高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.3.1 平面向量基本定理
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苏教版数学高一苏教版必修4温故知新平面向量基本定理
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2.3 向量的坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
温故知新
新知预习
1.如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使___________不共线，向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的___________，记为{e1,e2},___________叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.
2.A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于l上任一点P，存在实数t,使OP=___________.
3.A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，M是线段AB的中点，则OM=___________. 知识回顾
1.用向量知识解证立体几何问题，有时比用几何法简便，其优点在于：向量可以使立体几何问题代数化，简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题的方向明确，可避免作辅助线及运用繁重的定理、公理等进行推理的思维过程，在立体几何中求空间面，空间距离及处理垂直面关系显得尤为方便。
2.我们知道这样一个问题，直角坐标系中的任一个点都可用它的横、纵坐标来确定，同样，平面内的任一向量也可用一对不共线的向量来表示.
最新版高中数学。
31平面向量基本定理课件苏教必修4
成 a 1e1 2 e2 的形式，我们称它为向
量的分解.
当 e1, e2 相互垂直时，就称为向量 的正交分解.
四、数学应用
学生自学课本P71页
例1如图 ABCD 的对角线 AC和 BD 交于 点M，AB a, AD b, 试用基底 a,b 表示
MC, MA, MB 和 MD .
D
思考:
解决这类问题的 A 关Байду номын сангаас是什么?
平面向量基本定理
江苏省海安高级中学 高一数学备课组
一、问题情境
v
一、问题情境 (一)火箭飞行
火箭在飞行过程中的某一时刻,速度可 以分解成竖直向上和水平向前的两个分速
度.从这个例子当中，我们看到一个速度可 以用两个不共线方向的速度来表示.
平面内的任一向量可用两个不共线 的向量表示.
(二) 操作实验
实验步骤: (1)两个同学同时向两个不同的方向拉
橡皮筋,使它的下端点与点o重合,画出此时
拉力的方向. (2) 竖直向下拉橡皮筋,使它的下端点
与点o重合,画出此时拉力的方向.
实验结论: 平面内任意两个不共线向量的和
总可以表示一个向量.
结论:
(1) 平面内的任一向量可用两个不共线的 向量表示.
(2)平面内任意两个不共线向量的和总可 以表示一个向量.
C M
B
例2、 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且
AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点,先在图中
确定一组基底,然后把向量 MN 用这组基底
表示出来.
DM C
A
N
B
五、质疑反思
一个平面向量的基底有多少组？
六、回顾小结
1、平面向量基本定理内容 2、对定理的理解
量的分解.
当 e1, e2 相互垂直时，就称为向量 的正交分解.
四、数学应用
学生自学课本P71页
例1如图 ABCD 的对角线 AC和 BD 交于 点M，AB a, AD b, 试用基底 a,b 表示
MC, MA, MB 和 MD .
D
思考:
解决这类问题的 A 关Байду номын сангаас是什么?
平面向量基本定理
江苏省海安高级中学 高一数学备课组
一、问题情境
v
一、问题情境 (一)火箭飞行
火箭在飞行过程中的某一时刻,速度可 以分解成竖直向上和水平向前的两个分速
度.从这个例子当中，我们看到一个速度可 以用两个不共线方向的速度来表示.
平面内的任一向量可用两个不共线 的向量表示.
(二) 操作实验
实验步骤: (1)两个同学同时向两个不同的方向拉
橡皮筋,使它的下端点与点o重合,画出此时
拉力的方向. (2) 竖直向下拉橡皮筋,使它的下端点
与点o重合,画出此时拉力的方向.
实验结论: 平面内任意两个不共线向量的和
总可以表示一个向量.
结论:
(1) 平面内的任一向量可用两个不共线的 向量表示.
(2)平面内任意两个不共线向量的和总可 以表示一个向量.
C M
B
例2、 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且
AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点,先在图中
确定一组基底,然后把向量 MN 用这组基底
表示出来.
