备战2013高考真题测试：导数与积分理科教师版
2013年北京市高考数学试卷理科教师版
2013年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013?北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选：B．2对应的点位于（））（2013?北京）在复平面内，复数（2﹣i2．（5分）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．22=3﹣4i，=4﹣4i+【解答】解：复数（2﹣i）i复数对应的点（3，﹣4），2对应的点位于第四象限．i﹣）所以在复平面内，复数（2故选：D．3．（5分）（2013?北京）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件D．充分必要条件．既不充分也不必要条件C【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．4．（5分）（2013?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）．C．A．1DB．的大2从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与【分析】小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．．1赋值0和【解答】解：框图首先给变量i和S；+1=1，i=0执行；+1=2不成立，执行，i=1≥判断12的值为成立，算法结束，跳出循环，输出S2≥2判断．．故选：C个单位长度，所得图象与1（x）的图象向右平移分）（5（2013?北京）函数f5．x）（f轴对称，则（x）曲线y=e=关于y11xxx11x﹣++﹣﹣﹣e．eA．eDB．e．Cx然后换轴对称的图象的函数解析式，的图象关于【分析】首先求出与函数y=ey 即可得到要求的答案．+1x为xxx﹣，y=e解：函数【解答】y=ey的图象关于轴对称的图象的函数解析式为x yy=e1xf而函数（）的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线的图象关于轴对称，x1x1x1﹣）﹣﹣﹣（+﹣．=e（x）=e所以函数f（x）的解析式为y=e．即f故选：D．的离心率为，则其渐近线方程北京）若双曲线（2013?．（5分）6）为（D．±A．y=2xB．C．【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c=a，222，所以b=a+b，=c又a=±x．所以双曲线的渐近线方程为：y=故选：B．2=4y的焦点且与yx：轴垂直，则l与（5分）（2013?北京）直线l过抛物线C7．C 所围成的图形的面积等于（）．BA．．2C．D先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分【分析】与抛物线围成的封闭图形面积．可求直线l2，）【解答】解：抛物线x=4y的焦点坐标为（0，12轴垂直，=4yy的焦点且与：∵直线l过抛物线Cx，y=1l的方程为∴直线．，可得交点的横坐标分别为﹣2，由2﹣=（x．与抛物线围成的封闭图形面积为∴直线l |=）．故选：C，＞，＜的不等式组，y（2013?北京）设关于x．表示的平面区8（5分）＞）=2，求得m的取值范围是（，y），满足x﹣2y域内存在点P（x0000B，A．，．D，C．，＞，＜画出可行域．要使可行域存在，必有【分析】先根据约束条件＞﹣1m，x﹣1上的点，只要边界点（﹣，要求可行域包含直线m＜﹣2m+1y=的下方，从而建﹣1m）在直线y=x）在直线2my=x﹣1的上方，且（﹣m，的不等式组，解之可得答案．立关于m，＞，＜画出可行域，【解答】解：先根据约束条件＞上的点，只1x﹣2m+1，要求可行域包含直线y=要使可行域存在，必有m＜﹣）﹣2m要边界点（﹣m，1的下方，1y=x﹣1﹣的上方，且（﹣m，m）在直线在直线y=x＜＞，故得不等式组＜解之得：m＜﹣．故选：C．分．分，共306小题，每小题5二、填空题共ρsinθ=2的距离等于2）到直线．（5分）（2013?北京）在极坐标系中，点（9．1然后用先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，【分析】点到直线的距离来解．ρsinθ=2，直线，1）化为直角坐标为（，【解答】解：在极坐标系中，点，y=2化为直角坐标方程为，1ρsinθ=2的距离到直线，，即为点（，1），到y=2的距离1．1故答案为：（2013?北京）若等比数列5n4231n+．﹣，则公比q=a+a=40a{}满足a+a=20，．10（5分）项和S=22n2；前n，解出即可利用等比数列的通项公式和已知即可得出【分析】．，再利用等比数列的前n项和公式即可得出a得到及q1，q}的公比为a【解答】解：设等比数列{n2①q=20）1=aa∵+a（+2242②q1（=a+aa+）=40353．∴①②两个式子相除，可得到==2即等比数列的公比q=2，将q=2带入①中可求出a=42则a===21∴数列{a}时首项为2，公比为2的等比数列．n n1+∴数列{a}的前n项和为：S===2﹣2．nnn1+﹣，22．故答案为：211．（5分）（2013?北京）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆．，AB=4：16，则PD=DO相交于，若PA=3，PD：DB=92，利用切割线定理可得PA=PD?PB可设PD=9x，DB=16x．：【分析】由PD：DB=916，的切线，利用OPA为圆．AB为圆O的直径，PD即可求出x，进而得到，PB．ABPA．再利用勾股定理即可得出切线的性质可得AB⊥．DB=16xPD=9x，DB=9：16，可设【解答】解：由PD：2，=PD?PB为圆O的切线，∴PA∵PA2，∴+16x），化为．∴39x=9x?（．，PB=25x=5∴PD=9x=．PAABPAO的直径，为圆O的切线，∴⊥AB∵为圆．=4=∴．故答案分别为，44的55张参观券全部分给，，，，北京）将序分别为（5．12（分）2013?1234张参观券连，那么不同的分法种数张，如果分给同一人的人，每人至少12．是962张，如果分给同一人的1人，每人至少4张参观券全部分给5求出【分析】．张参观券连的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连，其它码各为一组，分给4人，共有=96种．4×故答案为：96．若在正方形格中的位置如图所示，513．（分）（2013?北京）向量，，．4，则=（λ，μ∈R）、【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量μ=2且解之得、μ的方程组，λ=﹣、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ的值．，即可得到﹣的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系【解答】解：以向量、）32），=（﹣1，﹣，可得=（﹣1，1）=（6，，∵﹣μ=﹣∴，解之得λ=2且=4因此，=4故答案为：为E中，﹣ABCDABCD北京）如图，在棱长为514．（分）（2013?2的正方体1111．的距离的最小值为到直线点EDP的中点，BC点在线段上，PCC11，利用线面平行的判定即可EDEF，C的中点F，连接【分析】如图所示，取B111的距离．CC，进而得到异面直线DE与C得到C∥平面DEF1111，，ED的中点F，连接EF【解答】解：如图所示，取BC111，∥EF∴CC1，DEFCC?平面又EF?平面DEF，111．DEF∴CC∥平面11的距离．CCDE与C∴直线C上任一点到平面DEF的距离是两条异面直线1111，FM⊥D过点C作C111．DBCEF∵平面D⊥平面A11111．EF ⊥平面D∴CM11．CCP，则MP∥于点过点M作MP∥EF交DE11是矩形．，则四边形MPNCCN=MP，连接PN取11，DEF可得NP⊥平面1．=F，得?C 中，在Rt△DCFCM?DF=DC1111111．CCP的距离的最小值为到直线∴点1故答案为分．解答应写出文字说明，演算步骤506三、解答题共小题，共．∠AB=2b=2a=3ABC北京）在△（13．15（分）2013?中，，，∠（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值，再进行检验，从而得出结论．，∠B=2∠A，（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，【解答】解：．利用正弦定理可得，即=．解得cosA=2222，2×cc，即9=+×﹣（Ⅱ）由余弦定理可得a=b2+c×﹣2bc?cosA 2．即c﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3，，A=C=45°B=90°∠A，可得时，此时当c=3a=c=3，根据∠B=2222，故舍去．=b+a△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足c，=cosB=当c=5时，求得=，cosA=2，满足条件．，∴=cosBB=2Acos2A=2cosA﹣1=∴综上，c=5．16．（13分）（2013?北京）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；的分布列与数学期望是此人停留期间空气质量优良的天数，求（Ⅱ）设XX （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设A表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2，…，13）i）≠j?（i）=，A∩A=依据题意P（A jii（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（…（3分）B）=（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2分）6X=2）=…（=，P（X=1）=，P（（PX=0）的分布列为∴X210XP…（8分）∴X的数学期望为E（X）=…（11分）（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…（13分）17．（14分）（2013?北京）如图，在三棱柱ABC﹣ABC中，AACC是边长为411111的正方形．平面ABC⊥平面AACC，AB=3，BC=5．11（Ⅰ）求证：AA⊥平面ABC；1（Ⅱ）求证二面角A﹣BC﹣B的余弦值；111的值．，并求BAADD上存在点（Ⅲ）证明：在线段BC，使得⊥11，再利用面面垂直的性质即可⊥ACC是正方形，可得AA【分析】（I）利用AAC111证明；．通过建立空间直角坐标系，利用两个⊥ACII）利用勾股定理的逆定理可得AB （平面的法向量的夹角即可得到二面角；，可得E⊥BC于），在平面BCCB中作DEt（III）设点D的竖坐标为t，（0＜＜411，，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．，D．AC是正方形，∴AA⊥（I）证明：∵AACC【解答】111，C=AC∩平面AACAACC，平面ABC又∵平面ABC⊥平面1111．ABC∴AA⊥平面1．AB=3BC=5，（II）解：由AC=4，222．ACABAB=BC⊥∴AC，∴+，30，），B（），B（0，3，0（建立如图所示的空间直角坐标系，则A0，0，411，4），（40，4），C1，，，，，，．，，∴B，平面，，，，y的法向量为=（xBC的法向量为BC设平面A211211．z）2，，．∴x，则令y=4，解得=0，z=3，111，，．∴z，=0，解得令，x=3，y=4222＜＞，．===B的余弦值为．﹣BC﹣∴二面角A111（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCCB中作DE⊥BC于E，可得11，，，D，，，，4），3∴=，﹣=（0，，∴∵，解得t=．∴．∴）处的切线．，0：y=在点（（．（13分）2013?北京）设l为曲线C18的方程；（Ⅰ）求l的下方．在直线l，0）之外，曲线C（Ⅱ）证明：除切点（1（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；【分析】（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．（Ⅰ）∵【解答】解：∴=1|l的斜率k=y′∴x=11﹣l的方程为y=x∴）＞0lnx）﹣，（xx（Ⅱ）令f（）=x（x﹣1证明：，0）﹣lnx＞）x=x（x﹣1的下方，即曲线C在直线lf（=1﹣x）=2x﹣则f′（=01f+110xf∴（）在（，）上单调递减，在（，∞）上单调递增，又（）∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即＜x﹣1x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即＜x﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方上的三个点，：C是椭圆W19．（14分）（2013?北京）已知A，B，是坐标原点．O（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的2﹣1，从而得到A=r、横坐标满足C的横坐标相等或互为相反数．再分两不可能为OABCW的顶点时，四边形种情况加以讨论，即可得到当点B不是菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1，解之得t=（舍负）（设A1，t），得∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|?|BO|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，222=r两点是圆xy+A（r＞1），得、C|设|OA|=|OC=r2的公共点，解之得：﹣=r与椭圆1设A、C两点横坐标分别为x、x，可得A、C两点的横坐标满足21且x，x，或??=x=x?=﹣= 2121时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点?=①当x=x21（2，0）；，则且xx+x=0，?②若x==﹣?2112可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．n是由非负整数组成的无穷数列，该数列前{a}13分）（2013?北京）已知20．（n．B=A ﹣…的最小值记为B，d项的最大值记为A，第n项之后各项a，a nnn1nnn2n++的数列（即对任意43…，是一个周期为1，4，，1，4，3，2，a（Ⅰ）若{}为2n*的值；，d，d，d∈N），a=a，写出dn4231n4n+}{a2，3…）的充分必要条件为d=﹣d（n=1，（Ⅱ）设d是非负整数，证明：nn的等差数列；是公差为d，且或者2}的项只能是1，…），则{an=1（Ⅲ）证明：若a=2，d=1（，2，3nn1．1有无穷多项为的值．d，d，﹣B的定义，直接求得d，d【分析】（Ⅰ）根据条件以及d=A4n 2n1n3，d1）=a+（n﹣{（Ⅱ）设d是非负整数，若a}是公差为d的等差数列，则a1nn，d=﹣d=A﹣B从而证得nnn是一个不}a）．可得{n=1，2，3，4…=）n=1，2，3，4…．若d=A﹣B﹣d，（（nnnn减的数列，的等差数列，命题得证．是公差为}d=d，即{aad=A求得d﹣B=﹣，即a﹣nnnnnn1+的项不能等于零，再用反证法得}，则{a，，23，…）（，（Ⅲ）若a=2d=1n=1n1n，的项不能超过}2到{a n从而证得命题．的数4，是一个周期为3…，4，1，2a（Ⅰ）若【解答】解：{，3，4，1，2为}n 列，∴d=A﹣B=2﹣1=1，111d=A﹣B=2﹣1=1，d=A﹣B=4﹣1=3，d=A﹣B=4﹣1=3．442423323（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{a}是公差为d的等差数列，则a=a+（n1nn﹣1）d，∴A=a=a+（n﹣1）d，B=a=a+nd，∴d=A﹣B=﹣d，（n=1，2，3，4…）．n1n1nnnnn1+必要性：若d=A﹣B=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设a是第一个使a﹣a＜01nknknk﹣的项，则d=A﹣B=a﹣B≥a﹣a＞0，这与d=﹣d≤0相矛盾，故{a}是一个不减nnk1k1kkkkk﹣﹣的数列．∴d=A﹣B=a﹣a=﹣d，即a﹣a=d，故{a}是公差为d的等差数列．nnnn1nnnn1++（Ⅲ）证明：若a=2，d=1（n=1，2，3，…），首先，{a}的项不能等于零，否n1n则d=2﹣0=2，矛盾．1而且还能得到{a}的项不能超过2，用反证法证明如下：n假设{a}的项中，有超过2的，设a是第一个大于2的项，由于{a}的项中一定nnm有1，否则与d=1矛盾．1当n≥m时，a≥2，否则与d=1矛盾．mn因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使a=1，此时，d=A﹣B=2﹣B≤2﹣2=0，iiiii矛盾．综上，{a}的项不能超过2，故{a}的项只能是1或者2．nn下面用反证法证明{a}的项中，有无穷多项为1．n若a是最后一个1，则a是后边的各项的最小值都等于2，故d=A﹣B=2﹣2=0，kkkkk矛盾，故{a}的项中，有无穷多项为1．n综上可得，{a}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．n。
2013年高考数学理知识与能力测试题(2)
2013年高考数学理知识与能力测试题(2)DF ，右准线l 与两条渐线交于P 、Q 两点，如果△PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率ｅ＝ 。
（3）函数y =的最大值是 。
三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知)cos ,sin 3(x x m ωω=，)cos ,(cos x x ωω=，0>ω，记函数n m x f •=)(，若函数)(x f 的最小正周期为π。
(1) 求ω； (2) 当30π≤≤x 时，试求)(x f 的值域。
16．（本小题满分13分）设飞机A 有两个发动机，飞机B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，飞机就能安全飞行。
现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数tep λ--=1，其中t 为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数，试论证飞机A 与飞机B 哪一个安全(这里不考虑其他故障)。
17．(本小题满分14分)在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，E是棱BC 、CD 上的点，且 ''B F D E ⊥。
(1) 求证：CF BE =；(2) 当三角形CEF 角'C EF C --的余弦值。
18．（本小题满分14分）在xoy 平面上有一系列的点 ),,(,),,(),,(222111nny x P y x P y x P ，对于正整数n ，点nP 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若11=x ，且nn x x <+1。
(1) 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nx1是等差数列； (2) 设⊙nP 的面积为nS ，nnS S S S T ++++= 321，求证：23π<nT19．(本小题满分12分) 已知函数x ax x x f 3)(23+-=(1)若)(x f 在[)+∞∈,1x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在[]a ,1的最小值和最大值。
2013备考各地试题解析分类汇编(二)理科数学：3导数1 含答案
各地解析分类汇编（二）系列： 导 数 11.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】已知定义在R 上的函数2()sin xf x e x x x =+-+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．1y x =+B ．32y x =-C ． 21y x =-D ．23y x =-+【答案】A【解析】令0x =，解得(0)1f =. 对()f x 求导，得()f x 'xe =+2x−1+cosx，令0x =，解得(0)1f '=,故切线方程为1y x =+。
选A.2。
【北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学（理）】如果)(x f '是二次函数， 且)(x f '的图象开口向上，顶点坐标为（1,3)，那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππD ．),3[ππ【答案】B【解析】由题意可设2'()(1)0)f x a x a =-+>,即函数切线的斜率为2'()(1)k f x a x ==-+tan α≥32ππα≤<，选B.3.【北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学（理）】由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ）A ．329B ．2ln3-C ．4ln3+D ．4ln3-【答案】D【解析】由1xy =得1y x=。
当13y x==，解得13Bx=，由1xy y x=⎧⎨=⎩，解得1C x =，由3y y x=⎧⎨=⎩得3D x =。
所以根据积分的应用知所求面积为13123111133111(3)(3)(3ln )(3)4ln 4ln 323dx x dx x x x x x -+-=-+-=+=-⎰⎰.选D 。
4.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理】设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数,()f x '是)(x f 的导函数，当[]0,x π∈时，1)(0<<x f ；当),0(π∈x 且2π≠x 时 ,()()02x f x π'->，则函数x x f y sin )(-=在]2,2[ππ-上的零点个数为（ ）A.2B.4C.5 D 。
