☆人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数综合提高测试题

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人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)综合复习题(含解析)

第二十八章锐角三角函数综合复习题一、单选题1．（重庆梁平·九年级期末）点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）．A ．12⎛- ⎝B ．1,2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝D ．2．（重庆梁平·九年级期末）式子2cos30tan 45︒-︒的值是（）A ．0B ．C ．2D ．2-3．（重庆潼南·九年级期末）如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．4．（重庆万州·九年级期末）在Rt ABC 中，9054C AB BC ∠=︒==,,，那么下列各式中不正确的是（）A ．3cos 5A =B ．4sin 5A =C ．4tan 3A =D ．cosB 35=5．（重庆市育才中学九年级期末）已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，则cos B 的值为（）A B C ．23D ．136．（重庆南岸·九年级期末） sin30°的值为（）A ．12BC ．1D 7．（重庆·巴川初级中学校九年级期末）小华同学在数学实验活动中是测量自己学校门口前路灯的高度，如图，校门E 处，有一斜坡EB ，斜坡EB 的坡度i =1∶2.4；从E 点沿斜坡行走了4.16米到达斜坡顶的B处．在B 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米在D 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（）tan35°≈0.7，tan65°≈2.1A ．5.5米B ．4.8米C ．4.0米D ．3.2米8．（重庆沙坪坝·九年级期末）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G 基站．如图，某处斜坡CB 的坡度（或坡比）为i ＝1∶2.4，通讯塔AB 垂直于水平地面，在C 处测得塔顶A 的仰角为45°，在D 处测得塔顶A 的仰角为53°，斜坡路段CD 长26米，则通讯塔AB 的高度为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈，4tan533︒≈）A ．774米B ．772米C ．56米D ．66米9．（重庆·西南大学附中九年级期末）在矩形ABCD 中，连接AC ，过点B 作BH AC ⊥于点H 交AD 于点I ，AE 平分BAC ∠分别交BH 、BC 于点P 、E ，BF 平分IBC ∠分别交AC 、DC 于点G 、F ，已知4AB =，1tan 2BAE ∠=，对下列说法中，①ABP ≌AGP ；②四边形BPGE 的面积是165；③4sin 5HPG ∠=；④2FC FD =．⑤连接FH ，则//FH BC ，正确的个数是（）．A ．2B ．3C ．4D ．510．（重庆南岸·九年级期末）公园的健身步道，其中一处阶梯的形状如图所示，其中线段AB ＝BC ＝6m ，AB 部分的坡角为45°，BC 部分的坡角为30°，如果每一个台阶的高度不超过20cm ，那么这一阶梯的台阶数最少为（）（最后一个台阶的高度不足20cm ≈1.41）A ．36B ．37C ．47D ．4811．（重庆市育才中学九年级期末）如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（）A 3π-B 3πC 23πD ．23π12．（重庆黔江·九年级期末）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（）A ．()20mB ．()10mC ．D ．40m二、填空题13．（重庆荣昌·九年级期末）在边长为OABC 中，D 为边BC 上一点，且2CD =，以O 为圆心，OD 为半径作圆，分别与OA 、OC 的延长线交于点E 、F ，则阴影部分的面积为 _____．14．（重庆八中九年级期末）如图，在ABC 中，6AB =，BC =，AC =ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到BA C ''△，点A 经过的路径为弧AA '，点C 经过的路径为弧CC '，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）15．（重庆南开中学九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，30BAC ∠=︒，AB =B 为圆心，BC 为半径画弧交矩形的边AB 于点E ，交对角线AC 于点F ，则图中阴影部分的面积为______．16．（重庆·西南大学附中九年级期末）计算：()022tan 45π1-+︒--=______．17．（重庆云阳·九年级期末）如图，在平行四边形ABNM 中，30MAB ∠=︒，8AB =，以AB 为直径作O ，点M 恰好在O 上，则图中阴影部分的面积为__________．18．（重庆忠县·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）三、解答题19．（重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，A B C A →→→是湿地公园里的一条环形跑道，B 在A 的正南方．一天，李老师从起点A 出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C 在他的东南方向，他以每分钟80米的速度，沿AB 方向跑了15分钟后到达健身跑道的B 处，此时他发现公园中心塔C 在他的南偏东75°方向．（A ，B ，C 1.414= 1.732=）(1)求BC 的长；（结果保留整数）(2)为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB 段继续向正南方向延伸至D 处，再将DC 连接起来组成新的环形跑道．若在D 处测得C 在D 的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成本为每米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．20．（重庆巴南·九年级期末）在△ABC 中，AB = BC ，∠ABC =90°．(1)如图1，已知DE ⊥BC ，垂足为D ，若∠DBE =60°，AC =BD AE 的长；(2)如图2，若点D 在△ABC 内部，点F 是CD 的中点，且∠BAD =∠CBF ，求证：∠DBF =45°；(3)如图3，点A 与点'A 关于直线BC 对称，点D 是△'A AC 内部一动点，∠ADC =90°．若AC =4，则线段'A D 的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．21．（重庆荣昌·九年级期末）在△ABC 与△DEF 中，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，且AB ＝AC ，DE DF =．(1)如图1，若点D 与A 重合，AC 与EF 交于P ，30CAE ∠=︒，CE ＝EP 的长；(2)如图2，若点D 与C 重合，EF 与BC 交于点M ，且点M 是线段BC 的中点，连接AE ，且∠CAE ＝∠MCE ，求证：C MF E E +=；(3)如图3，若点D 与A 重合，连接BE ，且BE 平分ABC ∠，连接BF ，CE ，当BF CE +最小时，直接写出的2·BE BF CE值．22．（重庆一中九年级期末）ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ︒∠=，AB AC =，点D 为BC 的中点，连接AD ，在线段AD 上有一点M ，连接CM ，以AM 为直角边，点A 为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN ．(1)如图1，若1sin 3MCD ∠=，4CD =，求线段MN 的长；(2)如图2，将等腰直角三角形AMN 绕点A 顺时针旋转(045)<αα︒︒︒︒<，连接CM 、DM 、CN ，若DM CN ∥，求证：2224DM CN CM +=；(3)如图3，线段MN 交线段AC 于点E ，点P 、点Q 分别为线段BC 、线段AC 上的点，连接PM 、QN ，将DPM ∆沿PM 翻折得到D PM '∆，将EQN ∆沿QN 翻折得到E QN '∆，若3AM DM =，8BC =，在线段BC 上找一点F ，连接FD '、FE '，请直接写出FD FE ''+的最小值．23．（重庆南开中学九年级期末）如图1，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A 处测得摩天轮顶端D 的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B 处，已知AB 坡度i ＝3：4，且80AB =米，BC ＝50米，CD ⊥BF 于点C （A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一平面内，AE ∥BF ）．(1)求平台上点B 到山体底部地面AE 的距离；(2)求摩天轮顶端D 到山体平台BF 的距离CD 的长．（精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3）24．（重庆黔江·九年级期末）如图，在ABC 中，cos A =45B ∠=︒，AC =(1)用尺规作图法作出AB 边的高CD ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求AB 的长．25．（重庆万州·九年级期末）如图，等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4CA CB ==，延长CB 至E ，使得14BE BC =，以BE 为直角边作Rt DEB ，90E ∠=︒，60DBE ∠=︒．(1)若DEB 以每秒1个单位的速度沿BC 向右运动，当点E 到达点C 时停止运动，直接写出在运动过程中DEB 与ACB △重叠部分面积S 与运动时间t （单位：秒）的函数关系式；(2)点M 为线段AB 的中点，当（1）中DEB 的顶点E 运动到点C 后，将DEB 绕着点C 继续顺时针旋转90︒得到'' D EB ，点P 是直线B D ''上一动点，连接MP ，求12'+MP D P 的最小值．26．（重庆八中九年级期末）如图1，在等腰Rt ABC △中，AB BC =，D 是BC 的中点，E 为边AC 上任意一点，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，交AB 于点G ．(1)若6AB =，AE =ED 的长；(2)如图2，点G 恰好是EF 的中点，连接BF ，求证：CD =；(3)如图3，将BDF V 沿DF 翻折，使得点B 落在点P 处，连接AP 、EP ，若6AB =，当AP DP +最小时，直接写出AEP △的面积．27．