【精品】几何必会模型：截长补短辅助线模型带答案

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中考必会几何模型：截长补短辅助线模型

截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD .证法一，截长法：如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ACD≌△AED ，∴CD＝DE，∠C＝∠3 .∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE＝BE ，∴CD＝BE.∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋CD .证法二，补短法：如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.又∵AE＝AC＋CE，∴∴AB＝AC＋CD .例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO .证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE .∵CD＝CD，DC⊥OA，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠CED .∵∠A＝∠GBD ，∴∠CED＝∠GBD ，∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ，∴∠OED＝∠OBD .∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD .∵OD＝OD，∴△OED≌△OBD ，∴OB＝OE，∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO .跟踪练习1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD .求∠ABC 的度数 .【答案】证法一：补短延长AB 到点E ，使BE ＝BD . 在△BDE 中， ∵BE ＝BD ，∴∠E ＝∠BDE ， ∴∠ABC ＝∠BDE ＋∠E ＝2∠E . 又∵AC ＝AB ＋BD ，∴AC ＝AB ＋BE ，∴AC ＝AE .∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC ＝600， ∴∠EAD ＝∠CAD ＝600÷2＝300 . ∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△ACD ，∴∠E ＝∠C . ∵∠ABC ＝2∠E ，∴∠ABC ＝2∠C . ∵∠BAC ＝600，∴∠ABC ＋∠C ＝1800－600＝1200，∴32∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 . 证法二：在AC 上取一点F ，使AF ＝AB ，连接DF. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠FAD . ∵AD ＝AD ，∴△BAD ≌△FAD ，∴∠B ＝∠AFD ，BD ＝FD .∵AC ＝AB ＋BD ，AC ＝AF ＋FC ∴FD ＝FC ，∴∠FDC ＝∠C . ∵∠AFD ＝∠FDC ＋∠C ， ∴∠B ＝∠FDC ＋∠C ＝2∠C . ∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝1800， ∴32∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 .2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .【答案】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接OF . ∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠OAC ＝∠OAB ＝2BAC Ð，∠OCA ＝∠OCB ＝2ACBÐ， ∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠OCA ＝2BAC ACB??＝600，∴∠AOC＝1800－∠AOE＝1200 .∵AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF＝∠AOE＝600，∴∠COF＝∠AOC－∠AOF＝600，∴∠COF＝∠COD .∵CO＝CO，CE平分∠ACB，∴△COD≌△COF（ASA），∴CD＝CF .∵AC＝AF＋CF，∴AC＝AE＋CD，3. 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .【答案】证法一：截长如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .∵CE＝CE，∠2＝∠DCE ，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC证法二：补短如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠BEF＝∠BEC＝900，∴∠BEF＋∠BEC＝1800，∴C、E、F三点共线 .∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD .∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD .∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD .4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E .求证：AC－AB＝2BE .【答案】延长BE交AC于点M .∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM .∵BE⊥AE，∴BM＝2BE .∵∠ABC＝900，∠C＝300，∴∠BAC＝600.∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE .5. 如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E .求证：AD＝2DF＋CE .【答案】在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG .∵CE⊥AD，∴∠AFC＝900，∠1＋∠ACF＝900.∵∠2＋∠ACF＝900，∴∠1＝∠2 .∵AC＝BC，AG＝CE，∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝450，∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450.∵∠2＝∠1＝12∠BAC＝22.50，∴∠4＝450－∠2＝22.50，∴∠4＝∠2＝22.50.又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF .∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF .6. 如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800.求证：AD平分∠CDE.【答案】如图，延长CB到点F，使BF＝DE，连接AF、AC .∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠2＝∠E .∵AB＝AE，∠2＝∠E，BF＝DE，∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4，AF＝AD .∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即FC＝CD .又∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，∴∠F＝∠3 .∵∠F＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD平分∠CDE .。

初中数学必会的12个几何模型精解精编(222页Word)

中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例题1如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．【解析】证明：如图所示：（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D，在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD．∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD，变式1已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.答案：略例题2已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【解析】在BC上取点G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．变式2已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【解析】AB=BD+CD，理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，∵∠ADB=90°﹣∠BDC，∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．例题3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE【解析】连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE变式3如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．【解析】CN=MN+BM（微信公众号：数学三剑客）证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM例题4在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE=AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是10+4．（直接写出答案）．【解析】（1）AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠F AC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．∵AE=AB+4+DE．∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．故答案为：10+4．例题5在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．【解析】（1）如图1（2）①DF+FH=CA，证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．例题6如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【解析】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．【练习1】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．【解析】如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠ABC=2×40°=80°．【练习2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.【练习3】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．【解析】探究结论：BM+CN=NM．证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在△DCE和△DBM中，∴R t△DCE≌R t△DBM（SAS），∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已经全等）在△DMN和△DEN中，∴△DMN≌△DEN（S A S），∴BM+CN=NM．【练习4】如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DF A=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠F AE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．【解析】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，∴∠DF A=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．∴∠DF A=∠F AB=40°（两直线平行，内错角相等）；∵∠DF A=2∠BAE（已知），∴∠F AB=2∠BAE（等量代换）．即∠F AE+∠BAE=2∠BAE．∴∠F AE=∠BAE；∴2∠F AE=40°，∴∠F AE=20°；（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．∵∠F AE=∠BAE，AE=AE，∴△AEG≌△AEB．∴EG=BE，∠B=∠AGE；又∵E为BC中点，∴CE=BE．∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，∴∠BCF=∠EGF；又∵∠EGC=∠ECG，∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；又∵AG=AB，AB=CD，∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．【练习5】如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在R t△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠F AB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠F AB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠F AB+∠BAM=∠F AM，∴∠F AM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．【练习6】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD=AC．【解析】（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°．∵BC=CD，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．∵AM：CM=1：2，∴AM=，CM=，∴EM=，在R t△BEM中由勾股定理得BM==．过点C作CF⊥BM于点F．∴．∴，∴CF=．即点C到BM的距离．（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，∵AB=AD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠BCD=120°，∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，∴△DCF是等边三角形，∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，∴∠ADC=∠BDF，又∵AD=BD，∴△ACD≌△BDF，∴AC=BF=BC+CF，即AC=BC+CD．【练习7】如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE=2，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠F AB=∠2+∠F AB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，在R t△EAF中，由勾股定理，得EF==2．（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，∴△EAF为等腰直角三角形．∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．∵点P是AB的中点，∴AP=BP．在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，∴MF=BE，∴PF=PM+FM=EP+BE．中考数学几何模型2：共顶点模型共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

专题11 截长补短模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)