2013年高考理科数学试题分类汇：导数与积分
请考生在第 以以 以3 以4 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 .作答时 用 以B 铅笔在答题卡 把所选题目对 题号 方的方框涂黑. 答案
令3． 以0令3 普通高等学校招生全 统一招生考试江 卷 数学 题 本小题满 令6 . 设函数 f ( x) = ln x − ax , g ( x ) = e x − ax ,其中 a 为实数. Ⅲ令)若 f ( x ) 在 (1,+∞ ) 围; 是单调 函数,且 g ( x ) 在 (1,+∞ )
以0令3
一 选择题 高考湖
高考理科数学试题
类汇编：令4 导数
令 ． 以0令3
卷
理
已知 a 为常数,函数
f ( x ) = x ( ln x − ax )
有两个极值点
x1 , x2 ( x1 < x2 ) ,则
A．
f ( x1 ) > 0, f ( x2 ) > − f ( x1 ) > 0, f ( x2 ) < −
已校对纯 上OR价 版含 加
有最小值,求 a 的取值范
Ⅲ以)若 g ( x ) 在 ( −1,+∞ )
是单调增函数,试求 f ( x ) 的零点个数,并证明你的结论.
卷 加题部 答案 wor北 版 与选做题成第 以令 题,本题包括 A B 件 价 四小题,请选定其中两题 ,并在相 的答题区域 ．．．．．． 内作答,若多做,则按作答的前两题评 .解答时 写出文 说明 证明过程或演算 答案 解:Ⅲ令)由 f ' ( x) = 而由 x ∈ (1,+∞ ) 知 由 g ' ( x) = e x − a 骤.
∫
2
1
x 2 dx, S , S3 = ∫ e x dx, 则 S1S2 S3 的大小 1 x
2013高考理科数学试题分类导数与积分含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编：导数与积分一、选择题1．（新课标Ⅱ卷）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是 （ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =2 ．（江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<3．（辽宁）设函数()()()()()222,2,0,8xe ef x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ ） A ．有极大值,无极小值 B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值4．（福）设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ） A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤ B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点5．（北）直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43 B ．2 C ．83 D ．36．（浙江））已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则（ ） A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值7．（江西）设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则(1)x f =______2________8．（湖南）若209,Tx dx T =⎰则常数的值为___3______.9．（广东）若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =____1-__. 二、解答题10．（新课标Ⅱ）已知函数)ln()(m x e x f x +-=.(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >.11．（江苏卷）设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x-=)(,其中a 为实数. (1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围;(2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.12．（广东省）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .13．（2013年高考江西卷（理））已知函数1()=(1-2-)2f x a x ,a 为常数且>0a . (1) 证明:函数()f x 的图像关于直线1=2x 对称; (2) 若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围;14．（重庆数学）设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值.15．（四川）已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;16．（福建）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程;(2)求函数()f x 的极值.17．（新课标1）已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围.18．（山东）设函数2()x x f x c e =+(e =2.71828是自然对数的底数,c R ∈).(Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数.19．（浙江）已知R a ∈,函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f (1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程;(2)当]2,0[∈x 时,求|)(|x f 的最大值.20．（大纲版）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+ (I)若0x ≥时,()0f x ≤,求λ的最小值;(II)设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明： 21．（天津）已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<. 22．（北京）设L 为曲线C:ln x y x=在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方.。
山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编14：导数与积分_Word版含答案
山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编14：导数与积分一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,已知(1)f x +是偶函数(1)'()0x f x -<. 若12x x <,且122x x +>,则1()f x 与2()f x 的大小关系是（ ）A ．12()()f x f x <B ．12()()f x f x =C ．12()()f x f x >D ．不确定【答案】C 由(1)'()0x f x -<可知,当1x >时,'()0f x <函数递减.当1x <时,'()0f x >函数递增.因为函数(1)f x +是偶函数,所以(1)(1)f x f x +=-,()(2)f x f x =-,即函数的对称轴为1x =.所以若121x x <<,则12()()f x f x >.若11x <,则必有22x >,则2121x x >->,此时由21()(2)f x f x <-,即211()(2)()f x f x f x <-=,综上12()()f x f x >,选C ．2 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）设235111111,,a dx b dx c dx xxx===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是 （ ）A ．235a b c << B ．325b a c<< C ．523c a b <<D ．253a cb <<【答案】C22111ln ln 2a dx x x ===⎰,33111ln ln 3b dx x x ===⎰,55111ln ln 5c dx x x ===⎰,所以ln 222a ==,ln 3ln 33b ==,ln 555c ==.因为6328==,6239==,所以<.105232==,102525==,<,<<所以523c a b<<,选 C ．3 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3,且123,x x x <<则下列结论正确的是 （ ）A ．11x >-B ．20x <C ．32x >D ．201x <<【答案】D∵函数()()3402f x x x a a =-+<<,∴f′(x)=3x 2﹣4.令f′(x)=0,得 x=±.∵当x <,'()0f x >;在(上,'()0f x <;在)+∞上,'()0f x >.故函数在(,-∞)上是增函数,在(上是减函数,在)+∞上是增函数.故(f是极大值,f 是极小值.再由 f (x)的三个零点为x 1,x 2,x 3,且123,x x x <<得 x 1<﹣,﹣<x 2,x 3>.根据f(0)=a>0,且f()=a ﹣<0,得>x 2>0.∴0<x 2<1.选D ．4 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）若()y f x =既是周期函数,又是奇函数,则其导函数'()y f x =（ ）A ．既是周期函数,又是奇函数B ．既是周期函数,又是偶函数C ．不是周期函数,但是奇函数D ．不是周期函数,但是偶函数【答案】B因为()y f x =是周期函数,则有()()f x T f x +=,两边同时求导,得'()()''()f x T x T f x ++=,即'()'()f x T f x +=,所以导函数为周期函数.因为()y f x =是奇函数,所以()()f x f x -=-,两边求导得'()()''()f x x f x --=-,即'()'()f x f x --=-,所以'()'()f x f x -=,即导函数为偶函数,选B ．5 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的部分图像为【答案】B【解析】函数的导数为'()sin cos cos f x x x x x x =+=,即()cos k g t t t ==.则函数()g t 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,C ．当02t π<<时,()0g t >,所以排除排除D,选 B ．6 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）由曲线1xy =,直线,3y x x ==及x 轴所围成的曲边四边形的面积为 （ ）A ．116 B ．92C ．1ln 32+ D ．4ln 3-【答案】C【解析】由1xy =得1y x =,由1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得1D x =,所以曲边四边形的面积为132130101111ln ln 322xdx dx x x x +=+=+⎰⎰,选 C ．7 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）若函数1()e (0,)axf x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切,则a b +的最大值是 （ ）A ．4B．C ．2D【答案】D 函数的导数为1'()e ax f x a b =-⋅,所以01'(0)e af a b b=-⋅=-,即在0x =处的切线斜率为a k b =-,又011(0)e f b b =-=-,所以切点为1(0,)b -,所以切线方程为1ay x b b+=-,即10ax by ++=,圆心到直线10ax by ++=的距离1d ==,即221a b +=,所以2212a b ab +=≥,即102ab <≤.又222()21a b a b ab +=+-=,所以2()21112a b ab +=+≤+=,即a b +≤所以a b +,选D ．8 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）函数sin e ()x yx =-π≤≤π的大致图象为【答案】D 因为函数为非奇非偶函数,所以排除A,C ．函数的导数为sin 'cos xy e x =⋅由sin 'cos 0x y e x =⋅=,得cos 0x =,此时2x π=或2x π=-.当02x π<<时,'0y >,函数递增.当2x ππ<<时,'0y <,函数递减,所以2x π=是函数的极大值,所以选D ．(A)(B)(C)(D)9 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则（ ）A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<【答案】C 由()f x =(4)f x -,可知函数关于2x =对称.由()2(),xf x f x ''>得(2)()0x f x '->,所以当2x >时,()0f x '>,函数递增,所以当2x <时,函数递减.当24a <<,21log 2a <<,24222a <<,即4216a <<.所以22(log )(4log )f a f a =-,所以224log 3a <-<,即224log 32a a <-<<,所以2(4log )(3)(2)af a f f -<<,即2(log )(3)(2)a f a f f <<,选C ．10．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数,且'(1)1f =,(2)(2),f x f x +=-则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为 （ ） A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】D【 解析】由(2)(2),f x f x +=-得(4)(),f x f x +=可知函数的周期为4,又函数)(x f 为偶函数,所以(2)(2)=(2)f x f x f x +=--,即函数的对称轴为2x =,所以(5)(3)(1)f f f -==,所以函数在5-=x 处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f =-=-=-,选D ．二、填空题11．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）10(2)x e x dx -=⎰____________________.【答案】2e -12100(2)()2x x e x dx e x e -=-=-⎰.12．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）221x dx =⎰_____________;【答案】73【 解析】22321118173333x dx x ==-=⎰. 13．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）由曲线23yx =-和直线2y x =所围成的面积为【答案】323【解析】由232y x y x⎧=-⎨=⎩得1x =或3x =-,所以曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为1232133132(32)(3)33x x dx x x x ----=--=⎰. 14．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知2(),()(1),x f x xe g x x a ==-++若12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立,则实数a 的取值范围是.【答案】1a e≥-【解析】'()(1)xxxf x e xe x e =+=+,当1x >-时,'()0f x >函数递增;当1x <-时,'()0f x <函数递减,所以当1x =-时()f x 取得极小值即最小值1(1)f e-=-.函数()g x 的最大值为a ,若12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立,则有()g x 的最大值大于或等于()f x 的最小值,即1a e≥-.15．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））抛物线2yx =在A(l,1)处的切线与y 轴及该抛物线所围成的图形面积为.【答案】13【解析】函数2y x =的导数为'2y x =,即切线斜率为2k =,所以切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-,由221y x y x=-⎧⎨=⎩,解得1x =,所以所求面积为112232100011((21))(21)()33x x dx x x dx x x x --=-+=-+=⎰⎰. 16．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰,则a 的值是_____________ ;【答案】2 由 22111(2)(ln )ln 13+ln2aax dx x x a a x+=+=+-=⎰,所以213ln ln2a a ⎧-=⎨=⎩,解得2a =. 17．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知函数()f x 的定义域为[]1,5-,部分对应值如下表,()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示,给出关于()f x 的下列命题:①函数()2y f x x ==在时,取极小值②函数()[]0,1f x 在是减函数,在[]1,2是增函数,③当12a <<时,函数()y f x a =-有4个零点④如果当[]1,x t ∈-时,()f x 的最大值是2,那么t 的最小值为0,其中所有正确命题序号为_________. 【答案】①③④【解析】由导数图象可知,当10x -<<或24x <<时,'()0f x >,函数递增.当02x <<或45x <<时,'()0f x <,函数递减.所以在2x =处,函数取得极小值,所以①正确,②错误.当12a <<时,由()0y f x a =-=得()f x a =.由图象可知,此时有四个交点,所以③正确.当[]1,x t ∈-时,()f x 的最大值是2,由图象可知0t ≥,所以t 的最小值为0,所以④正确.综上所有正确命题序号为①③④.18．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知(),103202=+⎰dx t x则常数t =_________.【答案】1【解析】()2232003()8210xt dx x tx t +=+=+=⎰,解得1t =.19．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）给出下列命题:①函数24xy x =+在区间[1,3]上是增函数;②函数f(x)=2x -x 2的零点有3个;③函数y= sin x(x ∈],[ππ-)图像与x 轴围成的图形的面积是S= ⎰-ππxdx sin ;④若ξ~N(1,2σ),且P(0≤ξ≤1)=0.3,则P(ξ≥2)=0.2. 其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上): 【答案】②④①2224'(4)x y x -+=+,由2224'0(4)x y x -+=>+,解得22x -<<,即函数的增区间为(2,2)-,所以①错误.②正确.③当0x π-≤≤时,sin 0x ≤,所以函数y= sin x(x ∈],[ππ-)图像与x 轴围成的图形的面积是sin x dx ππ-⎰,所以③错误.④因为12(01)10.6(2)0.222P P ξξ-≤≤-≥===,所以④正确,所以正确的为②④.三、解答题20．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））函数()R a x ax nx x x f ∈--=21)(.(I)若函数)(x f 在1=x 处取得极值,求a 的值;(II)若函数)(x f 的图象在直线x y -=图象的下方,求a 的取值范围; (III)求证:2012201320132012<.【答案】21．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数1()(01)1f x x x x nx=≠＞且 (1)求函数()f x 的单调区间;(2)已知1121n a nx x＞对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围.【答案】22．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数()2ln f x x ax x =+-.(1)若1a =,试求函数()f x 的单调区间;(2)过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线,证明:切点的横坐标为1;(3)令()()xf xg x e =,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数,求a 的取值范围.