17.1.4勾股定理4
勾股定理4
树人学校数学学科教师备课活页（八年级）课题：勾股定理第4课时备课人：时间：预习目标：1．能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理；2．能准确的找出斜边是无理数，两条直角边是正整数的直角三角形。
3．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；4．体会勾股定理在数学中的地位和作用.学习重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段．一、前预习：课本P27---28 二、后预习：多媒体出示预习目标（5分钟）活动一（5分钟）活动二(10分钟)活动三(10分钟)四、反馈：活动四(10分钟)活动五(5分钟)活动二:课件展示,出示问题,小组讨论,动手操作,总结答案,分组展示. 活动一：知识回顾1.已知直角三角形ABC的三边为a、b、c ，∠C＝90°，则a、b、c 三者之间的关是；2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边长是；3. 受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？4.叫做无理数.活动二:问题探究数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示3的点吗？分析引导：（1）你能画出长为2的线段吗？怎么画？说说你的画法.（2）长是13的线段怎么画？是由直角边长为_____和______(整数)组成的直角三角形的斜边.（3）怎样在数轴上画出表示13的点？画法:1、设原点为O，在数轴上找到点A，使OA=3；2、过A点作直线L垂直于OA,在L上截取AB=2;3、以O为圆心,以OB为半径画弧,交数轴于点C,点C即表示13的点。
变式训练利用勾股定理可以得到长为2，3，5……的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示2，3，5……的点。
尝试应用1 .利用探究的方法，请你在数轴上表示10的点．2 .如图所示，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
根据例题的思路,学生自主练习,组长点评,找出易错点.活动三:学生自主练习,教师展示答案,学生点评.活动四:学生自主练习,组长点评,查漏补缺. 活动三:课堂练习1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．2 ．长为26的线段是直角边长为正整数、的直角三角形的斜边。
17.1.4 勾股定理最短路径问题
a b c .
2 2 2
2 2
a
C
2 2 2
c
b
2
A
a c b
b c a
c a b
二、解决问题
• 问题1. 有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等 于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点 A爬到点B ,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 ?
O B
A
O'
二、解决问题
A B
• 问题2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对 的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
展开图： 20 A 3 A 20 2 3
2
3 2 3 C
2 B
B
二、解决问题
• 问题 3. 如图，长方体的长为 15cm ，宽为 10cm ，高为 20cm ，点B 离点 C 5cm, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的 表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
二、解决问题
• 归纳小结：
• 曲面上的最短路径问题，一般均可通过展开曲面 从而转化成平面上的最短路径问题，我们要通过勾股 定理来求出未知线段，需要构造直角三角形。所以在 剪开圆柱侧面时，要沿垂直于底面的线剪，这样就得
到了长方形，利用直角来构造直角三角形。
O
O B B
A
O'
A O'
C
A
二、解决问题
最短路程是蚂蚁沿圆柱侧面爬行的15曲面上的最短路径问题一般均可通过展开曲面从而转化成平面上的最短路径问题我们要通过勾股定理来求出未知线段需要构造直角三角形
人教版初二数学下册17.1.4勾股定理
17.1.4勾股定理教案商丘市回民中学李冰17.1.4勾股定理一、教学内容：利用勾股定理在数轴上能画出表示无理数的点二、教学目标：1. 掌握勾股定理，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想.2. 通过学生实践操作，培养学生的探究能力、画图能力和解决问题的能力3. 体验学习数学的乐趣，形成积极参与数学活动的意识，再一次感受勾股定理的应用价值.三、教学重难点：重点：运用勾股定理解决数学中的实际问题.难点：勾股定理的灵活运用.四、教学方法：“探究式”教学方法五、教学准备：三角尺、圆规和PPT六、教学设计：（一）知识回顾：1. 已知直角三角形ABC的三边为a、b、c, / C =90，贝y a、b、c三者之间的关示疋______________________ ?2. 若一个直角三角形两条直角边长是3和2,那么第三条边长是________________ ;3. __________________________________ 叫做无理数.【答案：1. a2b^c2；2. . 13 ；3.无限不循环小数】（二）问题思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？请同学们先画出图形，，再写出已知、求证过程.师生共同探究：已知：如教材图17.1-9，在Rt ABC和Rt A'B'C'中，C = C'=90 ,AB 二A'B',AC 二AC.求证：ABC 也A'B'C'教材图17.1 —-9证明：在 RtAABC 和 RUA'B'C'中，N C=NC'=90：根据勾股定理，得 BC = AB 2 - AC 2 ,B'C'= •、A'B'2—A'C'2,又 AB =A'B', AC = ACBC=BC在 Rt ABC 和 Rt A'B'C'中,AB 二 A'B'』AC =ACBC =BCABC 也. A'B'C'(SSS)思考：还有没有别的判定方法？ (三) 问题探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数， 有的表示无理数，你能在数轴上画出表示・.13的点吗？分析： 如果能画出长为■. 13的线段，就能在数轴上画出表示 ■. 13的点.容易知道，长为..2的线段是两条直角边的长都为 1的直角三角形的斜边.长为• 13的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数 2,3的直角三角形的斜边长为.13.由■>教材图17.1 —10作法：(1) 如教材图17.1-10所示，在数轴上找出表示3的点A ,则OA = 3;(2) 过点A 作直线I 垂直于OA ,在I 上取点B ,使AB =2 ;⑶ 以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧于与数轴的交点 C ，即表示 13的点.此可以依照如下方法，在数轴上画出.13的点.利用勾股定理，你能作出长为.2、 3、•: 5...的线段吗?教材图17.1-12建议：教师在黑板上（或者利用多媒体） 演示在数轴上画出相应的点的画图过程， 以加深学生的画图印象.（四）巩固练习：1. 利用探究的方法，请你在数轴上画出表示.10的点.2. 如图所示，ACB =/ABD =90 , CA=CB , DAB =30 , AD =8,求 AC分析:vQ 2f =l 2+12,(怎2=(忑2+12, (45)=12+22,...则利用勾股定理可以作出长为 、.2、,3、, 5，...的线段（教材 17.1-11）yio教材图17.1-11按照同样的方法，可以在数轴上画出表示 、..1、 ,2、-. 3、...4、 ■, 5，...的点（教材图 17.1-12).问题: 023耳的长度•3.如图所示，矩形ABCD中，AB=3, AD=1, AB在数轴上，若以A为圆心，以对角线AC长为半径画弧交数轴正半轴于M点，则M点表示的数为建议：先分析，再做题.（五）课堂小结：1. 本节课你对勾股定理又有了多少新的认识？2. 预习时的疑难问题解决了吗？（六）作业布置：必做题：教材第29页习题17.1第11、12题.选做题：教材习题17.1第14题.。
(完整版)17.1勾股定理
