初三数学培优第一讲 反比例函数教师版

初三数学培优第一讲 反比例函数1.（2011宁波市）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2x （x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为31)2.（2011湖北荆州）如图，双曲线)0(2 x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 2 .3.（2010湖北孝感） 如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 的面积为矩形，则它的面积为 2 .4.（2011江苏扬州）如图，已知函数xy 3-=与bx ax y +=2（a>0，b>0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程bx ax +2x3+=0的解为 x=-35.（2011湖南衡阳）如图，已知A ，B 两点的坐标分别为A (0，，B (2，0)直线AB 与反比例函数m y x=的图像交与点C 和点D （-1，a ）．(1)求直线AB 和反比例函数的解析式； (2)求∠ACO 的度数；(3)将△OBC 绕点O 逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB ′C ′，当α为多少度时OC ′⊥AB ，并求此时线段AB ′的长．【解】(1)设直线AB 的解析式为y kx b =+，将A (0，)，B (2，0)代入解析式y kx b =+中，得20b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴直线AB的解析式为y =+；将D（-1，a）代入y =+得a =，∴点D 坐标为（-1，D （-1，）代入m y x=中得m =-y =-．(2)解方程组y y x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩得113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，111x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点C 坐标为（3，）， 过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △OMC 中，C M =，3O M =，∴tan 3C M C O M O M∠==，∴30C O M ∠=︒，在Rt △AOB中，tan 2AO ABO O B∠==，∴60A B O ∠=︒，∴∠ACO =30ABO C O E ∠-∠=︒．(3)如图，∵OC ′⊥AB ，∠ACO =30°，∴= ∠COC ′=90°－30°=60°，∠BOB ′=α=60°，∴∠AOB ′=90°－∠BOB ′=30°，∵ ∠OAB =90°－∠ABO =30°， ∴∠AOB ′=∠OAB ， ∴AB ′= OB ′=2．答：当α为60度时OC ′⊥AB ，并求此时线段AB ′的长为2．6.（常州）已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数k y x=图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数k y x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由(1)2(m m -=+ ，得m =-，因此k =．2分（2）如图1，作B E x ⊥轴，E 为垂足，则3C E =，B E =，BC =，因此30BC E =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此C A x ⊥轴，从而120AC B = ∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意．3分当B C 为底时，过点A 作B C 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30D A F = ∠，设11(0)D F m m =>，则1AF =，12A D m =，由点(1A --，，得点11(1)D m -+-，．因此11(1)()m -+-=解之得1m =10m =舍去），因此点63D ⎛ ⎝⎭．5分如图2，当A B 为底时，过点C 作A B 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30C AB = ∠，从而150A C D = ∠．作D H x ⊥轴，H 为垂足， 则60D C H = ∠，设22(0)C H m m =>，则2D H =，22C D m =由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此22(1)m -+=．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ．此时4C D =，与A B 的长度不相等，故四边形A B D C 是梯形．7分如图3，当过点C 作A B 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时， 同理可得，点(2D --，，四边形A B C D 是梯形．9分图1图2综上所述，函数y =图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D的坐标为：6D ⎛⎝⎭或(1D或(2D --，．10分7.（福州）如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A B ，两点，且点A的横坐标为4．（1）求k 的值； （2）若双曲线(0)k y k x=>上一点C 的纵坐标为8，求A O C △的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解：(1)∵点A 横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .∴ 点A 的坐标为（ 4，2 ）.∵ 点A是直线 与双曲线 （k>0）的交点 , ∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图12-1，图12图3x y 21xy 8=∵ 点C 在双曲线上，y= 8时，x = 1∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON . S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 . S △AOC = S 矩形ONDM - S △ONC - S △CDA - S △OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图12-2，过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线8y x=上，当y = 8时，x = 1 .∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点C 、A 都在双曲线8y x=上 ,∴ S △COE = S △AOF = 4 。

∴ S △COE + S 梯形CEFA = S △COA + S △AOF . ∴ S △COA = S 梯形CEFA . ∵ S 梯形CEFA = 12×（2+8）×3 = 15 ,∴ S △COA = 15 .（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形 , ∴ OP=OQ ，OA=OB .∴ 四边形APBQ 是平行四边形 .∴ S △POA = S 平行四边形APBQ =×24 = 6 . 4141设点P 的横坐标为m （m > 0且4m ≠）, 得P ( m , ) .过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点P 、A 在双曲线上，∴S △POE = S △AOF = 4 . 若0＜m ＜4，如图12-3， ∵ S △POE + S 梯形PEFA = S △POA + S △AOF , ∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 . ∴18(2)(4)62m m+⋅-=.解得m = 2，m = - 8(舍去) .∴ P （2，4）. 若 m ＞ 4，如图12-4， ∵ S △AOF + S 梯形AFEP = S △AOP + S △POE , ∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 . ∴18(2)(4)62m m+⋅-=，解得m = 8，m = - 2 (舍去) . ∴ P （8，1）.∴ 点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）.8.（2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =xk 相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（-2，-2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．m 8（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．【答案】（1）把点B （-2，-2）的坐标，代入y =xk ，得：-2=2-k ，∴k =4．即双曲线的解析式为：y =x4 ．设A 点的坐标为（m ，n ）。

∵A 点在双曲线上，∴mn =4．…① 又∵tan ∠AOx =4，∴nm =4， 即m =4n ．…②又①，②，得：n 2=1,∴n =±1.∵A 点在第一象限，∴n =1,m =4 ， ∴A 点的坐标为（1，4） 把A 、B 点的坐标代入y=ax 2+b x ，得：⎩⎨⎧-=-+=ba b a 242,4解得a =1，b =3；∴抛物线的解析式为：y=x 2+3x ；（2）∵AC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标y =4， 代入y=x 2+3x ，得方程x 2+3x-4=0，解得x 1=-4，x 2=1（舍去）． ∴C 点的坐标为（-4，4），且AC =5， 又△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积=21×5×6=15 ；（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积.过点C 作CD ∥AB 交抛物线于另一点D ．因为直线AB 相应的一次函数是：y =2x +2，且C 点的坐标为（-4，4），CD ∥AB ， 所以直线CD 相应的一次函数是：y =2x +12.解方程组⎩⎨⎧+=+=,122,32x y x x y 得⎩⎨⎧==,18,3y x 所以点D 的坐标是（3，18）（2011浙江金华，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = kx ，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是.（2）设P（t，0）当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是.【答案】（1）（4，0）；（2）4≤t≤25或－25≤t≤－4。