（重庆实验外国语学校九年级期末）如图，ABC 为等腰直角三角形，90CBA ∠=︒，以斜边AC 为腰作等腰CAD ，使AC AD =，点E 为CD 边中点，连接AE ．(1)如图1，当A 、B 、D 三点共线时，若AE 与BC 相交于点F ，求证：BF BD =．(2)如图2，射线BM 是ABC ∠的外角CBG ∠的角平分线，当点D 恰好落在射线BM 上时，请求出CAE ∠的度数．(3)如图3，连接BD ，以BD 为斜边做Rt BQD △，连接EQ ，若AC =EQ 的最大值．28．（重庆南岸·九年级期末）为了测量旗杆AB 的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD ，EF 是两个长度为2m 的标杆．(1)如果现在测得∠DEC ＝30°，EG ＝4m ，求旗杆AB 的高度；）(2)如果CE 的长为x ，EG 的长为y ，请用含x ，y 的代数式表示旗杆AB 的高度．29．（重庆梁平·九年级期末）如图是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处B 出发先沿水平方向向左行走37米到达点C ，再经过一段坡度为1:2.4i =，坡长为26米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向左行走50米到达点E ．在E 处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E 的正上方点F 时，测得点D 处的俯角为58︒，摩天轮最高处A 的仰角为24︒．AB 所在的直线垂直于地面，垂足为O ，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 在同一平面内，求AB 的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 240.40︒≈，cos 240.91︒≈，tan 240.45︒≈）10参考答案：1．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．【详解】解：∵sin60°，cos30°∴y轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式21=11)---11-=0故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．3．C【分析】如图，过点C 作CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，解直角三角形求出AB ，求出CT 的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C 作 CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，由题意可得AB 垂直平分线段OK ，∴AO =AK ，OH =HK=3，∵OA =OK ，∴OA =OK =AK ，∴∠OAK =∠AOK =60°，∴AH =OA ×sin ∵OH ⊥AB ，∴AH =BH ，∴AB =2AH ∵OC +OH ⩾CT ，∴CT ⩽6+3=9，∴CT 的最大值为9，∴△ABC 的面积的最大值为192⨯故选：C.【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．4．D【分析】利用勾股定理求出AC =3，根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A 的三角函数值即可．【详解】解：如图所示：∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴3AC === ，∴cos A =35，故A 正确，不符合题意；sin A =45，故B 正确，不符合题意；tan A =43，故C 正确，不符合题意；cos B =45，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．A【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，由勾股定理，得ABcosB ＝BC AB =故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．6．A【分析】根据特殊锐角三角函数值求解即可．【详解】解：sin30°=12，故选：A ．【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数的值是前提．7．B【分析】过点O 作OF ⊥EC 于点F ，交BD 延长线于点G ，可得矩形ABDC 和矩形CDGF ，斜坡EB 的坡度i =1：2.4，EB =4.16，根据勾股定理可得，AB =1.6，AE =3.84，然后根据锐角三角函数即可求出DG 和OG 的长，进而可得路灯顶端O 到地面的距离．【详解】解：如图，过点O 作OF ⊥EC 于点F ，交BD 延长线于点G ，可得矩形ABDC 和矩形CDGF ，斜坡EB 的坡度i =1：2.4，EB =4.16，即AB ：AE =1：2.4，∴AE =2.4AB ，根据勾股定理可得：222AE AB BE +=，解得AB =1.6，AE =3.84，根据题意可知：AC =BD =3，FG =CD =AB =1.6，在Rt △BOG 中，tan ∠OBG =3OG OG BG DG =+，即tan35°≈0.7= 3OG DG+，在Rt △ODG 中，tan ∠ODG =OG DG ，即tan65°≈2.1=OG DG ，∴OG =2.1DG ，∴0.7= 2.13DG DG+，解得DG =1.5∴OG =2.1DG ≈3.15，∴OF =OG +GF =3.15+1.6≈4.75≈4.8（米）．所以路灯顶端O 到地面的距离约为4.8米．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形求解．8．B【分析】通过作辅助线，利用斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，13CD =，由勾股定理可求出DM 的长，设出DE 的长，根据坡度表示BE ，进而表示出CF ，由于ACF ∆是等腰直角三角形，可表示BE ，在ADE ∆中由锐角三角函数可列方程求出DE ，进而求出AB ．【详解】解：如图，延长AB 与水平线交于F ，过D 作DM CF ⊥，M 为垂足，过D 作DE AF ⊥，E 为垂足，连接AC ，AD ，斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，∴152.412DM CM ==，设5DM k =米，则12CM k =米，在Rt CDM ∆中，26CD =米，由勾股定理得，222CM DM CD +=，即222(5)(12)26k k +=，解得2k =，10DM ∴=（米)，24CM =（米)，斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，设12DE a =米，则5BE a =米，45ACF ∠=︒ ，(2412)AF CF CM MF a ∴==+=+米，241210(1412)AE AF EF a a ∴=-=+-=+米，在Rt ADE ∆中，12DE a =米，(1412)AE a =+米，4tan tan 533AE ADE DE ∠==︒≈ ，∴14124123a a +=，解得72a =，1242DE a ∴==（米)，141256AE a =+=（米)，3552BE a ==（米)，35775622AB AE BE ∴=-=-=（米)，答：基站塔AB 的高为772米．故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．9．C【分析】先证△ABF ≌△AGF （ASA ），再证△ABP ≌△AGP （SAS ），可判断①正确；求出 PE =2MEBG =2BM ，利用菱形面积公式求S 四边形BPGE =11625BG PE ⋅==可判断②正确；根据∠PBF =∠EBF ，1tan ==tan 2GH HBG BAE BH ∠∠=，可得2BH GH =，在Rt △BHG 中，根据勾股定理222BG BH GH =+，求出85GH =，利用三角函数定义845sin 25GH HPG PG ∠===，可判断③正确；证明△GEC ∽△HBC ，EC GE BC BH =，求出EC =103，BC =1016233BE EC +=+=，CF =83，再求DF=CD-CF=4-8433=，可判断④正确；根据勾股定理CH6415==，AC=203==，AH=AC-CH=20643631515-=，可求CH:AH=6436:16:92:11515=≠，可判断⑤不正确；【详解】解：∵4AB=，1tan2BAE∠=∴1tan422BE AB BAE=∠=⨯=，∵AE平分BAC∠，BF平分IBC∠，∴∠BAE=∠CAE，∠PBF=∠EBF，∵BH AC⊥，∴∠ABH+2∠BAE=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABH+2∠EBM=90°∴∠BAE=∠EBM，∵∠BAE+∠BEM=90°，∴∠EBM+∠BEM=90°，∴∠BME=90°，∴在△ABM和△AGM中，BAM GAMAM AMBMA GMA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△AGF（ASA），∴AB=AG，BM=GM，∴在△ABP和△AGP中，AB AGBAP GAPAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△AGP（SAS），故①正确；∵△ABP≌△AGP，∵BF =GM ，AE ⊥BG ，∴BE =GE ，在△PBM 和△EBM 中PBM EBM BM BMBMP BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PBM ≌△EBM （ASA ），∴PB =EB =PG =EG ，∴四边形BEGP 为菱形，在Rt △ABE 中，AE==∵1122AB BE AE BM ⋅=⋅，∴BM=AB BE AE ⋅==∵∠BAE =∠EBM ，∴1tan tan 2EM EBM BAE BM∠=∠==，∴EM=12BM =∴PE =2MEBG =2BM，∴S 四边形BPGE=11625BG PE ⋅==，故②正确；∵∠PBF =∠EBF ，∴1tan ==tan 2GH HBG BAE BH ∠∠=，∴2BH GH =，在Rt △BHG 中，根据勾股定理222BG BH GH =+，即()2222GH GH =+，解得85GH =，∴845sin 25GH HPG PG ∠===，∴1625BH GH ==，∵四边形PBEG 为菱形，∴EG ∥BH ，∴△GEC ∽△HBC ，∴EC GE BC BH =，即21625EC EC =+，∴EC =103，∴BC =1016233BE EC +=+=，∴1tan ==tan 1623CF CF CBF BAE BC ∠∠==，∴CF =83，∴DF =CD -CF =4-8433=，∴2FC FD =，故④正确；在Rt △BCH 中，根据勾股定理CH6415==，AC203==，∴AH =AC -CH =20643631515-=，∴CH :AH =6436:16:92:11515=≠，∴FH 与AD 不平行，∴HF 与BC 不平行，故⑤不正确；故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线性质，线段垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，平行线判定，掌握矩形的性质，角平分线性质，性的平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，平行线判定是解题关键．