广西陆川县中学高二下学期数学同步作业：第9章 立体几何 直线与平面垂直的判定和性质(3)(大纲版))
人教A版高中数学必修二最新专题综合演练第九章直线、平面垂直的判定及其性质文数人教限时作业
一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1. 垂直于同一平面的两条直线
（）
A.平行
B.垂直
C.相交
D.异面
5. 如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
（）
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与B1C所成的角为60°
12.如图所示,三棱柱A1B1C1-ABC中，底面△ABC是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点
D是BC的中点，BB1，设B1D∩BC1=F.
（1）求证：A1C∥平面AB1D;
（2）求证：BC1⊥平面AB1D.
1.设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（）
A.c⊥α,若c⊥β,则α∥β
B.b⊂α,c⊄α,若c∥α,则b∥c
C.b⊂β,若b⊥α,则β⊥α
D.b⊂β,c是a在β内的射影，若b⊥c,则b⊥a
5.如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3，点
P∈平面CC1D1D且.
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）若AA 1=a,当a 为何值时，PC ∥平面AB 1D.
6.（2011·江西）如图，在△ABC 中，∠B=
2
,AB=BC=2,P 为AB 边上一动点，PD ∥BC
交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD.
（1）当棱锥A ′-PBCD 的体积最大时，求PA 的长；
（2）若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点.求证：A ′B ⊥DE.。
高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定【知识梳理】1. 直线与平面垂直的定义(1) 自然语言：如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线I与平面a 互相垂直，记作I丄a直线I叫做平面a的垂线，平面a叫做直线I的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.(2) 图形语言：如图.画直线I与平面a垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.(3) 符号语言：任意a? a,都有I丄a? 1丄公2. 直线与平面垂直的判定定理(1) 自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.(2) 图形语言：如图所示.(3)符号语言：a? a，b? a，a A b = P，1 丄a，1 丄b? 13.直线与平面所成的角(1) 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，巴做这条直线和这个平面所成的角.如图，/ PAO就是斜线AP与平面a所成的角.(2) 当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3) 当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4) 线面角B的范围：0 °90 °.【常考题型】题型一、线面垂直的定义及判定定理的理解【例1】下列说法中正确的个数是()①如果直线I与平面a内的两条相交直线都垂直，则I丄a；②如果直线I与平面a内的任意一条直线垂直，则I丄a；③如果直线I不垂直于a，则a内没有与I垂直的直线；④如果直线I不垂直于a，则a内也可以有无数条直线与I垂直.A . 0B . 1C. 2D. 3［解析］由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当不垂直时，I可能与a内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.［答案］D【类题通法】1 .对于线面垂直的定义要注意"直线垂直于平面内的所有直线”说法与"直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.2•判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.【对点训练】1. 下列说法中，正确的是（）A .若直线I与平面a内无数条直线垂直，则I丄aB .若直线I垂直于平面a,则I与平面a内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C.若a// b, a? a, I丄a,贝U I丄bD .若a丄b, b丄a,贝U a / a解析：选C 当I与a内的任何一条直线都垂直时，I丄a,故A错；当I丄a时，I与a内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在a内，所以D错误.题型二、线面垂直的判定【例2】如图所示，在三棱柱ABC —A I B I C I中，侧棱AA i丄底面ABC,AB = AC= 1 , AA i = 2,Z B i A i C i= 90° D 为BB!