专题11 截长补短模型模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。

其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。

图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等【过关练】1．（2022秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB 于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【分析】如图，在上截取连接证明利用全等三角形的性质证明求解再证明从而可得答案．【详解】解：如图，在上截取连接平分故选：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（）A．3B．9C．11D．15【答案】C【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可．【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC =∠EDC，∴CD=CE，∵，，∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．3．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为__．【答案】6【分析】在AD上截取AF=AE，连接BF，易得△ABF≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E，CE=BF，则有∠D=∠DFB，然后根据等腰三角形的性质可求解．【详解】解：在AD上截取AF=AE，连接BF，如图所示：AB=AC，∠FAB=∠EAC，，BF=EC，∠BFA=∠E，∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，∠DFB=∠D，BF=BD，BD=6，CE=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．4．如图，中，平分，，，则的度数为_______．【答案】【分析】如图（见解析），在线段AC上取点E，使得，先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，，然后根据线段的和差、等量代换得出，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．【详解】如图，在线段AC上取点E，使得平分在和中，，又故答案为：．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．（2022秋·八年级单元测试）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．【答案】20°【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．【详解】解：如图，延长至点E使，连接．∴，∵，∴．∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴设，则．在与中，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故答案是．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．【答案】40°【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，进而可得DF=AD=DE，由此可证△DEC≌△DFC，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．【详解】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，∠ACB=∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的角平分线，∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，∠ADB=60°，∠BDC=120°，BD=BD ，△ABD ≌△FBD ，DE=DA ，DF=AD=DE ，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，DC=DC ，△DEC ≌△DFC ，；故答案为40°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键．7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分交于点D ，若，求的度数．【答案】【分析】在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明然后利用内角和定理求解即可．【详解】解：如图，在上截取，连接．∵平分，．∵，，∴∵，，∴，∴，∴．∵，∴．设，则．∵在中，，解得，∴．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定【答案】C【分析】在AB上截取AF＝AD，连接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再证明△BCE≌△BFE，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.【详解】解：如图所示，在AB上截取AF＝AD，连接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB∴∠ABE+∠EAB==90°，∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，在△ADE和△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），所以BC＝BF，所以AB＝AF+BF＝AD+BC；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.9．已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若，求四边形的面积．【答案】12.【分析】在AB上截，根据SAS易证，∠AOD=∠AOE，根据平行线和角平分线的性质可得出∠AOB=90°，则，可得，继而证明△BOE ≌△BOC，可得S四ABCD =2S△AOB，即可得出答案．【详解】解：在AB上截，∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠EAO，在△AOD和△AOE中,∴，，，平分，平分，∴∠AOB=90°，，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，在△BOC和△BOE中,∴，四边形ABCD的面积的面积==12.故答案为12.【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，由全等三角形的性质得出S四ABCD =2S△AOB是解题的关键．10．（2021秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（）A．2B．4C．2D．4【答案】B【分析】延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，可以证明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根据△EAC的面积等于四边形的面积是4，可得EC的长，进而可得结论．【详解】解：如图，延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四边形ABCD，∵∠DAC+∠CAB＝90°，∴∠BAE+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△EAC是等腰直角三角形，∵，∴AE＝，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、面积及等积变换、三角形面积公式、勾股定理，解题的关键是综合运用以上知识．11．（2020秋·江苏无锡·八年级统考期中）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）【答案】180°-2x【分析】在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．【详解】解：在CD上截取CE=CB，如图所示，在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．12．（2021秋·广东佛山·八年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD 上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有______．【答案】①②③④【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO=∠ACO，∠APO+∠DCO=30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出∠POC=60°，再由等边三角的判定证明△OPC是等边三角形，得出PC=PO，∠PCO=60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP=AC，即可得出结果．【详解】解：连接BO，如图1所示：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB，又∵OP=OC，∴OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，又∵在等腰△ABC中∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴∠OBC+∠OBP=∠OCB+∠ACO，∴∠OBP=∠ACO，∴∠APO=∠ACO，故①正确；又∵∠ABC=∠PBO+∠CBO=30°，∴∠APO+∠DCO=30°，故②正确；∵∠PBC+∠BPC+∠BCP=180°，∠PBC=30°，∴∠BPC+∠BCP=150°，又∵∠BPC=∠APO+∠CPO，∠BCP=∠BCO+∠PCO，∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，又∵∠POC+∠OPC+∠OCP=180°，∴∠POC=60°，又∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形，∴PC=PO，∠PCO=60°，故④正确；在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE是等边三角形，∴AP=EP，又∵△OPC是等边三角形，∴OP=CP，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC，在△APO和△EPC中，，∴△APO≌△EPC（SAS），∴AO=EC，又∵AC=AE+EC，AE=AP，∴AO+AP=AC，故③正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．13．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图（1），在四边形中，,，E，F分别是上的动点，且，求证：．（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到的延长线上时，之间的数量关系是______．【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）延长到点G，使，连接，先证明，得到，然后证明，得到，根据，可得；（2）在上截取，连接，先证明△ABG≌△ADF（SAS），得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，再证明△EAG≌△EAF（SAS），得到EG=EF，根据BG=DF，即可得EF=BE-BG=BE-DF．【详解】（1）如图，延长到点G，使，连接．，，又，，∴，，，．，∴，．，；（2）．如图，在上截取，连接，，，在△ABG和△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠BAD=2∠EAF，∴∠BAG+∠GAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF+∠EAD+∠DAF，∴∠GAE=∠EAF，在△EAG和△EAF中，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴EG=EF，∵BG=DF，∴EF=BE-BG=BE-DF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．14．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N 是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．【答案】CN=MN+BM，见解析【分析】采用“截长补短”法，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS可证△MBD≌△ECD，继而可证△MND≌△END，由全等的性质可得结论.【详解】解：CN=MN+BM．证明：如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°．又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．