平面向量的数量级与应用(含答案)
平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
【三轮复习】回归课本-专题6 平面向量及其应用
专题6 平⾯向量及其应⽤1.如图，O 是平⾏四边形ABCD 外⼀点，⽤表示.【答案】【解析】【详解】由，，，即可得到结论.解：.向量的线性运算向量运算定义法则（或⼏何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋（－b ）数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的⽅向相同；当λ<0时，λa 与a 的⽅向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ（μ a ）＝（λμ）a ；（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；λ（a ＋b ）＝λa ＋λb平⾯向量线性运算问题的求解策略：（1）进⾏向量运算时，要尽可能地将它们转化到三⻆形或平⾏四边形中，充分利⽤相等向量、相反向量，三⻆形的中位线及相似三⻆形对应边成⽐例等性质，把未知向量⽤已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形⼿段在线性运算中同样适⽤．（3）⽤⼏个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三⻆形或多边形；③运⽤法则找关系；④化简结果.（2022·新⾼考Ⅰ卷T3）,,OA −⇀OB −⇀OC −⇀−OD −⇀−=−+OD −⇀−OA −⇀OB −⇀OC−⇀−=+OD −→−OA −→−AD −→−=AD −→−BC −→−=−BC −→−OC −→−OB −→−=+=+=+−=−+OD −→−OA −→−AD −→−OA −→−BC −→−OA −→−OC −→−OB −→−OA −→−OB −→−OC −→−在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）A ．B ．C ．D ．【⼀题多变4】7.已知是两个不共线的向量，,e 1⇀e 2⇀⇀A ．1B ．在平⾏四边形中，分别，则的值为______.【⼀题多变4】13.已知，，（1）；（2）．解：（1）由平⾯向量的数量积运算=1∣∣a ⇀∣∣=2∣∣b ⇀∣∣|c |=(⋅)a⇀b ⇀c ⇀(⋅)a ⇀b⇀c ⇀A ．B ．如图，在中，，的⾯积为，的最⼩A．2【⼀题多变4】已知O为坐标原点，点A．C．−→−26.已知中，【分析】利⽤勾股定理判的夹⻆的取值的最⼤值.解：如图，作，垂△ABC AC ,CM −→−CN −→−∵AC =1,BC =∴A +B =A C 2C 2B CD ⊥AB A ．C ．若E 为线段AD 的中点【⼀题多变2】在中，在某海滨城市O附近海⾯有⼀台⻛，据监测，当前台⻛中⼼位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）⽅向300 km的海⾯P处，并以20 km/h的速度向⻄偏北45°⽅向移动．台⻛侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增⼤．问⼏⼩时后该城市开始受到台⻛的侵袭？注：cos（θ－45°）＝A．的最⼩值为B．的范围为C．当时，D．当时，【⼀题多变3】骑⾏是⽬前很流⾏的⼀种绿⾊健身和环保它带给⼈们的不仅是简单的身体上的运动（前轮），圆（后轮）的半径均为，A．B【⼀题多变4】38.已知点H 在所在的平⾯内，且满⾜，求证：点H 是的垂⼼（即三条⾼的交点）．【答案】证明⻅解析.【解析】【详解】解：由数量积运算的性质可整理得到，由此得到；同理可证得，，由此可证得结论.解：由得：由同理可得：由同理可得：是的垂⼼三⻆形“四⼼”常⻅的向量表示形式：（1）重⼼．若点G 是的重⼼，则或 （其中P 为平⾯内任意⼀点）．反之，若，则点G 是的重⼼．（2）垂⼼．若H 是的垂⼼，则.反之，若，则点H 是的垂⼼．（3）内⼼．若点I 是的内⼼，则.反之，若，则点I 是的内⼼．（4）外⼼．若点O 是的外⼼，则或.反之，若，则点O 是的外⼼.结合“四⼼”性质与向量运算进⾏推演，得出结论.【⼀题多变1】ΔABC ⋅=⋅=⋅HA −⇀−HB −⇀−HB −⇀−HC −⇀−HC −⇀−HA −⇀−ΔABC ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅=0HB −→−CA −→−HB ⊥CA HC ⊥AB HA ⊥CB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅−⋅=⋅(−)=⋅=0HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HB −→−HA −→−HC −→−HB −→−CA −→−∴HB ⊥CA⋅=⋅HB −→−HC−→−HC −→−HA −→−HC ⊥AB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HC −→−HA −→−HA ⊥CB∴H ΔABC △ABC ++=0GA −→−GB −→−GC −→−=(++)PG −→−13PA −→PB −→PC −→−++=0GA −→−GB −→−GC −→−△ABC △ABC ⋅=⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HC −→−HA −→−⋅=⋅=HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅HC −→−HA −→−△ABC △ABC ⋅+⋅+⋅=0∣∣∣BC −→−∣∣∣IA−→∣∣∣CA −→−∣∣∣IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→⋅+⋅∣∣∣BC −→−∣∣∣IA −→∣∣∣CA −→−∣∣∣+⋅=0IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→△ABC △ABC (+)⋅=(+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−BA −→OB −→−OC −→−CB −→−OC −→−OA −→−AC −→−==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣△ABC 已知正⽅形，边⻓为，动点⾃点出发沿运动，动点⾃点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若⼆者同时出发，且到达时停⽌，另⼀个点也停⽌，则该过程中的最⼤值是______．瑞⼠数学家欧拉在1765年发表的《三⻆形的⼏何学》⼀书中有这样⼀个定理：“三⻆形的外⼼､垂⼼和重⼼都在同⼀直线上，⽽且外⼼和重⼼的距离是垂⼼和重⼼距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O ､H ､G 分别是外⼼､垂⼼和重⼼，下列四个选项中结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．。
平面向量数量积的坐标运算含答案
平面向量数量积的坐标运算答案一、单选题1．已知(2,1),(1,1)a b =-=-，则(2)(3)a b a b +⋅-等于（） A ．10 B ．－10 C ．3 D ．－3【答案】B【分析】根据向量坐标表示的线性运算求出2,3a b a b +-，再根据向量数量积的坐标运算即可得解.【详解】因为(2,1),(1,1)a b =-=-， 所以2(4,3),3(1,2)a b a b +=--=-，所以(2)(3)4(1)(3)210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-. 故选：B.2．已知()()()1,1,2,5,3,a b c x ===，若()830a b c -⋅=，则x 等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得x 的值. 【详解】由于()()86,3,830a b a b c -=-⋅=， 所以63330,4x x ⨯+==. 故选：C3．已知向量()2,1a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b 等于（） A 5B 10C ．5 D ．25【答案】C【分析】对52a b +=两边同时平方，化简可得22250a a b b +⋅+=，再将25a =，10a b ⋅=代入化简即可得出答案. 【详解】∵()2,1a =，∵25a =，又52a b +=， 所以()()225250a b+==，即22250a a b b +⋅+=， ∵5＋2×10＋2b ＝50， 所以2b ＝25，即b ＝5. 故选：C.4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =-，()1,1b =，则AB 与a b -的夹角的余弦值为（） A．