【答案】解: (1)1a =时, 2()(0)f x x x lnx x =+->1'()21f x x x ∴=+-(21)(1)x x x -+=()()110,,'0,,,'022x f x x f x ⎛⎫⎛⎫∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)设切点为()(),M t f t ,()1'2f x x ax x=+- 切线的斜率12k t a t=+-,又切线过原点()f t k t=()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t tt =+-+-=+-∴-+=，即：1t =满足方程21ln 0t t -+=,由21,ln y x y x =-=图像可知21ln 0x x -+=有唯一解1x =,切点的横坐标为1; 或者设()21ln t t t ϕ=-+,()1'20t t tϕ=+>()()0+t ϕ∞在，递增,且()1=0ϕ,方程21ln 0t t -+=有唯一解(3)()()()''xf x f xg x e-=,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数,则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即,所以()212ln 10x x x a x x-+-+-≥---(*) ()()212ln 1h x x x x a x x =-+-+-设()()()222122111'222x x x h x x a a x x x -++=---+=--+若2a ≤,则()'0,h x ≤()h x 在(]0,1递减,()()10h x h ≥=即不等式()()',(0,1],f x f x x ≤∀∈恒成立若2a >,()()232112122'20x x x x x x x ϕϕ=---∴=++> ()x ϕ在(]0,1上递增,()()12x ϕϕ≤=-()()000,1,x x aϕ∃∈=-使得()()0,1,x x x a ϕ∈>-,即()'0h x >,()(]0,1h x x 在上递增,()()10h x h ≤=这与(]0,1x ∀∈,()212ln 10x x x a x x -+-+-≥矛盾综上所述,2a ≤解法二:()()()''xf x f xg x e-=,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数,则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即,所以()212ln 10x x x a x x-+-+-≥ 显然1x =,不等式成立 当()0,1x ∈时,212ln 1x x x x a x-+-≤-恒成立 设()()()22221112ln 21ln ,'11x x x x x x x x x h x h x x x -+--+--+-==-- 设()()()()()223121121ln ,'210x x x x x x x x x x x ϕϕ-+=-+--+-=-+> ()x ϕ在()0,1上递增,()()10x ϕϕ<= 所以()'0h x <()h x 在()0,1上递减,()()221112ln 111limlim 2221x x x x xx h x h x x x x →→-+-⎛⎫>==-+++= ⎪-⎝⎭所以 2a ≤23．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知函数32()f x ax bx =+在点(3,(3))f 处的切线方程为122270x y +-=,且对任意的[)0,x ∈+∞,()ln(1)f x k x '≤+恒成立. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)求实数k 的最小值; (Ⅲ)求证:1111ln(1)223n n++++<++ (*N n ∈). 【答案】解:(Ⅰ)将3x =代入直线方程得92y =-,∴92792a b +=-① 2()32,(3)6f x ax bx f ''=+=-,∴2766a b +=-②①②联立,解得11,32a b =-= ∴3211()32f x x x =-+ (Ⅱ)2()=f x x x '-+,∴2ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立; 即2ln(1)0x x k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立;设2()ln(1)g x x x k x =-++,(0)0g =, ∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++设2()21h x x x k =++-,【D 】1．)当=18(1)0k ∆--≤,即98k ≥时,()0h x ≥,∴()0g x '≥ ()g x 在[)0,+∞单调递增,∴()(0)g x g ≥【D 】2．)当=18(1)0k ∆-->,即98k <时,设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x < 由1212x x +=-,可知10x <,分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥;∴10,1k k -≥≥,∴918k ≤<综上分析,实数k 的最小值为1(Ⅲ)令1k =,有2ln(1),x x x -+≤+即2ln(1)x x x ≤++在[)0,x ∈+∞恒成立;令1x n=,得221111ln(1)ln(1)ln n n n n n n ≤++=++-∴22222211111111(ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln(1)ln )2323111=1ln(1)231111ln(1)1223(1)12ln(1)2ln(1)n n n nn nn n n n n n++++≤+++++-+-+++-++++++<++++++⨯⨯-=-++<++ ∴原不等式得证24．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数()sin x f x e x =(1)求函数()f x 单调递增区间;(2)当[0,]x π∈时,求函数()f x 的最大值和最小值.【答案】解:(1)'()(sin cos )x f x e x x =+sin()4x x π=+'()0,sin()0.4f x x π≥∴+≥322,22,444k x k k x k ππππππππ∴≤+≤+-≤≤+即 3()2,2,44f x k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调增区间为(2)[]0,,x π∈ 3310,,44x x πππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由（）知，是单调增区间，是单调减区间343(0)0,()0,(),4f f f e πππ===所以43max22)43(ππe f f ==,0)()0(min ===πf f f25．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++. (Ⅰ)当0a =时,求()f x 的极值; (Ⅱ)当0a ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)当2a =时,对任意的正整数n ,在区间11[,6]2n n++上总有4m +个数使得1231234()()()()()()()()m m m m m f a f a f a f a f a f a f a f a +++++++<+++ 成立,试问:正整数m 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由【答案】解:(I)函数()f x 的定义域为(0,)+∞当0a =时,1()2ln f x x x =+,∴222121()x f x x x x -'=-= 由()0f x '=得12x =. ()f x ,()f x '随x 变化如下表:由上表可知,()()22ln 22f x f ==-极小值,没有极大值(II)由题意,222(2)1()ax a x f x x +--'=.令()0f x '=得11x a =-,212x = 若0a >,由()0f x '≤得1(0,]2x ∈;由()0f x '≥得1[,)2x ∈+∞若0a <,① 当2a <-时,112a -<,1(0,]x a ∈-或1[,)2x ∈+∞,()0f x '≤;11[,]2x a ∈-,()0f x '≥.②当2a =-时,()0f x '≤. ③当20a -<<时,112a ->,1(0,]2x ∈或1[,)x a ∈-+∞,()0f x '≤;11[,]2x a∈--,()0f x '≥.综上,当0a >时,函数的单调递减区间为1(0,]2,单调递增区间为1[,)2+∞; 当2a <-时,函数的单调递减区间为1(0,]a -,1[,)2+∞,单调递增区间为11[,]2a -; 当2a =-时,函数的单调减区间是(0,)+∞, 当20a -<<时,函数的单调递减区间为1(0,]2,1[,)a -+∞,单调递增区间为11[,]2a--. (Ⅲ) 当2a =时,1()4f x x x=+,2241()x f x x -'=. ∵11[,6]2x n n∈++,∴()0f x '≥.∴min 1()()42f x f ==,max 1()(6)f x f n n=++ 由题意,11()4(6)2mf f n n<++恒成立.令168k n n =++≥,且()f k 在1[6,)n n +++∞上单调递增,min 1()328f k =,因此1328m <,而m 是正整数,故32m ≤,所以,32m =时,存在123212a a a ==== ,12348m m m m a a a a ++++====时,对所有n 满足题意.∴32max m =26．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知函数f(x)=axlnx 图像上点(e,f(e))处的切线与直线y=2x 平行(其中e= 2.71828),g(x)=x 2-x 2-tx-2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;(3)对一切x ∈(]e ,0,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t 的取值范围.【答案】27．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）(本小题满分l3分)已知函数3f (x )a ln x ax (a R )=--∈.(I)若a=-1,求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)若函数y f (x )=的图象在点(2,f (2))处的切线的倾斜角为45o,对于任意的t ∈ [1,2],函数322mg(x )x x [f '(x )](f '(x )=++是f (x )的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m 的取值范围;(Ⅲ)求证:23412234*ln ln ln ln n ...(n ,n N )n n⨯⨯⨯⨯<≥∈ 【答案】解:(Ⅰ)当1a =-时,(1)'() (0)x f x x x-=> 解'()0f x >得),1(+∞∈x ;解'()0f x <得)1,0(∈x )(x f 的单调增区间为()+∞,1,减区间为()1,0(Ⅱ)∵)0()1()('>-=x xx a x f ∴12)2('=-=af 得2-=a ,32ln 2)(-+-=x x x fx x mx x g 2)22()(23-++=,∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数,且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g由题意知:对于任意的]2,1[∈t ,'()0g t <恒成立,所以,'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩,∴9337-<<-m . (Ⅲ)证明如下: 由(Ⅰ)可知当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >,即01ln >-+-x x , ∴0ln 1x x <<-对一切),1(+∞∈x 成立∵2,≥∈N *n n ,则有1ln 0-<<n n ,∴nn n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈28．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知向量(,ln )xm e x k =+ ,(1,())n f x = ,//m n (k 为常数, e 是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直,()()x F x xe f x '=.(Ⅰ)求k 的值及()F x 的单调区间;(Ⅱ)已知函数2()2g x x ax =-+(a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈,总存在1(0,)x ∈+∞, 使得21()()g x F x <,求实数a 的取值范围.【答案】解:(I)由已知可得:()f x =1xnx k e+1ln ()x x k x f x e --'∴=,由已知,1(1)0kf e-'==,∴1k = ∴()()x F x xe f x '=1(ln 1)1ln x x x x x x=--=--所以()ln 2F x x '=--由21()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤,由21()ln 20F x x x e'=--≤⇒≥()F x ∴的增区间为21(0,]e ,减区间为21[,)e+∞(II) 对于任意2[0,1]x ∈,总存在1(0,)x ∈+∞, 使得21()()g x F x <,∴max max ()()g x F x < 由(I)知,当21x e =时,()F x 取得最大值2211()1F e e=+ 对于2()2g x x ax =-+,其对称轴为x a =当01a <≤时,2max ()()g x g a a ==, ∴2211a e <+,从而01a <≤ 当1a >时,max ()(1)21g x g a ==-, ∴21211a e -<+,从而21112a e<<+综上可知: 21012a e<<+29．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知函数()ln(1)(1)1()f x x k x k =---+∈R ,(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若()0f x ≤恒成立,试确定实数k 的取值范围; (Ⅲ)证明:ln 2ln 334++ln 1n n ++<(1)4n n -(,n N n ∈>1).【答案】30．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知函数22af(x)a ln x x(a)x=-++≠(I)若曲线y f (x )=在点(1,1f ()))处的切线与直线20x y -=垂直,求实数a 的值; (Ⅱ)讨论函数f (x )的单调性;(Ⅲ)当0a (,)∈-∞时,记函数f (x )的最小值为g(a),求证:4()g a e -≥-【答案】31．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知32()1,()2f x x nx g x x ax x ==+-+(1)求函数()f x 的单调区间;(2)求函数()f x 在[t,t+2](0t >)上的最小值;(3)对一切的(0,),2()'()2x f x g x ∈+∞≤+恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】32．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）已知函数21()e ln ,()ln 1,()2f x xg x x xh x x ==--=. (Ⅰ)求函数()g x 的极大值.(Ⅱ)求证:存在0(1,)x ∈+∞,使01()()2g x g =;(Ⅲ)对于函数()f x 与()h x 定义域内的任意实数x ,若存在常数k,b,使得()f x kx b +≤和()h x kx b +≥都成立,则称直线y kx b =+为函数()f x 与()h x 的分界线.试探究函数()f x 与()h x 是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k ,b 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)11()1(0).x g x x x x-'=-=＞ 令()0,g x '＞解得01;x ＜＜ 令()0,g x '＜解得1x ＞.∴函数()g x 在(0,1)内单调递增,在(1,)+∞上单调递减. 所以()g x 的极大值为(1) 2.g =-(Ⅱ)由(Ⅰ)知()g x 在(0,1)内单调递增,在(1,)+∞上单调递减,令1()()()2x g x g ϕ=- ∴1(1)(1)()0,2g g ϕ=-＞取e 1,x '=＞则111(e)(e)()ln e (e 1)ln (1)222g g ϕ=-=-+-++3e ln 20.2=-++＜故存在0(1,e),x ∈使0()0,x ϕ=即存在0(1,),x ∈+∞使01()().2g x g = (说明:x '的取法不唯一,只要满足1,x '＞且()0x ϕ'＜即可) (Ⅱ)设21()()()eln (0)2F x h x f x x x x =-=-＞则2e e ()x F x x x x -'=-==则当0x ＜,()0F x '＜,函数()F x 单调递减;当x 时,()0F x '＞,函数()F x 单调递增.∴x =()F x 的极小值点,也是最小值点,∴min ()0.F x F ==∴函数()f x 与()h x 的图象在x =1e 2).设()f x 与()h x 存在“分界线”且方程为1e (2y k x -=,令函数1()e 2u x kx =+-①由()h x ≥()u x ,得211e 22x kx +-≥在x ∈R 上恒成立,即22e 20x kx --+在x ∈R 上恒成立,∴2=44(e 20k ∆--+≤,即24(0k -≤,∴k =故1() e.2u x =-②下面说明:()()f x u x ≤,即1eln e(0)2x x -＞恒成立.设1()eln e 2V x x =+则e ()V x x '==∵当0x ＜,()0V x '＞,函数()V x 单调递增,当x 时,()0V x '＜,函数()V x 单调递减,∴当x =,()V x 取得最大值0,max ()()0V x V x =≤.∴1eln e(0)2x x -＞成立.综合①②知1()e,2h x -且1()e,2f x -故函数()f x 与()h x 存在“分界线”1e 2y =-,此时1e.2k b ==-33．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为2k ⎡+⎢⎢⎣元.假设座位等距分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为y 元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当k=50米时,试确定座位的个数,使得总造价最低? 【答案】34．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知函数()()ln f x x x ax a R =+∈(I)若函数()f x 在区间)2,e ⎡+∞⎣上为增函数,求a 的取值范围;(II)若对任意()()()1,,1x f x k x ax x ∈+∞>-+-恒成立,求正整数k 的值.【答案】35．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知函数()ln ,()x f x ax x g x e =+=.(I)当0a ≤时,求()f x 的单调区间(Ⅱ)若不等式()g x<,求实数m 的取值菹围; (Ⅲ)定义:对于函数()y F x =和()y G x =在其公共定义域内的任意实数0x .,称00()()F x G x -的值为两函数在0x 处的差值.证明:当a=0时,函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有差值都大干2.【答案】36．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数),1()1ln()1(2)1(2)(2+∞∈--+-+=x x a x a x x f .(1)23=x 是函数的一个极值点,求a 的值; (2)求函数)(x f 的单调区间; (3)当2=a 时,函数）0(,)(2>--=b b x x g ,若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈1,11,21e e m m ,e e m f m g 22|)()(|212+<-都成立,求b 的取值范围.