2016.1温州市一模数学(理科)试题

2016年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题 2016.1本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2lg ,230A x y x B x x x ===--<，则A B = ( ▲ )A ． (0,3)B ．(1,0)-C ．(,0)(3,)-∞+∞D ．(1,3)-2．已知b a ,为异面直线，下列结论不正确．．．的是( ▲ ) A ．必存在平面α使得αα//,//b aB ．必存在平面α使得b a ,与α所成角相等C ．必存在平面α使得αα⊥⊂b a ,D ．必存在平面α使得b a ,与α的距离相等3．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥-32302y x y x y x ，则y x -的最大值为( ▲ )A ．1B ．3C ．1-D ．3-4．已知直线l ：b kx y +=，曲线C ：0222=-+x y x ，则“0=+b k ”是“直线l 与曲线C 有公共点”的( ▲ ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对任意的R x ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+，则满足上述条件的)(x f 可以是( ▲ )A ．()cos3xf x π= B ．()sin3xf x π=C ．2()2cos 6xf x π=D ．2()2cos 12x f x π=6．如图，已知1F 、2F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足2||F P a = ,1122()0F P F F F P +⋅=，线段2PF 与双曲线C 交于点Q ，若225F P F Q =，则双曲线C 的渐近线方程为( ▲ )A．y x = B ．1y x =±C ．y =D ．y = 7．已知集合22{(,)|1}Mx y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”。

则以下集合中，存在“和谐实数对”的是( ▲ ) A ．}4|),{(=+μλμλ B ．}4|),{(22=+μλμλ C ．}44|),{(2=-μλμλD ．}4|),{(22=-μλμλ8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，点E 在线段AD 上且3AE =，现分别沿,BE CE 将,ABE DCE ∆∆翻折，使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D EC B --的余弦值为 ( ▲ )A ．45B ．56C ．67D ．78非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9．已知2,0()22,0xx x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f -= ▲ ，函数()f x 的零点个数为 ▲ ． 10．已知钝角．．ABC ∆的面积为12，1,AB BC == 则角=B ▲ ,AC = ▲ .11．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ▲ ， 表面积为 ▲ ．第6题图侧视图正视图第8题图⇒B12．已知公比q 不为1的等比数列}{n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且223344,,a S a S a S +++成等差数列，则=q ▲ ，=6S ▲ ．13．已知4()ln()f x x a x=+-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知ABC ∆中，||1BC = ，2BA BC ⋅=，点P 为线段BC 上的动点，动点Q 满足PQ PA PB PC =++，则PQ PB ⋅的最小值等于 ▲ ．15．已知斜率为12的直线l 与抛物线22(0)y px p =>交于位于x 轴上方的不同两点,A B ，记直线,OA OB的斜率分别为21,k k ，则21k k +的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分15分）已知2sin tan 3αα=，且0<α<π．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求函数()4cos cos()f x x x =-α在[0,]4π上的值域．17．（本题满分15分）如图，在三棱锥D ABC -中，DA DB DC ==,D 在底面ABC 上的射影为E ，AB BC ⊥，DF AB ⊥于F ．（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF ； （Ⅱ）若AD DC ⊥，4AC =，60BAC ∠=， 求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值.18．（本题满分15分）已知函数()()||(R)f x x t x t =-∈． （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）当0t >时，若()f x 在区间[1-，2]上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，求()()M t m t -的最小值．AC第17题图19．（本题满分15分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点，点,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，N M ,是椭圆C 上不同于顶点的两点，且OMN ∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点A 作OM AP //交椭圆C 于点P ，求证：20．