的中点.求证：AD丄平面A1DC1.［证明］・.AA1丄底面ABC,平面A1B1C1/平面ABC ,••AA1 丄平面A1B1C1,••A1C11AA1.又/B1A1CL 90°「A1C1 JA1B1.而A1B1Q AA1 = A1,•AC1 丄平面AA1B1B.又AD?平面AA1B1B ,/A1C11AD.由已知计算得 AD = □.；2, A i D = 2, AA i = 2. •'AD 2+ A i D 2= AA 1, •AD!AD.・.A i C i Q A i D = A i , •AD 丄平面A i DC i . 【类题通法】1 .用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法.2. 线线垂直与线面垂直的转化关系.3. 解决线面垂直的常用方法： (1) 利用勾股定理的逆定理.(2) 利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线. (3) 利用线面垂直的定义.⑷利用平行转化，即 a /b , b Jc ，则a Jc. 【对点训练】2•如图，直角三角形 ABC 所在平面外有一点 为斜边AC 的中点.⑴求证：SD 丄平面ABC ;⑵若AB = BC ,求证：BD 丄平面SAC.有 AD = DC = BD ，所以△ ADS^zBDS. 所以Z BDS =Z ADS = 90° 即 SD1BD.又AC A BD = D , AC , BD?平面 ABC ，所以SD 丄平面ABC. ⑵因为AB = BC , D 为AC 的中点，所以BD 丄AC.又由 ⑴知SDJBD ，于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线，所以BD 丄平面SAC.线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的定义线面垂直.证明：⑴因为SA = SC , D 为AC 的中点，所以 SD J AC.则在 Rt △KBC 中,S,且 SA = SB = SC ,点 D设0为底面中心,题型三、直线与平面所成的角【例3】 如图所示，在正方体 ABCD — A I B I C I D I 中，E 是棱DD i 的中点.求直线 BE 与所以EM /AD.又在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AD 丄平面ABB i A i , 所以EM 丄平面ABB i A i ,从而BM 为直线BE 在平面ABB i A i 上的射影，左BM 即为直线BE 与平面ABB i A i 所成的角. 设正方体的棱长为 2,贝U EM = AD = 2, BE =」22+ 22+ i 2= 3, EM 2于是在 Rt^BEM 中，sinZEBM = =-,BE 3 2即直线BE 与平面ABB i A i 所成的角的正弦值为3. 【类题通法】求斜线与平面所成角的步骤(1) 作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂 足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.(2) 证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3) 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 【对点训练】3•已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值. 解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为2a.平面ABB I A I 所成的角的正弦值.［解］取AA i 的中点M ,连接EM , BM ,因为E 是DD i 的中点，四边形 ADD 1A 1为正方形,则/SAO 为SA 与平面ABC 所成的角.【练习反馈】1•一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 （）A .平行B .垂直C .相交不垂直D .不确定答案：B2•如图所示，若斜线段 AB 是它在平面 与平面a 所成的角是（）A . 60 ° D . 120解析：选A Z ABO 即是斜线AB 与平面a 所成的角, 1在 Rt △KOB 中，AB = 2BO ，所以 cos Z ABO = 2, 即 /ABO = 60°3•如图所示，三棱锥 P — ABC 中，PA 丄平面 ABC , PA = AB ,则直线 PB 与平面ABC 所成的角等于 ___________ .解析：因为FA 丄平面ABC ,所以斜线PB 在平面ABC 上的射影为AB , 所以Z PBA 即为直线PB 与平面ABC 所成的角.在△ FAB 中，/BAP = 90°, PA = AB ,所以Z PBA = 45 °,即直线PB 与平面ABC 所成的角等于45 °答案：454•已知PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PC 丄BD ，则平行 四边形一定是在Rt 竺OA 中，：AO =a ,Aoj33a-Cos/SAO = SA = 2a__3 "6，即侧棱与底面所成角的余弦值为"6.C . 30 °a 上的射影BO 的2倍，则B . 45 °解析：连接AC、BD，则AC与BD交于点O.法知道它的对错。
高二下数学同步训练：直线和平面平行、垂直与平面和平面平行(附答案...