【答案】解:(1)函数)1(1)1(2)1(2)(2--+-+=x n a x a x x f 1)1(2)1(22)(--+-+='x a a x x f , 23=x 是函数的一个极值点 0)23(='∴f解得:23=a(2)1)(21)1(2)1(22--=--+-+='x a x x x a a x f ），的定义域是（又∞+1)(x f），）的单调增区间为（（时，函数当∞+≤∴11x f a 为增区间）为减区间，（，时，（当),11+∞〉a a a(3)当a=2时,由(2)知f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.3)1(,11)11(,0)2(22-=++=+=e e f e e f f]3,0[]1,11[)(2-++=∴e e ex f y 的值域在为减函数在]1,11[)(2++--=e e b x x g])11(,1[]1,11[)(22b eb e e e x g y -+--+-++=∴）（的值域为在b>0成立，只要所以e e m g m f b e b e22)()(0)1(,0)11(22122+〈-〈-+-〈-+-∴成立即可e e b e e b e e b e e 22222)1(3))1(3222222+〈+-+=+++-=-+---解得:0<b<237．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =.(I)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (II)当 1x ≥时,不等式()1tf x x ≥+恒成立,求实数t 的取值范围; (III)求证()()()22*1!1n n n e n N -+>+∈⎡⎤⎣⎦ .【答案】解:(Ⅰ)由题意()1ln xk f x x+==,0x > 所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+⎪⎝⎭(其中0m >)上存在极值, 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩得213m <<. 即实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，(Ⅱ)由()1tf x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤令()()()11ln x x g x x++=则()2ln x xg x x-'=令()ln h x x x =- 则()111=xh x x x-'=-因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=所以实数t 的取值范围是(],2-∞(Ⅲ)由(Ⅱ) 知()21f x x ≥+恒成立, 即 1ln 2122ln 11111x x x x x x x x+-≥⇔≥=->-+++令()1,x n n =+则()()2ln 111n n n n +>-+所以()2ln 12112⨯>-⨯, ()2ln 23123⨯>-⨯, ,()()2ln 111n n n n +>-+.所以()()222111ln 1231212231n n n n n ⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦⨯⨯+⎣⎦12121n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭所以()22221231n n n e-⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+>所以()()()221!1n n n en -*+>+⋅∈⎡⎤⎣⎦N38．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知函数21()122f x nx ax x =-- (1)若函数()f x 在x=2处取得极值,求实数a 的值; (2)若函数()f x 在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围; (3)当12a =-时,关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.【答案】39．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x 元时,产品一年的销售量为x ke(e 为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元,最高不超过41元.(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.【答案】40．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）设函数x xe x f =)(.(1) 求)(x f 的单调区间与极值;(2)是否存在实数a ,使得对任意的),(21+∞∈a x x 、,当21x x <时恒有ax a f x f a x a f x f -->--1122)()()()(成立.若存在,求a 的范围,若不存在,请说明理由.【答案】解: (1)x e x x f )1()(+='.令0)(='x f ,得1-=x ;)(x f ∴的单调递减区间是)1,(--∞,单调递增区间是),1(+∞-)(x f 极小值=e f 1)1(-=-(2) 设a x a f x f x g --=)()()(,由题意,对任意的),(21+∞∈a x x 、,当21x x <时恒有)()(12x g x g >,即)(x g y =在),(+∞a 上是单调增函数222222()()[()()](1)()()()()()()()x x axxaxxxaf x x a f x f a x e x a xe aeg x x a x a x x ax a e xe ae x e axe ae aex a x a '---+--+'==--+---+--+==--),(+∞∈∀a x ,0)(≥'x g令0)(2≥+--=axxxae ae axe e x x h2()2(1)(2)(2)x x x x x x h x xe x e a x e ae x x e a x e '=+-+-=+-+ (2)()x x x a e =+-若2-≥a ,当a x >时,0)(>'x h ,)(x h 为),[+∞a 上的单调递增函数,0)()(=>∴a h x h ,不等式成立若2-<a ,当)2,(-∈a x 时,0)(<'x h ,)(x h 为]2,[-a 上的单调递减函数,)2,(0-∈∃∴a x ,0)()(0=<a h x h ,与),(+∞∈∀a x ,0)(≥x h 矛盾所以,a 的取值范围为)[-2,+∞41．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知函数()()()()201,10.x f x ax bx c e f f =++==且(I)若()f x 在区间[]0,1上单调递减,求实数a 的取值范围;(II)当a=0时,是否存在实数m 使不等式()224141xf x xe mx x x +≥+≥-++对任意x R ∈恒成立?若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.【答案】42．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设函数321()(4),()ln(1)3f x mx m xg x a x =++=-,其中0a ≠. ( I )若函数()y g x =图象恒过定点P,且点P 关于直线32x =的对称点在()y f x =的图象上,求m 的值;(Ⅱ)当8a =时,设()'()(1)F x f x g x =++,讨论()F x 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设(),2()(),2f x x G x g x x ≤⎧=⎨>⎩,曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q, 使△OPQ(O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)令ln(1)0x -=,则2x =,(2,0)P \关于32x =的对称点为(1,0), 由题知1(1)0,(4)0,33f m m m =\++=\=- (Ⅱ)2()2(4)8ln F x mx m x x =+++,定义域为(0,)+ , 8()2(82)F x mx m x¢=+++ 22(82)8mx m x x+++= (28)(1)mx x x++= 0,x >Q 则10x +>,\当0m ³时,280,()0,mx F x ¢+>>此时()F x ¥在(0,+)上单调递增, 当0m <时,由4()00,F x x m ¢><<-得 由4()0,F x x m ¢<>-得 此时4()0,F x m骣÷ç-÷ç÷ç桫在上为增函数, 在4,m骣÷ç-+ ÷ç÷ç桫为减函数, 综上当0m ³时,()F x ¥在(0,+)上为增函数, 0m <时,在40,m 骣÷ç-÷ç÷ç桫上为增函数,在4,m骣÷ç-+ ÷ç÷ç桫为减函数 (Ⅲ)由条件(Ⅰ)知32,2,()ln(1),2,x x x G x a x x ìï-+ ï=íï->ïî. 假设曲线()y G x =上存在两点P 、Q 满足题意,则P 、Q 两点只能在y 轴两侧,设(,())(0),P t G t t >则32(,),Q t t t -+ POQ D Q 是以O 为直角顶点的直角三角形,2320,()()0OP OQ t G t t t \?\-++=uur uuu r .①(1)当02t < 时,32(),G t t t \=-+此时方程①为23232()()0,t t t t t -+-++=化简得4210t t -+=.此方程无解,满足条件的P 、Q 两点不存在(2)当2t >时,()ln(1)G t a t =-,方程①为232ln(1)()0,t a t t t -+-+= 即1(1)ln(1),t t a=+- 设()(1)ln(1)(1),h t t t t =+->则1()ln(1),1t h t t t +¢=-+- 显然当2t >时()0()h t h t > 即在(2,+)为增函数, ()h t \的值域为((2),),h +ゥ即(0,+),\当0a >时方程①总有解.综上若存在P 、Q 两点满足题意,则a 的取值范围是¥(0,+)43．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知函数2(),()1(1)f x ax x g x n x =+=+.(1)若a=l,求()()()F x g x f x =-在(1,)-+∞上的最大值;(2)利用(1)的结论证明:对任意的正整数n,不等式234121(1)49n n n n++++>+ 都成立: (3)是否存在实数a(a>0),使得方程2(1)'()(41)g x f x a x -=--在区间1(,)e e 内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】。
2013年全国高考函数与导数真题汇编 -
2013年全国高考函数与导数真题汇编一、选择题1. 【2013·安徽理·4】" a≤0"是"函数f(x)=∣(ax−1)x∣在区间(0,+∞)内单调递增"的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 【2013·安徽理·8】函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,⋯,x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}3. 【2013·安徽理·10】若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 【2013·北京理·10】函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y轴对称，则f(x)=( )A. e x+1B. e x−1C. e−x+1D. e−x−15. 【2013·福建理·8】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A. ∀x∈R,f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点6. 【2013·广东理·8】定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 17. 【2013·湖北理·8】已知a为常数，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则( )A. f(x1)>0，f(x2)>−12B. f(x1)<0，f(x2)<−12C. f(x1)>0，f(x2)<−12D. f(x1)<0，f(x2)>−128. 【2013·湖南理·8】函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2−4x+5的图象的交点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 09. 【2013·江西理·2】函数y=√xln(1−x)的定义域为( )A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1]10.【2013·江西理·10】如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点．设弧FG⏜的长为x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f(x)的图象大致是( )A. B.C. D.11. 【2013·辽宁理·11】已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8，设H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}（max{p,q}表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值）．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A−B=( )A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−1612. 【2013·辽宁理·12】设函数f(x)满足x2fʹ(x)+2xf(x)=e xx ，f(2)=e28，则x>0时，f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值13. 【2013·全国大纲理·4】已知函数f(x)的定义域为(−1,0)，则函数f(2x+1)的定义域为( )A. (−1,1)B. (−1,−12)C. (−1,0)D. (12,1)14. 【2013·全国大纲理·5】函数f(x)=log2(1+1x)(x>0)的反函数f−1(x)=( )A. 12x−1(x>0) B. 12x−1(x≠0)C. 2x−1(x∈R)D. 2x−1(x>0)15. 【2013·全国大纲理·9】若函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数，则a的取值范围是( )A. [−1,0]B. [−1,+∞)C. [0,3]D. [3,+∞)16. 【2013·新课标Ⅱ理·8】设a=log36，b=log510，c=log714，则( )A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c17. 【2013·新课标Ⅱ理·10】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )A. ∃x0∈R，f(x0)=0B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减D. 若x0是f(x)的极值点，则fʹ(x0)=018. 【2013·陕西理·3】已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=( )A. 2B. 1C. 0D. −219. 【2013·四川理·7】函数y=x33x−1的图象大致是( )A. B. C. D.20. 【2013·四川理·10】设函数 f (x )=√e x +x −a （a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线 y =sinx 上存在 (x 0,y 0) 使得 f(f (y 0))=y 0，则 a 的取值范围是 ( ) A. [1,e ] B. [e −1−1,1] C. [1,1+e ] D . [e −1−1,e +1]21. 【2013·天津理·7】函数 f (x )=2x ∣log 0.5x ∣−1 的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 422. 【2013·天津理·8】已知函数 f (x )=x (1+a∣x∣)．设关于 x 的不等式 f (x +a )<f (x ) 的解集为 A ，若 [−12,12]⊆A ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (1−√52,0) B. (1−√32,0)C. (1−√52,0)∪(0,1+√32) D. (−∞,1−√52)23. 【2013·浙江理·3】已知 x ，y 为正实数，则 ( )A. 2lgx+lgy =2lgx +2lgyB. 2lg (x+y )=2lgx ⋅2lgyC. 2lgx⋅lgy =2lgx +2lgyD. 2lg (xy )=2lgx ⋅2lgy 24. 【2013·浙江理·8】已知 e 为自然对数的底数，设函数 f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1,2) ，则 ( ) A. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 B. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值 C. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 D. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值25. 【2013·重庆理·6】若 a <b <c ，则函数 f (x )=(x −a )(x −b )+(x −b )(x −c )+(x −c )(x −a ) 的两个零点分别位于区间 ( ) A. (a,b ) 和 (b,c ) 内 B. (−∞,a ) 和 (a,b ) 内 C. (b,c ) 和 (c,+∞) 内 D. (−∞,a ) 和 (c,+∞) 内二、填空题1.【2013·湖北理·12】若曲线 y =kx +lnx 在点 (1,k ) 处的切线平行于 x 轴， 则 k = ．2. 【2013·湖南理·12】若 ∫x 2T0dx =9，则常数 T 的值为________________ ．3. 【2013·湖南理·16】设函数 f (x )=a x +b x −c x ，其中 c >a >0，c >b >0． （1）记集合 M ={(a,b,c )∣ a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a =b}，则 (a,b,c )∈M 所对应的 f (x ) 的零点的取值集合为________________ ；（2）若 a ，b ，c 是 △ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________________ ．（写出所有正确结论的序号） ① ∀x ∈(−∞,1)，f (x )>0； ② ∃x ∈R ，使 a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若 △ABC 为钝角三角形，则 ∃x ∈(1,2)，使 f (x )=0．4. 【2013·江苏理·11】已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时， f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为________________ ．5. 【2013·江苏理·13】在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A (a,a ) ， P 是函数 y =1x(x >0) 图象上一动点，若点 P,A 之间的最短距离为 2√2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为________________ ．6. 【2013·江西理·13】设函数 f (x ) 在 (0,+∞) 内可导，且 f (e x )=x +e x ，则 fʹ(1)=________________ ．7. 【2013·新课标Ⅰ理·16】若函数 f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b ) 的图象关于直线 x =−2 对称，则 f (x ) 的最大值是________________ ．8. 【2013·陕西理·16】定义"正对数"：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，现有四个命题：①若 a >0,b >0，则 ln +(a b )=bln +a ；②若 a >0,b >0，则 ln +(ab )=ln +a +ln +b ； ③若 a >0,b >0，则 ln +(ab)≥ln +a −ln +b ；④若 a >0,b >0，则 ln +(a +b )≤ln +a +ln +b +ln2．其中真命题有________________ （写出所有真命题的编号）．9. 【2013·上海理·12】设 a 为实常数，y =f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=9x +a 2x+7，若 f (x )≥a +1 对一切 x ≥0 成立，则 a 的取值范围为________________ ．10. 【2013·上海理·14】对区间 I 上有定义的函数 g (x )，记 g (I )={y∣ y =g (x ),x ∈I }，已知定义域为 [0,3] 的函数 y =f (x ) 有反函数 y =f −1(x )，且 f −1([0,1))=[1,2),f −1((2,4])=[0,1)，若方程 f (x )−x =0 有解 x 0，则 x 0=________________ ．11. 