10．B【分析】先解直角三角形求得,CE BD 的长，进而根据CE BD +的长除以0.2即可求解【详解】解：依题意，sin BD AB A AB =⋅==1sin 32CE BC CBE BC =⋅∠==37.23BD CE ∴+=≈7.230.236÷≈又因为最后一个台阶的高度不足20cm ，则至少需要37个台阶故选B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数关系是解题的关键．11．A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD =30°，利用在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =在Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯，11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯=∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°，∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．12．A【分析】过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，得到DH BF =，BH DF =，设DF x =m ，CF =m，根据勾股定理得到220()CD x m ==，求得10BH DF m ==，CF =，30)(10)AH m =+=+，于是得到结论．【详解】解：过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，DH BF ∴=，BH DF =，斜坡的斜面坡度i =∴DF CF=设DF x =m ，CF =m ，220()CD x m ∴===，10x ∴=，10BH DF m ∴==，CF =，30)DH BF m ∴==，30ADH ∠=︒ ，30)(10)AH m ∴=+=+，(20AB AH BH m ∴=+=+，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．4123π-【分析】设圆与AB 边交于点G ，先利用正切三角函数可得30COD ∠=︒，再根据三角形全等的判定定理证出Rt COD Rt AOG ≅ ，根据全等三角形的性质可得30COD AOG ∠=∠=︒，Rt COD Rt AOG S S = ，然后根据阴影部分的面积等于OABC Rt COD Rt AOG ODG S S S S --- 扇形即可得出答案．【详解】解：如图，设圆与AB 边交于点G ，则OD OG =，四边形OABC 是边长为90OA OC OCB AOC OAB ∴==∠=∠=∠=︒，2CD = ，∴在Rt COD 中，tan 4CD COD OD OC ∠====，30COD ∴∠=︒，在Rt COD 和Rt AOG 中，OC OA OD OG =⎧⎨=⎩，()Rt COD Rt AOG HL ∴≅ ，30COD AOG ∴∠=∠=︒，Rt COD Rt AOG S S = ，30DOG ∴∠=︒，则阴影部分的面积为OABC Rt COD Rt AOG ODGS S S S --- 扇形21304222360π⨯=⨯⨯⨯-4123π=-，故答案为：4123π-．【点睛】本题考查了正切三角函数、正方形的性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式和正确找出两个全等三角形是解题关键．14．27π65-##2765π-+【分析】设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，根据勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据三边关系可得1tan 2CAB ∠=，根据题意及等角对等边得出DE EB =，在Rt AED 中，利用正弦函数可得2BE DE ==，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，∵6AB =，BC =，AC =∴222AB BC AC =+，∴ABC 为直角三角形，∴1tan 2BC CAB AC ∠==，∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到''BA C ，∴45ABA ∠='︒，∴45ABA EDB ∠=∠='︒，∴DE EB =，在Rt AED 中，1tan 2DE CAB AE ∠==，∴2AE EB =，∴36AE BE BE +==，∴2BE DE ==，162ABD S AB DE =⨯⨯= ，245693602ABA S ππ'︒⨯==︒扇形，2455936010CBC S ππ'︒⨯⎝⎭==︒扇形，9927662105ABD ABA CBC S S S S πππ''=-+=-+=- 阴影扇形扇形，故答案为：2765π-．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．15．512π【分析】连接BF 如下图，把阴影部分的面积转化2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，先得出BCF △为等边三角形，依次求出转化中涉及的部分面积，再计算即可．【详解】解：连接BF 如下图，30BAC ∠=︒，tan BC BAC AB ∴∠==解得：BC =，30BAC ∠=︒9060ACB BAC ∴∠=︒-∠=︒BC BF = ，60CFB ∴∠=︒，BCF ∴ 为等边三角形，根据阴影部分的面积2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，12ABC S == ，∴21544EBC S ππ=⨯⨯=扇形，215=1212EBF S ππ⨯⨯=扇形，1=2BFC S ∴根据阴影部分的面积2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，552(412ππ=+-，5546ππ=+-5546ππ=+-512π=，故答案是：512π．【点睛】本题考查了阴影部分面积的求法，矩形的性质、等边三角形面积、扇形面积的求法，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形面积的和差情况．16．14##0.25【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()22tan 45π1-+︒--1114=+-14=．故答案为：14．【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，属于基础题．17．83π-【分析】连结OM ，过点M 作MC ⊥AB 于C ，根据圆周角定理得出∠MOB =2∠MAB =60°，由8AB =得出OA =OB =OM =4，根据扇形面积公式求得26048=3603OMB S ππ⨯=扇形，在Rt △OMC 中，利用三角函数求得MC =OM sin ∠MOC =4=，利用割补法求阴影部分面积即可．【详解】解：连结OM ，过点M 作MC ⊥AB 于C ，∴∠MOB =2∠MAB =60°，∵8AB =，∴OA =OB =OM =4，26048=3603OMB S ππ⨯=扇形，在Rt △OMC 中，MC =OM sin ∠MOC =4=，∴S 平行四边形ABNM =AB·MC =8×=S △MAO =11422AO MC ⋅=⨯⨯=∴S 阴影部分= S 平行四边形ABNM - S △MAO -8833OMB S ππ-=扇形，故答案为：83π-．【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积，掌握圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积是解题关键．1832π【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒==平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯=图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯--=32π-，32π-．【点睛】本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．19．(1)跑道BC 的长为1697米(2)此次改建费用足够，理由见解析【分析】（1）作BH AC ⊥构造直角三角形后，利用特殊角的三角函数求解即可．（2）先画出图形，再通过构造直角三角形进行求解，得出需要修建的跑道总长，计算出总费用进行比较即可．【详解】（1）由题意得：45BAC ∠=︒，754530ACB DBC ︒︒︒∠=∠=-=，15801200AB =⨯=米过点B 作BH AC ⊥于点H ，∴90AHB CHB ∠=∠=︒，在Rt ABH △中，45A ∠=︒，∴·sin 45BH AB AB ︒===在Rt CBH △中，30ACB ∠=︒，∴21697CB BH ==≈（米）答：跑道BC 的长为1697米．（2）如图，过点B 作BG DC ⊥于点G ，∴90DGB CGB ∠=∠=︒，∵60BDC ︒∠=，∴30DBG ︒∠=∴在Rt CGB △中，45CBG ∠=︒，∴45BCG ︒∠=∴cos 45·1200CG BC BC ︒===，1200BG CG ==．在Rt BDG △中，60BDG ∠=︒，∴tan 60BG DG ︒===2BD DG ==，∴总道路长为1200BD CD +=+∴总共花费：(120060************+⨯≈<．答：此次改建费用足够．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题关键是能正确理解题意，做出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形．20．(1)(2)见解析(3)2【分析】（1）如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，解直角三角形求出AQ ，QE 即可解决问题．（2）如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．利用全等三角形的性质证明H FMC DBH ∠=∠=∠，再证明290DBH ∠=︒即可解决问题．（3）如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．解直角三角形求出DF ，FA '，判断出当A '，D ，F 共线时，DA '的值最小于是得到结论．(1)解：如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，BD QE ∴=，在Rt BQE ∆中，30QBE ∠=︒，2BE BD ∴==3BQ =，在Rt ABC ∆中，2AB BC ===，5AQ ∴=，在Rt AQE ∆中，AE ==(2)如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．