B． CD【分析】由平面向量的坐标运算求得AB ，a b -，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =-，()3,0a b -=-，则AB 与a b -的夹角的余弦值为()()()221312AB a bAB a b⋅-⨯-+=-+-故选：A ．．边长为2的正ABC 中，G 为重心，P 为线段上一动点，则AG AP ⋅=（）A ．1B ．2C ．()()BG BA BA BP -⋅-D ．2()3AB AC AP +⋅为ABC的重心，所以为线段BC 所以23(0,3AG =-，(,AP x =-，则0AG AP x ⋅=⋅故选：B ．a 与b 相互垂直，()6,8a =-，5b =，且b 与向量(1则b =（） A ．()3,4--B ．()4,3C ．()4,3-D ．()4,3--【答案】D【分析】设(),b x y =，则由题意得2268025x y x y -=⎧⎨+=⎩，解出方程，检验即可.【详解】设(),b x y =，则由题意得2205a b x y ⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩，即2268025x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得43x y =⎧⎨=⎩或43x y =-⎧⎨=-⎩，设()1,0c =，当()4,3b =时，此时4cos ,05b c b c b c⋅==>， 又因为向量夹角范围为[]0,π，故此时夹角为锐角，舍去； 当()4,3b =--时，此时4cos ,05b cb c b c⋅==-<，故此时夹角为钝角，故选：D.，则AO AP ⋅的最大值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．3【答案】C【分析】由条件可知点P 的方程，三角换元写出P 点坐标，用坐标表示AP ，AO ，坐标运算向量的数量积，根据角的范围即可求出最大值.【详解】解：点P 在以()0,1为圆心的单位圆上，所以点P 的方程为()2211x y +-=，设P[)cos ,0,2π1sin x y θθθ=⎧∈⎨=+⎩，则()cos 2,1sin AP θθ=++，()2,0AO =，所以[]2cos 42,6AO AP θ⋅=+∈，即AO AP ⋅的最大值为6.故选：C8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点为N ，最高点()1,P A ，且满足NM NP ⊥，则A =（）A B C ．D ．10由0NM NP ⋅=解得，所以2π6ω=π2，所以π6ϕ=，则NM NP ⋅=5,2⎛ ⎝二、多选题9．已知向量(2,1),(,1)a m b m =-=，则下列结论正确的是（） A ．若a b ∥，则2m = B ．若2m =，则a b ∥ C ．若a b ⊥，则13m = D ．若13m =，则a b ⊥【分析】根据平面向量平行与垂直的坐标表示公式，可得答案【详解】由a b ∥，得2m -正确；由a b ⊥，得2m +BCD.10．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,2【答案】BD【分析】根据向量的加法求出a b +，由两个向量垂直，数量积为零，求出y ，然后逐一判断各选项，a 在b 方向上的投影向量为()2a b bb⋅⋅.【详解】已知()()1,3,2,,a b y ==则()3,3a b y +=+，()a b a +⊥，()31330y ∴⨯+⨯+=，4y =-，()2,4b =-，故A 错误；12342cos ,21020a b a b a b⋅⨯-⨯===-⋅⋅，所以向量,a b 的夹角为3π4，故B 正确；()()()11,31,22,12a b +=+-=，152a b ∴+=，故C 错误；a 在b 方向上的投影向量为()()21,2a b b b⋅⋅=-，故D 正确.故选：BD. 11．已知向量()()()()3,1,cos ,sin 0π,1,0a b c θθθ==≤≤=，则下列命题正确的是（）A ．a b ⋅的最大值为2B ．存在θ，使得a b a b +=-C ．向量31,33e ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭是与a 共线的单位向量 D ．a 在c 3c 【答案】ABD【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断； B.利用数量积公式，可得0a b ⋅=，即可求解θ； C.根据模的公式，计算e ，即可判断； D.根据投影向量公式，即可计算求值.【详解】对于A 选项，π3cos sin 2sin 3a b θθθ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当ππ32θ+=，即π6θ=时取最大值2，故A 正确；对于B 选项，要使a b a b +=-，则0a b ⋅=， 则tan 3θ=-，因为0πθ≤≤，所以2π3θ=，故存在θ，使得a b a b +=-，故B 正确；选项，因为33e ⎛=- ⎝所以向量e 不是单位向量，故选项，因为()1,0c =为单位向量，则a 在c 上的投影向量为3||a cc c c ⋅⋅=，故D 正确ABD .12．已知向量(cos ,sin m αα=，()cos ,sin n ββ=，且()1,1m n +=，则下列说法正确的是（） A ．221m n += B ．()cos 0αβ-=C ．()sin 1αβ+=-D ．m n -的值为即可判断BC ，由模长公式以及垂直关系即可判断【详解】21m =，21n =，即有222m n +=，故选项β<，如图，设点A 、B 、C 的坐标为在单位圆221x y +=.根据向量加法的平行四边形法则，四边形OACB 可得：()cos 0αβ-=，()sin 1β+=由()1,1m n +=可得：()2222m nm n +=+⋅=，可得：20m n ⋅=，22222m n m n m n -=+-⋅=，则可得：2m n -=，故选项D 成立. 故选：BD三、填空题13．已知向量()()3,1,1,a b λ=-=，若222a b a b -=+，则λ=__________.【答案】3【分析】求出a b -，利用模长公式列出方程，求出3λ=.【详解】因为()2,1a b λ-=--，所以224(1)911λλ++=+++，解得:3λ=. 故答案为：314．已知向量()3,1a =-，(),1b t =，,45a b =，则t =______． 【答案】2【分析】利用向量坐标夹角运用求参数. 【详解】因为,45a b =︒， 所以2312cos ,2101a b t a b a bt ⋅-===⋅+，且13103t t ->⇒>，整理得2123203t t t ⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，解得：2t =或12t =-（舍去），故答案为：2.15．已知(1,2a x =-，(),1b x =且//a b ，则||a b +=______． 【答案】32【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求出x ，再利用模的坐标表示计算作答. 【详解】因为()1,2a x =-，(),1b x =且//a b ，则21x x =-，解得=1x -，有(21,3)(3,3)a x b =-=-+，所以22|(3)332|a b -+=+=. 故答案为：3216．已知()1,0a =，()1,1b =，则a 在b 上的投影向量为________． 【答案】11(,)22【分析】由投影向量的定义求结果即可. 【详解】由题意，a 在b 上的投影向量为(1,1)111(,)22||||22b a b b b ⋅⋅=⋅=.故答案为：11(,)22。
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数量积课件及答案
【对点练清】 1．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量 a ，b 的夹角为 45°，ka －b 与 a 垂直，则 k＝_____.
解析：由题意，得 a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝ 22.因为向量a ＝ka
2－a ·b ＝k－
22＝0，解得
【学透用活】 [典例 3] (1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角，则 k 的取值范围为_________． (2)已知非零向量 a ，b 满足 a ＋3b 与 7a －5b 互相垂直，a －4b 与 7a －2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角． [解析] (1)∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当 k ＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去．综上， k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1. 答案：(0,1)∪(1，＋∞)