【2013·四川理·14】已知 f (x ) 是定义域为 R 的偶函数，当 x ≥0 时， f (x )=x 2−4x ，那么，不等式 f (x +2)<5 的解集是________________ ．2013参考答案一、选择题1. C2. B3. A4. D5. D6. C7. D8. B9. B 10. D 11. B 12. D 13. B 14. A 15 D 16. D 17. C 18. D 19. C 20. A 21. B 22. A 23. D 24. C 25. A二、填空题1. -12. 33. {x∣ 0<x≤1}；①②③4. (−5,0)∪(5,+∞)5. −1；√106. 27. 168. ①③④9. a≤−8710. 211. {x∣ −7<x<3}2013年高考真题1. 【2013·安徽理·20】设函数f n(x)=−1+x+x222+x332+⋯+x nn2(x∈R,n∈N∗)．证明：Ⅰ 对每个n∈N∗，存在唯一的x n∈[23,1]，满足f n(x n)=0；Ⅰ 对任意p∈N∗，由（1）中x n构成的数列{x n}满足0<x n−x n+p<1n．2. 【2013·北京理·20】设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线．Ⅰ 求L的方程；Ⅰ 证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．3. 【2013·广东理·17】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)．Ⅰ 当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 求函数f(x)的极值．4. 【2013·福建理·17】设函数 f (x )=(x −1)e x −kx 2(k ∈R )． Ⅰ 当 k =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 当 k ∈(12,1] 时，求函数 f (x ) 在 [0,k ] 上的最大值 M ．5. 【2013·湖北理·22】设 n 为正整数，r 为正有理数． Ⅰ 求函数 f (x )=(1+x )r+1−(r +1)x −1(x >−1) 的最小值； Ⅰ 证明：n r+1−(n−1)r+1r+1<n r <(n+1)r+1−n r+1r+1;Ⅰ 设 x ∈R ，记 [x ] 为不小于 x 的最小整数，例如 [2]=2，[π]=4，[−32]=−1．令 S =√813+√823+√833+⋯+√1253，求 [S ] 的值．（参考数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7）6. 【2013·湖南理·22】已知 a >0，函数 f (x )=∣∣x−a x+2a ∣∣．Ⅰ 记 f (x ) 在区间 [0,4] 上的最大值为 g (a )，求 g (a ) 的表达式；Ⅰ 是否存在 a ，使函数 y =f (x ) 在区间 (0,4) 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．7. 【2013·江苏理·20】设函数 f (x )=lnx −ax,g (x )=e x −ax ，其中 a 为实数．Ⅰ 若 f (x ) 在 (1,+∞) 上是单调减函数，且 g (x ) 在 (1,+∞) 上有最小值，求 a 的取值范围；Ⅰ 若 g (x ) 在 (−1,+∞) 上是单调增函数，试求 f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．8. 已知函数f(x)=a(1−2∣∣x−12∣∣)，a为常数且a>0．Ⅰ 证明：函数f(x)的图象关于直线x=12对称；Ⅰ 若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2，试确定a的取值范围；Ⅰ 对于（2）中的x1,x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0)，记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性9. 【2013·辽宁理·21】已知函数f(x)=(1+x)e−2x,g(x)=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0,1]时，Ⅰ 求证：1−x≤f(x)≤11+x；Ⅰ 若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．10. 【2013·全国大纲理·22】已知函数f(x)=ln(1+x)−x(1+λx)1+x．Ⅰ 若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；Ⅰ 设数列{a n}的通项a n=1+12+13+⋯+1n，证明：a2n−a n+14n>ln2．11. 【2013·新课标Ⅰ理·21】设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=e x(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+ 2．Ⅰ 求a，b，c，d的值；Ⅰ 若 x ≥−2 时， f (x )≤kg (x ) ，求 k 的取值范围．12. 【2013·新课标Ⅱ理·21】已知函数 f (x )=e x −ln (x +m )． Ⅰ 设 x =0 是 f (x ) 的极值点，求 m ，并讨论 f (x ) 的单调性； Ⅰ 当 m ≤2 时，证明 f (x )>0．13. 【2013·陕西理·21】设函数 f (x )=xe 2x +c （e =2.71828⋯ 是自然对数的底数，c ∈R ）． Ⅰ 求f (x ) 的单调区间、最大值；Ⅰ 讨论关于 x 的方程 ∣lnx∣=f (x ) 根的个数14. 【2013·四川理·21】已知函数 f (x )={x 2+2x +a,x <0lnx,x >0，其中 a 是实数．设A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2)) 为该函数图象上的两点，且 x 1<x 2．Ⅰ 指出函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线互相垂直，且 x 2<0，求 x 2−x 1 的最小值； Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．15. 【2013·天津理·20】 已知函数 f (x )=x 2lnx ． Ⅰ 求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t=f(s)．Ⅰ 设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g(t)，证明：当t>e2时，有25<lng(t)lnt<12．16. 【2013·浙江理·20】已知a∈R，函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3Ⅰ 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 当x∈[0,2]时，求∣f(x)∣的最大值．17. 【2013·重庆理·17】设f(x)=a(x−5)2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．Ⅰ 确定a的值；Ⅰ 求函数f(x)的单调区间与极值．2013参考答案1. （1） 对每个 n ∈N ∗，当 x >0 时，f n ′(x )=1+x 2+⋯+x n−1n>0,故 f n (x ) 在 (0,+∞) 内单调递增． 由于 f 1(1)=0，当 n ≥2，f n (1)=122+132+⋯+1n 2>0, 故 f n (1)≥0．又f n (23)=−1+23+∑(23)kk2nk=2≤−13+14∑(23)knk=2=−13+14⋅(23)2[1−(23)n−1]1−23=−13⋅(23)n−1<0,所以存在唯一的 x n ∈[23,1]，满足 f n (x n )=0．（2） 当 x >0 时，f n+1(x )=f n (x )+x n+1(n +1)2>f n (x ),故f n+1(x n )>f n (x n )=f n+1(x n+1)=0.由 f n+1(x ) 在 (0,+∞) 内单调递增知，x n+1<x n ，故 {x n } 为单调递减数列．从而对任意的 n,p ∈N ∗,x n+p <x n ，对任意的 p ∈N ∗，由于f n (x n )=−1+x n +x n 222+⋯+x n nn2=0, ⋯⋯①f n+p (x n+p )=−1+x n+p +x n+p 222+⋯+x n+p n n 2+x n+pn+1(n +1)2+⋯+x n+p n+p (n +p )2=0, ⋯⋯②①式减去②式并移项，利用 0<x n+p <x n ≤1，得x n −x n+p=∑x n+pk−x nk k 2nk=2+∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑12n+pk=n+1<∑1k (k −1)n+pk=n+1=1n −1n +p <1n .因此，对任意 p ∈N ∗，都有0<x n −x n+p <1n.2（1） 设 f (x )=lnx x，则fʹ(x )=1−lnxx 2. 所以 fʹ(1)=1 ，所以 L 的方程为 y =x −1 ．（2） 令 g (x )=x −1−f (x ) ，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0,x ≠1).g (x ) 满足 g (1)=0 ，且gʹ(x )=1−fʹ(x )=x 2−1+lnx x 2.当 0<x <1 时，x 2−1<0,lnx <0,所以 gʹ(x )<0 ，故 g (x ) 单调递减； 当 x >1 时，x 2−1>0,lnx >0,所以 gʹ(x )>0 ，故 g (x ) 单调递增．所以，g (x )>g (1)=0(∀x >0,x ≠1).所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．3（1） 当 a =2 时，f (x )=x −2lnx,fʹ(x )=1−2x(x >0),因而f (1)=1,fʹ(1)=−1,所以曲线 y =f (x ) 在点 A(1,f (1)) 处的切线方程为y −1=−(x −1),即x +y −2=0.（2） 由fʹ(x )=1−a x =x −ax,x >0知：①当 a ≤0 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 为 (0,+∞) 上是增函数，函数 f (x ) 无极值． ②当 a >0 时，由 fʹ(x )=0，解得 x =a ． 又当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )<0； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )>0，从而函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值，且极小值为f (a )=a −alna,无极大值．综上，当 a ≤0 时，函数 f (x ) 无极值；当 a >0 时，函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值 a −alna ，无极大值． 4（1）fʹ(x )=(x −1)e x +e x −2kx=xe x −2kx=x (e x−2k ).当 k =1 时，令 fʹ(x )=x (e x −2)=0，得x 1=0,x 2=ln2;当 x <0 时，fʹ(x )>0；当 0<x <ln2 时，fʹ(x )<0；当 x >ln2 时，fʹ(x )>0； Ⅰ函数 f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,0),(ln2,+∞)；单调递减区间为 (0,ln2)． （2） Ⅰ 12<k ≤1，Ⅰ 1<2k ≤2，所以0<ln (2k )<ln2.记 h (k )=k −ln (2k )，则 hʹ(k )=1−22k=k−1k在 k ∈(12,1) 有 hʹ(k )<0，Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，h (k )=k −ln (2k )>h (1)=1−ln2>0，即k >ln (2k )>0.Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，函数 f (x ) 在 [0,ln (2k )) 单调递减，在 (ln (2k ),k ] 单调递增． f (0)=−1，f (k )=(k −1)e k −k 3，记 g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3，下证明 g (k )≥−1．gʹ(k )=k(e k −3k),设 p (k )=e k −3k ，令pʹ(k )=e k −3=0,得k =ln3>1, Ⅰ p (k )=e k −3k 在 (12,1] 为单调递减函数，而p (12)=√e −32>√2.25−1.5=0,p (1)=e −3<0,Ⅰ gʹ(k )=k(e k −3k)=0 的一个非零的根为 k 0∈(12,1]，且 e k 0=3k 0． 显然 g (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,k 0) 单调递增，在 (k 0,1] 单调递减， Ⅰ g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,1) 上的最大值为g (k 0)=(k 0−1)3k 0−k 03=−k 03+3k 02−3k 0=(1−k 0)3−1>−1,g (12)=−12√e −18>−1⇔74>√e 而 74>√3>√e 成立，Ⅰ g (12)>−1,g (1)=−1．综上所述，当 k ∈(12,1] 时，函数 f (x ) 在 [0,k ] 的最大值M =(k −1)e k −k 3.5（1）因为fʹ(x)=(r+1)(1+x)r−(r+1)=(r+1)[(1+x)r−1],令fʹ(x)=0，解得x=0.当−1<x<0时，fʹ(x)<0，所以f(x)在(−1,0)内是减函数；当x>0时，fʹ(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)内是增函数．故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.（2）由（1）知，当x∈(−1,+∞)时，f(x)≥f(0)=0，即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,当且仅当x=0时等号成立，故当x>−1且x≠0时，有(1+x)r+1>1+(r+1)x. ⋯⋯①在①中，令x=1n（这时x>−1且x≠0），得(1+1n)r+1>1+r+1n.上式两边同乘n r+1，得(n+1)r+1>n r+1+n r(r+1)，即n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯②当n>1时，在①中令x=−1n（这时x>−1且x≠0），类似可得n r>n r+1−(n−1)r+1r+1. ⋯⋯③且当n=1时，③也成立．综合②③，得n r+1−(n−1)r+1r+1<n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯④（3）在④中，令r=13，n分别取值81,82,83,⋯,125，得34(8143−8043)<√813<34(8243−8143),34(8243−8143)<√823<34(8343−8243),34(8343−8243)<√833<34(8443−8343),⋯⋯,34(12543−12443)<√1253<34(12643−12543). 将以上各式相加并整理，得34(12543−8043)<S <34(12643−8143). 代入数据计算，可得34(12543−8043)≈210.2,34(12643−8143)≈210.9. 由 [S ] 的定义，得 [S ]=211．6（1） 当 0≤x ≤a 时，f (x )=a−x x+2a ；当 x >a 时，f (x )=x−a x+2a．因此，当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )=−3a(x+2a )2<0，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )=3a(x+2a )2>0，f (x ) 在 (a,+∞) 上单调递增． ①当 a ≥4 时，则 f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，g (a )=f (0)=12．②当 0<a <4 时，则 f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增，所以g (a )=max {f (0),f (4)}. 而f (0)−f (4)=12−4−a 4+2a =a −12+a, 故当 0<a ≤1 时，g (a )=f (4)=4−a4+2a ；当 1<a <4 时，g (a )=f (0)=12． 综上所述，g (a )={4−a4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.（2） 由（1）知，当 a ≥4 时，f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，故不满足要求． 当 0<a <4 时，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增．若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2)使曲线y=f(x)在(x1,f(x1))，(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直，则x1∈(0,a)，x2∈(a,4)，且fʹ(x1)⋅fʹ(x2)=−1，即−3a (x1+2a)2⋅3a(x2+2a)2=−1亦即x1+2a=3ax2+2a. ⋯⋯①由x1∈(0,a)，x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a)，3ax2+2a ∈(3a4+2a,1)．故①成立等价于集合A={x∣ 2a<x<3a}与集合B={x∣ 3a4+2a<x<1}的交集非空．因为3a4+2a <3a，所以当且仅当0<2a<1，即0<a<12时，A∩B≠∅．综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是(0,12)．7（1）令fʹ(x)=1−a=1−ax<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞)，故a>0，进而解得x>a−1,即f(x)在(a−1,+∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0,a−1)上是单调增函数．由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，故(1,+∞)⊆(a−1,+∞),从而a−1≤1，即a≥1．令gʹ(x)=e x−a=0,得x=lna.当x<lna时，gʹ(x)<0；当x>lna时，gʹ(x)>0．又g(x)在(1,+∞)上有最小值，所以lna>1，即a>e.综上可知，a∈(e,+∞)．（2）当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令gʹ(x)=e x−a>0,解得a<e x，即x>lna.因为g(x)在(−1,+∞)上是单调增函数，类似（1）有lna≤−1，即0<a≤e−1．结合上述两种情况，得a≤e−1.①当a=0时，由f(1)=0以及fʹ(x)=1x>0，得f(x)存在唯一的零点；②当a<0时，由于f(e a)=a−ae a=a(1−e a)<0,f(1)=−a>0,且函数f(x)在[e a,1]上的图象连续，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x>0时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0<a≤e−1时，令fʹ(x)=1−a=0,解得x=a−1.当0<x<a−1时，fʹ(x)>0；当x>a−1时，fʹ(x)<0，所以，x=a−1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a−1)=−lna−1.a．当−lna−1=0，即a=e−1时，f(x)有一个零点x=e．b．当−lna−1>0，即0<a<e−1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a<e−1，由于f(e−1)=−1−ae−1<0,f(a−1)>0,且函数f(x)在[e−1,a−1]上的图象连续，所以f(x)在(e−1,a−1)上存在零点．另外，当x∈(0,a−1)时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,a−1)上是单调增函数，所以f(x)在(0,a−1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a−1,+∞)上的情况．先证f(e a−1)=a(a−2−e a−1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2．设h(x)=e x−x2，则hʹ(x)=e x−2x,再设l(x)=hʹ(x)=e x−2x，则lʹ(x)=e x−2.当x>1时，lʹ(x)=e x−2>e−2>0,所以l(x)=hʹ(x)在(1,+∞)上是单调增函数．故当x>2时，hʹ(x)=e x−2x>hʹ(2)=e2−4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h (x )=e x −x 2>h (e )=e e −e 2>0,即当 x >e 时，e x >x 2．当 0<a <e −1，即 a −1>e 时，f(e a −1)=a −1−ae a−1=a(a −2−e a −1)<0. 