2012届高考数学一轮复习单元测试卷第四单元数列(人教A版)

2012届高考数学一轮复习单元测试卷第四单元数列一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（2011信阳二模）等比数列{n a }中，若1a ＋2a ＝1，3a ＋4a ＝9，那么4a ＋5a 等于 （ ） A ．27 B ．27或－27 C ．81 D ．81或－81 【答案】B【解析】223412()9a a q a a q +=+==，所以3q =±，所以4534()27a a q a a +=+=±，故选B .2.（2011珠海市五月高三综合测试二）设正项等比数列{}n a ，{}lg n a 成等差数列，公差lg 3d =，且{}lg n a 的前三项和为6lg 3，则{}n a 的通项为 （ ）A ．lg 3nB ．3nC ．3nD ．13n -【答案】B【解析】依题意有13lg 3lg 36lg 3a +=，所以13a =.设等比数列{}n a 的公比为q ，则21a q a =，所以21lg lg lg lg 3q a a d =-==，所以3q =，所以1333n n n a -=⨯=，故选B .3.（2011福州一联）把1，3，6，10，15，21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示），则第七个三角形数是 （ ） A . 27 B . 28 C . 29 D . 30【答案】B 【解析】观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律可得第七个三角形数是7(17)123467282++++++==.故选B .4.(2011山东省济南市二模)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且24754a a a =⋅，2a =1，则1a = （ ）A. 21 B.22 C. 2 D.2【答案】B【解析】由24754a a a =⋅得24264a a =，所以44,q q ==212a a q==故选B.15106315.(2011福建三明二中二模) 数列{}n a 满足*12463(),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则 15796log ()a a a ++的值是 （ ）A ．2-B ．12-C ．2D ．12【答案】A【解析】由已知得{}n a 是等差数列，公差为3d =，所以579249a a a a a a d ++=+++36=，所以15796log ()2a a a ++=-.故选A .6. (2011甘肃诊断)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a = （ ）A . 56B .13C .35D . 16【答案】 A【解析】因为15535()52a a S a +==，又52853()6S a a a =+=，所以5356a a =.故选A.7.（2011大连双基测试）在等比数列{}n a 中，若23691032a a a a a =，则2912a a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】B【解析】 设公比为q ，由23691032a a a a a =得 5632a =，所以62a =，所以2329666126()2a a q a a a q===.故选B .8.（2011浙江名校联盟二模）正项等比数列{}n a 中的前n 项和为n S ，且48a =，4138S S -=，则公比等于 （ ）A ．5B ．3C ．2D ．29. (2011江西八校联考)设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和n S 为，14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*∈N n ，都有k n S S ≤成立，则k 的值为 （ ）A ．22B ．21C ．20D ．19 【答案】C【解析】依题意即求n S 最大时的项数n .将两已知等式相减，可得公差2d =-，所以13999a d +=，解得139a =，所以392(1)412n a n n =--=-.当0n a >时，n S 取得最大值，所以4120n ->，得20.5n <，所以20k n ==.故选C . 10.（2011丰台二模）已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a =（ ）A ．12- B . 23-C .35D .52【答案】 C【解析】由递推公式得223a =-，352a =，435a =，523a =-，……，所以数列是周期数列，周期为3，于是201167031135a a a ⨯+===.故选C .11. （2011杭州二中5月模拟）在数列｛a n ｝中，12a =，当n 为正奇数时，12n n a a +=+，当n 为正偶数时，12n n a a +=，则6a = （ ）A ．11B ． 17C ． 22D ．23【答案】C【解析】逐项计算得该数列的前6项依次为：2，4，8，10，20，22，故选C .12. （2011大连双基测试）已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若1431,3,9a a S >>≤，设1n nb na =，则使1299100n b b b +++<成立的最大n 值为（ ）A ．97B ．98C ．99D ．100【答案】 B【解析】因为3239S a =≤，即23a ≤，且11a >，43a >，首项及公差d 为整数，所以可得12a =，1d =，所以1n a n =+，所以111(1)1n b n n nn ==-++，1211111111223111n nb b b nn n n +++=-+-++-=-=+++ 所以991100n n <+成立的最大n 值为98.故选B .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. （2011惠州市二模）已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若3n n b a =， 则数列{}n b 的前9项和等于 . 【答案】405【解析】由21151634153a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩，33(1)3,n a n n ∴=+-=39,n n b a n == 数列{}n b 的前9项和为99819405.2S +=⨯=14.(2011上海奉贤区4月调研)在等比数列{}n a 中，0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则54a a +的最小值为 .【答案】【解析】由已知得445()16a a ⋅=，因为0n a >，所以得452a a ⋅=，所以45a a +≥=15．（2011菏泽二模）已知21n a n =-（n N +∈），把数列{}n a 的各项排成如图所示的三角数阵，记(,)S m n 表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则(10,6)S 对应数阵中的数是 . 【答案】101【解析】观察知每一行的第一个数构成数列：1，3，7，13，21，…，相邻两项构成递推关系：12n n a a n +=+，所以109871816181434a a a a =+=++=++65412481060870137891a a a =++=++=++=+=，即第10行的第一个数为91，所以第10行第6个数为101.16. (2011黑龙江四校联考) 设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12310b b b b a a a a ++++= .