(3)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a ·b >0.
(√)
(4)|a ·b |≤a ·b .
( ×)
2．若向量 a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a ·b 等于 ( )
1 A.2
3 B.2
C．1＋
3 2
D．2
答案：A
3．已知|a |＝1，|b |＝2，设 e 是与 a 同方向上的单位向量，a 与 b 的夹 角为π3，则 b 在 a 方向上的投影向量为______．
(4)|a ·b |≤__|_a_|_|_b_|.
2．平面向量数量积的运算律：
新高考一轮复习人教版6.2 平面向量的数量积及其应用作业2
6.2 平面向量的数量积及其应用基础篇 固本夯基考点一 平面向量的数量积1.(2019课标Ⅱ理,3,5分)已知AB ⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(3,t),|BC ⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案 C2. (2022届山东日照开学校际联考,2)如图,AB 是单位圆O 的直径,C,D 是半圆弧AB 上的两个三等分点,则AC⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗ =( )A.1B.√32C.32D.√3答案 C3.(2022届江苏淮安车桥中学入学调研,7)已知△ABC 的外心为O,2AO ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ,|AO ⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗ |=2,则AO ⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A.√3 B.32C.2√3D.6 答案 D4.(多选)(2020山东省实验中学诊断二,11)关于平面向量a,b,c,下列说法中不正确．．．的是( ) A.若a ∥b 且b ∥c,则a ∥c B.(a+b)·c=a ·c+b ·c C.若a ·b=a ·c,且a ≠0,则b=c D.(a ·b)·c=a ·(b ·c) 答案 ACD5.(2022届河北邢台“五岳联盟”10月联考,13)设向量a,b 均为单位向量,且a ⊥b,则(a+2b)·(3a-5b)= .? 答案 -76.(2022届湖南三湘名校、五市十校联考,14)已知点P(-2,0),AB 是圆x 2+y 2=1的直径,则PA⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗ = .? 答案 37.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a ·b+b ·c+c ·a= .? 答案 -928.(2020湖南永州祁阳二模,8)已知平面向量a,b,e,|e|=1,a ·e=1,b ·e=-2,且|2a+b|=2,则a ·b 的最大值是 .? 答案 -32考点二 平面向量数量积的应用1.(2021石家庄一模,2)设向量a=(1,2),b=(m,-1),且(a+b)⊥a,则实数m=( ) A.-3 B.32C.-2D.-32答案 A2.(2020课标Ⅱ文,5,5分)已知单位向量a,b 的夹角为60°,则在下列向量中,与b 垂直的是( ) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 答案 D3.(2022届百师联盟9月一轮复习联考一,11)已知在△ABC 中,AB=AC=2,BC=3,点E 是边BC 上的动点,则当EA ⃗⃗⃗⃗ ·EB ⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,|EA⃗⃗⃗⃗ |=( ) A.√374B.√372C.√102D.√142答案 A4.(多选)(2022届辽宁六校期初联考,11)给出下列命题,其中正确的有( ) A.非零向量a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则a 与a+b 的夹角为30°B.若(AB⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗ =0,则△ABC 为等腰三角形 C.等边△ABC 的边长为2,则AB⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =2 D.已知向量a=(1,-2),b=(k,1)且a ⊥(a+b),则k=0 答案 AB5.(多选)(2022届河北神州智达省级联测,9)设0<θ<π,非零向量a=(sin2θ,cos θ),b=(cos θ,1),则( ) A.若tan θ=12,则a ∥b B.若θ=3π4,则a ⊥b C.存在θ,使2a=b D.若a ∥b,则tan θ=12答案 ABD6.(多选)(2022届辽宁名校联盟9月联考,9)已知向量a=(2,0),b=(1,1),则( ) A.|a|=|b| B.a 与b 的夹角为π4C.(a-b)⊥bD.和b 同向的单位向量是(12,12) 答案 BC7.(多选)(2022届广东深圳福田外国语高级中学调研二,10)已知向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b 的夹角为θ,则( )A.|a|=|b|B.a ⊥cC.b ∥cD.θ=135° 答案 BD8.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a ⊥c,则k= .? 答案 -1039.(2020课标Ⅱ理,13,5分)已知单位向量a,b 的夹角为45°,ka-b 与a 垂直,则k= .? 答案√2210.(2020课标Ⅰ文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a ⊥b,则m= .? 答案 5综合篇 知能转换考法一 求平面向量模的方法1.(2022届福建南平10月联考,6)已知单位向量e 1,e 2的夹角为2π3,则|e 1-λe 2|的最小值为( ) A.√22B.12C.√32D.34答案 C2.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,5)已知向量a,b 满足|a|=2√2,|b|=1,|a-b|=√6,则|a+2b|=( ) A.2√3 B.3√2 C.4√2 D.3√3 答案 B3.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O 为坐标原点,点P 1(cos α,sin α),P 2(cos β,-sin β),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )A.|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B.|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |C.OA ⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.OA ⃗⃗⃗⃗ ·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 AC4.(2022届四省八校期中,14)已知向量a=(x,1),b=(1,-2),若a ∥b,则|a-2b|= .? 答案5√525.(2022届广东深圳福田外国语高级中学调研二,15)已知非零向量a,b 满足|a|=√7+1,|b|=√7-1,且|a-b|=4,则|a+b|= .? 答案 46.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b 满足|a|=3,|a-b|=5,a ·b=1,则|b|= .? 答案 3√27.(2020课标Ⅰ理,14,5分)设a,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .? 答案√38.(2021河北衡水中学联考二,13)若向量a,b 满足a=(cos θ,sin θ)(θ∈R),|b|=2,则|2a-b|的取值范围为 .? 答案 [0,4]考法二 求平面向量夹角的方法1.(2022届山东烟台莱州一中开学考,4)已知|a|=√2,|b|=4,当b ⊥(4a-b)时,向量a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.2π3D.3π4答案 B2.(2020山东全真模拟,4)已知扇形AOB,∠AOB=θ,扇形半径为√3,C 是弧AB 上一点,若OC⃗⃗⃗⃗ =2√33OA ⃗⃗⃗⃗ +√33OB ⃗⃗⃗⃗ ,则θ=( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 D3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,14)已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=√2,且(2b-a)⊥a,则cos<a,b>= .? 