又 f (a −1)>0，且函数 f (x ) 在 [a −1,e a −1] 上的图象连续，所以 f (x ) 在 (a −1,e a −1) 上存在零点． 又当 x >a −1 时，fʹ(x )=1x−a <0, 故 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上是单调减函数， 所以 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上只有一个零点． 综合①②③可知，当 a ≤0 或 a =e −1 时，f (x ) 的零点个数为 1，当 0<a <e −1 时，f (x ) 的零点个数为 2．8（1） 因为f (1+x)=a (1−2∣x∣), f (12−x)=a (1−2∣x∣), 有f (1+x)=f (1−x). 所以函数 f (x ) 的图象关于直线 x =12 对称． （2） 当 0<a <12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤12,4a 2(1−x ),x >12,所以 f(f (x ))=x 只有一个解 x =0． 又 f (0)=0，故 0 不是二阶周期点． 当 a =12 时，有f(f (x ))={x,x ≤12,1−x,x >12,所以 f(f (x ))=x 有解集 {x∣ x ≤12}．又当 x ≤12时，f (x )=x ，故 {x∣ x ≤12} 中的所有点都不是二阶周期点．当 a >12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤14a ,2a −4a 2x,14a <x ≤12,2a (1−2a )+4a 2x,12<x ≤4a −14a ,4a 2−4a 2x,x >4a −14a,所以 f(f (x ))=x 有四个解：0,2a 1+4a2,2a1+2a ,4a 21+4a 2．又f (0)=0,f (2a )=2a,f (2a 1+4a 2)≠2a 1+4a 2,f (4a 21+4a 2)≠4a 21+4a 2, 故只有 2a1+4a 2,4a 21+4a 2 是 f (x ) 的二阶周期点． 综上所述，所求 a 的取值范围为 a >12． （3） 由（2）得x 1=2a1+4a 2,x 2=4a 21+4a 2, 因为 x 3 为函数 f(f (x )) 的最大值点，所以x 3=14a 或 x 3=4a −14a. 当 x 3=14a 时，S (a )=2a−14(1+4a 2)，求导得Sʹ(a )=2(a −1+√22)(a −1−√22)(1+4a 2)2,所以当 a ∈(12,1+√22) 时，S (a ) 单调递增，当 a ∈(1+√22,+∞) 时，S (a ) 单调递减；当x3=4a−14a 时，S(a)=8a2−6a+14(1+4a2)，求导得Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2,因为a>12，从而有Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2>0,所以当a∈(12,+∞)时，S(a)单调递增．9（1）要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≥1−x,只需证明(1+x)e−x≥(1−x)e x.记h(x)=(1+x)e−x−(1−x)e x，则hʹ(x)=x(e x−e−x),当x∈(0,1)时，hʹ(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)=0.所以f(x)≥1−x,x∈[0,1].要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≤11+x，只需证明e x≥x+1.记K(x)=e x−x−1，则Kʹ(x)=e x−1,当x∈(0,1)时，Kʹ(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)=0.所以f(x)≤11+x,x∈[0,1].综上，1−x≤f(x)≤11+x,x∈[0,1].（2）方法一：f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥1−x−ax−1−x32−2xcosx=−x(a+1+x22+2cosx).设G(x)=x22+2cosx，则Gʹ(x)=x−2sinx.记H(x)=x−2sinx，则Hʹ(x)=1−2cosx,当x∈(0,1)时，Hʹ(x)<0，于是Gʹ(x)在[0,1]上是减函数，从而当x∈(0,1)时，Gʹ(x)<Gʹ(0)=0,故G(x)在[0,1]上是减函数，于是G(x)≤G(0)=2，从而a+1+G(x)≤a+3,所以，当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立，下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)−g(x)≤11+x−1−ax−x32−2xcosx=−x1+x−ax−x32−2xcosx=−x(11+x +a+x22+2cosx).记I(x)=11+x+a+x22+2cosx=11+x+a+G(x),则Iʹ(x)=−1(1+x)2+Gʹ(x),当x∈(0,1)时，Iʹ(x)<0．故I(x)在[0,1]上是减函数．于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos1,a+3].因为当a>−3时，a+3>0，所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)>0,此时f(x0)<g(x0),即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．方法二：先证当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.记F(x)=cosx−1+12x2，则Fʹ(x)=−sinx+x.记G(x)=−sinx+x，则Gʹ(x)=−cosx+1,当x∈(0,1)时，Gʹ(x)>0，于是G(x)在[0,1]上是增函数，因此当x∈(0,1)时，G(x)>G(0)=0,从而F(x)在[0,1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)=0,所以当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx.同理可证，当x∈[0,1]时，cosx≤1−14x2.综上，当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.因为当x∈[0,1]时，f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥(1−x)−ax−x32−1−2x(1−14x2)=−(a+3)x.所以当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．因为f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≤1−1−ax−x3−2x(1−1x2)=x2+x3−(a+3)x≤32x[x−23(a+3)],所以存在x0∈(0,1)（例如x0取a+33和12中的较小值）满足f(x0)<g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．10（1） 由已知f (0)=0,fʹ(x )=(1−2λ)x −λx 2(1+x )2,fʹ(0)=0.若 λ≤0，则在 (0,+∞) 上，fʹ(x )>0，f (x ) 单调递增，f (x )>f (0)=0，不符题意； 若 0<λ<12，则当 0<x <1−2λλ时，fʹ(x )>0，所以 f (x )>0．若 λ≥12，则当 x >0 时，fʹ(x )<0，f (x ) 单调递减，所以当 x >0 时，f (x )<0． 综上，λ 的最小值是 12．（2） 令 λ=12．由（1）知，当 x >0 时，f (x )<0，即x (2+x )2+2x>ln (1+x ).取 x =1k ，则2k +12k (k +1)>ln (k +1k).于是a 2n −a n +14n =∑(12k +12(k +1))2n−1k=n=∑2k +12k (k +1)2n−1k=n >∑lnk +1k2n−1k=n=ln2n −lnn =ln2,所以a 2n −a n +14n>ln2.11. （1） 由已知得 f (0)=2，g (0)=2，fʹ(0)=4，gʹ(0)=4． 而fʹ(x)=2x+a,gʹ(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2．（2）由（1）知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)−f(x)=2ke x(x+1)−x2−4x−2，则Fʹ(x)=2ke x(x+2)−2x−4=2(x+2)(ke x−1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1．令Fʹ(x)=0，得x1=−lnk,x2=−2.（i）若1≤k<e2，则−2<x1≤0,从而当x∈(−2,x1)时，Fʹ(x)<0；当x∈(x1,+∞)时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，故F(x)在[−2,+∞)上的最小值为F(x1)，而F(x1)=2x1+2−x12−4x1−2=−x1(x1+2)≥0.故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（ii）若k=e2，则Fʹ(x)=2e2(x+2)(e x−e−2),从而当x>−2时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,+∞)上单调递增，而F(−2)=0，故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（iii）若k>e2，则F(−2)=−2ke−2+2=−2e−2(k−e2)<0.从而当x≥−2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1,e2]．12. （1）fʹ(x)=e x−1x+m.由x=0是f(x)的极值点得fʹ(0)=0，所以m=1．于是f(x)=e x−ln(x+1),定义域为(−1,+∞)，fʹ(x)=e x−1 x+1.函数fʹ(x)=e x−1x+1在(−1,+∞)上单调递增，且fʹ(0)=0，因此，当x∈(−1,0)时，fʹ(x)<0；当x∈(0,+∞)时，fʹ(x)>0．所以f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．（2）当m≤2，x∈(−m,+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数fʹ(x)=e x−1 x+2在(−2,+∞)上单调递增．又fʹ(−1)<0，fʹ(0)>0，故fʹ(x)=0在(−2,+∞)上有唯一实根x0，且x0∈(−1,0)．当x∈(−2,x0)时，fʹ(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，fʹ(x)>0，从而当x=x0时，f(x)取得最小值．由fʹ(x0)=0得e x0=1x0+2,ln(x0+2)=−x0,故f(x)≥f(x0)=1x0+2+x0=(x0+1)2 x0+2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0．13. （1）因为fʹ(x)=(1−2x)e−2x,由fʹ(x)=0，解得x=1 2 .当x<12时，fʹ(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，fʹ(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,12)，单调递减区间是(12,+∞)，最大值为f(12)=12e−1+c．（2）令g(x)=∣lnx∣−f(x)=∣lnx∣−xe−2x−c,x∈(0,+∞).（1）当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则g (x )=lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e−2x(e 2x x+2x −1). 因为e 2x x>0，2x −1>0，所以gʹ(x )>0.因此 g (x ) 在 (1,+∞) 上单调递增． （2）当 x ∈(0,1) 时，lnx <0，则g (x )=−lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e −2x(−e 2xx +2x −1).因为 e 2x ∈(1,e 2),e 2x >1>x >0，所以−e 2x x<−1. 又 2x −1<1，所以 −e 2x x+2x −1<0，即gʹ(x )<0.因此 g (x ) 在 (0,1) 上单调递减． 综合（1）（2）可知，g (x ) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,+∞) 单调递增； 所以，g (x ) 的最小值是 g (1)=−e −2−c ．①当 g (1)=−e −2−c >0，即 c <−e −2 时，g (x ) 没有零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0；②当 g (1)=−e −2−c =0，即 c =−e −2 时，g (x ) 只有一个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1；③当 g (1)=−e −2−c <0，即 c >−e −2 时， 当 x ∈(1,+∞) 时，由（1）知g (x )=lnx −xe −2x −c ≥lnx −(12e −1+c)>lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 lnx −1−c >0，，即 x ∈(e 1+c ,+∞)； 当 x ∈(0,1) 时，由（1）知g (x )=−lnx −xe −2x −c ≥−lnx −(12e −1+c)>−lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 −lnx −1−c >0，即 x ∈(0,e −1−c )．所以当 c >−e −2 时，g (x ) 有两个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2． 综上所述，当 c <−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0； 当 c =−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1； 当 c >−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2．14. （1）函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为[−1,0),(0,+∞)．（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为fʹ(x1)，点B处的切线斜率为fʹ(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有fʹ(x1)fʹ(x2)=−1.当x<0时，对函数f(x)求导，得fʹ(x)=2x+2.因为x1<x2<0，所以(2x1+2)(2x2+2)=−1,所以2x1+2<0,2x2+2>0.因此x2−x1=12[−(2x1+2)+2x2+2]≥√[−(2x1+2)](2x2+2)=1,当且仅当−(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=−32且x2=−12时，等号成立．所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2−x1的最小值为1．（3）当x1<x2<0或x2>x1>0时，fʹ(x1)≠fʹ(x2),故x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y−(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x−x1),即y=(2x1+2)x−x12+a.当x2>0时，函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y−lnx2=1x2(x−x2),即y=12⋅x+lnx2−1.两切线重合的充要条件是{1x2=2x1+2, ⋯⋯①lnx2−1=−x12+a. ⋯⋯②由①及x1<0<x2知，−1<x1<0．由①②，得a=x12+ln12x1+2−1=x12−ln(2x1+2)−1.∵函数y=x12−1，y=−ln(x1+2)在区间(−1,0)上单调递减，∴a(x1)=x12−ln(2x1+2)−1在(−1,0)上单调递减，且x1→−1时，a(x1)→+∞；x1→0时，a(x1)→−1−ln2．∴a的取值范围是(−1−ln2,+∞)．15. （1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)．fʹ(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),令fʹ(x)=0，得x=√e．当x变化时，fʹ(x),f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间是√e )，单调递增区间是(√e+∞)．（2）当0<x≤1时，f(x)≤0．t>0，令h(x)=f(x)−t,x∈[1,+∞).由（1）知，h(x)在区间(1,+∞)内单调递增．h(1)=−t<0,h(e t)=e2t lne t−t=t(e2t−1)>0.故存在唯一的s∈(1,+∞)，使得t=f(s)成立．（3）因为s=g(t)，由（2）知，t=f(s)，且s>1，从而lng(t)=lns ()=lnsln(s2lns)=lns2lns+ln(lns)=u2u+lnu,其中u=lns．要使2 5<lng(t)lnt<12成立，只需0<lnu<u2．当t>e2时，若s=g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾，所以s>e，即u>1，从而lnu>0成立．另一方面，令F(u)=lnu−u,u>1,Fʹ(u)=1u−12,令Fʹ(u)=0，得u=2，当1<u<2时，Fʹ(u)>0，当u>2时，Fʹ(u)<0．故对u>1，F(u)≤F(2)<0,因此lnu<u2成立．综上，当t>e2时，有2 5<lng(t)lnt<12.16. （1）由题意fʹ(x)=3x2−6x+3a,故fʹ(1)=3a−3.又f(1)=1，所以所求的切线方程为y=(3a−3)x−3a+4.（2）由于fʹ(x)=3(x−1)2+3(a−1)，0≤x≤2．故①当a≤0时，有fʹ(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3−3a.② 当a≥1时，有fʹ(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3a−1.③ 当0<a<1时，设x1=1−√1−a，x2=1+√1−a，则0<x1<x2<2,fʹ(x)=3(x−x1)(x−x2).列表如下：由于 f (x 1)=1+2(1−a )√1−a,f (x 2)=1−2(1−a )√1−a,故f (x 1)+f (x 2)=2>0,f (x 1)−f (x 2)=4(1−a )√1−a >0,从而f (x 1)>∣f (x 2)∣.所以∣f (x )∣max =max {f (0),∣f (2)∣,f (x 1)}.① 当 0<a <23 时，f (0)>∣f (2)∣．又f (x 1)−f (0)=2(1−a )√1−a −(2−3a )=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +2−3a>0,故 ∣f (x )∣max=f (x 1)=1+2(1−a )√1−a ． ② 当 23≤a <1 时，∣f (2)∣=f (2)，且 f (2)≥f (0)． 又f (x 1)−∣f (2)∣=2(1−a )√1−a −(3a −2)=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +3a −2所以1）当 23≤a <34 时，f (x 1)>∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =f (x 1)=1+2(1−a )√1−a.2）当 34≤a <1 时，f (x 1)≤∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =∣f (2)∣=3a −1.综上所述，∣f (x )∣max={ 3−3a,a ≤0,1+2(1−a )√1−a,0<a <34,3a −1,a ≥34.17. （1）因为f(x)=a(x−5)2+6lnx，故fʹ(x)=2a(x−5)+6 x .令x=1，得f(1)=16a,fʹ(1)=6−8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−16a=(6−8a)(x−1).由点(0,6)在切线上可得6−16a=8a−6，故a=1 2 .（2）由（1）知，f(x)=12(x−5)2+6lnx(x>0),fʹ(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)x.令fʹ(x)=0，解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时，fʹ(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数；当2<x<3时，fʹ(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知，f(x)在x=2处取得极大值f(2)=9+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.。