在△MBD和△ECD中，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．∴∠MDN=∠EDN．在△MND与△END中，∴△MND≌△END（SAS）．∴MN=NE．∴CN=NE+CE=MN+BM．【点睛】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键.15．（2023·全国·九年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．证明：延长CD到G，使，在与中，∴理由：（SAS）进而证出：___________，理由：（__________）进而得．【变式探究】如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．【答案】（1），理由：SAS；（2），证明见解析；（3）BE+DF=EF．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论，进而证明，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1），，则，，，在与中，，理由：（）；（2）满足即可，证明如下：如图，延长至，使，，，，在与中，，，则，，，在与中，，理由：（）；（3）BE+DF=EF．证明如下：如图，延长至，使，在与中，，，则，，，在与中，，理由：（）；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．16．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P 为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)一定成立(3)MN＝NC﹣BM【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠PBC＝∠＝30°，进而得到∠PBM＝∠PCN＝90°，证明Rt△PBM≌Rt△PCN，得到∠BPM＝∠CPN＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质证明结论；（2）延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，证明△PBM≌△PCH，得到PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，再证明△MPN≌△HPN，得到MN＝HN，等量代换得到答案；（3）在AC上截取CK＝BM，连接PK，仿照（2）的方法得出结论．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN为等边三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN．理由如下：延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，如图所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，（3）解：在AC上截取CK＝BM，连接PK，如图所示，在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS），∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证：．【答案】见解析【分析】延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则．【详解】证明：延长至点，使得，连接，四边形中，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：在ABE和ADG中，，∴ABE≌ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在AEF和GAF中，，∴AEF≌AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，如图2，在ABE和ADG中，，∴ABE≌ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在AEF和GAF中，，∴AEF≌AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．19．如图，是等边三角形，，，，则________．【答案】6【分析】在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE，由四点共圆得∠，再证明，△是等边三角形，得，再由线段的和差关系可得结论．【详解】解：在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE，∵∴四点共圆，∴∠∴∠∵△是等边三角形，∴，，∴△，∠，∴，∴∠，即，∴△是等边三角形，∴，∵，，∴，∴．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠是解答此题的关键．20．（2023·全国·九年级专题练习）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2) DA=DB+DC,证明见解析.【分析】(1)由旋转60°可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．(2) 延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,由已知可得,根据,可得=,可证,进而可得AD=AE, ,可得,由勾股定理可得：,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E三点共线，∵AE=AD，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∴AD=DC+CE=DB+DC;(2)结论：DA=DB+DC,证明如下：如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,∵,,∴,∵,∴=,∵AB=AC,CE=BD,∴(SAS),∴AD=AE, ,∴,∴,∴,∴DA=DB+DC.【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.21．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD= BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系（2）过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O，证明，得到，，根据为等腰直角三角形，得到，再根据，即可解出答案.（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，由即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：，∴AE=CD，BE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵是等腰直角三角形，∴DE=BD，∴DC+AD=BD，故答案为．（2）．证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．∵，∴，∴．∵，，，∴，∴．又∵，∴，∴，，∴为等腰直角三角形，．∵，∴．（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.22．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．（1）求的度数；（2）求证：．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证（2）延长至F，使，连接，由，，且，可证由，可证为等边三角形，可得，可推出结论，【详解】解：（1）∵，，∴为等边三角形，∴，∵，，∵，∴（2）如图，延长至F，使，连接，由（1）得为等边三角形，∴，∵，又∵，且，∴，在与中，∴∴，∴，∴又∵，∴为等边三角形∴，又∵，且，∴，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．23．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB ＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．（1）求∠ADB的度数；（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．【答案】（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD ＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，∵DB＝DC，∠DCB＝30°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；（2）DE＝AD+CD，理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，∵∠ADE＝60°，DM＝AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB＝∠AME＝120°．∵AE＝AB，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEM中，，∴△ABD≌△AEM（AAS），∴BD＝ME，∵BD＝CD，∴CD＝ME．∵DE＝DM+ME，∴DE＝AD+CD．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP 的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，在△ABF与△ACE中，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴，∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．25．（2022秋·全国·八年级专题练习）在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．（1）如图1，若．①直接写出的大小；②求证：．（2）若图2，若，求证：．【答案】（1）①120°；②见解析；（2）见解析【分析】（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF 的面积进行转换，从而得出结论．【详解】（1）①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)= ×120°=60°，∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∴△CFH≌△CFE(ASA)，∴CE=CH，∵AC=AH+CH，∴AC=AD+CE；（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠SAF，在△ADF和△ASF中，∴△ADF≌△ASF(SAS)，同理可证△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，∴DF=SF，DE=SE，FT=FE，∴△DEF≌△SEF，∴，，，且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，∴∠CFE=180°-135°=45°，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，∴∠CFS=135°-∠AFS =90°，∴CF⊥SF，又∵FT=FE，CT=CE，∴CF垂直平分EF，即：CF⊥ET，∴SF∥ET，∴，∴∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．26．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图中，分别平分相交于点．（1）求的度数；（2）求证：【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出；（2）在AC上截取AF=AE，先证明△APE≌△APF（SAS），再证明△CFP≌△CDP（ASA），根据全等三角形的性质证明即可．【详解】解：（1）∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，又∵AD、CE分别平分，∴，∴，又∵∠CPD是△ACP的外角，∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，∴∠CPD=60°．（2）如图，在AC上截取AF=AE，连接PF，∵∠CPD=60°，∴∠APC=120°，∠APE=60°∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE在△APE与△APF中，∴△APE≌△APF（SAS）∴∠APF=∠APE=60°，∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°，在△CFP与△CDP中，∴△CFP≌△CDP（ASA）∴CD=CF∴AC=AF+CF=AE+CD，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理与角平分线的角度计算问题，解题的关键是通过在AC上截取AF=AE构造全等三角形．27．（2022秋·全国·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．。