答案√224.(2019课标Ⅲ理,13,5分)已知a,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>= .? 答案23应用篇 知行合一应用 向量在平面几何中的应用1.(多选)(2022届广东深圳六校联考二,9)已知平面向量AB⃗⃗⃗⃗ =(-1,k),AC ⃗⃗⃗⃗ =(2,1),若△ABC 是直角三角形,则k 的可能取值是( )A.-2B.2C.5D.7 答案 BD2.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP ⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 答案 A3.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则AE ⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3 答案 A4.(2021山东烟台一模,6)平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=3,∠BAD=60°,Q 为CD 的中点,点P 在对角线BD 上,且BP ⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗ ⊥BQ ⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( )A.14B.12C.23D.34答案 A5. (2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD 中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD ⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗ =-32,则实数λ的值为 ,若M,N 是线段BC 上的动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则DM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .?答案16;1326.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),则|PD ⃗⃗⃗⃗ |= ;PB ⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗ = .? 答案√5;-1答案185或0 8.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE,则BD⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗ = .?答案 -19.(2022届江苏如皋11月期中,19)如图,在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知c=4,b=2,sin2C=sinB,且D 为BC 的中点,点E 满足AE⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ . (1)求a 的值; (2)求cos ∠DAE 的值.解析 (1)由sin2C=sinB,得2sinCcosC=sinB,由正弦定理,得2ccosC=b.又b=2,c=4,所以cosC=b 2c =14.在△ABC 中,根据余弦定理的推论得cosC=a 2+b 2−c 22ab =14,解得a=4(舍负).(2)由(1)知,a=c=4,所以∠BAC=C,cos ∠BAC=cosC=14.记AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则|a|=4,|b|=2. 因为AE⃗⃗⃗⃗ =13a+23b,AD ⃗⃗⃗⃗ =12a+12b,所以AE ⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗ =(13a +23b )·(12a +12b )=16a 2+12a ·b+13b 2=16×42+12×4×2×14+13×22=5,|AE⃗⃗⃗⃗ |=√(13a +23b )2=√19a 2+49a ·b +49b 2=√19×42+49×4×2×14+49×22=2√103, |AD⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b )2=√14a 2+12a ·b +14b 2=√14×42+12×4×2×14+14×22=√6, 故cos ∠DAE=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√103×=√154.创新篇 守正出奇创新 利用解析几何思维解决向量问题1.(2022届湖北金太阳11月联考,8设问创新)已知四边形ABCD 是半径为√2的圆O 的内接正方形,P 是圆O 上的任意一点,则PA⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗ 2+PD ⃗⃗⃗⃗ 2的值为( ) A.8 B.16 C.32 D.与P 的位置有关 答案 B2.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,7素材创新)将一条线段AB 分割成两条线段AP 、BP(AP>BP),若PB AP =AP AB =√5−12,则称这种分割为黄金分割P 为黄金分割点,√5−12为黄金分割比.黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在△ABC 中,点D 为线段BC 的黄金分割点(BD>DC),AB=2,AC=3,∠BAC=60°,则AD⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.7√5−92 B.9−7√52 C.9√5−72 D.7−9√52答案 A3.(2022届山东烟台莱州一中开学考,6设问创新)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),λ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 C3. (2018天津文,8,5分|解法创新)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.-15B.-9C.-6D.0 答案 C5.(2018浙江,9,4分|解法创新)已知a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.-√31 B.√3+1 C.2 D.2-√3 答案 A。
高三数学数量积及其应用试题答案及解析
高三数学数量积及其应用试题答案及解析1.已知向量，.若向量的夹角为，则实数=（）A．B．C．0D．【答案】B【解析】因为所以解得，故选B.【考点】平面向量的数量积、模与夹角.2.设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，，则，故，故命题是假命题；若，则，故命题是真命题，由复合命题真假判断知，是真命题，选A．【考点】1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．3.已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则A．B．C．D．【答案】C．【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．【考点】1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．4.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)，若实数t满足(－t)·＝0，则t的值为()A．B．－C．D．－【答案】D【解析】由题设知＝(3,5)，＝(－2，－1)，则－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.5.若，，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即（其中为与的夹角），即，由于，解得，故选D.【考点】平面向量数量积6.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆C过点.（1）求椭圆C的方程；（2）点A为椭圆C的右顶点，过点作直线与椭圆C相交于E，F两点，直线AE,AF与直线分别交于不同的两点M,N，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设知椭圆中心在原点，一个焦点坐标为，且过点，于是可设出其标准方程,并用待定系数法求出的值进而确定椭圆的方程.