6.1菱形的性质与判定(1)
菱形的判定和性质
BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一 ：菱形的判定例1：下列命题正确的是（ ）（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。
6.1菱形的性质和判定
6.1菱形的性质与判定知识点概念：有一组邻边相等的平行四边形性质：（1）菱形具有平行四边形的一切性质.（2）四条边都相等.（3）对角线互相垂直.（4）是轴对称图形，它有两条对称轴判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（3）四条边都相等的四边形是菱形.拓展延伸：（1）菱形的每条对角巷都平分一组对角.（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半。
（3）任何对角线互相垂直的四边形的面积都可以用对角线乘积的一半来计算. 基础闯关菱形的性质1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，则下列说法中正确的有（）①AB//CD；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AC，BD互相垂直；⑤对角线AC，BD所在的直线是菱形的两条对称轴.A.2个B.3个C.4个D.5个3.菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）．A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm4.菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）．1A．2 B．3C．1 D．25.菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是（）A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.23 cm6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AD的距离为_______．（6题图）（7题图）7.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0），则C、D两点的坐标分别是.8.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.9.如图，已知E为菱形ABCD的边AD的中点，EM⊥AC交CB的延长线于点F.（1）试说明M为AB的中点．（2）若FB=2，求菱形ABCD的周长.10.如图，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°.求∠CEF的度数．菱形的判定11.下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.一组邻边相等D.对角线互相垂直且平分12.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是（）A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=600D.∠ACB=60013.AD 是ABC 的角平分线，DE//AC ，DF//AB 。
6.1 菱形的性质与判定.同步练习卷打印
6.1 菱形的性质与判定一．选择题1．如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．AB＝CD D．AB＝BC2．如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（）A．∠A＝60˚B．DE＝DFC．EF⊥BD D．BD是∠EDF的平分线3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，若AE＝，则菱形ABCD的周长等于（）A．4B．8C．4D．84．将2020个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为a，则阴影部分的周长总和等于（）A．2020a B．4038a C．4040a D．4042a5．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．6．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（4，4）7．不能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．四边相等B．对角线互相平分且有一组邻边相等C．两组对边互相平行，且一组邻边相等D．对角线互相垂直8．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，则对角线BD的长是（）A．6B．3C．6D．39．如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC10．某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形11．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A．2B．C．D．12．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD ＝；其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题13．菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．若BE＝DE，求证：四边形EBFD是菱形．15．【教材呈现】如图是九年级上册数学教材第79页的部分内容请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】（1）在图①中，若AB＝2，∠AOD＝120°，则四边形EFGH的面积为．（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，O是其内部任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，EO＝2AE，EF∥AB∥GH，且EF＝GH，若△EFO 与△GHO的面积和为，则菱形ABCD的周长为．16．四边形ABCD为平行四边形，AC为对角线，EF垂直平分AC交边AD、BC于点E、F．（1）如图1，求证：四边形AFCE是菱形；（2）如图2，若F是BC的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四边形AFCE面积相等的所有三角形和四边形（四边形AFCE除外）．17．如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．19．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC 上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．（1）求证：AF∥CE；（2）当∠BAC＝度时，四边形AECF是菱形？说明理由．。
6.1菱形的性质与判定(1)
做一做
用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它 有几条对称轴？对称轴之间有什么位置 关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？
菱形是
轴对称图形
通过上面的折纸活动，我们 可以发现:菱形的四条边相等， 对角线互相垂直.下面我们证明 这些结论.
动动脑筋
已知：如图6-1，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD. 证明：（1）∵四边形ABCD是 菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形 的对边相等）. 又∵AB=AD， ∴AB=BC=CD=AD.
图62
随堂练习
如图，在菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm ， 求 BD的长.
今天你学到了什么
平行四边形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形.
菱形的四条边相等
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角 线平分一组对角
图6-1
（2）∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD.
定理 定理
菱形的四条边相等. 菱形的对角线互相垂直.
例1 如图6-2，在菱形ABCD中，对 角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求AB和AC的长.
下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观 察这些平行四边形，你能发现它们什么样的 共内特征？
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
你能举出一些生活中菱形的例子吗？
与同伴交流.
