几何辅助线——截长补短

第七章截长补短
模型：截长补短
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短
法.
截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.
补短法：如图③，延长AB至H点,使BH＝CD,再证明AH＝EF 即可.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
模型实例
例1 如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD .
例2 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .
基础题：
1.如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO .
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD .求∠ABC的度数 .
3.如图，在△ABC中，∠ABC＝600，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB .求证：AC＝AE＋CD .
4. 如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800.求证：AD平分∠CDE .
5．如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C＝35°，且AB+BH＝HC，求∠B度数．
6．已知，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD＝EF．求证：∠EAF＝∠BAD．
7．已知：如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，求证：（1）MN＝DN﹣BM；（2）AH＝AB．
8．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD＝∠FAE．求证：BE+DF＝AE．
9．如图,已知∠1＝∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于D,AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°．
10．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，
（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；
（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
11．如图,∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC外一点，且AD＝BD，DE⊥AC交CA的延长线于点E，（1）求证：DE＝AE+BC．
（2）若S四边形ACBD＝6，DE＝3，求线段AE的长．
12．（1）如图1,点O为线段MN的中点,PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，证明△PMO≌△QNO．（2）根据上述结论探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关
系，并证明你的结论．
中档题：
1．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA．求证：AD＝AB+CD．
小明经探究发现，在AD上截取AF＝AB，连接EF（如图2），从而可证△AEF≌△AEB，使问题得到解决．（中）
（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D为边AC上任意一点（不与点A、B重合），以BD 为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°．过点E作BE⊥EG交BA的延长线于点G，过点D作DF⊥BD，交BC于点F，连接FG，猜想EG、DF、FG之间的数量关系，并证明．
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E .
求证：AC－AB＝2BE .
3. 如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E .求证：AD＝2DF＋CE .
4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且AD＝AB．
（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF＝AD
（2）如图2，如果∠EDF＝60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．
5．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD＝DC，∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，
求证：C△AMN＝•C△ABC．
6．如图，在△ABC中,AB＝AC,D是三角形外一点,且∠ABD＝60°,BD+DC＝AB.求证：∠ACD＝60°．
难题：
1.如图，等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，下列结论：（中）
（1）BE＝CD；（2）AF平分∠EAC；（3）∠BFD＝60°；（4）AF+FD＝BF.其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.如图，点A、B、C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE．连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB．判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论.
3.在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，且AE平分BC，∠AED＝α°．
（1）如图1，当α＝90时，求证：AD＝AB+CD；
（2）如图2,当α＝120,且DE平分∠ADC时,探究线段AB、BC、CD、AD之间的数量关系，并证明你的结论．
4. 阅读：如图①，正方形ABCD中，E是BC的中点,∠AEF＝90°，EF交正方形外角∠DCG的角平分CF于点F，能得到AE＝EF．
思考上面材料中的原因，解答下列问题：
（1）当E为BC延长线上一点（除B点外），其余条件不变，请在图②中画出图形，并说明“AE＝EF“是否仍然成立，
（2）如图③将“正方形ABCD改成等边△ABC”，F为∠ACG的平分线上一点，当∠AEF等于多少度时，结论“AE＝EF”成立？
（3）如图④，已知正方形边BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG，连FC，求证：∠FCN＝45°．
5．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
11。