DM C
A
N
B
五、质疑反思
一个平面向量的基底有多少组？
六、回顾小结
1、平面向量基本定理内容 2、对定理的理解
高中数学苏教版必修四《2.3.1 平面向量基本定理》课件
审题指导 本题考查了平面向量基本定理，表示向量，向量共 线的判定与性质，以及向量的线性运算等知识．
∴λ12b＋12c－μ23c－b＝b. 整理得12λ＋μb＋12λ－23μc＝b.
(10 分)
∵b、c 不共线，∴1212λλ－＋μ23＝ μ＝1， 0，
解得λμ＝＝4535，，
(12 分)
【题后反思】 用向量解决平面几何的问题时，常选取两个不 共线的向量作为基底，将相关向量用基底表示，进行向量的线性 运算求解．
由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足A→E＝nA→M＋(1－n)A→C ＝12na＋(1－n)b.所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b，
由于 a，b 为基底，所以113－ m＝m＝ 1－12nn， ，
解得mn＝＝4535，，
所以
A→E＝25a＋15b.
规律方法 将两个不共线的向量都作为基底表示其他向量， 基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不 断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或 方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
么对于这一平面内的 任一 向量 a， 有且只有一对实数 λ1，λ2，
使 a＝ λ1e1＋λ2e2
.
(2)基底：把 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底．
2．正交分解 一个平面向量用一组基底 e1，e2 表示成 a＝λ1e1＋λ2e2 的形式， 我们称它为向量 a 的 分解 ，当 e1，e2 所在直线互相 垂直 时 ， 就称为向量的正交分解． 试一试：如何说明平面向量基本定理中 λ1，λ2 的唯一性？ 提示 平移向量 a，e1，e2，使它们共起点，以 a 为对角线．在 e1，e2 方向上作平行四边形，则这个平行四边形是唯一的．因此 a 在 e1，e2 案 ③
∴λ12b＋12c－μ23c－b＝b. 整理得12λ＋μb＋12λ－23μc＝b.
(10 分)
∵b、c 不共线，∴1212λλ－＋μ23＝ μ＝1， 0，
解得λμ＝＝4535，，
(12 分)
【题后反思】 用向量解决平面几何的问题时，常选取两个不 共线的向量作为基底，将相关向量用基底表示，进行向量的线性 运算求解．
由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足A→E＝nA→M＋(1－n)A→C ＝12na＋(1－n)b.所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b，
由于 a，b 为基底，所以113－ m＝m＝ 1－12nn， ，
解得mn＝＝4535，，
所以
A→E＝25a＋15b.
规律方法 将两个不共线的向量都作为基底表示其他向量， 基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不 断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或 方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
么对于这一平面内的 任一 向量 a， 有且只有一对实数 λ1，λ2，
使 a＝ λ1e1＋λ2e2
.
(2)基底：把 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底．
2．正交分解 一个平面向量用一组基底 e1，e2 表示成 a＝λ1e1＋λ2e2 的形式， 我们称它为向量 a 的 分解 ，当 e1，e2 所在直线互相 垂直 时 ， 就称为向量的正交分解． 试一试：如何说明平面向量基本定理中 λ1，λ2 的唯一性？ 提示 平移向量 a，e1，e2，使它们共起点，以 a 为对角线．在 e1，e2 方向上作平行四边形，则这个平行四边形是唯一的．因此 a 在 e1，e2 案 ③
2015-2016学年高一数学苏教版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理2
（可以不同，也可以相同）
F
M
C
OC = OF + OE
OC = 2OA + OE A B a
OC = 2OB + ON
O
N
E
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e1 + 2e2 . 况会是怎样？
特别的，若a与 e（1 e2）共线，则有
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D
E
C
A
F
B
解：设AB= a,AD= b.
E、F分别是DC和
D
E
C
AB的中点,
AE=
=
AD+ DE b+ 1 a A
F
B
CF=
2
CB+ BF
=
-b
-
1 2
a
AE= - CF
AE与CF共线，又无公共点
AE,CF平行.