2013年理科全国各省市高考真题——导数(带答案)
2013年全国各省市理科数学—导数1、2013辽宁理T12.设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值2、2013浙江理T8．已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ，则A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值3、2013福建理T8. 设函数)(x f 的定义域为R ，()000≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A.)()(,0x f x f R x ≤∈∀B.0x -是)-(x f 的极小值点C. 0x -是)(-x f 的极小值点D.0x -是)-(-x f 的极小值点4、2013湖北理T7.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ） A. 125ln5+ B. 11825ln 3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+ 5、2013湖北理T10.已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ） A. 121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>-6、2013江西理T6.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<7、2013上海理T1．计算：20lim ______313n n n →∞+=+ 8、2013广东理T10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.9、2013湖南理T12.若209,T x dx T =⎰则常数的值为 .10、2013江西理T13.设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)x f = 参考答案：1—6、D C D C D B 7、13 8、-1 9、3 10、2。
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2012各地理科数学导数积分解析汇编教师版一、选择题 1. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-;则()y f x =的图像大致为【解析】选B方法一：()ln(1)()1()010,()00()(0)0xg x x x g x xg x x g x x g x g '=+-⇒=-+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<= 得:0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D 方法二：解答：由0x ≠ 排除D ，当1x e =- 时()()110ln 1112f x e e e==<-+-+- ，排除A ，当11x e=- 时，()110111ln 111f x e ee e===-<⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭ ，排除C ，答案B2.设0,0a b >>（ ）A ．若2223a b a b +=+,则a b >B ．若2223a b a b +=+,则a b <C ．若2223a b a b -=-,则a b >D ．若2223a b a b -=-,则a b <【答案】A【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a ba b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图 像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 （ ）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 【答案】D【解析】2,10x x <-->,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒>,函数()f x 为增;21,10x x -<<->,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒<,函数()f x 为减; 12,10x x <<-<,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒<,函数()f x 为减; 2,10x x >-<,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒>,函数()f x 为增.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减.4. 设函数()xf x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点解析:()(1)x f x x e '=+,令()0,f x '=得1x =-,1x <-时,()0f x '<,()xf x xe =为减函数;1x >-时,()0f x '>,()xf x xe =为增函数,所以1x =-为()f x 的极小值点,选D.5. 设0a >且1a ≠,则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”,是“函数3()(2)g x a x=-在R 上是增函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若函数x a x f =)(在R 上为减函数,则有10<<a .函数3)2()(x a x g -=为增函数,则有02>-a ,所以2<a ,所以“函数xa x f =)(在R 上为减函数”是“函数3)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件,选A.6. 已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2π5B ．43C ．32D ．π2考点分析:本题考察利用定积分求面积.解析:根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰. 7. 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【解析】312201211()()13260S x x dx x x S =-=-==⎰ 正阴影,故16P =,答案C【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力.8. 已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c = （ ）A ．2-或2B ．9-或3C ．1-或1D ．3-或1 答案A【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而2()333()(1)f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值 由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±.二、填空题9. 已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中()()10,0,,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .[解析]如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,10100,10)(2121x x x x x f , yB5 y M5 P1-1-y xO11-11-所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,10100,10)(212212x x x x x x xf y , 易知,()y xf x =的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=155224⨯=. [评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.10.设0a >.若曲线y x =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ,则a =______.【解析】由已知得223023032|32a a x x S a a====⎰,所以3221=a ,所以94=a .11.计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________.【解析】23本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 31211111112(sin )cos |cos1cos1333333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成3cos 3x x +,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等.12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.解析:210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=,所以切线方程为()321y x -=-,即210x y -+=.三、解答题13.已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; (Ⅲ)证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力.(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔= （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥ 则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*）(1)1ln 200g k k =-+≥⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02kg x x x g x g k -'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*） 得：实数k 的最小值为12（3）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立取2(1,2,3,,)21x i n i ==- ：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑ 当2i ≥时，2211(21)2321i i i <---- 得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121ni i i i n =-++-<-+-<--∑ 【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.14.已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+;(1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若21()2f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值.【解析】(1)1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得:(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=得:21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得:()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=-()00,()0F x x e F x x e ''>⇔<<<⇔>当x e =时,max ()2e F x = 当1,a e b e =-=时,(1)a b +的最大值为2e 15.已知0,a b R >∈,函数()342f x ax bx a b =--+.(Ⅰ)证明:当01x ≤≤时,(ⅰ)函数()f x 的最大值为2a b a -+ (ⅱ)()20f x a b a +-+≥(Ⅱ) 若()11f x -≤≤对[]0,1x ∈恒成立,求a b +的取值范围.【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.(Ⅰ)(ⅰ)()2122f x ax b '=-.当0b ≤时,()2'1220f x ax b =->在01x ≤≤上恒成立,此时()f x 的最大值为:()1423f a b a b a b =--+=-2a b a =-+ 当0b >时,()2122f x ax b '=-在01x ≤≤ 上的正负性不能判断, 此时()f x 的最大值为:()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b af x f f b a a b a b b a ->⎧==--=⎨-<⎩，，（），()，2a b a =-+; 综上所述:函数()f x 在01x ≤≤上的最大值为2a b a -+(ⅱ) 要证()f x 20a b a +-+≥,即证()()2g x f x a b a =-≤-+ 亦即证()g x 在01x ≤≤上的最大值小于(或等于)2a b a -+, ∵()342g x ax bx a b =-++-,∴令()212206bg x ax b x a'=-+=⇒=. 当0b ≤时,()2122g x ax b '=-+0< 在01x ≤≤上恒成立, 此时()g x 的最大值为:()03g a b a b =-<-2a b a =-+; 当0b <时,()2122g x ax b '=-+在01x ≤≤ 上的正负性不能判断,()max max{()1}6bg x g g a=，（） 4max{2}36463662bb a b b a a bb a ba b ab a b a =+--⎧≤+-⎪=⎨>⎪-⎩，，，2a b a ≤-+综上所述:函数()g x 在01x ≤≤ 上的最大值小于(或等于)2a b a -+ . 即()f x 20a b a +-+≥在01x ≤≤上恒成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数()f x 在01x ≤≤上的最大值为2a b a -+且函数()f x 在01x ≤≤ 上的最小值比()2a b a --+ 要大. ∵1-≤()f x 1≤对[]0,1x ∈恒成立, ∴21a b a -+≤ 取b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为:21b a b a ≥⎧⎨-≤⎩和231b aa b <⎧⎨-≤⎩,目标函数为z a b =+作图如下:由图易得:当目标函数为z a b =+过()12P ， 时,有max 3z =,min 1z =-. ∴所求a b +的取值范围为:[]13-，.【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) []13-，. 16.设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.(Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力.解:(1)因()13ln 122f x a x x x =+++,故()21322a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()()1,1f处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即()10f '=,从而13022a -+=,解得1a =- (2)由(1)知()()13ln 1022f x x x x x =-+++>,()222113321222x x f x x x x--'=--+= ()2(31)(1)2x x f x x +-'∴=令()0f x '=,解得1211,3x x ==-(因213x =-不在定义域内,舍去), 当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =.17.设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点,判断数列23,,,n x x x 的增减性.解析:(1)1,1b c ==-,2n ≥时,()1nn f x x x =+-∵111()(1)()10222n n n f f =-⨯<,∴()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在零点.又当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,1()10n n f x nx-'=+>∴ ()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增的,所以()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点. (2)当2n =时,22()f x x bx c =++对任意12,[1,1]x x ∈-都有2122|()()|4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上最大值与最小值之差4M ≤,据此分类讨论如下:(ⅰ)当||12b>,即||2b >时, 22|(1)(1)|2||4M f f b =--=>,与题设矛盾(ⅱ)当102b-≤-<,即02b <≤时, 222(1)()(1)422b bM f f =---=+≤恒成立(ⅲ)当012b≤≤,即20b -≤≤时,222(1)()(1)422b bM f f =---=-≤恒成立.综上可知,22b -≤≤注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用max{,}a b 表示,a b 中的较大者.当112b-≤≤,即22b -≤≤时, 222max{(1),(1)}()2bM f f f =---22222(1)(1)|(1)(1)|()222f f f f b f -+--=+--21||()4b c b c =++--+2||(1)42b =+≤恒成立 (3)证法一 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点(2)n ≥ ()1n n n n n f x x x =+-,11111()10n n n n n f x x x +++++=+-=,11,12n x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭于是有11111111()0()11()n nn n n n n n n n n n f x f x x x x x f x ++++++++===+-<+-= 又由(1)知()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是递增的,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,n x x x 是递增数列. 证法二 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点 1111()(1)(1)(111)n n n n n n n f x f x x ++++=+-+- 1110n n n n n n x x x x +=+-<+-=则1()n f x +的零点1n x +在(,1)n x 内,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,n x x x 是递增数列.18.已知函数ln ()xx kf x e+=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1x g x e -><+.解析:由f(x) = x e k x +ln 可得=')(x f xexk x ln 1--,而0)1(='f ,即01=-e k ,解得1=k ;(Ⅱ)=')(x f xexx ln 11--,令0)(='x f 可得1=x , 当10<<x 时,0ln 11)(>--='x x x f ;当1>x 时,0ln 11)(<--='x xx f .于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数.(Ⅲ)xx ex x x x e xx x x x g ln )(1ln 11)()(222+--=--+=, (1)当1≥x 时, 0,0,0ln ,0122>>+≥≤-xe x x x x ,210)(-+<≤e x g .(2)当10<<x 时,要证221ln 11)()(-+<--+=e e xx x x x g x. 只需证)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-即可设函数)1,0(),ln 1(1)(,1)(∈+-=+=x x x x q ex x p e . 则)1,0(,ln 2)(,0)(∈--='<-='x x x q e xx p x, 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p e ,令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=ee q x x x q ,且0)(>x q ,则≥+-+-)ln 1(112x x e 11122=++--e e ,于是可知当10<<x 时)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+<e x g 恒成立.