椭圆的简单几何性质：课件一(15张PPT)
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椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的简单几何性质 课件
整理得 kAB＝xy22－－xy11＝－396xy22＋＋xy11，
由于 P(4,2)是 AB 的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是 kAB＝－396××84＝－12， 于是直线 AB 的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 y＝－12x＋4.
小结 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直 线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公 式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端 点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的 关系．
椭圆的简单几何性质
1．点 P(x0，y0)与椭圆xa22＋yb22＝1 (a>b>0)的位置关系： 点 P 在椭圆上⇔____ax_202_＋__by_202＝__1____； 点 P 在椭圆内部⇔___ax_202＋ ___by_202<_1____； 点 P 在椭圆外部⇔___ax_202_＋__by_202_>_1___.
所以x1＋2 x2＝116＋k2－4k82k＝4，解得 k＝－12，且满足 Δ>0. 这时直线的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 y＝－12x＋4.
方法二
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有3x6312x＋622＋y921y9＝22＝11，
两式相减得x22－36x21＋y22－9 y21＝0，
问题 3 如何求最大距离？ 答案 由图可知，k＝－25 时，直线 m 与椭圆的交点 到直线 l 的距离最大．
小结 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转 化为直线与椭圆的位置关系问题． 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相 交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离 ⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式 是最基本的工具．
3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
基础巩固2：由椭圆的几何性质求方程
[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上, a 6, e 1 ; c 2 b2 32 x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上, c 3, e 3 ; 5
a 5 b2
16
y2 x2 1 25 16
(3)过P(3,0), Q(0,2)两点;
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
基础巩固1：由方程确定椭圆的几何性质
x2 36
y2 20
1上在第一象限的点, 且MF1F2
为等腰三角形, 则M的坐标为_(_3,__1_5_)___.
y
M
析: MF1 F1F2 8
由焦半径的公式得MF1
a exM
6
4 6
xM
8
xM 3, 代入方程yM 15.
y
F1 O
x F2
a2 36 a 6
析:S 14 2
82
P3(x, y)
设P(
x,
y
)是椭圆上任一点,
则P满足
x a
2 2
y2 b2
1,
P1(x, y)也满足方程 任一点P关于x轴的对称点也在椭圆上
椭圆关于x轴对称
P2 (x, y)也满足方程 椭圆关于y轴对称 P3(x, y)也满足方程 椭圆关于原点对称
P1(x, y)
椭圆的简单几何性质及应用课件
所以 k 的取值范围为－∞，椭－圆2的2∪简单 2几2，何＋性∞.
质及应用
解答
跟踪训练
y
解：设与l平行的直线m：4x-5y+k=0
与椭圆相切，
4x-5y＋k＝0， 由
9x2＋25y2＝225，
O
x
得25x2＋8kx＋k2-225＝0，
令Δ＝64k2－4×25(k2-225)=0，
解得：k=25或k=-25，
11．设
F1，F2
分别是椭圆
E ：x 2＋ y2＝1(0＜ b＜1)的左 、右焦 点，过点 b2
F1
的直线交椭圆
E
于 A，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________________.
椭圆的简单几何性 质及应用
本课结束
椭圆的简单几何性 质及应用
椭圆的简单几何性质及应用
16
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
椭圆的简单几何性质及应用
17
另解1：
设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 又∵A、B在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16.
两式相减，得(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
显然当k=25时，m与l的距离最小，
椭圆的简单几何性质及应用
9
知识点三 弦长公式
如何求圆的弦长？
几何性质 y
O
x
如何求椭圆的弦长？
y
y=kx+m
A(x1, y1)
y=kx+m，
椭圆的简单几何性质(第1课时)(30张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
椭圆的简单几何性质
例3.已知F₁,F₂ 是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF₂是正三角形，求该椭圆的离心率.解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABLF₁F₂, 且△ABF₂ 为正三角形，所以在Rt△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=30°,令|AF₁ I=x, 则|AF₂ I=2x, 所以|F₁F₂ I= √ |AF₂ I²-|AF₁ I²= √3x=2c,再由椭圆的定义，可知|AF₁ I+|AF₂ I=2a=3x,所)
椭圆的简单几何性质
03性质应用P A R T 0 N
于是a=5,b=4,c= √25-16=3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10, 和2b=8,离心率两个焦点坐标分别是F₁ (-3,0)和F₂ (3,0),四个顶点坐标分别是A₁ (-5,0),A₂ (5,0),B₁ (0,-4),B₁ (0,4).
·
·
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 方法总结利用性质求椭圆的标准方程的方法：(1)确定标准方程的形式.(2)由a,b,c,e 的关系列出方程.(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要分类讨论.
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).(2)离心率 焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为由题意得
椭圆的简单几何性质
一个焦点F(c,O), 则直线l 的方程 ,即bx+cy-bc=0.
解 , 即 故选B.
由题意知
练习：若椭圆 的离心率 则 k 的值等于 解：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴 上 时 ，a²=k+8,b²=9, 得 c²=k—1,又 少 解得k=4.当焦点在y 轴 上 时 ，a²=9,b²=k+8, 得 c²=1—k,
例3.已知F₁,F₂ 是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF₂是正三角形，求该椭圆的离心率.解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABLF₁F₂, 且△ABF₂ 为正三角形，所以在Rt△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=30°,令|AF₁ I=x, 则|AF₂ I=2x, 所以|F₁F₂ I= √ |AF₂ I²-|AF₁ I²= √3x=2c,再由椭圆的定义，可知|AF₁ I+|AF₂ I=2a=3x,所)
椭圆的简单几何性质
03性质应用P A R T 0 N
于是a=5,b=4,c= √25-16=3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10, 和2b=8,离心率两个焦点坐标分别是F₁ (-3,0)和F₂ (3,0),四个顶点坐标分别是A₁ (-5,0),A₂ (5,0),B₁ (0,-4),B₁ (0,4).
·
·
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 方法总结利用性质求椭圆的标准方程的方法：(1)确定标准方程的形式.(2)由a,b,c,e 的关系列出方程.(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要分类讨论.
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).(2)离心率 焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为由题意得
椭圆的简单几何性质
一个焦点F(c,O), 则直线l 的方程 ,即bx+cy-bc=0.
解 , 即 故选B.
由题意知
练习：若椭圆 的离心率 则 k 的值等于 解：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴 上 时 ，a²=k+8,b²=9, 得 c²=k—1,又 少 解得k=4.当焦点在y 轴 上 时 ，a²=9,b²=k+8, 得 c²=1—k,
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
-b≤x≤b，-a≤y≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a，0)、(-a，0)、 (0，b)、(0，-b)
(b，0)、(-b，0)、 (0，a)、(0，-a)
(c，0)、(-c，0)
(0，c)、(0，-c)
长半轴长为a，短半轴长为b. a>b
cos B 7 18
则AC 2 AB 2 BC 2 2AB BC cos B 25 9
5 AC
3
2a 1 5 8 33
2c 1 e 2c 3 2a 8
随堂练习 8、与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率0.8.
x2
y2
1或
y2
x2
1
125 45
扁
圆
随着学习的深入，可以体会到，虽然 b 也能刻画椭圆的扁平程度，但
c a
a
中a，c是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的
程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性
总结
标准方程 范围
对称性 顶点坐标 焦点坐标
半轴长 离心率
椭圆的几何性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
-a≤x≤a，-b≤y≤b
25 16
x2 y2 (2) 1
25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4
B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
《椭圆的几何性质1》(课件)
①若c与a的比值变大时，椭圆的形状如何变化？ ②若c与a的值比变小时，椭圆的形状如何变化？ ③若c与a的比值不变时，椭圆的形状如何变化？
（ 在 R t B 2O F2中, co s B 2 F2O
c a
,
c a
越 大 ， B 2 F2O 越 小 ，
椭
圆
越
扁
；c a
越
小
，
B 2 F2O
越大，椭圆越圆）
X
把x换成-x，同时把y换成P-y（3方-x程，不-y变）， P（2 x，-y）
∴图象关于原点成中心对称。
结论： 坐标轴是椭圆的对称轴，
原点是椭圆的对称中心，
椭圆的对称中心叫椭圆的中心.
2、顶点
（1）椭圆的顶点：椭圆与对y称轴的交点。 结论：顶点的坐标为：AB12（(0-,ab,)0）、A2（a ,0）
（二）教学目标
1、知识目标
■ 探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线 性质的方法。
■ 掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间 互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。
2、技能目标
■ 通过椭圆方程研究椭圆的简单几何性质，使学生经历知 识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理， 理性思维的能力。 ■ 通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对 研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，有亲 历体验发现和探究的兴趣，有动手操作，归纳猜想， 逻辑推理的能力，有分组讨论、合作交流的良好习 惯，从而愿意在教师的指导下主动与同学探究、发 现、归纳数学知识。
三、教 学 过 程
一.复习 椭圆的标准方程
y
y
椭圆的简单几何性质课件
∴椭圆的长轴长 2a＝m2 ，短轴长 2b＝m1 ，
焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3
离心率
e＝ac＝21m＝
3 2.
m
小结 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标 准形式，不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，才能正确地写 出焦点坐标、顶点坐标等．
直线 PF1 的方程为 x＝－c， 代入方程xa22＋by22＝1，得 y＝±ba2，∴P－c，ba2.
又 PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.
∴||FP1FF12||＝||AOOB||，∴2ba2c＝ba，∴b＝2c. ∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.
∴e2＝15，即
e＝
55，所以椭圆的离心率为
5 5.
小结 求椭圆离心率的方法： ①直接求出 a 和 c，再求 e＝ac，也可利用 e＝
1－ba22求解．
②若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成ac的形式，并将其视为整体，
就变成了关于离心率 e 的方程，进而求解．
探究点三 求椭圆的离心率
例 3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1⊥x 轴，PF2∥AB， 求此椭圆的离心率． 解 设椭圆的方程为xa22＋by22＝1 (a>b>0)．
如题图所示，则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，
探究点二 由椭圆的几何性质求方程
例2
椭圆过点(3,0)，离心率
e＝
6，求椭圆的标准方程． 3
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对称性 顶点 离心率
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0)
c e ,0 e 1 a
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？
x2 y 2 2 2 (1)9x y 36， 1； 16 12 2 2 第一个椭圆的离心率 e1 第二个椭圆的离心率
1 e2 2
2
3
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆．
2 2 2
x y (1)x 9y 36， 1． 6 1 ０ 2 2 e1 第一个椭圆的离心率 第二个椭圆的离心率 3
x2 y 2 1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 100 64 x2 y 2 若焦点在y轴上，则 1 64 100
椭圆方程 范围
焦 点 在 x 轴
x y 2 1 2 a b
2
2
焦 点 在 y 轴
y 2 x2 2 1 2 a b
-a x a -b y b
-b x b -a y a
求下列椭圆的顶点坐标：
x y 2 2 (1) 1；(2)2 x y 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在x轴， 顶点 (-10，0)，(10，0)； (0，-6)，(0，6)
x2 y 2 (2)先化为标准方程 1 ４ ８ a= ２２ ，b=2，c=2， 焦点在y轴， 顶点(2，0)，(-2，0)， (0，-２２ )，(0， ) ２２
椭圆方程 范围
焦 点 在 x 轴
x y 2 1 2 a b
2
2
焦 点 在 y 轴
y x 2 1 2 a b
2
2
-a x a -b y b
-b x b -a y a
对称性 顶点 离心率
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0)
c e ,0 e 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
x2 y 2 解：把方程化为标准方程: 1 25 16
所以: a = 5，b = 4， 即
c 25 16 3
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
长轴长2a=10，短轴长2b=8； 离心率ห้องสมุดไป่ตู้e=0.6； 顶点坐标为(-5,0)，(5,0)，(0,4)，(0,-4)．
主讲人：崔永新
y
y
F1(0,c)
M (x,y) x
x
o
M(x,y) F2(0,-c)
F1 (-c,0) o
F2 (c,0)
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
|F1F2|=2c
(0,3)
x y 2 1 2 a b
横坐标的范围：-a x a 纵坐标的范围：-b y b
b
(-a,0)
2
2
(0,b)
a c
(a,0)
(0,-b)
特征三角形△B2F2O三边长分别为|B2F2|=a，|OF2|=c， |OB2|=b． 线段A1A2叫椭圆的长轴，长为2a，A1，A2 为长轴顶点；
e2 10 5
，e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆．
求适合下列条件的椭圆方程：
(1)经过点P(-3,0)，Q(0,-2)；
(2)长轴长等于20，离心率等于0.6．
解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点 故a=3，b=2，焦点在x轴上． x2 y 2 即椭圆的方程为 1 9 4 (2)a=10，离心率c／a=0.6
线段B1B2叫椭圆的短轴，长为2b，B1，B2 为短轴顶点．
椭圆关于y轴对称
椭圆关于x轴对称 椭圆关于原点对称
y
O
x
上面椭圆的形状有什么变化？ 怎样刻画椭圆的扁平程度呢？
y x
O
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁．
显然，a不变，b越小，椭圆越扁． 也即，a不变，c越大，椭圆越扁． 把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆 c 的离心率，用e表示，即 e a , 0 e 1
图中椭圆的标准方程为
x2 y 2 1 25 9
(-5,0) (-4,0)
b 3
5
4
a c
(4,0)
(5,0)
请写出图中各点的坐标．
a=5，b=3， 所以c=4
(0,-3)
△B2F2O叫椭圆
令y=0,得x=±5，则A1(-5,0), A2(5,0) 的特征三角形.
令x=0,得y=±3，则B1(0,-3), B2(0,3)