思考
设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。
找到表示一个平面所有向量的一组基
底（不共线向量 e1与 e2），从而将 问题转化为关于 e1、e2 的相应运算。
总结：
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
第2章 平面向量
2.3.1 平面向量基本定理
高中数学苏教版必修4课件：第二章 平面向量 2.3.1
2．如图 2-3-6 所示，△ABC 中，若 D，E，F 依次是 AB 的四等分点，则以C→B ＝e1，C→A＝e2 为基底时，C→F＝________.
图 2-3-6
【解析】 C→B＝e1，C→A＝e2，∴A→B＝e1－e2. ∵A→F＝34A→B，∴A→F＝34(e1－e2)， ∴C→F＝C→A＋A→F＝e2＋34(e1－e2)＝34e1＋14e2. 【答案】 34e1＋14e2
【自主解答】 由题意，知 e1，e2 不共线，易知②中，3e1－4e2＝12(6e1－8e2)， 即 3e1－4e2 与 6e1－8e2 共线，
∴②不能作基底．⑤中，2e1－15e2＝2e1－110e2， ∴2e1－15e2 与 e1－110e2 共线，不能作基底． 【答案】 ②⑤
向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若 e1，e2 是 基底，则必有 e1≠0，e2≠0，且 e1 与 e2 不共线，如 0 与 e1，e1 与 2e1，e1＋e2 与 2(e1＋e2)等均不能构成基底．
3．向量 a 在基底{e1，e2}下可以表示为 a＝2e1＋3e2，若 a 在基底{e1＋e2， e1－e2}下可表示为 a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则 λ＝________，μ＝________.
【解析】 由条件可知λλ＋ －μμ＝ ＝23， ，
解得 λμ＝＝52－，12.
∴→AI＝λ12a＋b＝2λa＋λb， 又→AI＝A→D＋D→I＝b＋μ(a－b)＝μa＋(1－μ)b，
故2λ＝μ， λ＝1－μ，
∴32λ＝1，∴λ＝23.
∴AI∶IH＝2∶1.
[构建·体系]
1．对于下列说法中： ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 底； ③零向量不可作为基底中的向量． 其中正确的说法是________． 【解析】 由平面向量基本定理直接就可推知②③正确． 【答案】 ②③
2019-2020学年苏教版必修4 2.3.1 平面向量基本定理 课件(37张)
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
栏目 导引
第2章 平面向量
3．如图，设点 P，Q 是线段 AB 的三等分点，若O→A＝a，O→B＝ b，则O→P＝________，O→Q＝________(用 a，b 表示)．
栏目 导引
解析：O→P＝A→P－A→O＝13A→B＋O→A ＝13(O→B－O→A)＋O→A＝13O→B＋23O→A ＝13b＋23a，O→Q＝A→Q－A→O＝23A→B＋O→A ＝23(O→B－O→A)＋O→A＝23O→B＋13O→A ＝13a＋23b. 答案：13b＋23a 13a＋23b
栏目 导引
第2章 平面向量
向量正交分解在物理学中的应用 如图所示，用绳子 AC 和 BC 吊一重 物，绳子与垂直方向夹角分别为 60°和 30°，已知绳子 AC 和 BC 所能承受的最大 拉力分别为 80 N 和 150 N，那么重物的重 力的大小应不超过多少？
栏目 导引
第2章 平面向量
【解】 设重物的重力为 G，如图所示可知C→B方向上的力的
栏目 导引
第2章 平面向量
解：在矩形 OACB 中，O→C＝O→A＋O→B，O→C＝λO→E＋μO→F＝λ(O→A ＋A→E)＋μ(O→B＋B→F)＝λO→A＋13O→B＋μO→B＋13O→A＝3λ＋3 μO→A ＋3μ3＋λO→B， 所以3λ＋3 μ＝1， 3μ3＋λ＝1， 所以 λ＝μ＝34.
