高中数学必修四第一章 (三)正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
经典：高中数学必修4-第一章三角函数课件函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(2) (3)
连描y线点((用定光出滑五的个曲关线键顺点次) 连结五个点)
-
1-
ycosx
图象的最高点
(0,1) (2,1)
与x轴的交点
-1
o
6
-
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点 (,1)
-1 -
复习回顾
ysixn ,x [0,2]的图象
关键点： (0,0), ( ,1), (,0), ( 3 ,-1), (2,0) .
作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当>1时)或伸长(当0<<1时) 倍(纵坐标不变) 而得到的。
到原来的
1
3.y=Asinx与y=sinx图象的关系
例3、作函数
y2sinx 及
y 1 sin x 2
的简图.
解：列表
描点作图
x
0
2
π
3 2
2π
y
2
sinx 0 1 0 -1 0 1
y=sinx
1
1
y= sinx
o
2
-１
2
2 x
3
2
-2
三、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作 是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1 时 ）或缩短（当0＜A＜1时 ）到原来的A倍（横坐 标不变）而得到的。y=Asinx， x∈R的值域是［-A， A］，最大值是A，最小值是-A。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
1 2
参数ω对周期的影响 随着ω的增大，函数y=asin(ωx+φ)的周期会减 小；反之，随着ω的减小，函数的周期会增大。
参数φ对相位的影响 当φ增加时，函数图像会沿x轴向右移动；反之， 当φ减小时，图像会向左移动。
3
参数a对振幅的影响
a的大小决定了函数图像的振幅。当a增大时，图 像的振幅增大；反之，当a减小时，振幅减小。
使用数学软件绘制图像
MATLAB
MATLAB是一款强大的数学软件，可以用来绘制各种复杂的函数图像，包括函数 y=asin(ωx+φ)。使用MATLAB，用户可以自定义ω和φ的值，观察图像的变化。
Python (Matplotlib)
Matplotlib是Python的一个绘图库，也可以用来绘制函数y=asin(ωx+φ)。通过 Matplotlib，用户可以轻松地定制图像的样式和颜色。
在通信系统中，信号的传输通常会受到噪声和其他干扰的影响。利用函数 y=asin(ωx+φ)进行信号调制可以提高信号的抗干扰能力和传输质量。例如，在调 频（FM）通信中，调制信号的频率会随着声音信号的变化而变化，解调后可以得到 还原的声音信号。
04 函数y=asin(ωx+φ)的变 种形式
多参数变化的影响
函数图像的基本特征
周期性
极值点
由于正弦函数的周期性，函数 y=asin(ωx+φ)的图像也具有周期性， 周期取决于ω的取值。
函数图像在每个周期内有两个极值点， 极值点的位置和高度取决于参数ω、 φ的取值。
对称性
函数图像具有对称性，包括轴对称和 中心对称，具体对称轴和对称中心取 决于参数φ的取值。
02 函数y=asin(ωx+φ)的图 像绘制
最新-2018高中数学 第一章133函数y=Asin(ωxφ)的图象课件 必修4 精品
互动探究 将本例中原函数改为y＝3sin(x ＋)，x∈R，回答同样的问题．
解：列表：
描点画图，如图．
求三角函数的解析式
解决这类问题的关键在于确定参数 A，ω，φ 的 值．其方法是在观察图象的基础上，利用待定系 数法求解，具体地：①A：一般可由图象的最大与 最小值来确定；②ω：一般由 T＝2ωπ来确定；③φ： 取特殊点代入所求式子求 φ 值．
2 ． 函 数 y ＝ 2sinx＋1 的 定 义 域 为 __[_－__π6_＋__2_k_π_，__7_6π_＋__2_k_π_]_(_k_∈__Z_)_______，值域为
_[_0_，___3_]___．
知新益能
2．A、ω、φ 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)A 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
例2 右图是函数y＝Asin(ωx＋ φ)，其中A＞0，ω＞0的图象， 试确定A、ω、φ的值，并写出其 一个函数解析式．
【思路点拨】 由最高点确定 A，由周期确定 ω，
由(π3，0)确定 φ.
【解】 法一：(逐一定参法)由图象知振幅 A＝ 3， 又 T＝56π－(－π6)＝π，∴ω＝2Tπ＝2.由点(－π6， 0)，令－π6·2＋φ＝0，得 φ＝π3，∴y＝3sin(2x＋π3)．
方法感悟
1．三角函数图象的变换，重点在于平移：沿x 轴平移，按“左加右减”法则；沿y轴平移，按 “上加下减”法则． 无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言的，即图象变换要看“变量”起多大变化， 而不是角变化多少．
2．对于 φ 的求法，A，ω，φ 三个量中初相 φ 的确 定是一个难点，除使用初始点(－ωφ ，0)外，还可利 用五点法中其他点确定初相 φ，即在五点中找两个
新课标人教必修4第一章三角函数第5节y=Asin(ωx+φ)的图象
x-
4
3 4
5 4
4
0
0
2
0
7 4 3 2
9 4
2
0
sin( x - ) 4
1
-1
描点作图:
2
y 1
4 2
3 4
7 4
9 4
2
O
-1
5 4
x
y sin( x - ) 4
y
2
y sin x
7 6
1
3
3 2
5 4
7 4
9 4
§1.5 函数 y A sin( x ) 的图象
一. 情境设置
弹簧挂着的小球作上下运动，它在t时刻与 相对于平衡位置的高度h之间的关系.
