD ，DE ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若4BD =，3CD =，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）154=AC ． 【解析】 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，EDC ECD ∠=∠，ODC OCD ∠=∠，然后利用等量代换即可得出DE OD ⊥，从而证明结论；（2）首先根据勾股定理求出BC 的长度，然后证明BCD BAC ∽△△，最后利用CD BD AC BC=求解即可． 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BDC ∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∵E 为AC 的中点， ∴12DE EC AC ==， ∴EDC ECD ∠=∠，∵OD OC = ，∴ODC OCD ∠=∠，∵AC 切O 于点C ，∴AC OC ⊥．∴90EDC ODC ECD OCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴DE OD ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）解：在Rt BCD 中，∵4BD =，3CD =，∴5BC ==∵90BDC BCA ∠=∠=︒，B B ∠=∠．∴BCD BAC ∽△△， ∴CD BD AC BC=， 即345AC =， ∴154=AC ．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．13. 如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为（ ）A. 2aB. 52aC. 3aD. 72a 【答案】C【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理得到ACDBCA ∆∆，再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵CAD B ∠=∠，ACD BCA ∠=∠，∴ACD BCA ∆∆， ∴2ACD BCA S AC S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即14BCAa S ∆=，解得，BCA ∆的面积为4a ，∴ABD ∆的面积为：43a a a -=，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.14. 如图，点D 是△ABC 的边BC 的中点，且∠CAD ＝∠B ，若△ABC 的周长为10，则△ACD 的周长是（ ）A. 5 C. 52 D. 【答案】B【解析】 【分析】先根据已知证明△ACD ∽△BCA ，再根据相似三角形的性质得到AC 2=CD•CB ，设BD=CD=x ，得到x ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：∵∠CAD=∠B ，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴AC CD BC AC=，即AC 2=CD•CB ， 设BD=CD=x ，∵点D 是△ABC 的边BC 的中点，∴BC=2x∴x ，∴=ABC 22ACD AC BC ==的周长的周长，即102ACD =的周长;∴△ACD 的周长故选B ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．。
初中数学三角形相似之双A型相似模型
（双）A字型相似问题【模型分析】A字形图①A字型，DE//BC ;结论：AD AE DE AB AC BC==图①图②反A字型，∠ADE=∠B或∠1=∠B结论：AE AD DE AC AB BC==图③双A字型图③【经典例题】例1．（2020·江苏无锡市·阳山中学九年级月考）直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线l 2交于点D ，则线段BD 的长度为（ ）A ．154B ．253C ．203D ．254【分析】分别过点A 、B 、D 作AF ⊥l 3，BE ⊥l 3，DG ⊥l 3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE ≌△ACF ，故可得出CF 及CE 的长，在Rt △ACF 中根据勾股定理求出AC 的长，再由相似三角形的判定得出△CDG ∽△CAF ，故可得出CD 的长，在Rt △BCD 中根据勾股定理即可求出BD 的长．【解析】如图，分别过点A 、B 、D 作AF ⊥l 3，BE ⊥l 3，DG ⊥l 3 ≌△ABC 是等腰直角三角形，≌AC ＝BC≌∠EBC +∠BCE ＝90°，∠BCE +∠ACF ＝90°，∠ACF +∠CAF ＝90° ≌∠EBC ＝∠ACF ，∠BCE ＝∠CAF在△BCE 与△ACF 中，EBC ACF BC AC BEC AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，≌△CBE ≌△ACF （ASA ）≌CF ＝BE ，CE ＝AF≌l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3 ≌CF ＝BE ＝3，CE ＝AF ＝3+1＝4在Rt △ACF 中，≌AF ＝4，CF ＝3，≌AC ＝5 ≌AF ⊥l 3，DG ⊥l 3，≌△CDG ∽△CAFDG CD AF AC ∴=， 3CD 45∴=，15CD 4∴= 在Rt △BCD 中，≌154CD =，BC ＝5所以25BD 4==，选D【小结】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键例2．