（2）当直线的斜率存在且不为零时，由题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立组成方程组消去并结合韦达定理得到，据此可将化成关于的函数而求解.注意对直线的斜率不存在及斜率为零的情况，要单独说明.解：（1）抛物线的准线方程为： 1分设椭圆的方程为，则依题意得，解得，.所以椭圆的方程为. 3分（2）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. 5分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，,显然时，不符合题意.由得. 6分则. 7分直线，的方程分别为：，令，则.所以，. 9分所以. 11分因为，所以，所以，即.综上所述，的取值范围是. 13分【考点】1、椭圆的标准方程；2、抛物线的标准方程；3、直线与椭圆位置关系综合问题.7.对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量和，满足与的夹角，且和都在集合中，则=A．B．C．1D．【答案】D【解析】由条件知: ===,===,因为和都在集合中，且与的夹角，故可取,=得: =,故选D.【考点】本题是创新题,理解给定的信息是解决好本题的关键.8.在中,是的中点,(1) .(2)是的中点,是(包括边界)内任意一点,则的取值范围是 .【答案】（1）；（2）【解析】(1).以C为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，所以，,则；(2).设点，则，故，设，变形为，当直线分别过时，取到最大值和最小值，即，故的取值范围是．【考点】1、向量数量积运算；2、线性规划.9.若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为 ()A．0B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，即向量夹角为，选D.10.在直角三角形中，，，则__________．【答案】【解析】．【考点】向量的数量积．11.已知，与的夹角为.（1）；（2）若向量与垂直，则k的值为 .【答案】（1）1 （2）-5【解析】（1）.（2）∵向量与垂直，∴，∴，解得.【考点】向量的数量积、向量垂直的充要条件.12.已知四边形是边长为的正方形，若，，则的值为.已知四边形是边长为的正方形，若，，则的值为.【答案】.【解析】解法一：以点为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，所以，，因此；解法二：如下图所示，则，，所以.【考点】1.平面向量的线性表示；2.平面向量的数量积13.为边,为对角线的矩形中,,,则实数____________.【答案】4【解析】由题意，又，所以.【考点】垂直向量.14.在△ABC中，，则角A的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可得.化简可得...所以.【考点】1.向量的数量积.2.三角不等式.3.归纳转化的数学思想.15.平面向量与的夹角为，，则_______.【答案】【解析】因为，则，所以.【考点】向量的数量积、向量的综合应用.16.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】设a与b的夹角为θ,则(2a+b)·b=2a·b+b2="2|a||b|cos" θ+|b|2=|b|2(2cos θ+1)=0,又b为非零向量,∴2cos θ+1=0,∴cos θ=-,∴θ=120°.故选C.17.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于()A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】∵8a-b=(6,3),∴(8a-b)·c=18+3x=30,x=4,故选C.18.已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】得,选D【考点】向量内积垂直19.若函数f(x)＝2sin (－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(＋)·＝________.【答案】32【解析】由题意知，点A(4,0)，根据三角函数的图象，点B、C关于点A对称，设B(x1，y1)，则C(8－x1，－y1)．故(＋)·＝8×4＝32.20.如图，在直角三角形ABC中，AC＝，BC＝1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P 是△ABC(包括边界)内任一点，则·的取值范围为________．【答案】【解析】以点C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，建立如图所示直角坐标系，设P(x，y)，则由题可知B(1,0)，A(0，)，N，M，所以＝，＝，所以·＝－－y＋＝－y＋，直线AB的方程为x＋y－＝0.由题可知由线性规划知识可知，当直线－y＋－z＝0过点A时有最小值－，过点B时有最大值.21.已知向量函数的第个零点记作（从小到大依次计数），所有组成数列．（1）求函数的值域；（2）若，求数列的前100项和.【答案】（1）;（2）【解析】（1）根据题意向量函数.通过向量的坐标形式的数量积公式，以及三角函数的化一公式，可得函数的关于x的解析式.（2）由及（1）可得.因为第个零点记作.也就是的对应的x的值从小排到大的一列数.根据图像的对称性可得两个相邻的和为.所以即可求得结论.试题解析：（1）所以函数的值域为（2）由得所以或因此【考点】1.三角形函数的化一公式.2.向量的数量积.3.数列的求和.4.对称的知识.22. A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，则▪的取值范围为．【答案】【解析】根据题意可得，则，由，得：，可求得．【考点】向量的数量积23.如图，在底角为的等腰梯形中，已知，分别为，的中点.设，.(1)试用，表示，；(2)若，试求的值.【答案】(1)，；（2）.【解析】(1) 利用平面向量的加法和减法的运算法则进行计算，用已知量表示未知量，注意向量的方向的变化；（2）要求，就要找到向量，的模及其数量积，先求出向量的模，再根据向量的性质进行计算.试题解析：(1)因为，，，分别为，的中点，所以； 3分. 6分（2），, ，所以, 8分那么. 12分【考点】1、平面向量的模及数量积；2、平面向量的加减混合运算.24.对正整数，有抛物线，过任作直线交抛物线于，两点，设数列中，，且，则数列的前项和( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线方程为，代入抛物线方程得，设，则①，由根与系数的关系得，，代入①式得，故（），故数列的前项和.【考点】1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.25.已知向量 .【答案】-3【解析】依题意，，又易知，，.【考点】数量积的坐标表示26.已知正三角形的边长为，点是边上的动点，点是边上的动点，且，,则的最大值为A．B．C．D．【答案】D【解析】，，而，,，，故当时，取最大值.【考点】平面向量的减法、平面向量的数量积、二次函数27.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是（）A．若a与b共线，则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙aC．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2【答案】B【解析】对于A．若a与b共线，则a⊙b = mq－np =0，成立，对于B．a⊙b =b⊙a不成立，对于C．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）成立，对于D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2成立，故选B.【考点】向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积，属于基础题。
第03讲 平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)
第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。
专题检测题组-平面向量的数量积及其应用