在BAD ∆和CBM ∆中，AB BC BAD CBM AD BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CBM SAS ∴∆≅∆，BD CM ∴=，ABD BCM ∠=∠，F 是CD 的中点，DF CF ∴=，在DFH ∆和CFM ∆中，MF HF MFC HFD DF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DFH CFM SAS ∴∆≅∆，DH CM ∴=，H FMC ∠=∠，DH BD ∴=，H FMC DBH ∠=∠=∠，又FMC ∠ 是BMC ∆的外角，FMC BCM MBC ABD MBC ∴∠=∠+∠=∠+∠，90ABD MBC DBF ∠+∠+∠=︒ ，290DBF ∴∠=︒，45DBF ∴∠=︒；(3)如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．AB BC = ，90ABC ∠=︒，4AC =，AB BC AC ∴===，45BAC ∠=︒，2AF FC == ，FT AB ⊥，AT FT AF ∴==AB BA ='=BT AT ∴==，A T '=A F ∴'==90ADC ∠=︒ ，AF CF =，122DF AC ∴==，DA A F DF ''- …，2DA ∴'-…，∴当A '，D ，F 共线时，DA '的值最小，此时2DA '=，故线段A D '的长最小值是2．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）如图1，作PM EC ⊥，垂足为M ，3045EPM CPM ∠=︒∠=︒，，∵tan 60PM EM MC =︒⨯=，EM MC +=EM 的值，由2sin 30EM EP EM ==︒即可求出EP 的值．（2）如图2，在EC 上截取EN AE =，连接AN ，AM ，由题意知BM CM AM ==，45MAC ACM MEC ∠=∠=∠=︒，由MAC MEC ∠=∠可知A M C E 、、、四点共圆，有90AEN AEM MEC ∠=∠+∠=︒，45EAN ENA ∠=∠=︒，可知AN =；由NAC NCA ∠=∠，知AN CN =，由CAE CM MCE E ∠=∠=∠，可得EM EC CF ==，AME MCF ∠=∠，然后证明AME MCF ≌，得到AE MF EN ==，从而可证明CE MF =+．（3）如图3，将AEC △绕点A 逆时针旋转90︒到AFM △，由旋转可知CE FM =，BF CE BF FM +=+，90MAC CAF MAF ∠=∠+∠=︒，故当BF CE +最小时有B F M 、、三点共线，即F M 、均在直线AB 上，此时图形如图4，点E 在∠ABC 的平分线与AC 的交点处，过点E 作EM ⊥BC ，设ME 的长为a ，有AE ME AF a ===，CE ==，AB AC a ==+，2BF AB AF a =+=，在Rt ABE 中，由勾股定理知222BE AB AE =+，将,,BE BF CE 均用含a 的式子表示，然后求比值即可．(1)解：如图1，作PM EC ⊥，垂足为M由题意得45B C AEF F ∠=∠=∠=∠=︒∴75EPC AEP CAE ∠=∠+∠=︒∴18060PEC EPC C ∠=︒-∠-∠=︒∴3045EPM CPM ∠=︒∠=︒，∵tan 60PM EM MC =︒⨯==，EM MC +=∴EM =解得)1EM ===∵2sin 30EM EP EM ===︒∴EP 的长为-．(2)解：证明：如图2，在EC 上截取EN AE =，连接AN ，AM ，由题意知BM CM AM ==，45MAC ACM MEC F ∠=∠=∠=∠=︒∵MAC MEC∠=∠∴A M C E 、、、四点共圆∴45AEM ACM ∠=∠=︒∴90AEN AEM MEC ∠=∠+∠=︒∴45EAN ENA ∠=∠=︒∴sin 45AE AN ==︒∵CAE MCE ∠=∠，NAC CAE EAN NCA MCE ACM∠=∠-∠∠=∠-∠，∴NAC NCA∠=∠∴AN CN=又∵CAE CME∠=∠∴CME MCE∠=∠∴EM EC CF==∵90AME EMC MCF MCE∠+∠=︒=∠+∠∴AME MCF∠=∠在AME △和MCF △中45AME MCF AEM MFC EM CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AME MCF AAS ≌∴AE MF EN==∴CE CN EN MF=+=+∴CE MF =+得证．(3)解：如图3，将AEC △绕点A 逆时针旋转90︒到AFM△由旋转可知CE FM=∴BF CE BF FM+=+∵90MAF CAE EAF BAC ∠=∠∠=∠=︒，，,BAC BAE CAE EAF CAE CAF∠=∠+∠∠=∠+∠∴BAE CAF∠=∠∴90MAC CAF MAF ∠=∠+∠=︒∴当BF CE +最小时有B F M 、、三点共线，即F M 、均在直线AB 上∴此时图形如图4，点E 在∠ABC 的平分线与AC 的交点处，过点E 作EM ⊥BC ，设ME 的长为a由角平分线的性质和等腰直角三角形的性质得AE ME AF a===由题意可知△CME 、△BAC 均为等腰直角三角形∴CE ==，AB AC a ==+，2BF AB AF a =+=在Rt ABE 中，由勾股定理知()22222BE AB AE a a =+=+∴2BE BF CE ==⋅∴2BE BF CE⋅．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，四点共圆，三角形全等，旋转，角平分线的性质，等腰三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．22．(1)2MN=(2)见解析(3)min()1FD FE''+=【分析】（1）设MD a=，3MC a=，根据勾股定理求出MD的长，再利用解直角三角形得出结果；（2）延长CM至点K，使CM MK=，连接BM、BK，先证AMB ANC∆≅∆，得出BM CN=，ABM ACN∠=∠，进而得出90KBM︒∠=，再根据勾股定理得出结果；（3）过点D¢作D''关于BC对称，得出当点D''，F，E'共线时，D F E F D F E F D E''''''''+=+=最小，最后利用勾股定理得出结果．(1)AB AC=，90BAC︒∠=，点D为BC的中点，AD BC∴⊥，4AD BD DC===在Rt CDM∆中，90CDM︒∠=，1sin3MDMCDMC∴∠==，4DC∴===，a=MD∴=4AM AD DM∴=-=在等腰直角三角形AMN中，45AMN︒∠=，2cos45AMMN︒∴===(2)如图，延长CM至点K，使CM MK=，连接BM、BK，AB AC=，90BAC︒∠=且AM AN=，90MAN︒∠=，∵∠BAM=90°-∠MAC，∠NAC=90°-∠MAC，BAM NAC∠∠∴=，在AMB∆和ANC∆中AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AMB ANC∆≅∆，BM CN∴=，ABM ACN∠=∠，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC=45MBD ABM ︒-∠∴∠=，45A B N N C C ︒∠∠=+，CM MK = ，CD DB =，∴DM 是△CBK 的中位线，2DM KB ∴=，DM KB ∥，∵MD CN∥KB MD CN ∴∥∥，180KBD NCB ︒∴+∠=∠，即180KBM DBM NCB ︒∠+∠+∠=，∵45A D M M B B ︒∠∠=-，45A B NN C C ︒∠∠=+90KBM ︒=∴∠，在Rt KBM ∆中，90KBM ︒∠=，222KB BM KM ∴+=，∵2DM KB =，BM CN =，CM MK =，∴2224DM CN CM +=；(3)过点D ¢作D ''关于BC 对称，∵点D ¢是以M 为圆心，1为半径的圆上运动，∴点D ''是以T 为圆心，1为半径的圆上运动，∵E '以N ∴连接NT ，当点D ''，F ，E '共线时，D F E F D F E F D E ''''''''+=+=最小，在Rt △ANT 中，NT =∴1E D '''=1∴min ()1FD FE ''+．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质及最小值的问题，正确作出辅助线是解题的关键．23．(1)48米(2)100米【分析】（1）过点B 作BG AE ⊥，根据AB 坡度3:4i =，且80AB =米，设3BG k =，则4AG k =，进而求得5AB k =，即可求得k ，进而求得BG ；（2）延长DC 交AE 于点H ，解直角三角形AHD ,进而即可求得HD ,DC（1）解：如图，过点B 作BG AE ⊥， AB 坡度3:4i =，且80AB =米，34BG AG ∴=设3BG k =，则4AG k =，5AB k ∴=80165k ∴==41664AG ∴=⨯=米，31648BG =⨯=米48BG ∴=米即平台上点B 到山体底部底面AE 的距离为48米；（2）解：如图，延长DC 交AE 于点H ， CD BF ⊥,BG AE ⊥，AE BF ∥∴四边形CBGH 是矩形则48CH BG ==米，50GH BC ==米，6450114AH AG GH ∴=+=+= 在山体底部A 处测得摩天轮顶端D 的仰角为52°，即52DAE ∠=︒，∴在Rt ADH 中，tan 114 1.3148DH AH DAE =⋅∠=⨯≈米∴14848100BC BH BG =-=-=米即摩天轮顶端D 到山体平台BF 的距离CD 的长为100米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．24．(1)见解析(2)3+【分析】（1）以C 为圆心，一定长度为半径画弧，与AB 有交点，作这两个交点确定的线段的垂直平分线即可；（2）过点C 作CD AB ⊥于D ．在ACD ∆中，根据90ADC ∠=︒，cos A AC =3AD =，利用勾股定理CD =BCD ∆中，BD CD =，即可求解．(1)解：如图所示：(2)解：如图，过点C 作CD AB ⊥于D ．在ACD ∆中，90ADC ∠=︒，cos A =AC =cos 3AD AC A ∴=⋅==，CD ==．在BCD ∆中，=90BDC ∠︒ ，45B ∠=︒，BD CD ∴==，3AB AD BD ∴=+=【点睛】本题考查了作高，锐角三角函数求边长，解题的关键是掌握锐角三角函数解直角三角形．25．(1)()())2220111121445t t t S t t <≤+-<≤+=+<≤⎪+<<⎪⎩52+【分析】（1）根据运动重合部分不同情况分四种情况讨论，①当01t <≤时，②当11t <≤③当14t <≤时，④当45t <<时，根据三角形的面积公式求函数解析式即可．（2）作E 关于B D ''的对称点E '，连接D E ''，过点P 作PR D E ''⊥于点R ，过点M 作MT BC ⊥于点T ，设MN 交BD '于点S ,交B D ''于点Q ，则12'+MP D P 的最小值即为MN 的长，进而解直角三角形,,SD N MTS BMT ' ,即可求得MN 的长，即12'+MP D P 的最小值（1）等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4CA CB ==， 14BE BC =，45,1ABC EB ∴∠=︒=在Rt DEB ，90E ∠=︒，60DBE ∠=︒。