（2020·四川师范大学附属中学九年级月考）在平面直角坐标系中，已知()3,4A -，()1,0D -，点C 是y 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边构造直角ABC ，另一直角边交x 轴负半轴于点B ，E 为线段BC 的中点，则DE 的最小值为______．【分析】根据AC 为直角边可分∠CAB =90°和∠ACB =90°两种情况进行讨论 【解析】≌ABC 为直角三角形，AC 为直角边 ①当90CAB ∠=︒时 ≌90A ∠=︒，又90COB ∠=︒≌A 、C 、O 、B 四点共圆，且BC 为直径≌E 为BC 中点，则E 为圆心，连接AO ，则AO 为圆的一条弦≌圆心一定在AO 的垂直平分线上取AO 中点F ，过F 做直线FH AO ⊥，则E 的运动轨迹为直线FH ≌当DE FH ⊥时，DE 取得最小值≌()3,4A -，≌AO 的解析式为43y x =- 又≌F 为AO 中点，≌3,22F ⎛⎫-⎪⎝⎭，≌52OF =≌FH AO ⊥，≌134FH AO k k =-= ≌FH 的解析式可设为34y x b =+ 代入3,22F ⎛⎫-⎪⎝⎭，得：928b =-+，258b = ≌FH 的解析式为32548y x =+ 令0y =，得256x =- ≌25,06M ⎛⎫-⎪⎝⎭，≌256OM = 又≌1OD =，≌196MD =≌DE FH ⊥，≌//DE FO ≌MDE MOF △△∽≌DE ND FO MO =，≌19652526OE =，≌1951925210DE =⨯=（微信公众号：数学三剑客） ②当90ACB ∠=︒时B 点交于x 轴原点处不符合题意，故DE 的最小值为1910【小结】本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆的有关性质求解是解题关键例3．（2020·甘肃张掖市·临泽二中九年级月考）如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10c m，AD＝20c m．求正方形EFGH的边长【分析】由相似三角形的性质和正方形的性质列出比例式AM EHAD BC=，代入数值求解即可【解析】≌四边形EFGH是正方形,≌EH∥BC≌△AEH∽△ABC≌AM EHAD BC=，即202100EH EH-=,解得：EH=203,≌EFGH的边长为203【小结】本题考查相似三角形的应用，根据正方形的性质得到△AEH∽△ABC是解题关键【巩固提升】1．（2020·长春市第四十七中学九年级月考）如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△A N Q的面积为1，则k的值为（）A．9B．12C．15D．18【分析】易证△A N Q∽△A M P∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△A N Q的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出【解析】≌N Q∥M P∥OB，≌△A N Q∽△A M P∽△AOB≌M、N是OA的三等分点，≌12ANAM=，13ANAO=，≌14ANQAMPSS=≌四边形MN QP 的面积为3 ≌314ANQ ANQSS=+ ≌S △A N Q =1 ≌2119AOB AN SAO ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ≌S △AOB =9 ≌k =2S △AOB =18 选D【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k 的几何意义，正确的求出S △A N Q =1是解题的关键2．（2020·广西九年级二模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，取AC 的中点D ，连接BD ，点C 关于线段BD 的对称点为点E ，点F 为线段CD 上的一个动点，连接AE 、BD 、BE、DE ，已知AC =2BC =，103AE =，//BD AE ，当EF BF +的值最小时，则EFBF的值为（ ）AB ．5C ．109D ．32【分析】设点M 和点B 关于AC 对称，F 为E M 与AC 交点，过点E 作EG ⊥AC 于G ，过点E 作E N ⊥BC ，交BC 延长线于点N ，根据题意得出当EF +BF 最小时点F 的位置，再通过平行线的性质得到∠EAG =∠BDC ，从而求出EG 的长，再判定四边形EGC N 为矩形，得到C N ，最后利用△M FC ∽M E N 将EF BF 转化为NCCM求值即可【解析】当EF +BF 最小时，如图，点M 和点B 关于AC 对称，F 为E M 与AC 交点，过点E 作EG ⊥AC 于G ，过点E 作E N ⊥BC ，交BC 延长线于点N ， 此时EF +BF 的最小值即为EF +F M ，即E M ，≌AC =D 为AC 中点，BC =2，≌AD =CD ≌ta n ∠BDC =BC DC =， ≌AE ∥BD ， ≌∠EAG =∠BDC ，≌ta n ∠EAG =EG AG ，设EG =x ，≌AG x ，而AE =103，在△AEG 中，2221023x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解之得：x =209或209-（舍）， 由题意可得：∠N=∠ACB =∠EGC =90°， ≌四边形EGC N 为矩形，≌EG =N C =209， ≌AC ⊥BC ，E N ⊥BC ， ≌AC ∥E N ， ≌△M FC ∽M E N ， ≌MC MF CN EF =，则2010299EF EF NC BF FM CM ===÷=，故选C【小结】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，最短路径问题，矩形的判定和性质，解题的关键是根据平行利用三角函数得到FG 的长.3．