【答案】1033【解析】2(1)11n n n a =+-⨯=+，12n n b -=，所以12310124256512b b b b a a a a a a a a a ++++=+++++1012(124256512)1010103312-=++++++=+=- .三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17. （本小题满分10分）(2011江西师大附中等重点学校联考文科)已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求通项n a 及n S ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【解析】（1）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列， 所以,212)1(219+-=--=n n a n2(1)19(2)202n n n S n n n -=+⨯-=-.（2）由题意13,n n n b a --=所以13n n n b a -=+，则1231(133)20.2nn n n T S n n --=++++=-++18. （本小题满分10分）(2011福州市年3月质量检查文科)等差数列{}n a 中，已知 (19)171513119753112,341==a a ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若42,a a 分别为等比数列{}n b 的第1项和第2项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由已知有⎩⎨⎧=+=123311d a a ，解得3=d ，()n n a n 3313=-+=∴.（2）由（1）得,12,642==a a 则12,621==b b ， 设{}n b 的公比为,q 则212==b b q ，从而nn n b 23261⋅=⋅=-， 所以数列{}n b 的前n 项和()()12621216-=--=nnn s .19. （本小题满分12分）（2011江西“八校”4月联合考试文科)数列{}n a 满足11a =，1122n nn nn a a a ++=+（n N +∈）.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【解析】（1）由已知可得1122n n n nn a a a ++=+，即11221n nn na a ++=+，即11221n nn na a ++-=∴ 数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（2）由（1）知122(1)11nnn n a a =+-⨯=+，∴ 21nn a n =+.（3）由（2）知2nn b n =⋅231222322nn S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ， 23121222(1)22nn n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，相减得：23112(12)22222212nn n n n S n n ++--=++++-⋅=-⋅-11222n n n ++=--⋅∴ 1(1)22n n S n +=-⋅+.20.（本小题满分12分）（2011东北师大附中第三次摸底）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对*n N ∈，都有52n n a S =+成立，(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列2log n n b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n M . 【解析】(1)当1n =时，1115252a S a =+=+，∴112a =-.当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()1112255nn a a -=---11,4n n a a -∴=-即114n n a a -=-∴数列{}n a 成等比数列，其首项112a =-，公比为14-，∴数列{}n a 的通项公式11124n n a -⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭.(2)由(1)知()1212nnn a -=-⋅,2log 12n n b a n ∴==-.{}12,n n n b b b +-=-∴ 为等差数列,且首相为11b =-,公差为 2.-()21122n n n M n -+-∴==-21.（本小题满分13分）（2011郑州市五校联考）在数列{n a }中，311=a ，并且对任意n N *∈，2n ≥都有n n n n a a a a -=⋅--11成立，令)(1*∈=N n a b nn .(1)求数列{}n b 的通项公式 ； (2)求数列{}n a n的前n 项和n T .【解析】（1）当1n =时，3111==a b ，当2≥n 时，由n n n n a a a a -=⋅--11得1111nn a a --=，所以11=--n n b b ，所以数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列}{n b 的通项公式为2+=n b n ，（2）1111()(2)22n a nn n n n ==-++， 所以11111111(123243511n T n n =-+-+-++--+2211131135)[()]222124(32)n nn n n n n n ++-=-+=+++++ 34(1)244(1)(2)n n n ++=-++.22. （本小题满分13分）(2011福建四地六校第三次联考理科)数列{}n a 满足11a =，22a =，2221(1cos)2sin322n n n n a a ππ+=-+，1,2,3,n = .(1)求4,3a a 及数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a a a S +⋅⋅⋅++=21，求n S 2.【解析】（1）32122sin22cos31112123=+=+=+⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a ππ，3423231122sin 222cos31122224=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a ππ 一般地，即21212n n a a +--=，2221212112121(1cos)2sin2322n n n n n a a a ππ+----=-+=+即数列21{}n a -是以11a =，公差为2的等差数列.1212-=∴-n a nn n m a n a n a 2222223222sin222cos311=+⎪⎭⎫⎝⎛-=+ππ 又，即数列2{}n a 是首项为22a =，公比为23的等比数列，112232232--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∴n n na a .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-==*-*N m m n N m m n n a n n ,2,322,12,22综上可得.（2）()()n n n n n a a a a a a a a a a S 2421231212212+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅++=--()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++=-132********n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=32662.。