6.2 平面向量的数量积及其应用一、选择题1.(2022届吉林名校10月联考,5)已知3个非零平面向量a,b,c,下列选项中正确的是( ) A.若λa +μb=0,则λ=μ=0 B.若a ·b=a ·c,则b=c C.若(a ·b)c=(a ·c)b,则b=c D.a,b,c 两两之间的夹角可以都是钝角答案 D 对于选项A,当a 与b 共线时,也可以满足已知条件,所以A 错;对于选项B,a 可能为0,所以B 错;对于选项C,向量数量积运算不满足结合律,所以C 错;对于选项D,a,b,c 两两之间的夹角可以都是钝角,如都为120°,所以D 正确,故选D.2.(2022届云南质检(一),3)在Rt △ABC 中,AC ⊥BC,D 点是AB 边的中点,BC=8,CA=12,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.-40B.52C.92D.-18答案 A 在△ABC 中,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12×(82-122)=-40,故选A.3.(2022届贵阳摸底,6)在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=3,若点D,E 分别是斜边BC 的三等分点,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.2B.√5C.4D.5答案 C ∵∠BAC=90°,AB=AC=3,∴以A 为坐标原点,AB 、AC 所在直线分别为x 轴和y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(3,0),C(0,3).因为D,E 分别是BC 的三等分点,所以可取E(2,1),D(1,2),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×2+2×1=4.故选C.4.(2022届河南三门峡11月模拟,10)已知菱形ABCD 的边长为4,点M 是线段CD 的中点,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=( )A.-409B.409C.-209D.209答案 A 由已知得AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=13×23×16-12×16=329-8=-409,故选A.5.(2021郑州一模,4)设a,b 为单位向量,且|a-b|=1,则|a+2b|=( ) A.√3 B.√7 C.3 D.7答案 B 由a,b 为单位向量,且|a-b|=1,可得a 2-2a ·b+b 2=1,可得a ·b=12,则|a+2b|=√a 2+4a ·b +4b 2=√1+2+4=√7.故选B.6.(2022届皖南八校联考(一),11)设单位向量a 与非零向量b 的夹角是2π3,且|a-b|=√3|a|,则|a-tb|的最小值为( ) A.√33B.√32 C.12D.1 答案 B 由|a-b|=√3|a|可得a 2-2a ·b+b 2=3a 2,又a ·b=|a||b|cos 2π3=-12|a||b|,|a|=1,从而|a|=|b|=1,∴|a -tb|=√|a -tb|2=√a 2-2ta ·b +t 2b 2=√t 2+t +1=√(t +12)2+34,当且仅当t=-12时,|a-tb|取最小值√32,故选B.7.(2019课标Ⅰ,8,5分)已知非零向量a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 B 解法一:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a ·b-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos<a,b>-|b|2=0,即cos<a,b>=12,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π3,故选B.解法二:如图,令OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=90°,又|a|=2|b|,所以∠AOB=π3,即<a,b>=π3.故选B.思路分析 由两向量垂直的充要条件建立方程求解;另外一个思路是在三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.8.(2020河南十所名校联考,7)已知非零向量a,b 满足|a |=λ|b|,若a,b 夹角的余弦值为1930,且(a-2b)⊥(3a+b),则实数λ的值为( ) A.-49 B.23 C.32或-49 D.32答案 D 由(a-2b)⊥(3a+b)得(a-2b)·(3a+b)=0,即3a 2-5a ·b-2b 2=0,∵|a |=λ|b|,cos<a,b>=1930,∴a ·b=|a||b|cos<a,b >=λ|b|2·1930=19λ30|b|2. ∴3λ2|b|2-5×19λ30|b|2-2|b|2=0,又知|b|≠0,∴3λ2-196λ-2=0,即18λ2-19λ-12=0,解得λ=32或-49,又∵λ>0,∴λ=32,故选D.思路分析 由|a |=λ|b|以及垂直关系建立关于λ的方程,解方程求得λ的值,此处要注意λ的取值范围. 9.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,5)若向量a=(3,√x ),|b|=5,a ·b=10,a 与b 的夹角为60°,则x=( )A.16B.4C.7D.√7答案 C 由题意得a ·b=|a||b|cos 60°=52|a|=10⇒|a|=4,故|a|=√32+x =4,解得x=7.故选C.10.(2022届山西朔州怀仁期中,9)下列说法中正确的是( )A.已知a=(1,2),b=(1,1),且a 与a +λb 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(-53,+∞) B.向量e 1=(2,-3),e 2=(12,-34),可以作为平面内所有向量的一组基底C.非零向量a 和b,满足|a|>|b|,且两个向量同向,则a>bD.非零向量a 和b,满足|a|=|b|=|a-b|,则a 与a+b 的夹角为30° 答案 D 对于A,a +λb =(1+λ,2+λ),因为a 与a +λb 的夹角为锐角,所以cos<a,a +λb>=a ·(a+λb)|a|·|a+λb|=√1+2·√(1+λ)+(2+λ)∈(0,1),解得λ>-53且λ≠0,故A 中说法错误;对于B,e 1=4e 2,所以e 1∥e 2,故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B 中说法错误;对于C,两个向量的模可以比较大小,但两个向量不能比较大小,故C 中说法错误;对于D,不妨令|a|=|b|=|a-b|=1,则|a-b|2=(a-b)2=a 2-2a ·b+b 2=2-2a ·b=1,所以a ·b=12,则|a+b|2=(a+b)2=a 2+2a ·b+b 2=3,所以|a+b|=√3,所以cos<a,a+b>=a ·(a+b)|a|·|a+b|=1+121×√3=√32,因为<a,a+b>∈[0,π],所以<a,a+b>=π6,故D 中说法正确.故选D.11. (2022届吉林10月月考,12)如图,在斜坐标系xOy 中,x 轴的正方向与y 轴的正方向成60°角,向量e 1是与x 轴正方向同向的单位向量,向量e 2是与y 轴正方向同向的单位向量,若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xe 1+ye 2,则称有序数对<x,y>为向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,记作OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =<x,y>.在此斜坐标系xOy 中,已知向量a=<1,2>,b=<5,-4>,则向量a 与b 夹角的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 C 由题意得|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=|e 1||e 2|cos 60°=12,因为a=<1,2>,b=<5,-4>,即a=e 1+2e 2,b=5e 1-4e 2,所以a ·b=(e 1+2e 2)·(5e 1-4e 2)=5e 12+6e 1·e 2-8e 22=-3+6e 1·e 2=0,即a ⊥b,所以<a,b>=π2,故选C.二、填空题12.(2022届江西赣州赣县三中期中,15)已知AM,BN 分别为圆O 1:(x+1)2+y 2=1与O 2:(x-2)2+y 2=4的直径,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 . 答案 [0,8] 解析 如图.AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(MO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=[O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]·[O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=9-|AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.