y 5 x
O
0.01 0.02
0.03
-5
其函数解析式形如
y A sin( x )
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动？如果从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2
O
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
作函数y=3sin(2x+
3
)的图象，
并观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
高中数学(人教A版必修4)课件1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像
变式训练 1
1 用“五点法”作出函数 y＝ cos2x 的简图． 2
解
列表 2x x 1 2cos2x 0 0 1 2 π 2 π 4 0 π π 2 1 －2 3 π 2 3 π 4 0 2π π 1 2
描点连线，如下图所示．
将这个函数在一个周期内的图像向左、右扩展，即得 y 1 ＝2cos2x 的图像．
π y＝sinx－3的图像， 再把 π y＝sinx－3的图像上各点的横坐标 1 π y＝sin2x－3的图像，
伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 最后把
1 π y＝sin2x－3的图像上各点纵坐标伸长到原来的 1 π y＝2sin2x－3的图像．
解 列表 1 π 2x＋6 x
1 π 2sin2x＋6
0 π － 3 0
π 2 2 π 3 2
π 5 π 3 0
3 2π 8 π 3 －2
2π 11 π 3 0
描点连线，如下图所示．
将这个函数在一个周期内的图像向左、右两边平移即得
1 π y＝2sin2x＋6的图像．
特别提醒：①注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别； ②在作图像时，提倡先相位变换再周期变换．不论哪一 种变换，都是对字母 x 而言的，即看“变量”起多大变化， 而不是“角变化”多少.
典例剖析
类型一 例1
作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
1 π 用“五点法”画出y＝2sin2x＋6的图像．
第一章
三角函数
§1.5 函数 y＝Asin(ω x＋φ )的图像
课前热身
名师讲解
典例剖析
考题精选
技能提升
课前热身
1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的两种画法 π 3π (1)五点法：①列表(ωx＋φ 通常取 0， ，π， ，2π 这五 2 2 个值)；②描点；③________.
最新人教版高中数学必修4第一章函数y=asin(ωx+φ)的图象
π 6
的图象;
π 6 1 2
的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,而纵坐 的图象;
π + 6
标不变,可以得到函数 y=sin 2������ +
1 (3)将函数 y=sin 2������ 的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的 , 2 1 π 而横坐标不变,可以得到函数 y= sin 2������ + 的图象; 2 6 1 π 5 (4)再把得到的 y= sin 2������ + 的图象向上平移 个单位长度,就能 2 6 4 1 π 5 得到 y= sin 2������ + + 的图象. 2 6 4
章末整合提升
问题导学 当堂检测
知识网络构建 课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
专题归纳整合 课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
的 ,而纵坐标不变,得到函数 y=sin2x 的图象; (2)将 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度,可以得到函数 y=sin 2������ +
1.5
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
章末整合提升
目标导航 预习引导
知识网络构建 课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
专题归纳整合 课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
学目标
1.会用五点法画出 y=Asin(ωx+φ)的简图; 2.能够利用图象变换画出 y=Asin(ωx+φ)的简图; 3.知道 y=Asin(ωx+φ)的实际意义,并会用其性质解题. 重点:用五点法画出 y=Asin(ωx+φ)的简图; 难点:用图象变换画出 y=Asin(ωx+φ)的简图.
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人大附中分校高一数学导学学案
题目 1.3.1正弦型函数y =A sin (ωx +φ)的图象
课型 新授课 教材 数学B 版必修4§1.3.1
学 习 要 求 1．理解振幅、周期、频率、初相的定义；
2．理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律;
3．会用“五点法”画出y =A sin(ωx +φ)的简图，明确A 、ω和φ对函数图象的影响作用；
重 点 难 点
重点：熟练地对y ＝sin x 进行振幅、周期和相位变换。
难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。
导 学 学 案
一．自学课本P44~45，通过观察、考虑观缆车，得出振幅、周期、频率、初相的概念。
在函数)sin(φω+=t R y 中，点P 旋转一周所需要的时间ω
π
2=T ，叫做点P 的转动周期。
在1秒内，点P 转动的周数π
ω
21=
=
T f ，叫做转动的频率。
0OP 与x 轴正方向的夹角φ叫做初相。
二．归纳总结：
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中0,0>>ωA 表示一个振动量时，
A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅； 往复一次所需的时间ω
π
2=
T ，称为这个振动的周期；
单位时间内往复振动的次数π
ω
21=
=
T f ，称为振动的频率； φω+x 称为相位； 0=x 时的相位φ称为初相。
三．例题：
例1．在同一坐标系中，画出函数y =2sin x x ∈R ；y =2
1
sin x x ∈R 的图象（简图） （比较它们的振幅的大小与A 的关系）
y =sin x -1
12π
π
y
x
O
结论：一般地，函数x A y sin =的值域是[]
,,A A -最大值是A ，最小值是A -，由此可知，A 的大
小，反映曲线x A y sin =波动幅度的大小。
因此A 也称为振幅。