中学趣味数学：表面涂漆的小积木的块数

中学趣味数学：表面涂漆的小积木的块数
一块表面涂着红漆的大积木（正方体），被锯成8块大小一样的小积木，则如图1，这些小积木的三面漆有红漆，另外三面没有漆。

图1
如果这块大积木被锯成27块大小一样的小积木，那么，这些小积木中，
（1）三面涂漆的有几块？
（2）两面涂漆的有几块？
（3）一面涂漆的有几块？
这时，就不能再用把积木锯开的办法来回答问题了。

但只需认真观察一下，你就能发现，把正方体锯开以后，只有位于正方体八个角上的那些小积木，是三面涂漆的。

也就是说，三面涂漆的小积木的块数，等于正方体的顶点数，有8块；两图涂漆的那些小积木，位于正方体的两个面的交界处，但不在正方体的角上（即顶点处）。

如图2中，在棱AD上。

那块涂有阴影的小积木，就是两面涂漆的。

因此，只需首先确定正方体的某条棱上出现的两面涂漆的小积木的块数，而正方体有12条棱。

于是，立即可以求得，两面涂漆的小积木的块数为
1块12=12块；
图2
一面涂漆的小积木，位于正方体每个面的中心部位。

即不在正方体的顶点处，也不在棱上。

如图2中，在面，那个以EFGH 为一个面的小积木。

因此，只需首先确定正方体的某一个面上出现的一面涂漆的小积木的块数，而正方体有6个面。

于是可得，一面涂漆的小积木的块数为
1块6=6块。

通过观察，找出解决问题的规律，是学习数学的重要任务之一。

这样，就能运用数学知识迅速而又有效地解决实际问题。

根据上面归纳出来的分析方法，即使把这个正方体锯成更多的小积木，我们也能轻松地回答类似的问题。

例如，我们进一步提出：如果把这个正方体锯成64块大小一样的小积木，那么，三面涂漆、两面涂漆和一面涂漆的小积木各有多少块？
显然，三面涂漆的仍然只有8块；
因为，如图3，在棱AD上，两面涂漆的小积木有两块，所以共有两面涂漆的小积木
212=24块；
图3
类似地，从图3中可以看出，面ABCD的中心部位有4个小正方形，它们既不在正方体的棱上，也不在顶点处（图上阴影部分）。

因而，在这个面上相应地可以得到4个只有一面涂漆的小积木。

所以，一面涂漆的小积木共有
46=24块。

想一想，如果把这个正方体锯成的小积木的块数更多一些（如125块），你能算出涂漆面数不同的小积木的块数各是多少吗？。