（本题满分14分）如图，已知曲线1C ：21x y x =+(0)x >及曲线2C ：13y x=(0)x >．从1C 上的点n P (N )n +∈作直线平行于x 轴，交曲线2C 于点n Q ，再从点n Q 作直线平行于y 轴，交曲线1C 于点1n P +．点n P 的横坐标构成数列{}n a 11(0)2a <<．（Ⅰ）试求1n a +与n a 之间的关系，并证明：2121(N )2n n a a n -+<<∈； （Ⅱ）若113a =，求证：213214||||||(N )3n n a a a a a a n ++-+-++-<∈ ．2016年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题参考答案 2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分.9．14；1． 10．43π；5． 11．12；36． 12．21；6463． 13．),4[+∞． 14．43-． 15．),2(+∞．三、解答题 16．（本题15分）解：（Ⅰ）由已知得ααcos 3sin 22=，则02cos 3cos 22=-+αα…………3分 所以21cos =α或2cos -=α（舍）……………………………………5分 又因为πα<<0 所以3πα=……………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得)3cos(cos 4)(π-=x x x f)sin 23cos 21(cos 4x x x +=……………………………9分x x x cos sin 32cos 22+= x x 2sin 32cos 1++=)62sin(21π++=x ……………………………………11分由40π≤≤x 得32626πππ≤+≤x …………………………………………12分所以 当0=x 时，)(x f 取得最小值2)0(=f当6π=x 时，)(x f 取得最大值3)6(=πf ……………………………14分所以函数)(x f 在]4,0[π上的值域为]3,2[…………………………………15分17．（本题15分）（Ⅰ）如图，由题意知⊥DE 平面ABC 所以 DE AB ⊥，又DF AB ⊥所以 ⊥AB 平面DEF ，………………3分又⊂AB 平面ABD 所以平面⊥ABD 平面DEF…………………6分 （Ⅱ）解法一：由DC DB DA ==知EC EB EA == 所以 E 是ABC ∆的外心又BC AB ⊥ 所以E 为AC 的中点 …………………………………9分 过E 作DF EH ⊥于H ，则由（Ⅰ）知⊥EH 平面DAB所以EBH ∠即为BE 与平面DAB 所成的角…………………………………12分由4=AC ，60=∠BAC 得2=DE ，3=EF所以 7=DF ，732=EH 所以721sin ==∠BE EH EBH …………………………………15分 解法二：如图建系，则)0,2,0(-A ，)2,0,0(D ，)0,1,3(-B所以)2,2,0(--=，)2,1,3(--= ……………………………………9分 设平面DAB 的法向量为),,(z y x =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00得⎩⎨⎧=--=--023022z y x z y ，取)1,1,33(-= ………………12分 设与的夹角为θ 所以7213722||||cos ==⋅=n EB θ 所以BE 与平面DAB 所成的角的正弦值为721………………………………15分18．（本题15分）解：（Ⅰ）解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=0,0,)(22x tx x x tx x x f ， ……………………………………1分当0>t 时，)(x f 的单调增区间为)0,(),,2[-∞+∞t，单调减区间为]2,0[t ……3分 当0=t 时，)(x f 的单调增区间为),(+∞-∞ ……………………………………4分当0<t 时，)(x f 的单调增区间为),0[+∞，]2,(t -∞，单调减区间为)0,2[t ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知0>t 时)(x f 在)0,(-∞上递增，在)2,0(t 上递减，在),2(+∞t上递增从而 当22≥t即4≥t 时，0)0()(==f t M ，………………………7分}24,1min{)}2(),1(min{)(t t f f t m ---=-=………………………8分所以，当54≤≤t 时，t t m --=1)(，故51)()(≥+=-t t m t M ………9分 当5>t 时，t t m 24)(-=，故642)()(>-=-t t m t M ………………10分 当t t≤<22即42<≤t 时，0)0()(==f t M t t t t f f t m --=---=-=1}4,1min{)}2(),1(min{)(2……………11分 所以，31)()(≥+=-t t m t M ………………………………………12分当20<<t 时，t f t M 24)2()(-==………………………………………13分t t t t f f t m --=---=-=1}4,1min{)}2(),1(min{)(2所以，35)()(>-=-t t m t M ………………………………………………14分综上所述，当2=t 时，)()(t m t M -取得最小值为3．………………………………15分19．