模型14 截长补短模型(解析版)

模型介绍有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段.如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破.如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）.例题精讲考点一：截长型【例1】．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于_______.解：在DC上截取DE＝DB，连接AE．设∠BCA＝α，∵AB+BD＝DC，DE＝DB，∴CE＝AB．∵AD⊥BC，DB＝DE，∴直线AD是BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴CE＝AE，∴∠BCA＝∠CAE．∵AB＝AE，∴∠CBA＝∠AEB．∵∠AEB是△CAE的一个外角，∴∠AEB＝∠BCA+∠CAE，∴∠CBA＝∠AEB＝2α，∴∠CBA+∠BCA＝3α＝180°﹣120°＝60°，∴α＝20°，∴∠BCA＝20°．变式训练【变式1-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．解：在AB上截取AC＝AE，设∠B＝x°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝x°∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，在△EAD和△CAD中，∴△EAD≌△CAD，∴∠C＝∠AED，CD＝DE，∵AC+CD＝AB，AB﹣BE+AE，AE＝AC，∴BE＝DE＝DC，∴∠B＝∠BDE＝x°，∴∠C＝∠AED＝∠B+∠BDE°，在△ABC中，x+x+2x＝180°，∴x＝45，即∠C＝2x°＝90°．【变式1-2】．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝________．解：在AE 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠1＝∠2，在△AMC 和△ADC 中，12AC AC AD AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMC ≌△ADC （SAS ），∴3D ∠=∠，∵∠B ＋∠D ＝180°，43=180∠+∠︒，∴4=B ∠∠，∵CE ⊥AB ，∴90CEM CEB ∠=∠=︒，在EMC △和EBC 中，4B CEM CEB CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMC ≌△EBC （AAS ），∴ME ＝EB ＝3，∵CE ＝4，S △ACE ＝14，∴21474AE ⨯==，∴AM ＝AE -EM =7-3=4，∴1144822AMC S AM CE =⨯=⨯⨯= ，∴8ADC AMC S S ==．故答案为：８．【变式1-3】．已知在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 边于点D ．求证：AC ＝AB +BD．证明：在AC 上截取AE ＝AB ，连接DE ．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 边于点D ，∴∠BAD ＝∠DAC ，在△ABD 与△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD＝DE，∠B＝∠AED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠AED＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴CE＝DE，∴CE＝BD，∴AC＝AE+EC＝AB+BD．考点二：补短型【例2】．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°求证：BD+DC＝AB．证明：延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF，∵∠ABD＝60度，∴△ABF为等边三角形，∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，∴∠ACF＝∠AFC，又∵∠ACD＝60°，∴∠AFB＝∠ACD＝60°∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF．∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，即BD+DC＝AB．变式训练【变式2-1】．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E为AD上一点，连接BE，CE，且BE、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：BC ＝AB +DC ．证明：延长BE 交CD 的延长线于点F ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∵AB ∥CD ，∴∠F ＝∠ABE ，∠A ＝∠FDA ，∴∠F ＝∠CBE ，∴CF ＝BC ，∵CE 平分∠BCD ，∴BE ＝EF （三线合一），在△ABE 和△DFE 中，，∴△ABE ≌△FDE （ASA ），∴FD ＝AB ，∵CF ＝DF +CD ，∴CF ＝AB +CD ，∴BC ＝AB +CD ．【变式2-2】．【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．解：（1）【问题背景】如图1在ABE △和ADG 中，∵DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADG SAS ≅△△，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵18EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，∴EAF GAF ∠=∠，在AEF 和GAF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF AGF SAS ≅△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；故答案为：EF BE DF =+．（2）【探索延伸】解：结论EF BE DF =+仍然成立；理由：如图2，延长FD 到点G ．连接AG ，在ABE △和ADG 中，∵DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADG SAS ≅△△，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵13EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，∴EAF GAF ∠=∠，在AEF 和GAF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF AGF SAS ≅△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；（3）【学以致用】解：如图3，延长DC 到点G ，连接BG ，在AEB △与CGB △中，∵AE CG A BCG AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEB CGB SAS ≅△△，∴BE BG =，ABE CBG ∠=∠．∵45EBF ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴45ABE CBF ∠+∠=︒，∴45CBF CBG ∠+∠=︒，在EBF △与GBF 中，∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()EBF GBF SAS ≅△△，∴EF GF =，∴DEF 的周长5510EF ED DF AE CF DE DF AD CD =++=+++=+=+=．实战演练1．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．21B ．24C ．27D ．30解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB ＝∠BDE ，∠C ＝∠DEB ，∵∠C ＝2∠CDB ，∴∠CDE ＝∠DEB ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∴△ABC 的周长＝AD +AE +BE +BC +CD ＝AB +AB +CD ＝27，故选C ．2．如图，AD ⊥BC ，AB +BD ＝DC ，∠B ＝54°，则∠C ＝27°．解：在DC 上截取DE ＝BD ，连接AE，∵AD ⊥BC ，DE ＝BD ，∴AD 是BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB ＝54°，∵AB +BD ＝DC ，DE +EC ＝DC ，∴AB ＝EC ，∴AE ＝EC ，∴∠C ＝∠EAC ，∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°，故答案为：27°．3．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠CAB．求证：AD+CD＝AB．证明：如图，在AB上截取AE＝AC，延长AD到F使AF＝AB，连接DE、BF．又∵∠1＝∠2，AD是公共边BE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝100°，则得∠DEB＝80°∵CA＝CB，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2＝20°，∠3＝40°∵AF＝AB，∠2＝20°，∴∠F＝∠ABF＝1/2（180°﹣∠2）＝80°则∠F＝∠DEB∴∠4＝80°﹣∠3＝40°，∴∠3＝∠4，∠F＝∠DEC，在△BDF和△BDE中，，∴△DBE≌△DBF（AAS）∴DF＝DE＝CD∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+DC．4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．证明：延长OE至点M，使OM＝OC，连接CM，∵∠BCD＝∠CBE＝30°，∴OB＝OC，∠MOC＝30°+30°＝60°，∵OM＝OC，∴△OMC为等边三角形，∴CM＝OC＝OB，∠M＝60°，∴∠DBO＝∠MCE，在△BOD和△CME中，，∴△BOD≌△MCE，∴DO＝EM，∴OE+OD＝OM＝OB，在Rt△OBG中，∠OBG＝30°，OG⊥BC，∴2OG＝OB，∴OE+OD＝2OG．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）BQ＝CQ；（2）BQ+AQ＝AB+BP．证明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分线，∴∠QBC＝∠ABC．∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，且∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝80°，∴∠QBC＝＝40°，∴∠QBC＝∠C，∴BQ＝CQ；（2）延长AB至M，使得BM＝BP，连接MP．∴∠M＝∠BPM，∵△ABC中∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°＝∠C，∴BQ＝CQ，∵∠ABC＝∠M+∠BPM，∴∠M＝∠BPM＝40°＝∠C，∵AP平分∠BAC，∴∠MAP＝∠CAP，在△AMP和△ACP中，∵∴△AMP≌△ACP，∴AM＝AC，∵AM＝AB+BM＝AB+BP，AC＝AQ+QC＝AQ+BQ，∴AB+BP＝AQ+BQ．6．如图，△ABC两条角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°，求证：CD+BE＝BC．证明：在BC上找到F使得BF＝BE，，∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，在△BOE和△BOF中，，∴△BOE≌△BOF，（SAS）∴∠BOF＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝60°，在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌△OCD（ASA），∴CF＝CD，∵BC＝BF+CF，∴BC＝BE+CD．7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．求证：（1）点E是AD的中点；（2）BC＝AB+CD．证明：延长CE交BA的延长线于点F．∵CE和BE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即∠ECB＝∠DCB，∠EBC＝∠CBA，又∵AB∥CD，∴∠DCB+∠CBA＝180°，∴∠ECB+∠EBC＝90°，∴∠CEB＝90°，即BE⊥EC，∵AB∥CD∴∠DCE＝∠F，又∵∠DCE＝∠ECB，∴∠F＝∠ECB∴BF＝BC，EC＝EF．在△DCE和△AFE中，，∴△DCE≌△AFE，∴DE＝AE，即E是AD的中点，DC＝AF，∴BC＝BF＝AB+CD．8．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．解：（1）答：∠A＝90°．理由如下：在BC上截取BE＝BA，连接DE．∵BC＝AB+AD，∴CE＝AD，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBD，∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴AD＝DE＝CE，∠A＝∠DEB∴∠C＝∠EDC，∴∠A＝∠DEB＝∠C+∠EDC＝2∠C，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴4∠C＝180°，∴∠C＝45°，∠A＝2∠C＝90°，即∠A＝90°；（2）解：在BC上截取CF＝CD，连接DF．∵BC＝BA+CD，∴BF＝BA，∵∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∴△ABD≌△FBD，∴∠A＝∠DFB，∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD，∴∠C+2∠DFC＝180°，∵∠A+∠DFC＝180°，∴2∠A﹣∠C＝180°，∵∠A+2∠C＝180°，解得：∠A＝108°，答：∠A的度数是108°．（3）证明：在BC上截取BQ＝BD，连接DQ，延长BA到W使BW＝BQ，连接DW．∵∠A＝100°，AC＝AB，∴∠C＝∠ABC＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBQ＝20°，∵BD＝BQ，∴∠DQB＝∠BDQ＝（180°﹣∠DBQ）＝80°，∴∠CDQ＝∠DQB﹣∠C＝40°＝∠C，∴DQ＝CQ，∵在△WBD和△QBD中，∴△WBD≌△QBD，∴∠W＝∠DQB＝80°，DW＝DQ＝CQ，∵∠BAC＝100°，∴∠WAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°，即∠WAD＝∠W，∴AD＝DW＝DQ＝CQ，∴BC＝BD+DA．9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图1：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC；（2）延长AE、BC交于F，∵AB＝BF，BE平分∠ABF，∴AE＝EF，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝CF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．10．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．（1）如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；（2）如图②，连接CG．求证：BG+DG＝CG．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴AD＝DB，∠BDF＝∠DAE＝60°，在△ADE和△DBF中，，∴△ADE≌△DBF（SAS）；（2）如图②，延长GB到点H，使BH＝DG，连接CH、BD，由（1）知△ADE≌△DBF，△CBD是等边三角形，∴∠ADE＝∠DBF，∠CBD＝∠BCD＝60°，∴∠DBF+∠CBH＝180°﹣∠CBD＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴BC＝CD，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠ADE+∠CDG＝120°，∴∠CBH＝∠CDG，在△CBH和△CDG中，，∴△CBH≌△CDG（SAS），∴CH＝CG，∠BCH＝∠DCG，∵∠BCD＝∠DCG+∠BCG＝60°，∴∠BCH+∠BCG＝60°，即∠GCH＝60°，∴△CGH是等边三角形，∴GH＝CG，∵GH＝BG+BH＝BG+DG，∴BG+DG＝CG．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．解：（1）EF＝BE+DF，理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE 交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，，∴△BCE≌△CBK（SAS），∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，∵CE＝BD，∴BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，∵AE＝BD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BCF＝∠ABE，∴∠FBC+∠BCF＝60°，∴∠BFC＝120°，如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，∴△CNM≌△QNF（SAS），∴FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，∵PB＝PF，∴△PFQ≌△PBC（SAS），∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．13．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第三象限和第二象限上，且OC⊥OD，OC＝OD，点C的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0．（1）求点C坐标；（2）求证：AC＝BD，AC⊥BD；（3）求∠BEO度数；（4）如图2，点P在OA上，点Q在OB上且OP＝OQ，直线ON⊥BP，交AB于点N，MN⊥AQ交BP延长线于点M，请猜想ON，MN，BM的数量关系并证明．解：（1）∵（m﹣2n）2+|n+2|＝0又∵（m﹣2n）2≥0，|n+2|≥0，∴n＝﹣2，m＝﹣4，∴点C坐标为（﹣4，﹣2）；（2）如图1中，作OH⊥BD于H，OF⊥AC于F．∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC，∴HO＝OF（全等三角形对应边上的高相等），∴OE平分∠BEC，∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，设BD交y轴于点R，则∠ARE＝∠BRO，∴∠AEB＝∠BOA＝90°，即AC⊥BD；（3）由（2）知，AC⊥BD，则∠FEH＝90°，∴∠OHE＝∠OFE＝∠FEH＝90°，故四边形OHEF为矩形，而HO＝OF，故四边形OHEF为正方形，而OE为该正方形的对角线，∴∠BEO＝45°；（4）结论：BM＝MN+ON．理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．∵OQ＝OP，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOP＝90°，∴△AOQ≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAQ，∵∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠ABP＝∠BAQ，∵NM⊥AQ，BM⊥ON，∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°，∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB，∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN，∴△BNH≌△BNO（ASA），∴HN＝NO，∠H＝∠BON，∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°，∴∠HBM＝∠BON＝∠H，∴MH＝MB，∴BM＝MN+NH＝MN+ON．14．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B 在y轴上（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．解：（1）过点A作AD垂直OC于D．∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠DAC，在△ADC和△COB中，，∴△ADC≌△COB（AAS），∴AD＝OC，CD＝OB，∴点B坐标为（0，4）；（2）延长BC，AE交于点F，∵AC＝BC，AC⊥BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠COD＝22.5°，∠DAE＝90°﹣∠ABD﹣∠BAD＝22.5°，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD＝2AE；（3）作AE⊥OC，则AF＝OE，∵∠CBO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，在△BCO和△ACE中，，∴△BCO≌△ACE（AAS），∴CE＝OB，∴OB+AF＝OC．∴＝1．。