（2020·广西玉林市·九年级模拟）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒， 9cm AC BC ==，动点P 从点A 出发，沿AB 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将PQC △沿BC 翻折，点P 的对应点为点P '，设Q 点运动的时间为t 秒，若四边形QP CP '为菱形，则t 的值为________．【分析】如图：连接P ＇P 交BC 于O ，利用等腰直角三角形的性质得AB ==设BQ t =，则PA =，可得PB =，CQ =9-t ，然后由菱形的性质得,PP QC OQ OC '⊥=，99,22t t OQ BO -+==；然后再利用PO //AC 可得BO BPBC BA=，最后得到关于t 的方程并求解即可 【解析】如图：连接P ＇P 交BC 于O≌∠ACB =90°，AC =BC =9c m ，≌AB ==又≌设BQ t =，则PA =≌PB =，CQ =9-t ≌四边形QP CP '为菱形 ≌,PP QC OQ OC '⊥=,≌99,22t t OQ BO -+==≌PO //AC,≌BO BP BC BA =，即92i +=，解得t =3【小结】本题考查了对称变换、菱形的性质和平行线分线段成比例定理，掌握、菱形的性质和平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．4．（2020·河南焦作市·九年级一模）在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点A'落在△BCD的边上时，AE的长为_____________．【分析】分A'落在BD上或BC上两种情况，画出示意图，根据矩形以及折叠性质求解即可．【解析】当A'落在BD上时，如下图：≌在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，≌5BD=根据折叠的性质可知，'AM AM=≌EF∥BD≌'1 2AE AM AD AA==≌1 42 AE=≌2AE=当A'落在BC上时，如下图：≌//,90,EF BD AND BAD ADN ADN ∠=∠=︒∠=∠ ≌AND BAD≌DN ADAD BD= ≌16169,5555DN AN ==-= ≌'A N BNAN DN= ≌'2720A N =≌'AM AM =≌'125A N MN MN +=- ≌2140MN =≌158AM =≌15758124965AE AM AN === ≌7525248AE == 故答案为：2或258．【小结】本题考查的知识点是矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定及性质，考查的范围较广，但难度不大，根据题意画出示意图是解此题的关键．5．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级期中）如图，ABC 中，点D 在AC 边上，且1902BDC ABD ∠=+∠．（1）求证：DB AB =；（2）点E 在BC 边上，连接AE 交BD 于点F ，且AFD ABC ∠=∠，BE CD =，求ACB ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若16BC =，ABF 的周长等于30，求AF 的长．【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出A BDA ∠=∠，证得DB AB =；（2）作CH ＝BE ，连接DH ，根据角的数量关系证得EAC C ∠=∠，再由三角形全等判定得△BDH ≌△ABE ，最后推出△DCH 为等边三角形，即可得出ACB ∠＝60°；（3）借助辅助线AO ⊥CE ，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE ∽△BDH ，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF 的值．【解析】（1）证明：≌∠BDC ＝90°＋12∠ABD ，∠BDC =∠ABD +∠A ， ≌ ∠A ＝90°－12∠ABD ． ≌∠BDC ＋∠BDA ＝180°， ≌∠BDA ＝180°－∠BDC ＝90°－12∠ABD ． ≌ ∠A ＝∠BDA ＝90°－12∠ABD ． ≌DB ＝AB ．（2）如图1，作CH ＝BE ，连接DH ，≌∠AFD ＝∠ABC ，∠AFD ＝∠ABD ＋∠BAE ，∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC ，≌∠BAE ＝∠DBC ．≌由（1）知，∠BAD ＝∠BDA ，又≌∠EAC ＝∠BAD －∠BAE ，∠C ＝∠ADB －∠DBC ，≌∠CAE ＝∠C ．≌AE ＝CE ．≌BE ＝CH ，≌BE ＋EH ＝CH ＋EH ，即BH ＝CE ＝AE ．≌AB ＝BD ，≌△BDH ≌△ABE ．≌BE ＝DH ．≌BE ＝CD ，≌CH ＝DH ＝CD ．≌△DCH 为等边三角形．≌∠ACB ＝60°．（3）如图2，过点A 作AO ⊥CE ，垂足为O ．≌DH ∥AE ，≌∠CAE ＝∠CDH ＝60°，∠AEC ＝∠DHC ＝60°．≌△ACE 是等边三角形．设AC ＝CE ＝AE ＝x ，则BE ＝16－x ，≌DH ∥AE ，≌△BFE ∽△BDH ． ≌16BF BE EF x BD BH DH x-===． ≌1616x x BF BD AB x x --==， ()21616x x EF DH x x --==．≌△ABF 的周长等于30，即AB ＋BF ＋AF ＝AB ＋16x AB x -＋x －()216x x-=30，解得AB ＝16－8x ．在Rt △ACO 中，AC ＝2x ，AO ＝2，≌BO ＝16－2x ． 