而|AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[2-1,2+1]=[1,3],∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,8].13.(2022届吉林通化梅河口五中月考,16)①若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m>-34.②点O 在△ABC 所在的平面内,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点O 为△ABC 的垂心. ③点O 在△ABC 所在的平面内,若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,则S △AOC ∶S △ABC =1∶6.④点O 在△ABC 所在的平面内,若满足AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |且CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点O 是△ABC 的外心. 以上命题为假命题的序号是 . 答案 ①④解析 对于①,BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m,-m),因为∠ABC 为锐角,所以cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10·√(1+m)+m 2>0,即m>-34,又BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以3m-(1+m)≠0,所以m>-34且m ≠12,故①中命题是假命题.对于②,因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点O 为△ABC 的垂心,故②中命题是真命题. 对于③,若E,F 分别是边BC,AC 的中点,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=4OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即E,O,F 三点共线且OE=2OF,如图a.过E,O,B 作AC 边的垂线段,长度分别为h 1,h 2,h 3,易知ℎ2ℎ1=13,ℎ1ℎ3=12,则ℎ2ℎ3=16,所以S △AOC ∶S △ABC =1∶6,故③中命题是真命题.对于④,如图b,作OD ⊥AB 于D,OE ⊥AC 于E,OF ⊥BC 于F,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,易知O 为△ABC 的内心,故④中命题是假命题.图a图b14.(2022届河南段考三,14)已知向量a=(-4,x),b=(3,2),若a ⊥b,则|a|= . 答案 2√13解析 因为a ⊥b,所以-4×3+2x=0,得x=6,故|a|=√(-4)2+62=2√13.15.(2022届贵阳月考,14)已知平面向量a,b 的夹角为π3,且a=(2,0),|b|=1,则|2a-b|= .答案√13解析 由a=(2,0)得|a|=2,又a,b 的夹角为π3,|b|=1,故(2a-b)2=4a 2-4a ·b+b 2=4|a|2-4|a||b|cos π3+|b|2=13,所以|2a-b|=√(2a -b)2=√13.16.(2022届安徽蚌埠调研,14)已知|a|=1,|b|=2,|a-2b|=√13,则向量a 、b 的夹角为 . 答案π3解析 设向量a 、b 的夹角为θ,因为|a-2b|=√13,所以|a-2b|2=13,即1+16-8cos θ=13,得cos θ=12,因为0≤θ≤π,所以θ=π3.17.(2022届山西运城期中,13)在△ABC 中,若AB=2,AC=√3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案 150°解析 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠BAC=4-2√3cos ∠BAC=7,解得cos ∠BAC=-√32,又知0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=150°,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为150°.18.(2022届合肥10月联考,13)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是 . 答案(-34,12)∪(12,+∞)解析 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-m,1-m),BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m,-m).若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有3(1-m)-(2-m)=0,解得m=12;若∠ABC 为锐角,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m+m>0,解得m>-34.由上分析知,当m=12时,AB →与AC →同向共线,所以当∠ABC 为锐角时,m ≠12,故实数m 的取值范围为(-34,12)∪(12,+∞).。
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高中数学专题复习——平面向量的数量积与应用一、考点、热点回顾1．向量的数量积 （1）两个非零向量的夹角已知非零向量a 与a ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯA ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角；说明：a,当θ＝０时，a 与b 同向； b,当θ＝π时，a 与b 反向； C,当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ； d,注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。
（2）数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ²b =︱a ︱²︱b ︱cos θ叫做a与b 的数量积（或内积）。
规定00a ⋅= ；向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅ ∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影。
投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： a ²b 等于a的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。
（4）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==。
②乘法公式成立()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- ；()2222a b a a b b±=±⋅+ 222a a b b =±⋅+ ；③平面向量数量积的运算律C交换律成立：a b b a ⋅=⋅；对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈；分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅ ()c a b =⋅±。
④向量的夹角：cos θ=cos ,a ba b a b ∙<>=∙ =222221212121y x y x y y x x +⋅++。
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y == ，则a ²b=1212x x y y +。
（6）垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ²b＝O ⇔02121=+y y x x ，平面向量数量积的性质。
（7）平面内两点间的距离公式设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=。
如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)。
二、典型例题题型1：数量积的概念例1．判断下列各命题正确与否：（1）00a ⋅=；（2）00a ⋅=；（3）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c = ；（4）若a b a c ⋅=⋅ ，则b c ≠ 当且仅当0a =时成立； （5）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立；（6）对任意向量a ，有22a a = 。
解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。