17．1 勾股定理（1）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理． 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明． 2．难点：勾股定理的证明．3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要．在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志．水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积．几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具．本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明．其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变． 三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．例2（补充）使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．进一步让学生确信勾股定理的正确性． 四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．让学生画一个直角边为3 cm 和4 cm 的Rt △ABC ，用刻度尺量出斜边AB 的长．以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．再画一个两直角边为5和12的Rt △ABC ，用刻度尺量斜边AB 的长．你是否发现32+42和52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例1 （补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ． 求证：a 2＋b 2=c 2．分析：⑴让学生准备多个三角形模型，拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正，则 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证．A B⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．⑷勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ． 求证：a 2＋b 2=c 2． 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等． 左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即 4×21ab ＋c 2=（a+b ）2，化简可证．六、课堂练习1．勾股定理的具体内容是： ． 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： ．3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°；若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B是 角．4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理．七、课后练习1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= ．（已知a 、b ，求c ） ⑵a= ．（已知b 、c ，求a ） ⑶b= ．（已知a 、c ，求b ）2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来．bbbbaa AB b E B3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直．4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上． 求证：⑴AD 2－AB 2=BD·CD⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论．参考答案六、课堂练习1．略.2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=21AB ；⑶AC=21AB ；⑷AC 2+BC 2=AB 2． 3．∠B ，钝角，锐角；4．提示：因为S 梯形ABCD = S △ABE + S △BCE + S △EDA ，又因为S 梯形ACDG =21（a+b ）2， S △BCE = S △EDA =21 ab ，S △ABE =21c 2, 21（a+b ）2=2×21 ab ＋21c 2． 七、课后练习1．⑴c=22a b -；⑵a=22c b -；⑶b=22a c +2．⎩⎨⎧+==+1222b c c b a ；则b=212-a ，c=212+a ；当a=19时，b=180，c=181．3．5秒或10秒．4．提示：过A 作AE ⊥BC 于E ．D CB17．1 勾股定理（2）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算．2．树立数形结合的思想、分类讨论思想．二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算．2．难点：勾股定理的灵活运用．3．难点的突破方法：⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用．⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力.⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．⑷优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．三、例题的意图分析例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边．例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力．四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形．学习勾股定理重在应用．五、例习题分析例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c．⑵已知a=1,c=2, 求b．⑶已知c=17,b=8, 求a．⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a．⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c．分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式．⑷⑸已知一边和两边比，求未知边．通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm ．⑴求等边△ABC 的高．⑵求S △ABC ．分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法．欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解． 六、课堂练习1．⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ． ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= ． ⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= ．⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 ． ⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 ． 2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长．3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积． 七、课后练习1．在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= ． ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= ． ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= ． ⑷如果c=10，a-b=2，则b= ．⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= ． ⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= ．2．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ， AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长．参考答案六、课堂练习 1．17；7； 6，8； 6，8，10； 4或34； 3，3；2．8； 3．48． 七、课后练习1．24； 43； 32； 6； 12； 10； 2．332.DBA ABB17．1 勾股定理（3）一、教学目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题．2．树立数形结合的思想．二、重点、难点1．重点：勾股定理的应用．2．难点：实际问题向数学问题的转化．3．难点的突破方法：数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性．三、例题的意图分析例1（教科书例1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题．例2（教科书例2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其他两边的变化．四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用．勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试．五、例习题分析例1 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角．⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法．⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣．例2 分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB．⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD．则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC．⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD．A BC六、课堂练习 1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米．2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米．2题图 3题图 4题图3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 ．4．如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ 七、课后练习 1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 ．2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米． 3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米．4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度．（精确到1米）参考答案六、课堂练习1．2250； 2．6， 32； 3．18米； 4．11600. 七、课后练习 1．350米； 2．22； 3．20； 4．83米，48米，32米.ACB Q ABDEF17．1 勾股定理（4）一、教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题． 2．树立数形结合的思想． 二、重点、难点1．重点：勾股定理的综合应用． 2．难点：勾股定理的综合应用． 3．难点的突破方法：⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．三、例题的意图分析例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及 30°或45°特殊角的特殊性质等．例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角．让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．使学生清楚作辅助线不能破坏已知角．例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．在转化的过程中注意条件的合理运用．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力．例4 让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论． 四、课堂引入复习勾股定理的内容．本节课探究勾股定理的综合应用． 五、例习题分析例1（补充）已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长．分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等．要求学生能够自己画图，并正确标图．引导学生分析：欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1．或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6．C D例2（补充）已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？分析：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°．在学生充分思考和讨论后，发现添置AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD ，CD ，BD ，AB ，BC 及S △ABC ．让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．并指出如何作辅助线？ 解略．例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2．求：四边形ABCD 的面积．分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连接AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单．教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会．解：延长AD ，BC 交于点E ． ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°． ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4.∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34．∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32． ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36. 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差． 例4 在数轴上画出表示13的点.分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论．变式训练：在数轴上画出表示22,13--的点．六、课堂练习1．△ABC 中，AB=AC=25 cm ，高AD=20 cm ，则BC= ，S △ABC = ． 2．△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，BC= ，S △ABC = ． 3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ，S △ABC = ．4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S △ABC ． C ADBCC七、课后练习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB= ． 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a= ，b= ． 3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC ． 4．在数轴上画出表示－52,5 的点．参考答案六、课堂练习1．30cm ，300cm 2； 2．90，60，30，4，32； 3．2，3，3，1，32；4．作BD ⊥AC 于D ，设AD=x ，则CD=17-x ，252-x 2=262-（17-x ）2，x=7，BD=24， S △ABC =21AC·BD=254. 七、课后练习 1．4； 2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=32，BC=2+32，S △ABC = =2+32； 4．略．C。
勾股定理141勾股定理4反证法课件42
知1－讲
知1－练
1 求证:在一个三角形中，如果两条边不相等，那 么它们所对的角也不相等.
2 假设命题结论的
成立，经过正确的
________，引出________，因此说明假设不成立，
从而证明
成立，这样的证明方法叫
________；其思维方法是________．
知1－练
3 反证法的一般步骤： (1)假设命题的________不成立； (2)从提出的假设出发，结合已知条件，根据已学过 的定义、定理、基本事实推出与已知条件或已学 过的定义、定理、基本事实等相______的结果； (3)由________判定假设不成立，从而肯定原命题的 结论正确．
少”“至多”等肯定或否定的表述时，若直接证明 较困难，可考虑用反证法，而对于文字的表述题， 可先转化为数学语言表述，再用反证法证明；(2)分 析例题结论反面时，要做到不重复、不遗漏，如本 例中的“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”， 而“不是锐角”有两层意思：是直角、是钝角，因 此可分为两类：直角、钝角．
我们同样可以用反证法证明它是一个真命题.
知1－讲
例1 求证:两条直线相交只有一个交点. 已知:两条相交直线l1与l2. 求证: l1与l2只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出 发，经过 推理，得出结论“ l1与l2只有一个交点”是很困 难的，因此可以考虑用反证法.