本部分内容讲解结束
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栏目 导引
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第2章 平面向量
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底．( × ) (2)若 e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，则 λ1e1＋λ2e2(λ1， λ2 为实数)可以表示该平面内所有向量．( √ ) (3)若 ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则 a＝c，b＝d.( × )
苏教版高中数学必修四课件十一2.3.1平面向量基本定理
（1）我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底（base） （2）一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形 式，我们称它为向量的分解． （3）当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解；
例1
且如图AB所示a ，，平AD行四b，边用形基AB底CDa、的bC表两示条M对A、角M线B、相MC交、于MD点?MB，
e2 e1
B
e2
A
O e1
M
结论 在同一平面内有两个不共线的向量e1，e2，给定向量a，
那么向量a，存在一对实数λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2．
即： 平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示
平面向量基本定理
基底
如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对 于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a=λ1e1+λ2e2．
例3：
如图, 质量为m的物体静止地放在斜面上,
斜面与水平面的夹角为 , 求斜面对物体的摩
擦力f .
P f
θ W
平面向量基本定理
一维直线
a = e
二维平面
a = 1e1 2e2
思想有多远，就能走多远！
小结：
1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性
练习
3的 底.设中a，P点，b，表QB,示分并C向别且 量是aa,，D四Ab边不 形b是的共对线角向线量PAQ，C试与用BD基
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2.3.1平面向量的基本定理
情景 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解 成竖直向上和水平向前的两个分速度
(教师用书)高中数学 2.3.1 平面向量基本定理配套课件 苏教版必修4
→ → → → 1→ ∴OM＝OB＋BM＝OB＋ BC 3 5 → 1→ 1 ＝OB＋ BA＝ a＋ b. 6 6 6 → 又OD＝a＋b，
→ → → 1→ 1→ ON＝OC＋CN＝ OD＋ OD 2 6 2→ 2 2 ＝ OD＝ a＋ b， 3 3 3 → → → ∴MN＝ON－OM 2 2 1 5 1 1 ＝ a＋ b－ a－ b＝ a－ b. 3 3 6 6 2 6
【思路探究】 运用基底概念与平面向量基本定理进行 判断．
【自主解答】 (1)正确．
μ 若 λ≠0，则 e1＝－ λ e2，从而向量 e1，e2 共线，这与 e1， e2 不共线相矛盾，同理可说明 μ＝0. (2)不正确． 由平面向量基本定理可知 λ，μ 惟一确定．
(3)正确． 平面 α 内的任一向量 a 可表示成 λe1＋μe2 的形式，反之 也成立． (4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只有 当 λ 和 μ 确定后，其和向量 λe1＋μe2 才惟一确定．
2.3 2．3.1
向量的坐标表示 平面向量基本定理
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握平面向量的基本定理， 能用两个不共线向量表示 一个向量或一个向量分解为两个向量． (2)能用平面向量的基本定理解决一些简单的几何问题．
2．过程与方法 由概念的形成过程和在解题中的作用，进一步体验数形 结合思想的指导作用． 3．情感、态度与价值观 (1)通过学习平面向量基本定理和向量的坐标表示， 实现 几何与代数的完美结合，使学生明白知识与知识、事物之间 的相互联系和相互转化． (2)通过例题及练习， 体会向量语言及运算在解决数学问 题和实际问题中的工具作用．
1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来 表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的 向量的和的形式． 2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若 e1， e2 是基底，则必有 e1≠0，e2≠0，且 e1 与 e2 不共线，如 0 与 e1，e1 与 2e1，e1＋e2 与 2(e1＋e2)等均不能构成基底．
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问题导学
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迁移与应用 e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基底,则下列各组向量中,不能 作为一组基底的序号是
1 1 e2,e1- e2. 5 10
.
①e1+e2,e1-e2;②3e1-2e2,4e2-6e1;③e1+2e2,e2+2e1;④e2,e1+e2;⑤2e1答案:②⑤ 解析:由题意,知 e1,e2 不共线,易知②中,4e2-6e1=-2(3e1-2e2),即 3e1-
问题导学
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一、平面向量基本定理的理解
活动与探究 如果 e1,e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,λ,μ 是实数,判断下列说 法是否正确,并说明理由. (1)若 λ,μ 满足 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0; (2)对于平面 α 内任意一个向量 a,使得 a=λe1+μe2 成立的实数 λ,μ 有无数对; (3)线性组合 λe1+μe2 可以表示平面 α 内的所有向量; (4)当 λ,μ 取不同的值时,向量 λe1+μe2 可能表示同一向量. 思路分析:运用基底概念与平面向量基本定理进行判断 .