点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚a ⋅0为零向量，而a ⋅0为零。
例2．（1）（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（ ）A ．)()(c b a c b a ++=++B ．c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(C ．m （b a +）=m a +m bD ．)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅（2）(2000江西、山西、天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a ²b ）c －（c ²a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ²c ）a －（c ²a ）b 不与c 垂直④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2－4|b |2中，是真命题的有（ ）A.①②B.②③C.③④D.②④解析：（1）答案：D ；因为c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅θcos ||||)(，而a c b c b a ⋅⋅=⋅⋅θc o s ||||)(；而c 方向与a 方向不一定同向。
（2）答案：D ①平面向量的数量积不满足结合律。
故①假；②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（b ²c ）a －（c ²a ）b ］²c =（b ²c ）a ²c －（c ²a ）b ²c =0，所以垂直.故③假；④（3a +2b ）（3a －2b ）=9²a ²a －4b ²b =9|a |2－4|b |2成立。
故④真。
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。
题型2：向量的夹角例3．（1）（06全国1文，1）已知向量a 、b 满足1||=a 、4||=b ，且2=⋅b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π（2）（06北京文，12）已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且a ±≠b ，那么b a +与b a -的夹角的大小是 。
（3）已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a bd b a =-=- ，试求c 与d 的夹角。
（4）（2005北京3）| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：（1）C ；（2）2π； （3）由题意，1a b == ，且a 与b 的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b ⋅==- ，2c c c =⋅= (2)(2)a b a b -⋅-22447a a b b =-⋅+= ， 7c ∴=，同理可得13d ∴=。
而c d ⋅= 2217(2)(3)7322a b b a a b b a -⋅-=⋅--=- ，设θ为c 与d的夹角，则1829117137217cos -==θ。
（4）C ；设所求两向量的夹角为θ c a b c a →→→→→=+⊥ 2.()..0c a a ba a ab →→→→→→→→∴=+=+=2||||||cos a a b θ→→→∴=- 即：2||||1cos 2||||||a a ab b θ→→→→→-==-=- 所以120.oθ=点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式||||cos b a b a ⋅⋅=θ，要掌握向量坐标形式的运算。
向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
对于.||||cos a b a b θ→→→→=这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。
例4．（1）（06全国1理，9）设平面向量1a 、2a 、3a 的和0321=++a a a 。
如果向量1b 、2b 、3b ，满足||2||i i a b =，且i a 顺时针旋转30o后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）A ．－1b +2b +3b =0B ．1b -2b +3b =0C ．1b +2b -3b =0D ．1b +2b +3b =0（2）（06湖南理，5）已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是（ ） A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππ D ．],6[ππ 解析：（1）D ；（2）B ；点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。
题型3：向量的模例5．（1）（06福建文，9）已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+= 则b等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1（2）（06浙江文，5）设向量,,a b c 满足0a b c ++= ,,||1,||2a b a b ⊥==,则2||c = （ ）A ．1B ．2C ．4D ．5 解析：（1）B ；（2）D ； 点评：掌握向量数量积的逆运算Qb b a a cos ||||⋅=，以及22||a a =。
例6．已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b｜=1。
解析：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有x a +y b =(3x +4y ,4x +3y )；又（x a +y b ）⊥a ⇔(x a +y b )²a＝０⇔3(3x +4y )+4(4x +3y )=0；即25x +24y ＝０ ①；又｜x a +y b ｜=1⇔｜x a +y b ｜２＝１；⇔（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１；整理得25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②；由①②有24xy +25y ２＝１ ③； 将①变形代入③可得：y =±75；再代回①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和。
点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。
题型4：向量垂直、平行的判定例7．(2005广东12)已知向量)3,2(=a ，)6,(x b =，且b a //，则=x 。
解析：∵b a //，∴1221y x y x =，∴x 362=⋅，∴4=x 。
例8．已知()4,3a = ，()1,2b =- ，,m a b λ=-2n a b =+ ，按下列条件求实数λ的值。
（1）m n ⊥ ；（2）//m n ；(3)m n =。
解析：()4,32,m a b λλλ=-=+-()27,8n a b =+=（1）m n ⊥()()082374=⨯-+⨯+⇒λλ952-=⇒λ； （2）//m n ()()072384=⨯--⨯+⇒λλ21-=⇒λ；(3)m n = ()()088458723422222=--⇒+=-++⇒λλλλ51122±=⇒λ。
点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。
题型5：平面向量在代数中的应用三、课后练习1、（本小题满分12分）如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示BC →和MN →. 【解法一】 连结CN ，则AN ∥＝ DC ∴四边形ANCD 是平行四边形.CN →＝－AD →＝－b ，又∵CN →＋NB →＋BC →＝0 ∴BC →＝－CN →－NB →＝b －12a∴MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12 AN →＝－b ＋14 a ＝14 a －b【解法二】 ∵AB →＋BC →＋CD→＋DA →＝0即：a ＋BC →＋（－12 a ）＋（－b ）＝0，∴BC →＝b －12 a又∵在四边形ADMN 中，有AD →＋DM →＋MN →＋NA →＝0， 即：b ＋14 a ＋MN →＋（－12 a ）＝0，∴MN →＝14 a －b .【评注】 比较两种解法，显然解法二更简捷.2、已知a b c d a c b d 2222111+=+=+≤，，求证：||。