在Rt △ABO 中，AO 2＋BO 2＝AB 2， 即2221616428x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（微信公众号：数学三剑客）．解得10x =（舍去）225621x = ≌AC ＝25621，≌AF ＝11 【小结】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．6．（2019·威远县凤翔中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别为A (4，0)、B (4，3)，动点M 、N 分别从点O 、B 同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动)，过点N 作//NP AB 交AC 于点P ，连结M P ．（1）直接写出OA 、AB 的长度；（2）试说明CPN CAB ~；（3）在两点的运动过程中，求MPA △的面积S 与运动的时间t 的函数关系式，并求出32S =时，运动时间t 的值．【分析】（1）根据点A 、B 的坐标即可得；（2）先根据平行线的性质可得,CPN CAB CNP CBA ∠=∠∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得；（3）先根据矩形的性质、线段的和差可得4,AM CN t AB OA ==-⊥，再根据相似三角形的性质可得=PN CN AB CB ，从而可得334PN t =-，由此可得MPA △的A M 边上的高为3t 4，然后利用三角形的面积公式可得S 与t 的函数关系式，最后解一元二次方程可得t 的值． 【解析】（1）(4,0),(4,3)A B ，4,3OA AB ∴==； （2）//NP AB ，≌,CPN CAB CNP CBA ∠=∠∠=∠，≌CPN CAB ~；（3）由题意得：OM BN t ==，且04t ≤≤，则4AM OA OM t =-=-，四边形OABC 是矩形，4,BC OA AB OA ∴==⊥，4CN BC BN t ∴=-=-，≌CPN CAB ~， ≌=PN CN AB CB ，即434PN t =-，解得334PN t =-， //NP AB ，NP OA ∴⊥，MPA ∴的A M 边上的高为333344t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ()14342S t t ∴=-⋅， 即()2330482S t t t =-+≤≤， 当32S =时，2333822t t -+=，解得12 2t t ==， 故t 的值为2．【小结】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函数的自变量等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。
初中数学经典相似三角形专题(附参考答案)
经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD 于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠A BC= _________ °，BC=_________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N 从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC 上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A 运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A 出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q 自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA 的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．BC==22、，可得BC=∵BC=EC=；∴，∴8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．面积的面积的则有：（×3×6，即面积的因此有①，或t=（t=t=都符合题意，同时出发后，经过秒或9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．P=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．CE=．AE=∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=∴．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．∴QM=PM=AB=12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．∴CM=MD=∴PC=BC=AD=∴．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．（AB=∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=∴t=t=时，△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=，，，＞∴t=t=14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？时，有：；时，有：∴经过15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．=，即=，解得对应时，有=，即=16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解：∵AC=∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：时，有=，∴AB==3时，有=，∴AB=．