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元测试题(供参考)

第28章锐角三角函数测试题(总分值120分，120分钟完卷)一、选择题：（30分）一、已知α为锐角，那么m=sinα+cosα的值（）A ．m ＞1B ．m=1C ．m ＜1D ．m≥1二、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A 的三角函数值（）A 也扩大3倍B 缩小为原先的31C 都不变D 有的扩大，有的缩小 3、以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。

假设点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，那么点P 的坐标为（）A (cosα,1)B (1,sinα)C (sinα,cosα)D (cosα,sinα)4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，假设cos ∠BDC=53，那么BC 的长是（） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 五、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（） A 20° B 30° C 40° D 50° 六、假设tan(a+10°)=3，那么锐角a 的度数是( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 7、若是α、β都是锐角，下面式子中正确的选项是（）A 、sin(α+β)=sin α+sin βB 、cos(α+β)=21时，α+β=60° C 、假设α≥β时，那么cos α≥cos β D 、假设cos α>sin β,则α+β>90°八、小阳发觉电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且现在测得1米杆的影长为2米，那么电线杆的高度为（） A ．9米 B ．28米 C ．()37+米 D.()3214+米九、如图,两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a, 测得C 点的俯角为β,那么较低建筑物CD 的高为 ( )B NACDMDCBAA.a mB.(a ·tan α)mC.(a/tan α)mD.a(tan α－tan β)m10、☆如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情形，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，现在露在水面上的鱼线C B ''为33，那么鱼竿转过的角度是( )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°二、填空题：（30分）1一、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，那么cosA ＝ .，sinB ＝，tanB ＝ . 1二、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，那么sinA ＝ . 13、已知tan α＝125，α是锐角，那么sin α＝ . 14、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ .1五、☆如图，机械人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，抵达B 点后观看到原点O 在它的南偏东60°的方向上，那么原先A 的坐标为 . （结果保留根号）．1六、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，那么一底角的正切值为 .17、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，那么他离地面米高。

人教版九年级数学下册第 28章锐角三角函数综合测试卷及答案

2020年九年级28章锐角三角函数学校：___________姓名：___________班级：___________一、单选题（每题3分，共36分） 1.sin 60=°（） A.3 B.32 C.22 D.122.在Rt ABC △中，90,5,3C AB BC ∠===°，则tan A 的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.453.如图,在ABC △中90,2,3,C BC AB ∠===°则下列结论正确的是（）A.5sin A =B.2cos 3A =C.213sin A =D.25tan ,A =4.在ABC △中,已知A B ∠∠、都是锐角,21|sin |+(1tan )0,2A B --=那么C ∠的度数为( )A.75°B.90°C.105°D.120°5.在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，8AC =，3sin 5A =，点D 是AB 中点，则CD 的长为( ) A.4B.5C.6D.76.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,OC=2,则点B 的坐标为( )A.(2,1)B.(1, 2)C.( 2+1,1)D.(1,2+1)7.如图,某地区准备修建一座高6AB m =的过街天桥,已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角ACB ∠的余弦值为45,则坡面AC 的长度为( )A. 8mB. 9?mC. 10mD. 12m8.如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于点D .若24BC =，12cos 13B =，则AD 的长为( )A.12B.10C.6D.59.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)0,，点B 的坐标为(0)3,，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，连接BC ，则C ∠的正弦值为( )A.13B.3C.1010D.3101010.如图，在菱形ABCD 中，5AB =，3tan 4B =，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将ABE △沿直线AE 翻折至AFE △的位置，AF 与CD 交于点G ，则CFG △的面积为( )A.92B.2716C.365D.1082511.如图，ABC △内接于O e ，AD 为O e 的直径，交BC 于点E ，若2DE =，3OE =，则tan tan C B ⋅=( )A.2B.3C.4D.512.轨道环线通车给广大市民带来了很大便利，图是渝鲁站出口的横截面平面图，扶梯AB 的坡度1:2.4i =，在距扶梯起点A 端6米的P 处，用1.5米的测角仪测得扶梯终端B 处的仰角为14°，扶梯终端B 距顶部2.4米，则扶梯的起点A 与顶部的距离是(参考数据:sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈)( )A.7.5米B.8.4米C.9.9米D.11.4米二、填空题（每题3分，共18分）13.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=20,sin A=0.6,则BC=__________.14.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 的中线，若 6.5CD =，12BC =，则sin B 的值是 .15.把一张矩形的纸片按如图所示的方式对折两次,然后剪下一个角,为了能得到一个正方形,剪口与折痕所成的角α的余弦值为_______.16.在ABC △中，AB ∠∠，都是锐角，且1sin 2A =，tan 3B =，10AB =，则ABC △的面积为 .17.如图，在ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥于D BE ，平分ABD ∠交AC 于3sin 5E A =,，210BC =，则AE = .18.如图，直线//MN PQ ，直线AB 分别与MN PQ ，相交于点AB ，.按以下步骤作图:①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧交射线AN 于点C ，交线段AB 于点D ；②以点C 为圆心，适当的长度为半径画弧，然后以点D 为圆心，同样的长度为半径画弧，两弧在NAB ∠内交于点E ；③作射线AE ，交PQ 于点F . 若43AF =，3cos 2FAN ∠=，则线段BF 的长为 .三、解答题（共66分） 19. （共12分）计算:(1)2sin303tan60cos 45︒+︒-︒；（2）()3092015223sin 60++-+⨯︒.(3)sin6013cos302sin 45tan602tan 45︒--︒+︒︒-︒.20. （8分）如图,AD 是△ABC 的中线, 13tanB =,2cosC =,2AC =.求:1.BC 的长;2.sin ∠ADC 的值.21. （8分）如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点E 为AB 上一点，3AC AE ==，4BC =，过点A 作AB 的垂线交射线EC 于点D ，延长BC 交AD 于点F .(1)求CF 的长； (2)求D ∠的正切值.22. （8分）如图，某海监船以60海里/时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A 的西北方向的C 处，海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在B 的北偏西30°方向的C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速，以90海里/时的速度追击，在D 处，海监船追到可疑船只，D 在B 的北偏西60°方向.(以下结果保留根号).(1)求B C ，两处之间的距离； (2)求海监船追到可疑船只所用的时间.23. （8分）如图①是“东方之星”救援打捞现场图,小红据此构造出一个如图②所示的数学模型,已知: A 、B 、D 三点在同一水平线上, CD AD ⊥,30A ∠=︒,75CBD ∠=︒,60AB m =.1.求点B 到AC 的距离.2.求线段CD 的长度.24. （10分）如图，在ABC △中，90,30,ACB CAB ABD ∠=∠=°°△是等边三角形，将四边形ACBD 沿直线EF 折叠，使D 与C 重合，CE 与CF 分别交AB 于点, .C H(1)求证:.AEG CHG :△△(2)AEG △与BHF △是否相似?并说明理由. (3)若1,BC =求cos CHG ∠的值.25. （12分）如图,AB 是圆O 的直径,O 为圆心,AD 、BD 是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD 交圆的切线BE 于点E1.证明:直线PD 是⊙O 的切线.2.如果∠BED=60°, 3PD =,求PA 的长.3.将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF,点F 正好在圆O 上,如图2,求证:四边形DFBE 为菱形.参考答案1.答案：B解析：sin 60=° 2.答案：A解析：由勾股定理，得4,AC ==由正切三角函数的定义，得3tan .4BC A AC == 3.答案：D解析：Q 在ABC △中,90,2,3,C BC AB ∠===°AC ∴2sin ,cos tan3A A A ∴===只有选项D 正确.故选D. 4.答案：C解析：21|sin |+(1tan )0,2A B --=Q21|sin |0,(1tan )0,2A B ∴-=-=1sin ,tan 1,2A B ∴==A B ∠∠Q 、为锐角，3045,A B ∴∠=∠=,°°C ∴∠的度数为1803045105--=°°°°.故选C. 5.答案：B解析：依照题意，画出图形，如图所示3sin 5BC A AB ==， ∴可设()30BC x x =>，则5AB x =，4AC x ∴=，48x =，2x ∴=，510AB x ∴==.Q 在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，10AB =，点D 是AB 中点，152CD AB ∴==故选B.6.答案：C解析：根据菱形的性质:四边相等，对边平行，得2AB//OC ，过点B 作BE ⊥OA 由于∠AOC=45°,得∠BAE=45°，在直角三角形AEB 中，由勾股定理得AE=BE=1，从而2+1，故选C 7.答案：C解析：本题考查的是三角函数的应用。

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷含答案

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷时间：100分钟满分：120分一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 45°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D ．12．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高．若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD 为( )A.43B.34C.45D.35(第2题) (第4题) (第5题) (第6题) 3．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A.12B.13C.14D.245．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为24 m ，那么旗杆AB 的高度是( ) A ．12 mB ．8 3 mC ．24 mD ．24 3 m6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( ) A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m7．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m(第7题)(第8题)8．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于()A.25 B.23 C.52 D.329．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝35，则下列结论中正确的有()①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝210 cm.A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题)(第10题) (第12题)10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312 B.36 C.33 D.32二、填空题(每题3分，共24分)11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝________.12．如图，若点A的坐标为(1，3)，则∠1＝________.13．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．(第14题) (第15题) (第16题) (第18题)14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，若sin ∠CAM ＝35，则tan B ＝________．15．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90 m ，那么该建筑物的高度BC 约为________m(精确到1 m ，参考数据：3≈1.73)． 16．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝________．17．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF ∥MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 m ，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10 m ．请根据这些数据求出河的宽度为______________m. 三、解答题(19，21，24题每题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)(－2)3＋16－2sin 30°＋(2 019－π)0；(2)sin 2 45°－cos 60°－cos 30°tan 45°＋2sin 2 60°·tan 60°.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a ＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．21．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝45，求AD的长．(第21题)22．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．(第22题)23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：(1)树DE的高度；(2)食堂MN的高度．(第24题)答案一、1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D7．B 8. B 9. C10．B 点拨：如图，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x＝36.(第10题)二、11. 80° 12. 60° 13. 12 14. 23 15. 20816．22 点拨：如图，连接BC ，易知∠D ＝∠A .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝3×2＝6，AC ＝2，∴BC 2＝62－22＝32, ∴BC ＝4 2.∴tan D ＝tan A ＝BC AC ＝422＝2 2.(第16题)17．123 点拨：如图，过A 点作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，则∠ABD ＝180°－120°＝60°.在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝6×32＝33，∴S △ABC ＝12AD ·BC ＝12×33×8＝12 3.(第17题)18．(30＋103)三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×12＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝(22)2－12－32＋2×(32)2×3＝ 3.20．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k ，∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.21．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠A ＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6，tan A ＝BEAB ，∴∠E ＝30°，BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，sin E ＝CDCE ，∠E ＝30°， ∴CE ＝CD sin E ＝412＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2)∵∠ABE ＝90°，AB ＝6，sin A ＝45＝BEAE ，∴可设BE ＝4x (x ＞0)，则AE ＝5x ，由勾股定理可得AB ＝3x ， ∴3x ＝6，解得x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∴tan E ＝AB BE ＝68＝CD DE ＝4DE ，解得DE ＝163.∴AD＝AE－DE ＝10－163＝143.22．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝BCtan A＝2 3.∴EF＝AC＝2 3.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6.∴AF＝AC－FC＝23－ 6.23.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，小明的行走速度是a.(第23题)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x，∴AC＝2x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝CDsin 30°＝x12＝2x.∵小军的行走速度为22m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴2x22＝2xa，解得a＝1(m/s)．答：小明的行走速度是1 m/s. 24．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝x－233＝3(x－2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE ＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋3 3x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6(m)．答：树DE的高度为6 m.(2)如图，延长N M交DB的延长线于点P，则AM＝B P＝3.(第24题)由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3. ∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43(m)．答：食堂M N的高度为(1＋43)m.。