（本题15分）解：（Ⅰ）由题意得： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+====+222222221)26(1c b a a c e b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==2422b a 故椭圆C 的方程为：12422=+y x ……………………………………5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM ,ON 的方程为OM y k x =，ON y k x =联立方程组22142OM y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得M ,同理可得(N ,……………………………………7分作'MM x ⊥轴, 'NN x ⊥轴,','M N 是垂足,OMN S ∆=''''OMM ONN MM N N S S S ∆∆--梯形1[()()]2M N M N M M N N y y x x x y x y =+--+ 1()2M N N M x y x y =-12==9分已知OMN S ∆2=，化简可得21-=ON OM k k .……………………………………11分设(,)P P P x y ,则2242P Px y -=， 又已知AP OM k k =,所以要证BP ON k k =,只要证明12AP BP k k =-……………………13分而2212242P P P AP BP P P P y y y k k x x x ===-+--所以可得ON BP //…………………………………………………………………………15分 （,M N 在y 轴同侧同理可得）解法二：设直线AP 的方程为)2(+=x k y O M ，代入4222=+y x得0488)12(2222=-+++O M O M O M k x k x k ，它的两个根为2-和P x 可得124222+-=OM OMp k k x 1242+=OM OM P k k y ……………………………………7分 从而OM OMOM OMBPk k k k k 2124212422-=--+=所以只需证ON OMk k =-21即21-=ON OM k k …………………………………9分设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线MN 的斜率不存在，易得221±==x x从而可得21-=ON OM k k …………………………………10分 若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=， 代入12422=+y x 得0424)12(222=-+++m kmx x k则124221+-=+k km x x ，12422221+-=k m x x ，0)24(822>-+=∆m k ………11分 212)24(8||21||||2122221=+-+⋅=-⋅=∆k m k m x x m S OMN化得0)12()24(22224=+++-k m k m ，得1222+=k m ………………………13分 214)12(2412424)(222222************-=-+-+=--=+++==⋅k k k m k m x x m x x km x x k x x y y k k ONOM ………………………………………………15分20．（本题14分） 解：（Ⅰ）由已知，)12,(+n n n n a a a P ，从而有)12,(1++n nn n a a a Q 因为n Q 在x y 31=上，所以有13112+=+n n n a a a解得 nn n a a a 611+=+ ………………………………2分 由01>a 及nn n a a a 611+=+，知0>n a ， 下证：n n a a 21221<<-解法一：因为n n n a a a 6)21(2211--=-+，所以211-+n a 与21-n a 异号注意到0211<-a ，知02112<--n a ，0212>-n a 即n n a a 21221<<- …………………………………7分 解法二：由nn n a a a 611+=+ 可得 n n n a a a 6)21(2211--=-+ ， n n n a a a 6)31(3311+=++ 所以有312132312111+-⋅-=+-++n n n n a a a a ，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-3121n n a a 是以32-为公比的等比数列； 设312111+-=a a t ， 则1)32(3121--⋅=+-n n n t a a 解得11)32(1)32(321---⋅--⋅+=n n n t t a ， …………………………………5分 从而有tt t t a n n n n --=-⋅--⋅+=----111)23(65)32(1)32(32121 由2101<<a 可得023<<-t所以0)49(6521112<-=---tt a n n ， 221516032()2n n ta t --=>-- 所以n n a a 21221<<- …………………………………7分（Ⅱ）因为)1(617616161611212121212122212++=+++=+=------+n n n n n n nn n a a a a a a a a a所以 )1(6)13)(21(2)1(6171212121212121212++--=-++=--------+n n n n n n n n a a a a a a a a 因为21102n a -<<，所以1212-+>n n a a 所以有13212221a a a a n n n >>>>>-- 从而可知1a a n ≥ …………………………………9分 故 1||6||6161||1111112+-=-=+-+=-+++++++n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a 1||11+-≤+a a a n n ||431n n a a -=+ …………………………………11分 所以112121211)43(31||)43(||)43(||43||-----+⋅=-≤≤-≤-≤-n n n n n n n n a a a a a a a a …………………………………12分 所以 ||||||||1342312n n a a a a a a a a -++-+-+-+])43()43(431[3112-++++≤n 431)43(131--⨯=n ])43(1[34n -= 34< …………………………………14分命题教师：胡浩鑫 戴海林 叶思迁叶建华 林世明 叶事一。