另证1:设函数)1,0(,1)(∈+=x e x x p e ,则0)(<-='xe xx p , 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p x ,于是当10<<x 时,要证221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 只需证21)ln 11(-+<--e x xx 即可,设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=ee q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+<e x g 恒成立.另证2:根据重要不等式当10<<x 时x x <+)1ln(,即xe x <+1,于是不等式221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=ee q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立. 19.设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =+++++∈为常数,曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值.(Ⅱ)证明:当02x <<时,9()6xf x x <+. 【答案及解析】【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数)(x f 的定义域,根据条件曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切,求出,a b 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明9()6xf x x <+即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题.20.若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点.已知a b ，是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. (1)求a 和b 的值;(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数. 【答案】解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2()32f'x x ax b =++.∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点,∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0，. (2)∵ 由(1)得,3()3f x x x =- ,∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+,解得123==1=2x x x -，. ∵当2x <-时,()0g x <';当21<x <-时,()0g x >', ∴=2x -是()g x 的极值点.∵当21<x <-或1x >时,()0g x >',∴ =1x 不是()g x 的极值点. ∴()g x 的极值点是-2.(3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈-当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一 2 ,注意到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2.当2d <时,∵(1)=(2)=20f d f d d >----,(1)=(2)=20f d f d d <----- , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根. 由(1)知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时,()0f'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()1 2x ∈，时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数. 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断,∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根.同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根.③ 当()11x ∈-，时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根.因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，;当2d < 时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，,满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点:( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ，,满足12==2t t 1，.而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个零点.( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，,满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根,故()y h x =有9 个零点.综上所述,当=2c 时,函数()y h x =有 5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点.【考点】函数的概念和性质,导数的应用.【解析】(1)求出)(x f y =的导数,根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可.(2)由(1)得,3()3f x x x =-,求出()g x ',令()=0g x ',求解讨论即可.(3)比较复杂,先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况;再考虑函数()y h x =的零点.21.已知函数()f x =axex =-,其中a ≠0.(1) 若对一切x∈R,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合.(2)在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线AB 的斜率为K,问:是否存在()012,x x x ∈,使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1axe x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠,故0a >.而()1,axf x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时,()0,()f x f x '<单调递减;当11ln x a a>时,()0,()f x f x '>单调递增,故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当11a=即1a =时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则 121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1tF t e t =--,则()1tF t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.te t --> 从而21()21()10a x x e a x x ---->,12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >-所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()ax x a e x ϕϕ'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时, 0()f x k '>. 综上所述,存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥,从而得出a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.22.(Ⅰ)已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->,其中r 为有理数,且01r <<. 求()f x 的最小值;(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设120,0a a ≥≥,12,b b 为正有理数. 若121b b +=,则12121122b b a a a b a b ≤+; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注:当α为正有理数时,有求导公式1()x x ααα-'=.考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求.解析:(Ⅰ)11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-,令()0f x '=,解得1x =.当01x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)内是减函数; 当 1x > 时,()0f x '>,所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当(0,)x ∈+∞时,有()(1)0f x f ≥=,即(1)r x rx r ≤+- ① 若1a ,2a 中有一个为0,则12121122b b a a a b a b ≤+成立; 若1a ,2a 均不为0,又121b b +=,可得211b b =-,于是 在①中令12a x a =,1r b =,可得1111122()(1)b a ab b a a ≤⋅+-, 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-,亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上,对120,0a a ≥≥,1b ,2b 为正有理数且121b b +=,总有12121122b b a a a b a b ≤+. ② (Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:设12,,,n a a a 为非负实数,12,,,n b b b 为正有理数.若121n b b b +++= ,则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++ . ③用数学归纳法证明如下:(1)当1n =时,11b =,有11a a ≤,③成立.(2)假设当n k =时,③成立,即若12,,,k a a a 为非负实数,12,,,k b b b 为正有理数,且121k b b b +++= ,则12121122k b b b k k k a a a a b a b a b ≤+++ .当1n k =+时,已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数,121,,,,k k b b b b + 为正有理数, 且1211k k b b b b +++++= ,此时101k b +<<,即110k b +->,于是 111212121121()k k k k b b b b b b b b kk k k a a a aa a a a++++= =12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aaaa +++++----+ . 因121111111k k k k b b b b b b ++++++=--- ,由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---≤ 1212111111k k k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅--- 112211k kk a b a b a b b ++++=- , 从而112121k k b b b b k k a a a a ++≤ 1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭.又因11(1)1k k b b ++-+=,由②得 1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭11221111(1)1k kk k k k a b a b a b b a b b +++++++≤⋅-+-112211k k k k a b a b a b a b ++=++++ ,从而112121k k b b b b k k a a a a ++ 112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++ . 故当1n k =+时,③成立.由(1)(2)可知,对一切正整数n ,所推广的命题成立.说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立,则后续证明中不需讨论1n =的情况.23.(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况:①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞.②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ .③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或.当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得x 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.24.已知函数2()()xf x e ax ex a R =+-∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想.解:(1)()2xf x e ax e '=+- ,(1)200k f a a '===⇒=,故()xf x e e '=-1x ∴>时,()0f x '>,1x <时,()0f x '<,所以函数()f x 的增区间为(1,)+∞,减区间为(,1)-∞(2)设切点00(,)P x y ,则切线000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---,因为只有一个切点,所以函数()g x 就只有一个零点,因为0()0g x =000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-,若0,()0a g x '≥>0()()0g x g x >=,因此有唯一零点,由P 的任意性知0a ≥不合题意若0a <,令00()2()xxh x e e a x x =-+-,则0()0h x =()2x h x e a '=+,存在一个零点(ln(2),(ln 2))P a f a --,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故a 的取值范围为0a <.25.设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.(1)讨论()f x 的单调性;(2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值范围.【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用.解:()sin f x a x '=-.(Ⅰ)因为[0,]x π∈,所以0sin 1x ≤≤.当1a ≥时,()0f x '≥,()f x 在[0,]x π∈上为单调递增函数; 当0a ≤时,()0f x '≤,()f x 在[0,]x π∈上为单调递减函数;当01a <<时,由()0f x '=得sin x a =,由()0f x '>得0arcsin x a ≤<或arcsin a x ππ-<≤; 由()0f x '<得arcsin arcsin a x a π<<-.所以当01a <<时()f x 在[0,arcsin ]a 和[arcsin ,]a ππ-上为为单调递增函数;在[arcsin ,arcsin ]a a π-上为单调递减函数.(Ⅱ)因为()1sin cos 1sin 1sin cos f x x ax x x ax x x ≤+⇔+≤+⇔≤+- 当0x =时,01sin0cos00≤+-=恒成立 当0x π<≤时,min 1sin cos 1sin cos 1sin cos []x x x xax x x a a x x+-+-≤+-⇔≤⇔≤令1sin cos ()(0)x xg x x xπ+-=<≤,则22(cos sin )1sin cos (1)cos (1)sin 1()x x x x x x x x x g x x x+--+++--'== 又令()(1)cos (1)sin 1c x x x x x =++--,则()cos (1)sin sin (1)cos (sin cos )c x x x x x x x x x x '=-+++-=-+则当3(0,)4x π∈时,sin cos 0x x +>,故()0c x '<,()c x 单调递减 当3(,]4x ππ∈时,sin cos 0x x +<,故()0c x '≥,()c x 单调递增 所以()c x 在(0,]x π∈时有最小值3()214c π=--,而0lim ()(10)cos 0(01)sin 010x c x +→=++--=,lim ()()(1)10x c x c πππ-→==-+-<综上可知(0,]x π∈时,()0()0c x g x '<⇒<,故()g x 在区间(0,]π单调递 所以min 2[()]()g x g ππ==故所求a 的取值范围为2a π≤.另解:由()1sin f x x ≤+恒成立可得2()111f a a πππ≤⇔-≤⇔≤令2()sin (0)2g x x x x ππ=-≤≤,则2()cos g x x π'=-当2(0,arcsin)x π∈时,()0g x '>,当2(arcsin,)2x ππ∈时,()0g x '< 又(0)()02g g π==,所以()0g x ≥,即2sin (0)2x x x ππ≤≤≤故当2a π≤时,有2()cos f x x x π≤+①当02x π≤≤时,2sin x x π≤,cos 1x ≤,所以()1sin f x x ≤+②当2x ππ≤≤时,22()cos 1()sin()1sin 22f x x x x x x ππππ≤+=+---≤+综上可知故所求a 的取值范围为2a π≤.【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决.26.已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点.解:(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =, 3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+①又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b =⎧⎨=⎩.(2) 24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26ax =-;0a >,∴26a a -<-,∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增,在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减,在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤,即2a ≤时,最大值为2(1)4a h a =-;②若126a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 27.设1()(0)x x f x ae b a ae=++>(I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值. 【解析】(I)设(1)xt e t =≥;则2222111a t y atb y a at at at-'=++⇒=-= ①当1a ≥时,0y '>⇒1y at b at=++在1t ≥上是增函数 得:当1(0)t x ==时,()f x 的最小值为1a b a++②当01a <<时,12y at b b at =++≥+当且仅当11(,ln )xat t e x a a ====-时,()f x 的最小值为2b +(II)11()()x xx x f x ae b f x ae ae ae'=++⇒=-由题意得:2222212(2)333131(2)222f ae b a ae e f ae b ae ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩。