复变函数复习提纲
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲
cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则
c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c
(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为
f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一.填空题1) 复数1+i 的指数形式是ei42π，复数1-i 的指数形式是ei 42π-2)=-38⎪⎭⎫ ⎝⎛+++32sin 32cos 2ππππk k ()2,1,0=k3) cos （i π）=2e eππ+- sin （i π）=2e eππ--4) Lni=i k i k i πππ⎪⎭⎫⎝⎛+=+24122 ),1,0( ±=k 5)21i+ 的主值为()2ln sin 2ln cos 2ln i e +，21i - 的主值为()2ln sin 2ln cos 2ln i e - 6) 设a 为围线C 内部的一点，则=-⎰Caz dzi π2 7) 幂级数∑∞=12n n nz 的收敛半径为 18) 函数ez的泰勒展式为 +++++!!212n z zzn)(+∞<z9) 如果函数()z f w =在区域D 内 可微 则称()z f 为区域D 内的解析函数 10) 柯西积分定理:设()z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析,C 为D 内任一条围线,则()0=⎰Cdz z f11）函数cosz 的泰勒展式为()()∑-∞=02!21n nnn z ()+∞<z12）柯西积分公式:设区域D 的边界是围线（或复围线）C ，()z f 在D 内解析,在C D D +=上 连续，则有 ()()⎰-=ζζζπd zf i z f 21 ()D z ∈二. 证明函数()z z f =在z 平面上任何点都不解析. 证明: ()yx z z f 22+==∴()yx y x u 22,+=()0,=y x v 当()()0,0,≠y x 时yx yx yyu xxu2222,+=∂∂+=∂∂yvx v ∂∂==∂∂0 ∴xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,不能同时成立 ∴ 函数在平面上的任何点都不解析三. 求cosz-1的全部零点，并指出它们的级.解：cosz-1在z 平面上解析.由cosz-1=0得2=+-eeiziz即()1,012==-e e iziz故 πk z 2= () ,1,0±=k 这就是cosz-1在z 平面上的全部零点，全为二级.四. 将函数()()()211--=z z z f 分别在(1)圆z <1;(2)圆环1<z <2内展开成罗朗级数.解: 函数()()()211--=z z z f =1121---z z (1) 在圆z <1内.因,21<<z 即12<z ∴()z n n n z z z f ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=01211212111(2)在圆环1<z <2内.因12,11<<z z ∴()()()211--=z z z f=zz z 111121121----=∑∑∞=-∞=--11011212n n n n nzz z=∑∑∞=∞=+--1112n nn n nzz五.设()()1225--=z zz z f 分别计算(1) ()z f s z 0Re = (2) ()z f s z 1Re =解:不难知道z=0及 z=1分别为函数()()1225--=z zz z f 的一级和二级极点∴()z f s z 0Re ==()221250-=--=z z z∴ ()z f s z 1Re ==22'22511====⎪⎭⎫ ⎝⎛-zz z z z六． 利用残数定理求积分dz zz z⎰=13cos解: 函数()zzz f 3cos =只以z=0为三级极点()z f s z 0Re ==[]21"!21cos 0-==z z ∴dz zz z⎰=13cos =i i ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-212七．求出将单位圆1<z 保形变换成单位圆1<w 的线性变换,并使a z =()0,1≠<a a 变到0=w .解:根据线性变换保对称点的性质,点a 关于单位圆周1=z 的对称点aa1*=,应该变成0=w 关于单位圆周1=w 的对称点∞=w ,因此所求变换具有形式az az kw 1--= 即 az a z w k --=11 其中a k k=1是常数.选择k 1,使得z=1变成单位圆周1=w 上的点,于是1111=--a ak 即11=k因此可令e k i β=1(β是常数),最后得到所求的变换为()11<--=a azaz w ei β的留数。
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数提纲
一）复数的基本知识， 1 复数的3种表示；四则运算；模与幅角； 复数的几何意义（即为向量）； 2 n次方根的公式； 二）解析函数： 1 利用C-R条件判断可导或解析的方法， 包含求导公式。 2 指数函数ez、对数函数Ln(z)和ln(z)、 三角函数sin(z)和cos(z)的求法和性质； 复数幂的定义，如求i1+i
三）积分的计算方法：共6种
1
C
f ( z ) d z f [ z (t )]z(t ) d t.
(3.1.5)
2 柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则它在B内 任何一条封闭曲线C的积分为零:
f ( z) d z 0.
C
(3.2.2)
3 复合闭路定理+常用积分等式
1 f ( z) f ( z0 ) z z0 d z. 2π i C(3.来自.1)6 高阶导数公式
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:
f
(n)
n! f ( z) ( z0 ) d z (n 1,2,) n 1 2π i C ( z z0 ) (3.6.1)
i) f ( z ) d z f ( z ) d z, C与Ck 均取正方向;
C k 1 Ck
n
ii ) f ( z ) d z 0
2π i, n 0, dz |r ( z z0 )n1 0, n 0. | z z0
4 牛顿积分计算公式
其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条 正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.
四）级数
1 收敛圆和收敛半径的计算公式； 比值法，根值法 2 利用间接法求罗朗展开式 灵活利用三种公式： 掌握等比级数、指数函数、三角函数 的展开式公式
复变函数总复习资料
总结词
导数与微分在解决实际问题中具有广泛的应 用。
详细描述
导数与微分的应用包括求函数的极值、判断 函数的单调性、求函数的拐点、近似计算等 。这些应用在物理学、工程学、经济学等领 域都有广泛的应用，如波动方程、热传导方 程、弹性力学等领域的研究都需要用到复变
函数的导数与微分。
04
复变函数的积分
积分的定义与性质
解析性是实变函数的导数的定义基础，因此解析性在实变函数中有 着广泛的应用。
在复变函数中的应用
解析性是复变函数的导数的定义基础，因此解析性在复变函数中有 着广泛的应用。
在物理中的应用
解析性在物理中也有着广泛的应用，例如在电磁学、光学等领域中， 解析性可以帮助我们更好地理解物理现象。
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总结词
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛应用。
详细描述
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在电路分析中，电压和电流可以用复数表示，方便计 算；在信号处理中，复数可以用于表示和处理信号；在量子力学中，波函数通常用复数表示。此外，许多数学问 题也可以通过复数和复变函数得
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等 性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函 数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、 可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、 微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
幂级数的概念与性质
定义
幂级数是无穷多个形如$a_n x^n$的项按照一定的顺 序排列的数列，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
性质
收敛半径，幂级数的展开式，幂级数的加减乘除等。
复变函数前5章知识纲要
复变函数复习第一章1、z=x+iy 中实部为x,虚部为y 而不是yi ；2、2z z z =⋅而不是z z ⋅ 第二章 1、设()()000,(,),,f z u x y iv x y z x iy A a ib =+=+=+，那么0lim ()z z f z A →=的必要与充分条件是00(,)(,)lim (,)x y x y u x y a →=且00(,)(,)lim (,)x y x y v x y b →=。
2．需要知道的例题〔1〕讨论初等函数：sec z ，csc z ，tan z ，cot z ，sh z ，ch z 的连续性。
由于1sec cos z z =1csc sin z z = sin tan cos z z z= cos cot sin zz z = 2z z e e shz --= 2z z e e chz -+=sin ,cos ,,z zz z e e -在整个复平面上连续。
所以，sec ,csc ,tan ,cot z z z z 在分母不为零处连续,,shz chz 在整个复平面上连续〔2〕讨论函数arg z 的连续性设z 0为复平面上任意一点，那么当z 0=0时，arg z 在z 0无定义，故arg z 在z 0＝0处不连续。
当z 0落在负实轴上时，由于arg z ππ-<≤，arg z 在z 从实轴的上方趋于z 0时，arg z 趋于π，在z 从实轴的下方趋于z 0时，arg z 趋于π-.因此arg z 此时不连续。
当z 0为其它情况时，由于00lim arg arg z z z z →=所以arg z 连续。
〔3〕讨论对数函数Ln z 的连续性因为ln ||arg 2(0,1,2,)Lnz z i z k i k π=++=±±⋅⋅⋅,而ln|z|在除原点和负实轴以外处处连续,反以Ln z 的各个分支和其主值函数ln z 在除去原点和负实轴以外的复平面上处处连续. 注:可导的函数一定连续. 3、函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在定义域内一点z x iy =+可导的必要与充分条件是：(,)u x y 和(,)v x y 在点(,)x y 可微，并且在该点满足柯西—黎曼方程,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 注：假设()f z 可导，必须同时满足,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂，只满足其中的一个式子不一定可导！！！4、求导公式：∴'()u v v u u u v v f z i i i i x x y y x y y x∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-=-=+∂∂∂∂∂∂∂∂这个公式可以求()f z . 5、断定()f z 在0z 处是否可导，可根据,,,u u v vx y x y∂∂∂∂∂∂∂∂是否存在来断定，假设不存在肯定不可导。
复变函数论复习提纲
复变函数论复习提纲复变函数论一、复数与复变函数一、要求（一）明确复数、区域、复平面、扩充复平面，逐段光滑曲线等概念。
（二）明确复变函数概念和几何意义，掌握一些简单函数的变换性质。
（三）掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。
（四）熟练掌握复数的有关计算，会作点集的图形。
二、考试内容（一）复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。
（二）平面点集基本概念，曲线（连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线）、区域（单连通区域、复连通区域）、复平面。
（三）复变函数的概念及其几何意义，复变函数的极限与连续性。
（四）无穷远点，扩充复平面。
二、解析函数一、要求（一）掌握导数、解析函数的概念。
（二）掌握C——R条件，并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。
（三）掌握复基本初等函数的定义和基本性质。
（四）掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质，了解根式函数单值解析分支的取法。
二、考试内容（一）导数、解析函数、C——R条件。
（二）初等函数：正整幂函数与根式函数，指数函数与对数函数，三解函数与反三角函数，双曲函数，一般幂函数和一般指数函数。
三、复变函数的积分一、要求（一）明确复积分的概念及其基本性质。
（二）会证柯西积分定理和柯西积分公式；理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。
（三）熟练地掌握复积分的计算方法。
（四）理解刘维尔定理，会证代数基本定理。
（五）掌握解析函数与调和函数的关系。
二、考试内容（一）复积分的概念、基本性质及其计算方法。
（二）柯西积分定理（在f'（z）连续的条件下，用格林公式证明）。
不定积分，复连通区域上的柯西积分定理。
（三）柯西积分公式，解析函数的无限可微性。
（四）柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。
（五）莫勒拉定理。
（六）解析函数与调和函数的关系。
四、解析函数的幂级数表示法一、要求（一）明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。
复变函数复习考试提纲
• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的 办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章 复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复 数的四则运算。
• 欧拉公式 由此可得 以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理 设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章 复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]
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复变函数复习提纲
主要考点：
1、复数的基本运算（重点）：加、减、乘、除、乘方、开方
题型a 、求三角形式、模和幅角、幅角主值。
注意区分幅角和幅角主值。
例如：计算1-i 的三角形式、模、幅角主值。
（1+i ）10的模和幅角。
1+3i 的幅角主值。
题型b 、开方的计算。
大题，必须掌握。
例：计算51
2、根据不等式判断点集形状。
例如：1|1|<-z 的点集所形成的平面图形是什么？圆， 是区域
||||z i z i +>- 所表示的平面区域为什么？上半平面
3、复数的对数计算。
例如：计算Ln （-1）
4、判断复变函数是否解析
例如：判断以下函数是否解析5)(z z f =，)Re()(z z f =
用C-R 条件判断函数的解析性，有大题。
例如：设a 、b 是实数，函数i y bx axy z f )()(22++=在复平面解析. 求出a 、b 的值.
5、柯西定理、柯西积分公式、留数定理计算积分。
题型a, 柯西定理、柯西积分公式
⎰=1||z z
dz z e =
⎰=-2||d 11z z z
如果积分路径内无奇点，则积分结果为0
例：⎰==-1||2)2
(sin z dz z z π0 ⎰=--2||d )
5)(3(z z
z z z e 题型b 用留数定理计算积分
例： z z z z d 1
2||4⎰=- 6、掌握奇点类型的判断，可去奇点、极点需掌握，本性奇点无需掌握。
如： z=0是2
cos 1)(z z z f -= 可去奇点 z=0是 z
z z f s i n )(= 可去奇点 z=0是5
cos 1)(z z z f -= 3阶极点 z=0是 2s i n )(z
z z f = 1阶极点 z=0是 5s i n )(z
z z f = 4阶极点 以上为主要内容，大约占了85%，难度和所举例子相当，需掌握方法，另级数、拉普拉斯变换也有少量考察。