317．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．a①若△CDM∽△MAN，则=∴AN=②若△CDM∽△NAM，则AN=18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？或）当，∴x=；）当，∴x=．所以，经过秒或19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．∴=，∴=，∴=，∴=，∴=，∴AP=．AP=时，由BP=，∴=，、20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．∴∴中有21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．所以所以；=，即=，；=，即=，t=时，以点22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？∴，23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．∴∴，∴．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）∴，即与①类似得：∴∴，与①类似得：，∴，∴MN=r（25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有∴∴26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．∵∴∴解得：．∴，，即．∴同理可得：，∴=）可知，即，同理可得：∴，由等比性质得：∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．===∴∴28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．BC=∴==，==，∴BD=CD=；=BE•CD=∴BE==30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．）设=k，。
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三角形相似模型知识框架相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E AB CD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．例题精讲一、沙漏模型【例 1】 四边形ABCD 被AC 和DB 分成甲乙丙丁4个三角形，已知BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,问：丙、丁两个三角形之和是甲乙两个三角形面积之和的多少倍？【考点】沙漏模型 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为AE:CE=BE:DE=1:2，所以AD BC ，即ABCD 为梯形，并且三角形AED 与三角形BEC相似。
因此:::1:2:2:4∆∆∆∆=AED AEB CED CEB S S S S 。
故():()(22):(41)4:5S S S S ++=++=乙甲丙丁【答案】54。
【巩固】 梯形ABCD 的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米。
则整个梯形的面积为多少？【考点】沙漏模型 【难度】1星 【题型】解答【解析】 同上题，△AOD 与△BOC 形状相同，大小成比例，这个比例为：AD ：BC ＝1：3，所以它们的面积比为1：9。
而△AOB 的面积则是二者之间的过渡量，即比例中的3份。
把△AOB 的面积看成3份，那么1份是：12÷3＝4（平方厘米）。
这样△AOD 、△BOC 和△COD 的面积分别是1份、9份、3份；梯形ABCD 的面积为：4×（3＋1＋9＋3）＝64（平方厘米）。
【答案】64平方厘米。
【例 2】 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC 的长度是多少? 【考点】沙漏模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一：因为有CB 平行与DA 。
有EB FB EA DA =,有4102416EB FB DA EA =⨯=⨯=+,所以CF=CB-FB=10-2=8．方法二：如上图所示，连接DB ，CE ．有DC ：BE=4:l 所以．△DFC 与△FBE 的面积比为16:1，有DCF FBE DBF CEF S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯,又DFB CFE S S ∆∆=所以△DCF ，△FBE ，△DBF ，△CEF 的面积为16:1:4:1，即:16:44:1DCF DFB S S ∆∆==，有△DCF ，△DFB 同高,面积比为底的比，即CF ：BF=4:l ，而CF ，BF 的长度和为10，有4841FC BC =⨯=+ 【答案】8。
【巩固】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且DE ：EC=1:3，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S ∆.【考点】沙漏模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==,因此4CM =,据题意有CE=3，再据沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7，所以()4432442471111ABG ABE S S ∆∆==⨯⨯÷=+.法二：连接AE 、AF ，4224ABF S ∆=⨯÷=,4441232247AEF S ∆=⨯-⨯÷-⨯÷-=，所以()4432442471111ABG ABE S S ∆∆==⨯⨯÷=+. 【答案】3211。