预习交流 1
基底中的向量 e1,e2 可以为零向量吗? 提示:不可以.倘若向量 e1,e2 中有一个向量为零向量,那么两向量必 为共线向量,这与基底的定义相矛盾,故基底中的向量 e1,e2 均不可以为 零向量.
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预习导引
预习交流 2
在表示向量时,基底唯一吗? 提示:不唯一,同一平面可以有无数组不同的基底.因此,对不同的基 底,同一向量的分解是不唯一的,但基底给定时,向量的表示方法唯一.
问题导学
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二、用基底表示向量
活动与探究
如图所示,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 ������������=a,������������=b,用 a,b 表示������������, ������������ , ������������ , ������������ . 思路分析:题目条件显示:四边形 ABCD 是平行四边形且 a,b 是基底. 依据平行四边形的性质可知点 M 平分两条对角线,结合向量的平行四 边形法则及向量的线性运算可表示待求向量.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
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迁移与应用 1.已知 ABCDEF 是正六边形,且������������ =a,������������ =b,则������������ = 答案: (a+b) 解析:������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ =b+a, 又∵ ������������=2������������ ,∴ ������������ = (a+b).
1 2 1 2
.
问题导学
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2.已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若 ������������=a,������������ =b,用 a,b 表示������������ , ������������ , ������������ .
目标导航
预习导引
2.平面向量的正交分解 一个平面向量用一组基底 e1,e2 表示成 a=λ1e1+λ2e2 的形式,我们称 它为向量 a 的分解.当 e1,e2 所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量 a 的正交分解.
预习交流 3
(1)下列说法中,正确的是 量的基底; ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底; ③零向量不可作为基底中的向量. (2)在正方形 ABCD 中,以������������, ������������ 为基底,则向量������������ 可分解 为 . 提示:(1)②③ (2)������������ + ������������ . ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向
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解:(1)正确. 若 λ≠0,则 e1=- e2,从而向量 e1,e2 共线,这与 e1,e2 不共线相矛盾,同 理可说明 μ=0. (2)不正确. 由平面向量基本定理可知 λ,μ 唯一确定. (3)正确. 平面 α 内的任一向量 a 可表示成 λe1+μe2 的形式,反之也成立. (4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知,只有当 λ 和 μ 确定 后,其和向量 λe1+μe2 才唯一确定.
2.3
向量的坐标表示
2.3.1
平面向量基本定理
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预习导引
学习目标 重点难点
1.能说出基底的含义,以及正交分解的意义. 2.能记住平面向量基本定理. 重点:平面向量基本定理的理解与应用. 难点:基底的含义,正交分解的意义.
目标导航
Hale Waihona Puke 预习导引1.平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一 平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. (2)基底:不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.
2e2 与 4e2-6e1 共线, 故②不能作基底. ⑤中 2e1- e2=2 ������1 故⑤不能作基底.
1 5 1 ������ 10 2
,即 2e1- e2 与 e1- e2 共线,
1 5
1 10
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1.对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示;反之, 平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式. 2.向量的基底是指平面内不共线的向量,事实上,若 e1,e2 是基底,则 必有 e1≠0,e2≠0,且 e1 与 e2 不共线.
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解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,且������������=a,������������ =b, ∴ ������������ =a+b,������������ =b-a. 又∵ 点 M 平分两条对角线 AC,BD, ∴ ������������ = (a+b),������������=- (a+b). ∴ ������������ = ������������ = (b-a), ������������ =-������������ =- (b-a).
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迁移与应用 e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基底,则下列各组向量中,不能 作为一组基底的序号是
1 1 e2,e1- e2. 5 10
.