《17.1.4勾股定理》教学设计 (2)
《17.1.4勾股定理习题课》教学设计1、教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级下册第17章第一节勾股定理第4课时复习课。
2.设计理念本设计以“活动----参与”教学法为主，辅之小组合作、交流讨论。
以问题为主线，练习为核心，活动为载体，从学生已有的生活经验和认知基础出发，引导其经历探索勾股定理及应用的全过程，激发学生的学习热情，更好地理解勾股定理应用价值，逐步树立科学探索精神。
体现“人人学有价值数学、不同的人在数学中得到不同发展”的新课程理念。
整个数学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，充分利用现代信息技术的直观、动态功能，丰富教学可视性材料，增大课堂容量，优化教学结构，实现课堂教学效果最优化。
3.知识背景分析本章所研究的是勾股定理，勾股定理是数学中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，他可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在教学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用。
本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理。
由于勾股定理反映的是一个直角三角形三边之间的关系，它也是直角三角形的一条重要性质。
同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足a2 +b2=c2），它把形与数密切的联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
本节课是勾股定理的第4课时，要求学生能熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决数学问题和现实世界的实际问题。
4.学情背景分析教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经初步掌握了勾股定理的知识，通过本节的学习使学生能熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决现实世界的实际问题。
鉴于学生的知识基础和学习方法的积累本节课以学生练习与合作探究为主，教师根据反馈信息进行指导、点评。
人教版八年级下册 课件 17.1 勾股定理(共46张PPT)
b c b c b cb c
a
a
a
a
勾股定理的证明方法很多，这里重点的介绍面积 证法。
勾股定理的证法（一）
∵( a+b)2=c2+4 ab a2+b2=c2
勾股定理的证法（二）
∵4× ab= c2－(b－a)2 a2+b2=c2
• 学习目标： 1．能运用勾股定理求线段的长度，并解决一些简单的实 际问题； 2．在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能 从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长．
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形， 把两个正方形如图（左）连在一起，通过剪、拼把它拼成 图（右）的样子。你能做到吗？试试看。
b
a
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
练习2 求下列直角三角形中未知边的长度．
C
A
4
x
5
A
10
C
6
B
x
B
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
通过解方程可得．
B
C
A
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
利用勾股定理解决实际问题 的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的 正确理解；
（2）建立对应的数学模型， 运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运 用．
B
C
A
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端 3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计 算树折断前的高度吗？
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》教学设计4
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》教学设计4一. 教材分析《勾股定理》是人教版数学八年级下册第17.1节的内容，它是初等数学中的一个重要定理，也是解决直角三角形相关问题的基础。
本节课的内容主要包括勾股定理的证明、应用以及相关的历史背景。
通过学习本节课，学生能够了解并掌握勾股定理，提高解决几何问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、直角三角形的边角关系等基础知识。
但勾股定理的证明和应用还需要学生具备一定的逻辑思维能力和空间想象力。
对于八年级的学生来说，他们对新鲜事物充满好奇，但同时也可能存在一定的恐惧心理。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的心理变化，激发他们的学习兴趣。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的内容、证明方法和应用。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等过程，培养学生解决几何问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、合作交流的精神。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明和应用。
2.难点：勾股定理的证明方法的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，自主探究，培养解决问题的能力。
3.合作交流法：鼓励学生与他人合作，共同探讨问题，提高沟通与合作能力。
4.案例教学法：通过分析实际案例，使学生更好地理解和掌握勾股定理。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
2.学具：笔记本、尺子、圆规、直角三角板等。
3.教学资源：与勾股定理相关的图片、视频、案例等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示勾股定理的历史背景，如古代中国的赵爽弦图、古希腊的毕达哥拉斯等。
引导学生思考：为什么勾股定理如此重要？激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍勾股定理的定义：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
并通过多媒体展示一些实际的勾股定理的应用案例，让学生初步了解勾股定理的应用。
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1
C A1 E
B
F
D
G
A
拓展训练
△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若 ∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则 a2+b2=c2 。若△ABC不是直角三角形，如图 （2）和（3），请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2 与c2的关系，并证明你的结论。 A A A
1 1 1 3x 5x 3 4 2 2 2
D
8 x 12
4
3 x 2
C
2
1 1 3 (4 x ) 5 x 2 2 3 12 3 x 5 x x 2
3
A x
3
x
E5
3 B
G
4
4-x
例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8， 先把它对折，折痕为EF，展开后再沿 BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二
周长的一半
2
O
蛋糕
B
C
６
B
8
A
８
A
