高中数学知识点易错点梳理七立体几何

高中数学知识点易错点梳理七立体几何
C 8.几何体中数量运算导出结论
数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1.在长方体(,,)a b c 中： ①体对角线长为222c b a ++
，外接球直径2R = ②棱长总和为4()a b c ++； ③全(表)面积为2()ab bc ca ++，体积V abc =； 2.在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.
3.在正四面体中：设棱长为a ，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积2S =
；②体积312
V a =
；③对棱间的距离2
d =
；④外接球半径
4
R =
；⑤内切球半径12
r a =
；⑥正四面体内任一点到各面距离之和为定值3
h =.
4.在立方体中：
设正方体的棱长为a ，则
①体对角线长为a 3，②全面积为2
6a ，③体积3V a =，④内切球半径为1r ,外接球半
径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r ,则12r a =
,22r
,22r =
,
且
1231r r r =::【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.
5.在球体中：
球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．
球的截面是圆面，球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r
之间的关系是
r =.
⑹外接球半径
R=R 7. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a
,外接球的半
．
（2009江苏卷8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .1：8
C
B
C 15.不定项填空题易误知识点拾遗： (1)情况存在的“个数”问题
①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面＿＿个.（7个）； ②过直线外一点有＿＿个平面与该直线平行（无数个）；
③一直线与一平面斜交，则平面内有＿＿条直线与该直线平行.（0）； ④3条两两相交的直线可以确定＿＿个平面（1个或3个）；
⑤经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有＿＿条（0或1）； ⑥3个平面可以把空间分＿＿个部分.（4或6或7或8）； ⑦两两相交的4条直线最多可以确定＿＿个平面（6个）；
(2)平面与空间的“区分”问题 1.错误的命题
①垂直于同一条直线的两直线平行； ②平行于同一直线的两平面平行； ③平行于同一平面的两直线平行；
④过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；
⑥一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直…… 2.正确的命题
①平行于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行；
③两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行； ④两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面…… (3)易误提点：
①0a b ⋅<是,a b <>为钝角的必要非充分条件. ②截距不一定大于零，可为负数，可为零；
③0常常会是等式不成立的原因，0模为0，方向和任意向量平行，却不垂直； ④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”； （2009江苏卷12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；
（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. (1)(2)
C16．关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … ….
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第十六题（立几基础题）——推证不漏一个条件
立体几何：主要考查：1、平行问题；线线，线面，面面平行，重点仍是线面平行——两种方法（线线法，面面法）；2、垂直问题：条件与结论中都有垂直，重点是线线垂直与线面垂直（或面面垂直）的转化．复习时要重视证明、运算、推理的规范训练，要关注翻折问题，要偏重平行、垂直关系的探究与证明． 16.1、位置关系证明（主要方法）： （1）线面平行
思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；
II.转化为线线平行； III.转化为面面平行 支持定理 ①////a b b a a ααα⎫
⎪⊂⇒⎬
⎪⊄⎭
； ②////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭
； 配图助记
（2）线线平行：
思考途径 I.利用平面几何结论（中位线或构造平行四边形）；
II.转化为二直线同与第三条直线平行；III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直；V.转化为面面平行.
支持定理
①////a a a b b αβαβ⎫
⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；②//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭
；④
//////a b c b a c ⎫⇒⎬⎭ 配图助记
（3）面面平行：
思考途径 转化为线面平行；
支持定理 ①,////,//a b a b o a b αααβββ⊂⊂⎫
⎪=⇒⎬⎪⎭
配图助记
（4）线线垂直：
思考途径 I.转化为相交垂直；
II.转化为线面垂直；
支持定理
① a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭
；②所成角为900；
配图助记
（5）线面垂直：
α
b βa a b α
b γβ α a a β α
b
O
α
β
a
a
α
b α a b α
P
A
O
a
思考途径 I 转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
II 转化为面面垂直；
支持定理
①,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬
⎪⊥⊥⎭；②,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭；
配图助记
（6）面面垂直：
思考途径 I.转化为判断二面角是直二面角；
II.转化为线面垂直.
支持定理 ①二面角900；②
a a βαβα⊂⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
； 配图助记
16.2、求解距离和体积
求体积常规方法：直接法（公式法）、分割法、补形法、等积法(位置转换)、比例法(性质转换)等.
16.3重要性质
（1）在三棱椎P ABC -中,设顶点P 在底面的射影为H ，即PH ABC ⊥.
①正三棱椎P ABC -中,则有PA BC ⊥,PB AC ⊥,PC AB ⊥,P 在底面的射影是
ABC ∆的中心.
②若PA BC ⊥,PB AC ⊥,则H 为ABC 的垂心. ③若PA PB PC ==,则H 为ABC 的外心. ④若PD ⊥AB,PE ⊥BC,PF ⊥AC 垂足分别为D 、E 、F 且PD=PE=PF. 则点H 是△ABC 的内心;
（2）①若∠POA=∠POB ，则PO 在面AOB 上的射影是∠AOB 的角平分线；
②若∠AOB ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别E 、F 且PE=PF.则点P 在面AOB 上的
射影在∠AOB 平分线.
（2010江苏卷16）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900． （1） 求证：PC ⊥BC ；
（2） 求点A 到平面PBC 的距离．
（2011江苏卷16）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，
∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD
α
l
b a O
a
β
l α
a α β
β
α a。