高二数学同步检测二直线和平面平行、垂直与平面和平面平行说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中正确的是A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若a∥b，b∥α，则a∥α D．若m与α无公共点，则m∥α2．给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．下面给出三个命题：①直线l与平面α内两直线都垂直，则l⊥α；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③直线l同时垂直于平面α、β，则α∥β.其中正确的命题个数为A．0 B．1 C．2 D．34．平面α∥β的一个充分条件是A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α5．两平面α∥β，a⊂α，下列命题中：①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．46．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内7．如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有A．4个B．3个C ．2个D ．1个 8．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．19．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个平面平行，那么这四个交点围成的四边形是A ．梯形B ．菱形C ．平行四边形D ．任意四边形10．已知m ，n ，l 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β ④⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∩β＝l ⇒m ∥n 其中正确的命题序号是A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 11．设直线m 在平面α内，则平面α平行于平面β是直线m 平行于平面β的__________条件．(填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)12．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一个动点，则PM 的最小值为__________．13．四边形ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝__________.14．m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面有四个命题： ①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β其中真命题的序号是__________．三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题8分)如图，PA ⊥矩形ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.16．(本小题8分)如图，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB ＝BC，E是PC的中点．(1)证明CD⊥AE；(2)证明PD⊥平面ABE.17．(本小题8分)如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，PH ⊥平面ABC ，H 是垂足．(1)求证：H 是△ABC 的垂心；(2)求证：△ABC 是锐角三角形．18．(本小题10分)如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，平面CDE 是等边三角形，棱EF 綊12BC.(1)证明FO ∥平面CDE ；19．(本小题10分)如图，空间四边形ABCD中，BD⊥AC，平行于对角线AC、BD的平面分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H，且AC＝a，BD＝b.求四边形EFGH面积的最大值．。
高中数学必修二同步练习题库：直线、平面垂直的判定和性质(简答题：容易)
直线、平面垂直的判定和性质（简答题：容易）1、（本小题满分14分）如图，在四面体中，，点是的中点，点在线段上，且．（1）若∥平面，求实数的值；（2）求证：平面平面．2、直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四面体的体积．3、如图和均为等腰直角三角形，，，平面平面，平面，，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.4、如图，在四棱柱中，侧面和侧面都是矩形，是边长为的正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.（3）若平面，求棱的长度.5、如图，四棱锥中，，，侧面SAB为等边三角形， , .（Ⅰ）证明：平面;（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.6、如图，在四棱锥中，平面，平面，.（1）证明：平面平面；（2）点为线段（含端点）上一点，设直线与平面所成角为，求的取值范围.7、已知四棱锥，底面是、边长为的菱形，又底，且，点分别是棱的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求点到平面的距离．[8、如图，是正方形,是正方形的中心，是的中点．求证：（1）平面；（2）平面．9、如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.（1）求证：平面平面；（2）设是上的动点，求与平面所成最大角的正切值；（3）求二面角的余弦值.10、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．11、如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．12、如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别是棱的中点，且平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．13、如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.14、如图，在四棱锥中，平面，,,是的中点.(1)证明：平面;(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求二面角的正切值15、如图，在三棱锥D-ABC中，DA=DB=DC,D在底面ABC上的射影E，E为的中点，AB⊥BC，DF⊥AB于F．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值.16、如图,在四棱锥中,面,,且,点在上.（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）若二面角的大小为,求的值.17、已知四棱锥的底面是正方形，底面，是上的任意一点.过点E的平面α垂直于平面SAC.（1）请作出平面α 截四棱锥S-ABCD的截面（只需作图并写出作法）；（2）当时，求二面角的大小.18、如图，在四棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.19、如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝4AB，F为CD的靠近C的四等分点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）请问：平面BCE与平面CDE是否互相垂直？请证明你的结论．