人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数全章测试含答案

人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9．已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度．第6题第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》综合测试卷 (含答案)

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．cos60°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D.322．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于( ) A. 12 B. 22C.32D ．1 3．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到点D ，使BD ＝AB ，连结CD.若tan ∠BCD ＝13，则tan A＝( )A.13B.23 C ．1 D.324．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的长是( ) A ．3B ．6C ．8D ．95．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( ) A.12 B.13C.14D.246. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于( ) A.200 B.300 C.400 D.5007．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是( )A. 14B. 13C. 12D ．28．某铁路路基的横截面为等腰三角形，已知路基高5 m ，坡长10 m ，则坡度为( ) A ．1∶2 B ．1∶12C ．1∶ 3D ．1∶339．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( ) A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°10．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD 等于( ) A.35 B.105 C.310 D.31010二．填空题（共8小题，3*8=24） 11．在△ABC 中，若│sinA -1│+（32-cosB ）=0，则∠C=_______度．12．如图，一架梯子斜靠在墙上．若梯子底端到墙的距离AC ＝3 m ，cos ∠BAC ＝34，则梯子长AB ＝_______ m.13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 所在的直线对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________.14. cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝；15．如图所示，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=13，BC=10，则AB 的长为________．16．如图，在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝____________.(结果保留根号)17．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB ＝12米，背水坡面CD ＝123米，∠B ＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，tanE ＝3133，则CE 的长为________米．18．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为___________________．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 已知tanα的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sinα－cosα2cosα＋sinα的值．20．(8分) 如图，海面上B ，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向．一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°.求A ，B 两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93)21．(8分) 如图，房屋顶呈人字形(等腰三角形)，AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D.(1)求∠ACB 的大小； (2)求AB 的长度．22．(10分)在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝36，∠A＝45°，求∠B，b，c.23．(10分) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标为O(0，0)，A(23，0)，B(23，2)，把矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转α度，使点B正好落在y轴正半轴上，得到矩形OA1B1C1.(1)求角α的度数；(2)求直线A1B1的函数关系式，并判断直线A1B1是否经过点B，为什么？24．(10分) 如图，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)25．(12分) 如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为BC 上一点．将正方形折叠，使点A 与点E 重合，折痕为MN.若tan ∠AEN ＝13，DC ＋CE ＝10.(1)求△ANE 的面积； (2)求sin ∠ENB 的值．参考答案：1-5 AADBB 6-10CCCDA 11. 60 12. 4 13. 4314. 0 15．3+ 3 16. (73＋21)m 17.818. y ＝23x －3 19. 解：解方程x 2－x －2＝0 得x 1＝2，x 2＝－1. 又∵tanα＞0，∴tanα＝2，又∵tanα=sinαcosα，∴原式＝3tanα－12＋tanα＝3×2－12＋2＝5420. 解：由题意，得AC ＝18×2＝36(海里)，∠ACB ＝43°.在Rt △ABC 中， ∵∠A ＝90°，∴AB ＝AC•tan ∠ACB ＝36×0.93≈33.5(海里)．故A ，B 两岛之间的距离约为33.5海里． 21. 解：(1)∵AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°， ∴∠B ＝∠A ＝30°，∴∠ACB ＝120°. (2)∵AB ＝AC ，CD ⊥AB ， ∴AD ＝BD ，AD ＝AC·cos30°＝8×32＝4 3(m)，∴AB ＝2AD ＝8 3 m. 22. 解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠B ＝30°.∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc ，∴a ＝c·sin A ＝83×32＝12. b ＝c·sin B ＝83×12＝4 3.(2)∵∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝45°. ∴b ＝a ＝3 6. ∴c ＝a 2＋b 2＝6 3.23. 解：(1)∵OA 1＝23，A 1B 1＝2，∴tan ∠A 1OB 1＝223＝33，∴锐角∠A 1OB 1＝30°，∴∠α＝60°(2)由点A 1(3，3)，B 1(0，4)得直线A 1B 1表达式为y ＝－33x ＋4，当x ＝23时，y ＝－33×23＋4＝2， ∴点B(23，2)在直线A 1B 1上24．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.设塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m)，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m. 在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ，则CF ＝AFtan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163(m)，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ，则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ， ∵CF ＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得x≈52.答：该铁塔的高AE 约为52 m.25. 解：(1)∵tan ∠AEN ＝tan ∠EAN ＝13，故若设BE ＝a ，则AB ＝3a ，CE ＝2a.∵DC ＋CE ＝10，∴3a ＋2a ＝10，∴a ＝2.∴BE ＝2，AB ＝6，CE ＝4. ∵AE ＝AB 2＋BE 2＝4＋36＝2 10，∴AG ＝10.∵tan ∠EAN ＝NG AG ＝13，∴NG ＝103.∴AN ＝⎝⎛⎭⎫1032＋（10）2＝103.∴S △ANE ＝12AN·BE ＝12×103×2＝103(或S △ANE ＝12AE·GN ＝12×2 10×103＝103)．(2)sin ∠ENB ＝EB NE ＝2103＝35.。

人教版九年级数学第28章锐角三角函数综合训练(含答案)

人教版九年级数学第28章锐角三角函数综合训练一、选择题1. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是()A. 34 B.43 C.35 D.452. 下列式子错误．．的是()A. cos40°＝sin50°B. tan15°·tan75°＝1C. sin225°＋cos225°＝1D. sin60°＝2sin30°3. （2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为（）A. B. C.23D.324. (2019•山东威海)如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B 点．已知坡角为20°，山高BC=2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是A．B．C．D．5. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是()A. 60°B. 45°C. 15°D. 90°6. （2020·咸宁）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC=E 是BC 的中点，将ABE △沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ECF ∠的值为（）A.23 B. C. D.7. （2020·湖北荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则cos BAC 的值为（）A. B. C. 12D.8. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于A ．asinx+bsinxB ．acosx+bcosxC ．asinx+bcosxD ．acosx+bsinx二、填空题9. 【题目】（2020·攀枝花）sin60︒= . 10. 【题目】（2020·黔东南州）cos60°＝．11. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm，可用科学计算器)．12. （2020·天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是________．+|sin30°﹣．13. (2019•湖北荆门)14. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1 m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)三、解答题15. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．16. 如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3 m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．17. (2019•江苏宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD 都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫E与点B 的距离BE为15cm．(1)求坐垫E到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)18. (2019·湖南常德)图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，t an72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．人教版九年级数学第28章锐角三角函数综合训练-答案一、选择题1. 【答案】A【解析】如解图，由勾股定理得AC＝AB2－BC2＝52－32＝4，所以tan A＝BCAC＝34.3. 【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABCACBC=，∵AC＝2，CB＝3，∴AB=，∴sin∠ABC==，∴∠ADC 因此本题选B．4. 【答案】A【解析】在△ABC中，sinA=sin20°=BCAB，∴AB=sin20BC︒=2sin20︒，∴按键顺序为：2÷sin20=，故选A．5. 【答案】C【解析】∵sin∠CAB＝BCAC＝326＝22，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠C′AB′＝B′C′AC′＝336＝32，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.6. 【答案】C【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性质，由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵点E是BC中点，BC=∴EFC=∠ECF，3=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF ，∴∠ECF=∠AEB ，∴cos ECF ∠=cos AEB ∠=BE AE =因此本题选C ． 7. 【答案】B【解析】过A 点作BC 的垂线，垂足为D ，∵每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上， ∴AD=1，CD=3，∴223110AC ，过点B 作AC 的垂线，垂足为E ，∴BE AC BC AD S ABC •=•=∆2121,即BE ⨯⨯=⨯⨯10212121,∴105BE.在Rt ABD 中，22112AB，在Rt ABE 中，AE=5102)510()2(22=-，∴cos ∠BAC=55225102==AB AE ．8. 【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ，故选D ．二、填空题9. 【答案】3【解析】由特殊角的三角函数值可知sin60︒=3.10. 【答案】【答案】11. 【答案】14.1【解析】如解图，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cos∠CBE≈15×0.940＝14.1(cm)．12. 【答案】22【解析】连接AB，利用勾股定理的逆定理证明△OAB是等腰直角三角形，得到∠AOB＝45°，再根据特殊角的三角函数求解．∵AB2＝12＋32＝10，OB2＝12＋32＝10，OA2＝22＋42＝20，∴AB2＋OB2＝OA2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝sin45°＝22．13. 【答案】1﹣3【解析】原式=2﹣3+1﹣12﹣32=1﹣．故答案为：1﹣．14. 【答案】103＋1【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE ＝CD＝10 m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×3＝10 3 m，∴BC＝BE ＋EC＝BE＋AD＝(103＋1)m.33三、解答题15. 【答案】解：∵tan∠OBC＝tan30°＝OCBC＝33，∴OC＝33BC，(2分)∵sin∠OAC＝sin75°＝OCOA≈0.97，∴33BC40≈0.97，(6分)∴BC≈67.1(cm)．(8分)16. 【答案】解：(1)如解图，过点D作DE⊥AA′于点E，由题意得，AA′∥BC，∴∠B＝∠FAB＝30°，(2分)又∵AC＝60 m，在Rt△ABC中，sin B＝ACAB，即12＝60AB，∴AB＝120 m.答：A，B之间的距离为120 m．(4分)(2)如解图，连接A′D，作A′E⊥BC交BC延长线于E，∵AA′∥BC，∠ACB＝90°，∴∠A′AC＝90°，(5分)∴四边形AA′EC为矩形，∴A′E＝AC＝60 m，又∵∠ADC＝∠FAD＝60°，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACCD，即5＝60CD，∴CD＝20 3 m，(8分)∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝303＋203＝50 3 m，(10分)∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝A′EDE＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为235.(12分)17. 【答案】(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM=64°、EC=BC+BE=60+15=75cm，∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm)；(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H=80×0.8=64，则E′C=sin E HECH'∠=64sin64︒≈71，1，∴EE′=CE﹣CE′=75﹣71.1=3.9(cm)．18. 【答案】过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB=25，DE=50，∴sin37°=GBAB，cos37°=GAAB，∴GB≈25×0.60=15，GA≈25×0.80=20，∴BF=50﹣15=35，∵∠ABC=72°，∠D′AB=37°，∴∠GBA=53°，∴∠CBF=55°，∴∠BCF=35°，∵tan35°=BFCF，∴CF≈350.70=50，∴FE=50+130=180，∴GD=FE=180，∴AD=180﹣20=160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．。

人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案

第二十八章锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ，即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )，所以OC ＝OB ，所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB，则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)．则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ，设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

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人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数综合提高测试题
1.如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )
Ａ．34 Ｂ．43
Ｃ．3
5
Ｄ．
45
A D E
C
B F
2.如图5，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在1A
OA =1AB =，则点1A 的坐标是（）
3.如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，
D 为AC 上一点，若1
tan 5
DBA ∠=
，则AD 的长为( ) A ．2
C ．1
D ．4.如图8，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒,D 是直角边AC 上的点，且2AD DB a ==,
15A ∠=︒ ，则BC 边的长为．
5.如图10，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若4
tan 3
AEH ∠=
，四边形EFGH 的周长为40，则矩形ABCD 的面积为 ______．
6.如图12所示，ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥于D ，6BC =，1
2
DC AD =，则cos C =____．
7.等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为______. 8.等腰三角形的三边的长分别为1、1、3，那么它的底角为
图6
图10
图12
图5
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
9.ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是
A.23 cm 2
B.43 cm 2
C.63 cm 2
D.12 cm 2
10在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AC=4,则BD 的长是（）
A 、
B、
C、8
D、
11.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30︒方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60︒方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号）
12 .已知，如图，海岛A 四周20海里范围内是暗礁区.一艘货轮由东向西航行，在B 处测
得岛A 在北偏西︒60，航行24海里后到C 处，测得岛A 在北偏西︒30.请通过计算说明，货轮继续向西航行，有无触礁危险？
13.如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =
3
3
16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.
D
A
B
C
图6
C
D
B
A
北
60°
30°
14, 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈2
1）．
15, 在一次公路改造的工作中，工程计划由A 点出发沿正西方向进行，在A 点的南偏西60︒ 方向上有一所学校B ，如图14 ，占地是以 B 为中心方圆100m 的圆形，当工程进行了200m 后到达C 处，此时B 在C 南偏西30︒的方向上，请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校．
16, 如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，
（1）求该一次函数的解析式；（2）求OCD ∠tan 的值；（3）求证：︒=∠135AOB ．
图14
17, 如图8，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC ∆的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD BC ∥（D 为格点），连接CD ；（2）线段CD 的长为；
（3）
请你在ACD ∆的三个内角中任选一个锐角．．
，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是．
（4）若E 为BC 中点，则tan CAE ∠的值是 .
j C
E
A
B
18, 当060α<<°°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
A ．(
)2sin 30sin αα+︒=B ．(
)2sin 302sin αα+︒=C ．(
)2sin 30cos ααα+︒+ ⑴ 正确的选项是；
⑵ 如图1，ABC △中，1AC =，30B ∠=︒，A α∠=，请利用此图证明⑴中的结论； ⑶ 两块分别含45︒和30︒的直角三角板如图2
方式放置在同一平面内，BD =，求ADC S △．
图1
α
30°C B
A
图2
D
C
B
A
19, 已知：抛物线()21y x m x m =-++与x 轴交于点()10A x ，、()20B x ，（A 在B 的左侧），与y 轴交
于点C ．
⑴ 若1m >，ABC △的面积为6，求抛物线的解析式；
⑵ 点D 在x 轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE x ∥轴与抛物线交于另一点E ，作DF x ⊥轴于F ，作EG x ⊥轴于点G ，求矩形DEGF 周长的最大值；
⑶ 若0m <，以AB 为一边在x 轴上方做菱形ABMN （NAB ∠为锐角），P 是AB 边的中点，Q 是对角线AM 上一点，若4
cos 5
NAB ∠=，6QB PQ +=，当菱形ABMN 的面积最大时，求点A 的坐标．
20, 在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为()
80
-，和()
06
，．将矩形OABC绕点O顺时针旋转α度，得到四边形OA B C
'''，使得边'A'B与y轴交于点D，此时边OA'、B C''分别与BC边所在的直线相交于点P、Q．
⑴如图1，当点D与点B'重合时，求点D的坐标；
⑵在⑴的条件下，求PQ
OD
的值；
⑶如图2，若点D与点B'不重合，则PQ
OD
的值是否发生变化？若不变，试证明你的结
论；若有变
化，请说明理由．
（图2）。