【例 3】 如图ABCD 是梯形，BD 是对角线，E 为BD 上一点，EF 是三角形AED 的高，EG 是三角形BCE的高。
如果三角形ABE 和三角形BCE 的面积分别为6和10平方厘米，EF ：EG=7:4,那么求梯形ABCD 的面积。
G EFABCDO【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为三角形BEG 与三角形DEF 相似，所以BE ︰ED=GE ︰EF=4︰7。
所以三角形AED 的面积=6÷4×7=10.5（平方厘米）所以三角形CED 的面积=10÷4×7=17.5(平方厘米)所以梯形ABCD 的面积=6+10.5+10+17.5=44(平方厘米)【答案】44平方厘米。
【巩固】 如图，△ABC 中AE=14AB ，AD=14AC ，ED 与BC 平行，△EOD 的面积是1平方厘米。
那么△AED 的面积是平方厘米。
ODECB A【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为AE=14AB ，AD=14AC ，ED 与BC 平行，所以ED ︰BC=1︰4,EO ︰OC=1︰4，S △ABC =4S △EOD =4；则S △CDE =4+1=5；又因为S △AED ︰S △CDE =AD ︰DC=1︰3,所以S △AED =5×13=53（平方厘米）。
【答案】53。
【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的面积是12，AD DE 31=，AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是________；【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 利用沙漏定理，AE/BC=AF/CF=2/3，三角形ACD 面积是12/2=6，连接CE ，三角形CED 面积是6/3=2，三角形ACE 面积是4，又AF/CF=2/3，所以CEF 面积是4×3/5=2.4，阴影部分面积为2+2.4=4.4 。
【答案】4.4。
【巩固】 长方形ABCD 的面积是12平方厘米，2AF =FD ，2CE =ED ，G 是BC 的中点．阴影部分的面积是________平方厘米；【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设BD 、FG 交点为O ，BE 、FG 交点为M.CBFADEMO跟根据沙漏定理得到214:323FD DO BG BO ===，先求出三角形BOG 的面积，明显FBG 面积为 1243=，所以BOG 面积为39377⨯=。
三角形BDE 的面积为2643⨯=,我们只要求出三角形BMO 的面积即可。
连接CM ，设三角形BMG 的面积为1份，CMG 为1份，BMC 为2份，根据燕尾定理，21S DE BDM S EC BMC∆∆== ，所以S BMD∆为4份，又43DO BO =，所以312477S BOM ∆=⨯=份，故127S BMO S BMG ∆∆=,912108719133BMO S ∆=⨯=，阴10825=4-=3133133S 。
【答案】253133。
【例 5】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HGFED C B AHGFED C B A【考点】沙漏模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)． 【答案】49.5平方厘米。
【巩固】 已知：如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠A=∠B=90º,AD=3,BC=4,S=△AOD =1,求四边形ABCD的面积。
【考点】沙漏模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为AD BC ，所以三角形AOD 与三角形BOC 相似，所以，2222::3:49:16AOD COB S S AD BC ∆∆===所以COB S ∆=169又因为22169AOB COD AOD COB S S S S ∆∆∆∆==⨯= 所以43AOB COD S S ∆∆==故44164913399AOB COD AOD COB S S S S S ∆∆∆∆=+++=+++=ABCD 【答案】499。
二、金字塔模型【例 6】 如图， △ABC 中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【考点】金字塔模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【答案】::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【考点】金字塔模型 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯= 【答案】10。
【例 7】 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【考点】金字塔模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图中有金字塔模型5个，用于已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PN AP BC AB =,PH BPAD AB=,设正方形的边长为x 毫米，1PN PH AP BP BC AD AB AB +=+=,即112080x x+=，解答48x =，即正方形的边长为48毫米。