20、如图，在直三棱柱中，已知，分别为的中点，求证：（1）平面平面；（2）平面.21、边长为4的菱形中，满足，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，连接，，，得到如图所示的五棱锥．（1）求证：⊥；（2）求二面角的正切值．22、如图所示，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，F为CD的中点．求证：（Ⅰ）AF∥平面BCE；（Ⅱ）平面BCE⊥平面CDE．23、如图，矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点．①求证：直线AR∥平面PMC；②求证：直线MN⊥直线AB．24、如图1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，EC=2BC，∠ADC=90°，AB⊥EC，点F为线段BC上的一点．将△ABE沿AB折到△ABE1的位置，使E1F⊥BC，如图2．（Ⅰ）求证：AB∥平面CDE1；（Ⅱ）求证：E1F⊥AC；（Ⅲ）在E1D上是否存在一点M，使E1C⊥平面ABM．说明理由．25、（2014•淄博二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是线段PB的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：AQ∥平面PCD．26、（2015秋•陕西校级期末）如图，P为△ABC所在平面外一点，AP=AC，BP=BC，D为PC中点，直线PC与平面ABD垂直吗？为什么？27、如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值；（3）若点是上一点，求的最小值．28、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证，直线PB与AC垂直；29、三棱锥P—ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，PC⊥AB，求证：（1）AO⊥BC（2）PB⊥AC30、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．31、已知E是矩形ABCD（如图1）边CD上的一点，现沿AE将△DAE折起至△D1AE（如图2），并且平面D1AE⊥平面ABCE，图3为四棱锥D1—ABCE的主视图与左视图．（1）求证：直线BE⊥平面D1AE；（2）求点A到平面D1BC的距离．32、（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，与都是边长为2的等比三角形且所在平面互相平行，四边形BCED为正方形，，O，G分别是BC，DE的中点．（1）证明：平面ADE平面AOFG；（2）求二面角D-AE-F的余弦值．33、（本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形为正方形，，平面平面，且,，点G是EF的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点在线段上，且，求证：//平面；（Ⅲ）已知空间中有一点O到五点的距离相等，请指出点的位置. (只需写出结论)34、（本小题满分14分）如图，在四面体中，，点是的中点，点在线段上，且．（1）若∥平面，求实数的值；（2）求证：平面平面．35、（本题满分14分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）若，证明平面36、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点．(1)求证：AB1⊥BF；（2）若正方体的棱长为1，求37、（本题满分12分）己知斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧面为菱形，，平面平面，是的中点．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．38、（本小题满分13分）如图，⊙O在平面内，AB是⊙O的直径，平面，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求证：平面.39、（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.40、（本小题满分14分）如图，在三棱锥P- ABC中，已知平面PBC 平面ABC．（1）若AB BC，CP PB，求证：CP PA：（2）若过点A作直线⊥平面ABC，求证：//平面PBC．41、（本小题满分13分）在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．42、（本题满分14分）如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：（1）//平面；（2）平面平面．43、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF=1，（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求B到平面FDC的距离．44、如图，正方形的边长为1，正方形所在平面与平面互相垂直，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．45、（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，，BC=CD=2，．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．46、（2011•山东）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．（1）证明：AA1⊥BD；（2）证明：CC1∥平面A1BD．47、如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知，．（1）求证：AC⊥平面VOD；（2）求三棱锥的体积.48、如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．（1）求证：平面；（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？49、如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．50、如图已知：菱形所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，，点分别是线段的中点.(1)求证：平面平面;(2)试问在线段上是否存在点，使得平面,若存在,求的长并证明；若不存在，说明理由.51、如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=,AD=CD=1.求证：BD⊥AA1；若四边形是菱形，且，求四棱柱的体积.52、如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，．(1)证明：；(2)证明：；(3)求四棱锥与圆柱的体积比.53、如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．54、如图已知：菱形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，，点分别是线段的中点.（1）求证：平面平面;（2）点在直线上，且//平面，求平面与平面所成角的余弦值。
广西陆川县中学高二数学下学期 第9章 立体几何 空间直线2同步作业 大纲人教版
一、选择题1.已知,a b 为异面直线，AB 是公垂线，直线//l AB ，则l 与a 或l 与b 的交点总数为 A ．0 B ．只有一个 C ．最多一个 D ．最多两个2.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是AC ．35D ．253.直线,a b 相交于点O 且,a b 成60︒角，则过点O 与,a b 都成 60︒角的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 4.右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角； ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 二、填空题5.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，那么（1）哪些棱所在直线与直线1BA 成异面直线： 。
（2）直线1BA 与1CC 所成角的大小为 。
（3）直线1BA 与1B C 所成角的大小为 。
（4）异面直线BC 与1AA 的距离为 。
（5）异面直线1BA 与1CC 的距离是 。
6.四面体S ABC -，各条棱长相等，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成的角的余弦值是 。
7.已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，AP 垂直于正六边形所在的平面，并且1AP =，则直线AB 和PC 所成的角的余弦值为 。
8.设P 为异面直线,a b 外一点，那么：（1）过P 与,a b 同时平行的直线有 条； （2）过P 与,a b 同时垂直的直线有 条； （3）过P 与,a b 同时相交的直线有 条。
三、解答题9.设A 、B 、C 、D 是不共面的四点，E 、F 、G 、H 分别是,,,AC BC DB DA 的中点。
若AB CD ==，四边形EFGH的面积为AB 、CD 所成的角。
高中数学 必修二 同步练习 直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定(解析版)
在 中， ，
同理，得 ，又 ，则 即 ，
又 ，故 平面 ．
又 平面 ，故 ．
17．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ，点 是 的中点，作 ，交 于点 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求证： 平面 ．
【解析】（1）连接 ，与 相交于 ，连接 ，则 为 的中位线， ，又 平面 平面 ，由线面平行的判定定理知 平面 ．
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中表述正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
5．正四面体 中， 分别是 的中点，下面四个结论中不成立的是
A． 平面 B．平面 平面
C． 平面 D．平面 平面
【答案】B
【解析】因为 分别是 的中点，所以DF//BC，所以 平面 ，则A正确；
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D
【解析】易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G，故平面EFG∥平面PBC，A正确；
由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确；
根据异面直线所成角的定义可知，C正确；
（2）∵ ，且 底面 ，∴ 为等腰直角三角形，
是 的中点， ，又底面 为正方形， ，
由 ，得 平面 ，而 平面 ，
又 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 ．
（3）由（2）知， 平面 平面 ，
又 ， 平面 ．
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，若PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是
广西陆川县中学高二下学期数学同步作业：第9章 立体几何 两个平面垂直的判定和性质(4)(大纲版)
两个平面垂直的判定和性质（4）一、选择题1.对于直线,m n 和平面,αβ，αβ⊥的一个充分条件是A ．,//,m n m n αβ⊥⊥B ．,,m n m n αβα⊥⋂=⊂C ．//,,m n n m βα⊥⊂D ．//,,m n m n αβ⊥⊥2. 设l αβ--是直二面角，直线a α⊂，直线b β⊂，且,a b 与l 都不垂直，那么 A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行 B ．a 与b 可能垂直，也可能平行 C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行 D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行3.把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论： ①AC BD ⊥； ②ADC ∆是正三角形； ③AB 与CD 成60︒角； ④AB 与平面BCD 成60︒角 则其中正确结论的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4.如图所示，在直二面角l αβ--中，,A B l ∈，AC α⊂且,AC l BD β⊥⊂，且,6,8,24BD l AC AB BD ⊥===，则线段CD 的长是A ．25B ．26C ．27D ．28 二、填空题5.已知平面α⊥平面β，,l P αβ⋂=是空间一点，且P 到平面,αβ的距离分别是1，2，则点P 到l 的距离为 。
6.已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，给出下列四个命题：①若,//a b a α⊥，则b α⊥； ②若//,a ααβ⊥，则a β⊥； ③若//,//βγαγ，则αβ⊥； ④若,a αββ⊥⊥，则//a α。
其中不正确．．．的命题的个数是 。
7.在直角坐标系中，设(2,3),(3,2)A B --，沿x 轴把直角坐标平面折成60︒的二面角，则折后AB 的长为 。
8.如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6π。
过,A B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''= 。
高三一轮复习：第九章立体几何第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
第9章第五节直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(6×5分＝30分)1．已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：如图，α⊥β且a⊥α，b⊥β，∴a⊥b.当a⊥b时，a⊥α，b⊥β⇒α⊥β.答案：C2．(2011·浙江宁波调研)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上．答案：A3．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AG⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°解析：对于A，∵BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1；对于B，∵AC1在平面ABCD上的射影是AC，而AC⊥BD，∴AC1⊥BD；对于C，同B可证AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，∴AC1⊥面CB1D1.对于D，连接A1D，则DA1∥CB1，∴∠ADA1等于异面直线AD与CB1所成的角，∴∠ADA1＝45°.答案：D4．(2012·西城模拟)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b()A．平行B．相交C．异面D．垂直解析：当a∥α时，显然存在b⊥a，当a与α斜交时，过a上一点A作AB⊥α于B，设a与α的交点为O，连OB，在α内过B作BC⊥OB，又∵AB⊥BC，∴BC⊥面AOB，而a⊂面AOB，∴存在b，使得a⊥b，当a⊥α时，显然存在b⊥a，综上可知，选项D正确．答案：D5．(2011·东莞一模)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：对于①，α与β可能平行，故错．②③正确，故选C.答案：C6．(2011·漳州模拟)设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是()A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C 中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.答案：D二、填空题(3×5分＝15分)7．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的即可)解析：∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∴AC⊥BD，又∵P A⊥面ABCD，∴P A⊥BD，∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC，PC⊥面BMD，∴面PCD⊥面BMD.答案：BM⊥PC(其它合理即可)8．(2011·合肥模拟)设m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α⊥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，m∥β，则α∥β④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是________．解析：①∵n∥α，∴过n的一个平面γ与α的交线n′∥n，又∵m⊥α，∴m⊥n′，而n′∥n，∴m⊥n，②∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，又∵m⊥α，∴m⊥γ.③m∥α，m∥β，则α与β可能平行，也可能不平行．④α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交．答案：①②9．(2011·长沙模拟)a、b表示直线，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是________．解析：对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直．对④a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．答案：②⑤三、解答题(共37分)10．(12分)(2011·池州一模)四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°.求证：BD ⊥平面ACD.证明：如图所示，取CD 的中点G ，连接EG 、FG 、EF .∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ，∴EG ＝FG ＝12AC .在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2.∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面ACD .11．(12分)(2011·漳州模拟)如图所示，已知△ABC 是等边三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，且EC 、DB 在平面ABC 的同侧，M 为EA 的中点，CE ＝2BD.求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA .证明：如图，取AC 中点N ，连结MN 、BN ，∵EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，∴EC ∥BD .△ECA 中，M 、N 分别是EA 、CA 中点，∴MN ∥EC ，且MN ＝12EC .又∵EC ＝2BD ，∴MN ∥BD 且MN ＝BD .∴四边形MNBD 是平行四边形．∴MD ∥BN .∵EC ⊥平面ABC ，且BN ⊂平面ABC ，∴EC ⊥BN .∵正三角形ABC 中，N 是AC 中点，∴BN ⊥AC .又AC ∩EC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA .∴MD ⊥平面ECA .(1)∵MD ⊥平面ECA ，EA ⊂平面ECA ，∴MD ⊥EA .∵EM＝MA，∴Rt△DME≌Rt△DMA.∴DE＝DA.(2)∵MD⊥平面ECA，MD⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵MD⊥平面ECA，MD⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.12．(13分)(2011·东北六校一模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C⊂平面BB1C1C，故A1D⊥平面BB1C1C.又A1D ⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.。
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直线与平面垂直的判定和性质（第3课时）
一、选择题
1.如果平面外两条直线在平面内的射影分别是一点和不经过该点的一条直线，那么这两条直线的位置关系是
A ．异面
B ．平行
C ．异面或平行
D ．异面或相交
2.已知点P α∉，点P α'∈，且PP α'⊥，若4PP '=，则平面α内与点P 之间的距离等于定值5的点Q 的轨迹是
A ．单位圆
B ．半径大于1的圆
C ．半径小于1的圆
D ．椭圆 3.给出下列四个结论：
①若过平面外一点引两条斜线段与平面所成的角相等，则斜线段也相等； ②若平面的两条斜线段相等，则它们在平面内的射影相等； ③若平面的两条斜线段的射影相等，则这两条斜线段相等； ④与同一平面所成角相等的两条直线相等。
其中正确的个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4.若,,6,A B AB AB αα∉∈=与平面α所成的角为45︒，则点A 到平面α的距离为 A ．3 B
． C
． D
．二、填空题
5.已知ABC ∆，点P 是平面ABC 外的一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，若点P 到ABC ∆的三边的距离相等，那么点O 一定是ABC ∆的 。
6.若过平面α外一点P
的斜线段是过这点垂线段的2
倍，则斜线与平面α所成的角为 。
7.AB ⊥平面α于,B BC 为AC 在α内的射影，CD α⊂，若60,45A
C D B C D ∠=︒∠=︒，
则AC 和平面α所成的角为 。
8.已知ABC ∆中，,//,6,90,A BC BC BAC AB αα∈=∠=︒、AC 与平面α分别成30︒、
45︒的角，则BC 到平面α的距离为 。
三、解答题
9.如图，已知,,,60,AP BP PAPC PBPC ABP ACP D ⊥==是BC 中点，求AD 与平面
PBC 所成角。
A
B
C
D P
10.如图，在棱长为1的正方体1111
ABCD A BC D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =，试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B
所成角的正切值为
11.在如图所示的几何体P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，
,//,,3AE PD EF DC AM EF PA AB ⊥==，求直线AC 与平面EAMF 所成角的正弦
值。
参考答案
一、选择题 1.A 2.B 3.A 4.B
二、填空题 5.内心
C1
B A
B
C
D
P
E
F
M
6.
3
π
7.45︒
三、解答题
9.
10.
1
3 m=
11.
10。