变式 : 如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径 2cm, 一只蚂蚁从 点 A 绕圆柱面一圈到点 B 处吃食 , 要爬行的最短路程 ( 取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
绕3圈呢？
B
2
O
C
６
8
A
８
A
展开思想
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展 开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
5
C
B
20
15
A
10
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10 20
5
B C
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10
B 5 C
4: 如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径 2cm, 一只蚂蚁从点 A 爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是 ( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
b
C
x
c
a
B D
数学活动
（2）如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为 端点,你能画出几种斜边长为 10 的直角三 角形? （全等三角形只算一个）
A
数学活动
（3）如图为4×4的正方形网格,三个顶点都在 格点上的直角三角形共有多少个？（全等三角 形只算一个）
C C
A
B A
C B
A B
10个
2个
5个
b
c
BC
b
c
b
c
a B C （3）
a C （1）
a B （2）
证明: 如图，过点A作AD⊥BC于点D 设CD=x，则有BD=a-x． 根据勾股定理，得 b2-x2=AD2=c2-(a-x)2 即 b2-x2=c2-a2+2ax-x2
猜想：a2+b2> c2
A b c
∴a2+ b2= c2+2ax
∵a>0，x>0， ∴2ax>0 ∴ a +b > c ．
如图,在⊿ABC中,AD⊥BC, 试说明AB2+DC2=BD2+AC2
A
BDCຫໍສະໝຸດ 如图 ,在Rt⊿ABC中, ∠C=900,AM是中线, MN⊥AB垂足为N,试说明AN2-BN2=AC2
C M B
A
N
再 见
探究3:
长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处， 已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
Ａ
A
２０
20
2 3
Ｃ 3 ２ 3 2
B
3
∵ AB2=AC2+BC2=625, ∴ AB=25.
2 Ｂ
探究&交流
3.如图,长方体的高为3cm,底面是边长为2cm的 正方形.现有一小虫从顶点A出发,沿长方体表面 到达顶点C,小虫走的路程最短为____厘米.
A A
3
2 A 2 2 C 3
C
2
C
变式： 如图，长方体 的长为 15 cm ，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离 点C 5 cm,一只蚂蚁如果 要沿着长方体的表面从 点 A爬到点B，需要爬行 的最短距离是多少？
A
B
D
A 12-x 8 13 x D1 12 E 5 x C D5 C D5 C A
5.如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片， 使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm， BC=6cm,你能求出CE的长吗？
x 2 62 (10 x )2
B
D
x 2 36 100 20 x x 2
1.5米 1.5米 1.5米
2.2米
1.5米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B点最短路程是多少？
20 x 100 36
解得x 3.2
A
10-x 6
E
10-x
x
10
C
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
二、分类思想
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做 定理。 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，则 ａ2 +b2 =c2 常用的勾股数：3，4，5； c
a
C A
B
5，12，13； 7，24，25。 8，15，17； 9，40，41；
2 2 2
C x D a-x B a
证明: 如图，过点B作B D⊥AC于点D 设CD=x，则有BD2=a2-x2 根据勾股定理，得 a2+b2< c2
猜想：
(b+x)2+a2-x2= c2
A
即
a2+b2+2bx= c2
∴a2+ b2= c2-2bx ∵b>0，x>0，
∴2bx>0 2 2 2 a + b < c ∴ ．
A
10 8 17
A
17 8 10
B
D
C
B
C
3.如图，已知D(2,1),在x轴上找到点P,使 ODP为等腰三角形，这样的等腰三角形能画多 少个?写出点P坐标. y
Ｄ
x
P1 Ｏ P3 CP 2 P4
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
C X
5
B X+1
A
3、如图，一块直角三角形的纸片，两直 角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且 与AE重合，求CD的长．
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
4:三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将 AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE， 求三角形ACE的面积
x 2 (4 x )
2 2
2
x 2 4 16 8 x x 2
8 x 12
D 4 C
2
A x 你还能用其他方法求AG的长吗？
3 x 2
3
3
x
E5
3 B
G
4
4-x
练习&3
☞
折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠， 使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求 AG的长。 你还能用其他方法求AG的长吗？
b
一、方程思想
1.如图,铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村 庄,DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km， BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购 站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建 在距A站多少千米处？
2、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题， 原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴 岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？ 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果 把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水 面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
三、展开思想
1.小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长 的吧！ 快点回家， 好用它凉 衣服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2 米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多 少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
2.2米
x
42 (8 x)2 x 2
16 64 16 x x x
2 2
AE EF AF
2
2
解得x 5
A
5 10 5 5
2 2
10 ?