专题12.12 三角形全等作辅助线模型(二)-截长补短(知识讲解)

专题12.12 三角形全等作辅助线模型（二）-截长补短（知识讲解）【典型例题】1、阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B C ∠=∠．求证：AB BD AC +=．李老师给出了如下简要分析：“要证AB BD AC +=就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出__________≌△__________，得出B AED ∠=∠及BD =_________，再证出∠__________=∠___________，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD 平分BAC ∠，将ABD △沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证∠__________C =∠，再证出_________≌△_________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：F ；AFD ；ACD【分析】方法一：在AC 上截取AE AB =，由SAS 可证ABD AED ∆≅∆可得B AED ∠=∠，BD=DE ，根据等角对等边得到CE=DE ，即可求证；方法二：延长AB 至点F ，使BF BD =，由AAS 可证AFD ACD ∆≅∆，可得AC=AF ，即可证明：方法一：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2∵AD 平分BAC ∠，∵BAD DAC ∠=∠，在ABD ∆和AED ∆中AE AB BAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵ABD AED ∆≅∆，∵B AED ∠=∠，BD=DE ，∵2B C ∠=∠，∵2AED C ∠=∠而2AED C EDC C ∠=∠+∠=∠，∵EDC C ∠=∠，∵DE=CE ，∵AB+BD=AE+CE=AC ，故答案为：CE ；转化；ABD ；AED ；DE ；EDC ；C ；方法二：如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，∵F BDF ∠=∠∵2ABD F BDF F ∠=∠+∠=∠∵2ABD C ∠=∠∵F C ∠=∠在AFD ∆和ACD ∆中FAD CAD F CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵AFD ACD ∆≅∆，∵AC=AF ，∵AC=AB+BF=AB+BD ，故答案为：F ；AFD ；ACD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．举一反三：【变式】数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明∵ABE∵∵CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明∵NFC∵∵MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.（1）证明：∵在∵ABE 和∵ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ）， ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在∵ABE 和∵CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ）， BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC∴∆≅∆（ASA），∴=，M FNCFM FN∠=∠，∴∠=∠，FNC BEA∴=，PN PE=+-=+.∵BP BE PE AM PE AF FM PE=-=-=+-AF FN PN AF PF【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.2、阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∵BAD=∵BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明∵BAE∵∵DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∵EAB=∵CAD，则∵EAC=∵EAB+∵BAC=∵DAC+∵BAC=∵BAD=90°，得S四边形=S∵ABC+S∵ADC=S∵ABC+S∵ABE=S∵AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三ABCD角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∵G=∵N=90°，求五边形FGHMN 的面积．【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∵G=∵N=90°，∴∵FNK=∵FGH=90°，∴FGH FNK ≌， ∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．举一反三：【变式】在∵ABC中，∵ACB=2∵B，（1）如图∵，当∵C=90°，AD为∵ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；（2）∵如图∵，当∵C≠90°，AD为∵BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；∵如图∵，当∵C≠90°，AD为∵ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）∵AB=AC+CD；∵AC+AB=CD，证明见解析．【分析】（1）首先得出∵AED∵∵ACD（SAS），即可得出∵B=∵BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；（2）∵首先得出∵AED∵∵ACD（SAS），即可得出∵B=∵BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；∵首先得出∵AED∵∵ACD（SAS），即可得出∵B=∵EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．（1）证明：∵AD为∵ABC的角平分线，∵∵EAD=∵CAD，在∵AED和∵ACD中，∵AE=AC，∵EAD=∵CAD，AD=AD，∵∵AED∵∵ACD（SAS），∵ED=CD，∵C=∵AED=90°，∵∵ACB=2∵B，∵C=90°，∵∵B=45°，∵∵BDE=45°，∵BE=ED=CD，∵AB=AE+BE=AC+CD；∵AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∵ABC的角平分线，∵∵EAD=∵CAD，在∵AED和∵ACD中，∵AE=AC，∵EAD=∵CAD，AD=AD，∵∵AED∵∵ACD（SAS），∵ED=CD，∵C=∵AED，∵∵ACB=2∵B，∵∵AED=2∵B，∵∵B+∵BDE=∵AED，∵∵B=∵BDE，∵BE=ED=CD，∵AB=AE+BE=AC+CD；∵AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∵EAC的角平分线，∵∵EAD=∵CAD，在∵AED和∵ACD中，∵AE=AC，∵EAD=∵CAD，AD=AD，∵∵AED∵∵ACD（SAS），∵ED=CD，∵ACD=∵AED，∵∵ACB=2∵B，∵设∵B=x，则∵ACB=2x，∵∵EAC=3x，∵∵EAD=∵CAD=1.5x，∵∵ADC+∵CAD=∵ACB=2x，∵∵ADC=0.5x，∵∵EDC=x，∵∵B=∵EDC，∵BE=ED=CD，∵AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出∵AED∵∵ACD是解题关键．3、（初步探索）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，∵ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∵BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；（灵活运用）（2）如图2，∵ABC为等边三角形，直线a∵AB，D为BC边上一点，∵ADE交直线a 于点E，且∵ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；（延伸拓展）（3）如图3，在四边形ABCD中，∵ABC＋∵ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∵EAF与∵DAB的数量关系．【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∵EAF=11802DAB︒-∠，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∵BAC=60°，结合∵BDC=120°知∵ABD+∵ACD=180°，由∵ACE+∵ACD=180°知∵ABD=∵ACE，证∵ABD∵∵ACE得AD=AE，∵BAD=∵CAE，再证∵ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由∵ABC为等边三角形，易得∵CDM是等边三角形，继而可证得∵ADM∵∵EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定∵ADG∵∵ABE，再判定∵AEF∵∵AGF，得出∵FAE=∵FAG，最后根据∵FAE+∵FAG+∵GAE=360°，进而推导得到2∵FAE+∵DAB=360°，即可得出结论．解答：DA=DC+DB，理由如下：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵∵ABC是等边三角形，∵AB=AC，∵BAC=60°，∵∵BDC=120°，∵∵ABD+∵ACD=180°，又∵∵ACE+∵ACD=180°，∵∵ABD=∵ACE，∵∵ABD∵∵ACE（SAS），∵AD=AE，∵BAD=∵CAE，∵∵BAC=60°，即∵BAD+∵DAC=60°，∵∵DAC+∵CAE═60°，即∵DAE=60°，∵∵ADE是等边三角形，∵DA=DE=DC+CE=DC+DB ，即DA=DC+DB ；（2）证明：在AC 上截取CM=CD ，∵∵ABC 是等边三角形，∵∵ACB=60°，∵∵CDM 是等边三角形，∵MD=CD=CM ，∵CMD=∵CDM=60°，∵∵AMD=120°，∵∵ADE=60°，∵∵ADE=∵MDC ，∵∵ADM=∵EDC ，∵直线a∵AB ，∵∵ACE=∵BAC=60°，∵∵DCE=120°=∵AMD ，在∵ADM 和∵EDC 中，ADM EDC MD CDAMD ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∵∵ADM∵∵EDC(ASA)，∵AM=EC ，∵CA=CM+AM=CD+CE ；即CD+CE=CA.（3）∵EAF=11802DAB ︒-∠；证明：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得DG=BE ，连接AG ，∵∵ABC+∵ADC=180°，∵ABC+∵ABE=180°，∵∵ADC=∵ABE ，又∵AB=AD ，∵∵ADG∵∵ABE （SAS ），∵AG=AE ，∵DAG=∵BAE ，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF ，AF=AF ，∵∵AEF∵∵AGF （SSS ），∵∵FAE=∵FAG ，∵∵FAE+∵FAG+∵GAE=360°，∵2∵FAE+（∵GAB+∵BAE ）=360°，∵2∵FAE+（∵GAB+∵DAG ）=360°，即2∵FAE+∵DAB=360°， ∵∵EAF=11802DAB ︒-∠. 【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．举一反三：【变式1】如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+.【分析】在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，由角平分线的性质可以得出∵1=∵2，从而可以得出∵ABE∵∵FBE ，可以得出∵A=∵5，进而可以得出∵CDE∵∵CFE ，就可以得出CD=CF ，即可得出结论．证明：在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，∵BE 、CE 分别是∵ABC 和∵BCD 的平分线，∵∵1=∵2，∵3=∵4，在∵ABE 和∵FBE 中，12AB FB BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ABE∵∵FBE(SAS)，∵∵A=∵5，∵AB∵CD ，∵∵A+∵D=180°，∵∵5+∵D=180，∵∵5+∵6=180°，∵∵6=∵D ，在∵CDE 和∵CFE 中，634D CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵CDE∵∵CFE(AAS)，∵CF=CD ．∵BC=BF+CF ，∵BC=AB+CD ．【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．【变式2】如图，在∵ABC 中，60BAC ∠=︒，40ACB ∠=︒，P 、Q 分别在BC 、CA上，并且AP 、BQ 分别是∵BAC 、∵ABC 的角平分线．求证：（1）BQ CQ =；（2）BQ AQ AB BP +=+．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出∵ABC ＝80°，再由角平分线的性质就可以得出∵QBC ＝40°，就有∵QBC ＝∵C 而得出结论；（2）延长AB 至M ，使得BM ＝BP ，连结MP ，根据条件就可以得出∵M ＝∵C ，进而证明∵AMP∵∵ACP 就可以得出结论．（1）证明：∵BQ 是ABC ∠的角平分线， ∵12QBC ABC ∠=∠． ∵180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，且60BAC ∠=︒，40ACB ∠=︒，∵80ABC ∠=︒， ∵180402QBC ∠=⨯︒=︒， ∵QBC C ∠=∠，∵BQ CQ =；（2）证明：延长AB 至M ，使得BM BP =，连结MP ．∵M BPM ∠=∠，∵∵ABC 中60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，∵80ABC ∠=︒，∵BQ 平分ABC ∠，∵40QBC C ∠=︒=∠，∵BQ CQ =，∵ABC M BPM ∠=∠+∠，∵40M BPM C ∠=∠=︒=∠，∵AP 平分BAC ∠，∵MAP CAP ∠=∠，在∵AMP 和∵ACP 中，∵M C MAP CAP AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵AMP∵∵ACP ，∵AM AC =，∵AM AB BM AB BP =+=+，AC AQ QC AQ BQ =+=+，∵AB BP AQ BQ +=+【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．。