想一想
1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形及其性质导学案
1 菱形的性质与判定第1课时菱形及其性质导学案学习目标1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力.学习策略1、结合以前所学的平行四边形的知识；2、注意全等三角形知识的应用.学习过程一.复习回顾：填空：1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.3.平行四边形是中心对称图形，它的两条对角线的交点是它的对称中心.二.新课学习：1.自学教材P2—4，回答以下问题1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.3.菱形具有平行四边形的一切性质.2.菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.它有两条对称轴,两条对称轴互相垂直.4.菱形的四条边都相等.5.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.2、知识探究请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？(2)菱形中有哪些相等的线段？解：（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形两条对角线所在的直线。
两条对称轴互相垂直。
（1）菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等.三.尝试应用：1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)有哪些特殊的三角形?2.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.四.自主总结：1.菱形的定义.2.菱形的性质.3.菱形与平行四边形的关系.五.达标测试1.如图，在菱形A BCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误．．的是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OCABCDO2.如图，在菱形ABCD中，AC＝6, BD＝8,则菱形的边长为（）A.5B.10C.6D.83.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A.23cm B.24cm C.23cm D.223cm4.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC∠==°，，则点B的坐标为（）A．(21)，B．(12)， C．(211)+， D．(121)+，5.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于 .6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC BD、相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于．7.如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点连结AE、CE，请找出图中一对全等三角形为______________.8.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=12BE.答案：尝试应用1.解：（1）相等的线段：AB=CD=AD=BC，OA=OC，OB=OD.相等的角：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA，∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°，∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6=∠7=∠8.（2）等腰三角形：△ABC △DBC △ACD △ABD直角三角形：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA2.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）.又∵AB=AD ， ∴AB=BC=CD=AD. (2)∵AB=AD,∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形ABCD 是菱形,∴OB=OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD 中， ∵OB=OD, ∴AO ⊥BD, 即AC ⊥BD.3.解：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD(菱形的四条边都相等)， AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直） ， OB=OD=21BD=21×6=3（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD 中， ∵∠BAD=60°, ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB=BD=6. 在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2+OB 2=AB 2.∴OA=.333362222=-=-OB AB ∴AC=2OA=.36达标测试1.B2.A3.D4.C5.56.37.ABD CDB △≌△（或ADE CDE △≌△或ABE CBE △≌△） 8.∵ABCD 是菱形，∴AD//BC ，AB=BC=CD=DA.又∵∠ABC= 60°， ∴BC=AC=AD.∵DE ∥AC ，∴ACED 为平行四边形.∴CE=AD=BC ，DE=AC. ∴DE=CE=BC ，∴DE=12BE.。
1.1菱形的性质与判定(一)
第一章特殊平行四边形1．菱形的性质与判定（一）一、学生知识状况分析九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。
经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
二、教学任务分析1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：设置情境，提出课题；第三环节：猜想、探究与证明；第四环节：性质应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节课前准备1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。
2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。
第二环节设置情境，提出课题【教学内容】学生：观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。
教师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？学生1：图片中有八年级学过的平行四边形。
教师：请同学们观察，彩图中的平行四边形与ABCD相比较，还有不同点吗？学生2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。
教师：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。
【教学目的】通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力。
上课时让学生观察图形，从直观上把握菱形的特点，从而给出菱形的定义，让学生明确菱形不但是平行四边形，而且有其特点“一组邻边相等”。
同时，要让学生体会数学来源于生活，让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩，从而提高学生学习数学的兴趣。
菱形的性质及判定
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．菱形的性质及判定图21CBA【例4】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例5】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例6】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．图1HO DC BA【例7】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例8】 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．【例9】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为E FDBCA【例10】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【例11】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【例13】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【例14】 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【例15】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例16】已知菱形ABCD的两条对角线AC BD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例17】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例18】如图，在菱形ABCD中，4AB a E=，在BC上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD上，则PE PC+的最小值为DB【例19】已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AE AF EF AB===，求C∠的度数．FEDCBA【例20】已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且60B EAF∠=∠=︒，18BAE∠=︒．求：CEF∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例21】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例22】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例24】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例25】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例26】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【例27】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例28】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例29】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．H F DECBA【例30】 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA【例31】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例32】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例33】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）． 图2AB CDEFG P四、中位线与平行四边形【例34】 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．【例35】 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由．HGFE D CBA【例36】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNB D A【例37】 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【例38】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．M EDCBA【例39】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠ABH G FEDC BA【例40】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【例41】 如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤ADFEDCBA【例42】 已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFDC BA【例43】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例44】 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH，相互垂直平分ABGHGFEDCBA【例45】 ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH【例46】 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13BE DE =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF【例47】 如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．HGFEDCBA【例48】 如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBA【例49】 如图，线段AB CD ，相交于点O ，且AB CD =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF分别交AB CD ，于M N ，，求证：OM ON =A CFEO N M DCBA【例50】 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形A BEFO G FE DC BA【例51】 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A【例52】 如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR =．SR QPH GOEFDCB A。
1.1 菱形的性质与判定(第1课时)
第一章特殊平行四边形1．菱形的性质与判定（一）教学内容：1．菱形的性质与判定（一）教学目标：1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力。
教学重点：掌握证明的基本要求和方法，学会推理论证教学难点：引导学生探索、猜测、证明，体会证明的必要性教学过程：一、课前准备1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。
2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。
二、设置情境，提出课题学生观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。
1.你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？（图片中有八年级学过的平行四边形）2.请同学们观察，彩图中的平行四边形与相比较，还有不同点吗？（彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等）小结：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。
三、猜想、探究与证明1、想一想①菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
你能列举一些这样的性质吗？（菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
）②你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。
学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。
（教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。
对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。
）2、做一做同学们请用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？（2）菱形中有哪些相等的线段？（分小组折纸探索教师的问题答案。
组长组织，并汇总结果。
教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。
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①、菱形的四边在数量上有什么关系?；
②、菱形是轴对称图形吗?如果是,那么 谁是对称轴? ③、菱形的对角线在位置上有什么关系?