①e1+e2,e1-e2;②3e1-2e2,4e2-6e1;③e1+2e2,e2+2e1;④e2,e1+e2;⑤2e1答案:②⑤ 解析:由题意,知 e1,e2 不共线,易知②中,4e2-6e1=-2(3e1-2e2),即 3e1-
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一、平面向量基本定理的理解
活动与探究 如果 e1,e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,λ,μ 是实数,判断下列说 法是否正确,并说明理由. (1)若 λ,μ 满足 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0; (2)对于平面 α 内任意一个向量 a,使得 a=λe1+μe2 成立的实数 λ,μ 有无数对; (3)线性组合 λe1+μe2 可以表示平面 α 内的所有向量; (4)当 λ,μ 取不同的值时,向量 λe1+μe2 可能表示同一向量. 思路分析:运用基底概念与平面向量基本定理进行判断 .
预习交流 1
基底中的向量 e1,e2 可以为零向量吗? 提示:不可以.倘若向量 e1,e2 中有一个向量为零向量,那么两向量必 为共线向量,这与基底的定义相矛盾,故基底中的向量 e1,e2 均不可以为 零向量.
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预习交流 2
在表示向量时,基底唯一吗? 提示:不唯一,同一平面可以有无数组不同的基底.因此,对不同的基 底,同一向量的分解是不唯一的,但基底给定时,向量的表示方法唯一.
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二、用基底表示向量
活动与探究
如图所示,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 ������������=a,������������=b,用 a,b 表示������������, ������������ , ������������ , ������������ . 思路分析:题目条件显示:四边形 ABCD 是平行四边形且 a,b 是基底. 依据平行四边形的性质可知点 M 平分两条对角线,结合向量的平行四 边形法则及向量的线性运算可表示待求向量.
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迁移与应用 1.已知 ABCDEF 是正六边形,且������������ =a,������������ =b,则������������ = 答案: (a+b) 解析:������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ =b+a, 又∵ ������������=2������������ ,∴ ������������ = (a+b).
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.
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2.已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若 ������������=a,������������ =b,用 a,b 表示������������ , ������������ , ������������ .
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2.平面向量的正交分解 一个平面向量用一组基底 e1,e2 表示成 a=λ1e1+λ2e2 的形式,我们称 它为向量 a 的分解.当 e1,e2 所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量 a 的正交分解.
预习交流 3
(1)下列说法中,正确的是 量的基底; ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底; ③零向量不可作为基底中的向量. (2)在正方形 ABCD 中,以������������, ������������ 为基底,则向量������������ 可分解 为 . 提示:(1)②③ (2)������������ + ������������ . ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向
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解:(1)正确. 若 λ≠0,则 e1=- e2,从而向量 e1,e2 共线,这与 e1,e2 不共线相矛盾,同 理可说明 μ=0. (2)不正确. 由平面向量基本定理可知 λ,μ 唯一确定. (3)正确. 平面 α 内的任一向量 a 可表示成 λe1+μe2 的形式,反之也成立. (4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知,只有当 λ 和 μ 确定 后,其和向量 λe1+μe2 才唯一确定.
2.3
向量的坐标表示
2.3.1
平面向量基本定理
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学习目标 重点难点
1.能说出基底的含义,以及正交分解的意义. 2.能记住平面向量基本定理. 重点:平面向量基本定理的理解与应用. 难点:基底的含义,正交分解的意义.
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Hale Waihona Puke 预习导引1.平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一 平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. (2)基底:不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.
2e2 与 4e2-6e1 共线, 故②不能作基底. ⑤中 2e1- e2=2 ������1 故⑤不能作基底.
1 5 1 ������ 10 2
,即 2e1- e2 与 e1- e2 共线,
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1 10
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1.对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示;反之, 平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式. 2.向量的基底是指平面内不共线的向量,事实上,若 e1,e2 是基底,则 必有 e1≠0,e2≠0,且 e1 与 e2 不共线.
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解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,且������������=a,������������ =b, ∴ ������������ =a+b,������������ =b-a. 又∵ 点 M 平分两条对角线 AC,BD, ∴ ������������ = (a+b),������������=- (a+b). ∴ ������������ = ������������ = (b-a), ������������ =-������������ =- (b-a).