中考数学几何模型能力提升截长补短模型(解析版)

中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．变式练习>>>1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.例题2. 已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．变式练习>>>2. 已知：△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．变式练习>>>3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°，求线段AE长度的最大值．例题5.在△ABC中，∠BAC＝90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数．2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DF A＝2∠BAE．（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠F AE的度数；（2）求证：AF＝CD+CF．5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB＝2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF＝AF．6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC＝CD＝2，M为线段AC上一点，且AM：CM＝1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD＝AC．7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE＝2，求EF的长；（2）求证：PF＝EP+EB．答案例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．【解答】证明：如图所示：（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D，在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD．∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD，变式练习>>>1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.答案：略例题2. 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC 的数量关系，并说明理由．【解答】解：在BC上取点G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，∵在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．变式练习>>>2. 已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【解答】解：AB=BD+CD，理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，∵∠ADB=90°﹣∠BDC，∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．变式练习>>>3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．【解答】解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE=AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是10+4．（直接写出答案）．【解答】解：（1）AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．∵AE=AB+4+DE．∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．故答案为：10+4．例题5.在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB 的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1：；（2）①DF+FH=CA，证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H 作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．【解答】解：如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠ABC=2×40°=80°．2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：探究结论：BM+CN=NM．证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在△DCE和△DBM中，∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已经全等）在△DMN和△DEN中∵∴△DMN≌△DEN（SAS），∴BM+CN=NM．4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．【解答】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，∴∠DFA=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；∵∠DFA=2∠BAE（已知），∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．∴∠FAE=∠BAE；∴2∠FAE=40°，∴∠FAE=20°；（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，∴△AEG≌△AEB．∴EG=BE，∠B=∠AGE；又∵E为BC中点，∴CE=BE．∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，∴∠BCF=∠EGF；又∵∠EGC=∠ECG，∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；又∵AG=AB，AB=CD，∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠FAB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，∴∠FAM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD=AC．【解答】解：（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°．∵BC=CD，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．∵AM：CM=1：2，∴AM=，CM=，∴EM=，在Rt△BEM中由勾股定理得BM==．过点C作CF⊥BM于点F．∴．∴，∴CF=．即点C到BM的距离．（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，∵AB=AD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠BCD=120°，∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，∴△DCF是等边三角形，∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，∴∠ADC=∠BDF，又∵AD=BD，∴△ACD≌△BDF，∴AC=BF=BC+CF，即AC=BC+CD．7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE=2，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，在Rt△EAF中，由勾股定理，得EF==2．（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，∴△EAF为等腰直角三角形．∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．∵点P是AB的中点，∴AP=BP．在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，∴MF=BE，∴PF=PM+FM=EP+BE．。

中考数学必会几何模型(含答案)

MATH微信：beijingdaxue777QQ:1456770148中考必会几何模型目录专题一角平分线相关问题模型 (3)模型1角平分线相关模型 (3)专题二8字模型与飞镖模型 (6)模型1：角的8字模型 (6)模型2：角的飞镖模型 (8)模型3边的“8”字模型 (10)模型4边的飞镖模型 (11)专题三半角模型 (15)专题四将军饮马模型 (23)模型1：直线与两定点 (23)模型2角与定点 (28)模型3两定点一定长 (31)专题五角平分线四大模型 (34)模型1角平分线的点向两边作垂线 (34)模型2截取构造对称全等 (35)模型3角平分线+垂线构造等腰三角形 (37)模型4角平分线+平行线 (39)专题六截长补短辅助线模型 (42)模型1截长补短 (42)专题七蚂蚁行程 (48)模型1立体图形展开的最短路径 (48)专题八三垂直全等模型 (55)模型1三垂直全等模型 (55)专题九手拉手模型 (62)模型1手拉手 (62)专题十相似模型 (68)模型1A、8模型 (68)模型2共边共角型 (72)模型3一线三等角型 (75)模型4倒数型 (79)模型5与圆有关的简单相似 (82)模型6相似和旋转 (85)专题十一圆中的辅助线 (89)模型1连半径构造等腰三角形 (89)模型2构造直角三角形 (90)模型3与圆的切线有关的辅助线 (94)专题十二中点四大模型 (97)模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 (97)模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． (99)模型3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 (102)模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 (107)专题一角平分线相关问题模型模型1角平分线相关模型（1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；（2）如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；（3）如图3，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A．图1图2图3针对训练1.（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到∠A、∠D的数量关系.2.（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=．【分析】由解题模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．【详解】∵∠BOC=90°+∠A，∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°.∴∠A=40°．【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到∠BO C、∠A的数量关系.3.（2018•济南历城区模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018=．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。