④、菱形的每一条对角线是否平分一组对
角?
做一做 用菱形纸片折一折，回答下列问题： 1、菱形是轴对称图形吗？
有几条对称轴？
对称轴是谁？
2条
对角线所在直线
对称轴之间有什么关系？ 垂直 2、菱形中有哪些相等线段？ 四条边相等 3、菱形的对角线是否平分对角？
A D O C
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______.
B
3.菱形的两条对角线的长分别为6cm 想一想 24cm2 和8cm，那么菱形的面积是_____.
有关菱形问题可转化为直角三角形 或等腰三角形的问题来解决
一展身手
一:辨别对错 1、有一组邻边相等的四边形是菱形。( 2、菱形是平行四边形。( ) 二.菱形ABCD中,O是两条对角线 的交点，已知AB＝5cm,BO=4cm， 则对角线AC的长为____,BD的长 为_____。 A
第六章 平行四边形
6.1 菱形的性质与判定1
情景引入
观察下列几幅图片，不难发现包含一些平行四 边形，这些平行四边形又有什么共同的特征？
新特征：一组邻边相等
新知识
菱形的概念
一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形。
邻边相等
想一想
1、菱形是特殊的平行四边形，具有哪些一般性质？
1、菱形是中心对称图形. 对角线的交点是对称中心。 2、菱形的对边平行且相等。 3、菱形的对角相等。 4、菱形的对角线互相平分。 2、菱形是特殊的平行四边形， 具有哪些特殊性质？ 1、菱形的邻边相等。 2、……
A O C
定理：菱形的四条边相等。 定理：菱形的对角线互相垂直。
B
例题 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O，∠BAD=60°，BD=2, 求AB D 和AC的长。
A O C
B
归纳总结：菱形的性质
• ①菱形具有平行四边形的一切性质； • ②菱形是中心对称图形，也是轴对称 图形； • ③菱形的四边都相等； • ④菱形的对角线互相垂直平分，并且 每条对角线平分一组对角。
?
S菱形=底×高=对角线乘积的一半
例题讲解:
如果已知菱形ABCD 的对角线AC=4cm,BD =3cm,请你求出菱形ABCD的面积和周长.
D
解: 菱形ABCD 的面积 1 2 S= ×4×3=6（cm）
2
菱 形 ABCD 的 周 长 为 : 4×2.5=10(cm)·
A
O
C
B
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______.
O C
)
D
B
从定义上来谈——
有一组邻边相等的平行四边 形是 菱形.
从性质上来谈—— ①菱形具有平行四边形的一 切性质；
②菱形是中心对称图形，也 是轴对称图形；
③菱形的四边都相等； ④菱形的对角线互相垂直平分，并 且每条对角线平分一组对角。 从计算上来谈—— 菱形的面积等于它的对角线长的 乘积的一半。设菱形的两对角线长 1 分别为a，b，则它的面积S= ab.
菱形的概念
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边 形的一切性质。 1、菱形的四边相等。 2、菱形是轴对称图形，两条对角线所在 直线是其对称轴。还是中心对称图形。 3、菱形的对角线互相垂直，每一条对角 线平分一组对角。
想一想
已知，在菱形ABCD中，AB=AD，对 角线AC与BD相交于点O。 求证：（1）AB=BC=CD=AD D （2）AC⊥BD
随堂练习
D
A
O
C
B
习题6.1
随堂练习
随堂练习
随堂练积桥
A B
菱形
O E
C
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗?
D
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 么 1 ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD S菱形 2
2
思考:
操作题：请把有一个内角为72° 的菱形ABCD分成4个等腰三角形.
D A
）72°
C B