(完整版)几何模型截长补短模型

第三章截长补短模型截长补短如图①，若证明线段 AB CD EF 之间存在 EF=AB+CD 可以考虑截长补短法。

截长法：如图②，在 EF 上截取EG=AB 再证明 GF=C［即卩可。

补短法：如图③，延长 AB 至H 点，使BH=CD 再证明AH=EF 即卩可。

截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。

模型实例例1.如图，已知在^ ABC 中,/ C=2/ B, AD 平分/ BAC 交BC 于点D 。

求证：AB=AC+CD例2.如图，已知 OD 平分/ AOB DCL OA 于点C,/ A=/ GBD 求证：AO+BO=2CO.1 HB热搜精练1.如图，在△ ABC中，/ BAC=60 , AD是/ BAC的平分线，且AC=AB+BD 求/ ABC勺度数。

C2 .如图，在△ ABC中，/ ABC=60 , AD CE分别平分/ BAG / ACB 求证：AC=AE+C 。

CD3 .如图，/ ABCf BCD=180 , BE CE分别平分/ ABC / BCD 求证：AB+CD=B。

4 .如图，在△ ABC中，/ ABC=90 , AD平分/ BAC交BC于点D,/ C=30°, BE丄AD于点E。

求证：AC-AB=2BEC5 .如图，Rt△ ABC中, AC=BC AD平分/ BAC交BC于点D, CE!AD交AD于F 点，交AB于点E。

求证：AD=2DF+CE6 .如图，五边形ABCDEK AB=AC BC+DE=C,D/ B+/ E=18O°。

求证：AD平分/ CDEC E。

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【精品文档，百度专属】本文为word版资料，可以任意编辑修本文为word版资料，可以任意编辑修截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD .证法一，截长法：如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ACD≌△AED ，∴CD＝DE，∠C＝∠3 .∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE＝BE ，∴CD＝BE.∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋CD .证法二，补短法：如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.又∵AE＝AC＋CE，∴∴AB＝AC＋CD .例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO .证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE .∵CD＝CD，DC⊥OA，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠CED .∵∠A＝∠GBD ，∴∠CED＝∠GBD ，∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ，∴∠OED＝∠OBD .∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD .∵OD＝OD，∴△OED≌△OBD ，∴OB＝OE，∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO .1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD .求∠ABC 的度数 .【答案】证法一：补短延长AB到点E，使BE＝BD .在△BDE中，∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，∴∠ABC＝∠BDE＋∠E＝2∠E .又∵AC＝AB＋BD，∴AC＝AB＋BE，∴AC＝AE .∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝600，∴∠EAD＝∠CAD＝600÷2＝300 .∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴∠E＝∠C .∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABC＝2∠C .∵∠BAC＝600，∴∠ABC＋∠C＝1800－600＝1200，∴32∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 .证法二：在AC上取一点F，使AF＝AB，连接DF. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠FAD .∵AD＝AD，∴△BAD≌△FAD，∴∠B＝∠AFD，BD＝FD .∵AC＝AB＋BD，AC＝AF＋FC∴FD＝FC ，∴∠FDC＝∠C .∵∠AFD＝∠FDC＋∠C，∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C .∵∠BAC＋∠B＋∠C＝1800，∴32∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 .2.如图，在△ABC中，∠ABC＝600，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB .求证：AC＝AE ＋CD .【答案】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接OF .∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 .∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，∴∠OAC ＝∠OAB ＝2BAC ，∠OCA ＝∠OCB ＝2ACB ， ∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠OCA ＝2BACACB ＝600， ∴∠AOC ＝1800－∠AOE ＝1200 .∵AE ＝AF ，∠EAO ＝∠FAO ，AO ＝AO ，∴△AOE ≌△AOF （SAS ），∴∠AOF ＝∠AOE ＝600，∴∠COF ＝∠AOC －∠AOF ＝600，∴∠COF ＝∠COD .∵CO ＝CO ，CE 平分∠ACB ，∴△COD ≌△COF （ASA ），∴CD ＝CF .∵AC ＝AF ＋CF ，∴AC ＝AE ＋CD ，3. 如图，∠ABC ＋∠BCD ＝1800，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠DCB .求证：AB ＋CD ＝BC .【答案】证法一：截长如图①，在BC 上取一点F ，使BF ＝AB ，连接EF .∵∠1＝∠ABE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE ，∴∠3＝∠4 .∵∠ABC ＋∠BCD ＝1800，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠DCB ，∴∠1＋∠2＝12∠ABC ＋12∠DCB ＝12×1800＝900 ， ∴∠BEC ＝900 ，∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .∵CE＝CE，∠2＝∠DCE ，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC 证法二：补短如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠BEF＝∠BEC＝900，∴∠BEF＋∠BEC＝1800，∴C、E、F三点共线 .∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD .∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD .∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD .4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E .求证：AC－AB＝2BE .【答案】延长BE交AC于点M .∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM .∵BE⊥AE，∴BM＝2BE .∵∠ABC＝900，∠C＝300，∴∠BAC＝600.∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE .5. 如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，【答案】在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG .∵CE⊥AD，∴∠AFC＝900，∠1＋∠ACF＝900.∵∠2＋∠ACF＝900，∴∠1＝∠2 .∵AC＝BC，AG＝CE，∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝450，∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450.∵∠2＝∠1＝12∠BAC＝22.50，∴∠4＝450－∠2＝22.50，∴∠4＝∠2＝22.50.又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF .∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF .6. 如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800.求证：AD平分∠CDE.【答案】如图，延长CB到点F，使BF＝DE，连接AF、AC .∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠2＝∠E .∵AB＝AE，∠2＝∠E，BF＝DE，∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4，AF＝AD .∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即FC＝CD .又∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，∴∠F＝∠3 .∵∠F＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD平分∠CDE .badiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubaidubaidu bai ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidub aidub adiubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidu。