第三章光谱的线宽和线形
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1.4 光谱线增宽
当
1
0
1
4
时， fN ( )
fN (1)
fN ( 2 )
2
1 2
fN ( 0 )
因而洛仑兹半宽度即自然增宽为
N
2
1
1
2
一般原子发光平均寿命为10-5 -10-8 秒，
自然增宽在十分之几兆到几百兆
fN
(
)
(
N
0)2
2 (
N
2)2
几百兆的谱宽是什么概念？
图（1-13）洛仑兹线型函数
思考：钠光谱中两条黄色谱 线的波长分别为589.0nm和 589.6nm，计算谱宽。11
这两种线型函数都是“钟形”曲线，但它 们大不相同
fD
(0 )
2 D
ln 2
1/ 2
0.939 D
f
H
(
0
)
2
H
0.637
H
实际的光谱线型是均匀增宽线型和非均匀增宽线型的迭加，是“综合 增宽”，一般非均匀增宽占主导，因此出射激光一般为高斯光束。
25
线宽数量级(He-Ne)
N:自然线宽 10MHz L:碰撞线宽 102MHz D:多普勒线宽 103MHz
At A D V
v
ρ为光能密度
I
c
29
介质中的受激辐射与吸收
厚度为dz单位截面的一薄层，在dt时间内由于介质吸收而 减少的光子数密度为
dN1 n1B12(z) f ( )dt
dt时间内由于受激辐射增加的光子数密度为
dN2 n2B21(z) f ( )dt
光穿过dz介质后净增加的光子数密度为
dN dN1 dN2 (n2B21 n1B12 )(z) f ( )dt
1.4 光谱线增宽
At A D V
v
ρ为光能密度
I
c
29
介质中的受激辐射与吸收
厚度为dz单位截面的一薄层，在dt时间内由于介质吸收而 减少的光子数密度为
dN1 n1B12(z) f ( )dt
dt时间内由于受激辐射增加的光子数密度为
dN2 n2B21(z) f ( )dt
光穿过dz介质后净增加的光子数密度为
dN dN1 dN2 (n2B21 n1B12 )(z) f ( )dt
I(0)
I (z)
I(z)+dI
z z +d z
z
图1-20 光穿过厚度为dz的介质的
情况
30
光能密度微分方程
dN dN1 dN2 (n2B21 n1B12 )(z) f ( )dt
又因为
dt
dz v
c
dz而且g1B12
g 2 B21
(1-40)
净增加的光子数密度可以表示为
dN
(n2
g2 g1
介质中光强与单色能量密度的关系
受激辐射与吸收时粒子数密度变化和单色能量密度的关系， 可以用来研究介质中单色能量密度的变化。为了得到光强 的变化规律，需要进一步建立光强与单色能量密度的关系。 考虑平行光通过面积为A，厚度为D的情况，光强为单位 时间内单位面积上通过的总光能
I E E E v c
光的多普勒效应
纵向多普勒效应：设光源与接收器在两者连线方向的相对 速度为v，则光的频率为
1 1
v v
c
c
0
➢ 式中 0 为光源与接收器相对静止时的频率。一般情况下v
远小于真空光速，并且光源与接收器相对趋近时，v取正
值；两者背离时，v取负值。上式取一级近似可得
线宽脉宽公式
线宽脉宽公式
线宽脉宽公式是用来描述光谱线形的数学公式。
在光谱学中，线宽和脉宽是用来描述谱线展宽的两个指标。
线宽是指谱线的半高宽，即谱线强度为峰值一半时，对应的频率差值；脉宽则是指谱线的全宽度，即谱线强度为峰值时，对应的频率差值。
线宽和脉宽是光谱测量中重要的参量，可以反映样品的物理性质。
在实际的光谱测量中，线宽和脉宽的计算可以采用多种公式，最常见的是高斯函数和洛伦兹函数。
高斯函数是一种钟形曲线，其形式类似于正态分布，可以较好地描述窄线宽的谱线；而洛伦兹函数则是一种类似于柯西分布的曲线，它可以更好地描述宽线宽的谱线。
线宽和脉宽的计算公式如下：
对于高斯函数：
线宽 w = 2√ln2 σ
脉宽Δν = 2√ln2 σ
其中，σ为高斯函数的标准差。
对于洛伦兹函数：
线宽 w = γ
脉宽Δν = 2γ
其中，γ为洛伦兹函数的半峰宽。
需要注意的是，线宽和脉宽的计算公式只是一种近似方法，实际的光谱线形可能受到多种因素影响，如分子间相互作用、温度、压力等因素，因此需要根据具体情况进行修正和适当调整。
4光谱线及谱线展宽-3
谱线宽度与单色性：
或v
单色性
越小，单色性越好
我们常用相对量表示光谱的单色性：
v c
d
cdv v
2
c/v
dv
v
单色性
d
d
dv v
d
dv 或 v
相干长度与单 色性的关系
lc c c c / v
d
dv c v lc c lc
v v0[1 (Vz / c )] v0
即运动原子的中心频率不再是v0 ，而是v’0
Vz v'0 v0 (1 ) c
讨论：
10、发光原子的运动使其发出的中心光频率由v0→ v ，变换式为
v v0 (1 Vz / c )
பைடு நூலகம்
相向运动Vz>0
20、接收原子的运动, 使其中心频率由 v0 → v0’，变 换式为 说明： a、原子沿着光传播方向运动时，Vz>0，反之Vz<0 b、频率的变化量由原子的运动速度决定 c、中心频率相同的原子，由于速度不同，产生共 振相互作用的频率也会不同。
2 c m 1 / 2 mc 2 ( v v0 )2 2kTv0 g D (v , v0 ) ( ) e v0 2kT 2kT T 1/ 2 7 v D 2v0 ( 2 ln 2)1 / 2 7.16 10 v0 ( ) mc M
30、gD又可表示为
2 2 ln 2 1 / 2 4 ln 2( v v0 )2 / v D gD ( ) e v D
非均匀加宽为主。
作业
作业
1、为是氦氖激光器的相干长度达到1km，它的 单色性/ 应为多少？氦氖激光器的输 出波长=632.8m
或v
单色性
越小，单色性越好
我们常用相对量表示光谱的单色性：
v c
d
cdv v
2
c/v
dv
v
单色性
d
d
dv v
d
dv 或 v
相干长度与单 色性的关系
lc c c c / v
d
dv c v lc c lc
v v0[1 (Vz / c )] v0
即运动原子的中心频率不再是v0 ，而是v’0
Vz v'0 v0 (1 ) c
讨论：
10、发光原子的运动使其发出的中心光频率由v0→ v ，变换式为
v v0 (1 Vz / c )
பைடு நூலகம்
相向运动Vz>0
20、接收原子的运动, 使其中心频率由 v0 → v0’，变 换式为 说明： a、原子沿着光传播方向运动时，Vz>0，反之Vz<0 b、频率的变化量由原子的运动速度决定 c、中心频率相同的原子，由于速度不同，产生共 振相互作用的频率也会不同。
2 c m 1 / 2 mc 2 ( v v0 )2 2kTv0 g D (v , v0 ) ( ) e v0 2kT 2kT T 1/ 2 7 v D 2v0 ( 2 ln 2)1 / 2 7.16 10 v0 ( ) mc M
30、gD又可表示为
2 2 ln 2 1 / 2 4 ln 2( v v0 )2 / v D gD ( ) e v D
非均匀加宽为主。
作业
作业
1、为是氦氖激光器的相干长度达到1km，它的 单色性/ 应为多少？氦氖激光器的输 出波长=632.8m
激光光谱-01-吸收与发射、线宽与线形
exp-qh
1 z2 exp h
z
k T h
h
exph k
T
1
kT
• 量子化假设，
能量密度
Planck定律
(
)
8
c3
2
h
exph kT1
n
nph
v h
17
吸收，自发发射与受激发射
Einstein系数
N1B12 ( ) N2 B21 ( ) A21
• 从辐射源考察。 • 吸收速率
Ni
N
火焰的线状发射谱。
• 15年后，Fraunhofer对这两个发现进行了系统的研究
– 实验方法的显著改善：用安装在经纬仪上的望远镜进行观测。 – 烛光，发出两条相邻的明亮黄线. – 太阳谱B – H之间，754条暗线，其中350条得到精确测量。在橙和黄
之间，D，双暗线，与烛光中双亮线一致。 – 高质量的光学系统、丝线光栅、刻线光栅(密度321g/mm)：暗线位置
gi Z
e Ei
kT
d dt
P12
B12( )
• 受激发射速率
d dt
P21
B2 1 (
)
g1eE1 kT B12 ( ) g2eE2 kT B21 ( ) A21
( ) A21 B21
g1B12 eh kT 1 g2 B21
• 自发发射速率
Compared with Planck's law,
• 从辐射场考察
模式ν含有q个量子的几率：
•
热平衡时，每一个
p(q) exp-qh
z
kT
模的能量为kT，则 黑体辐射的能量密k
T
1
1
光谱学的基本知识
2、多普勒加宽
3、碰撞加宽
非弹性碰撞展宽洛仑兹线型
弹性碰撞展宽洛仑兹线型弹性和非弹性源自撞展宽洛仑兹线型4、饱和展宽
5、渡越时间展宽
6、均匀和非均匀加宽
参考书
第一章：光谱学的基本知识
1.1：光的发射和吸收
一、吸收、受激发射和自发发射 二、线光谱和连续光谱
1、吸收、受激发射和自发发射
2、线光谱与连续光谱
1.2：光的线宽和线型
一、自然线宽 二、多普勒展宽
三、碰撞展宽（压力展宽）
四、饱和展宽
五、渡越时间展宽
六、均匀展宽和非均匀展宽
1、自然线宽
分子光谱
E
注意到上述方程中的第一和第二项都和电子坐标无关。采用 分离变量处理，得到两个方程：
核运动方程
N
2 2MN
2 N
VNN
Ee (R)N
(R)
EN
(R)
该方程中包含了分子的平动、振动和转动，它 决定了分子的振动光谱和转动光谱。
电子运动方程
电子运动方程决定了分子的电子光谱。
Hˆ(R, r) E(R, r)
Hˆ N N (R) EN N (R)
Hˆ ee (R, r) Eee (R, r)
质心坐标 (扣除体系平动)
球极坐标 (分离转动振动)
单电子独立近似
hˆii (R, ri ) ii (R, ri )
LCAO-MO 如EHMO,HMO等
SCF-MO 如ab-initio等
1.1.2 分子光谱的分布和特征
红
短波红外
外
中红外
线
热红外
1.3~3 微米 3~8 微米 8~14 微米
转动光谱 <10cm-1
远红外
14 微米~1 毫米
分子的总能量主要由以下三项组成
E Ee Er Ev
分子在两个能级之间的跃迁给出 了光谱：
~ 1/ (E2 E1) / ~e ~v ~r
转动光谱：同一振动态内不同转动能级之间跃迁所产生的光
显然，只有当 x mn 、 y mn和 z mn 不全为零时，跃迁才可
能发生，称为跃迁允许，反之，称为跃迁禁阻。
使 x mn 、 y mn 和 z mn 不全为零的条件，称为光谱选律。
光谱选律的确定，还可以借助群论作为工具
1.1.4 线形和线宽
谱线不是线，它有一定的宽度
频率 不同温度下的光谱线宽
光谱仪基础知识概要
第1章衍射光栅：刻划型和全息型衍射光栅由下列两种方法制成：一种是用带钻石刀头的刻划机刻出沟槽的经典方法,另一种是用两束激光形成干涉条纹的全息方法。
（更多信息详见Diffraction Gratings Ruled ＆ Holographic Handbook).经典刻划方法制成的光栅可以是平面的或者是凹面的,每道沟槽互相平行.全息光栅的沟槽可以是均匀平行的或者为优化性能而特别设计的不均匀分布.全息光栅可在平面、球面、超环面以及很多其他类型表面生成.本书提到的规律、方法等对各类不同表面形状的经典刻划光栅和全息光栅均适用，如需区分，本书会特别给出解释。
1。
1 基础公式在介绍基础公式前，有必要简要说明单色光和连续谱。
提示:单色光其光谱宽度无限窄.常见良好的单色光源包括单模激光器和超低压低温光谱校正灯。
这些即为大家所熟知的“线光源"或者“离散线光源”。
提示：连续谱光谱宽度有限,如“白光”。
理论上连续谱应包括所有的波长，但是实际中它往往是全光谱的一段。
有时候一段连续谱可能仅仅是几条线宽为1nm的谱线组成的线状谱。
本书中的公式适用于空气中的情况，即m0=1.因此，l=l0=空气中的波长。
定义单位α —（alpha）入射角度β - （beta）衍射角度k - 衍射阶数整数定义单位n - 刻线密度刻线数每毫米DV- 分离角度µ—折射率无单位λ —真空波长纳米λ0—折射率为µ介质中的波长其中λ0= λ/µ1 nm = 10—6 mm； 1 mm = 10—3 mm； 1 A = 10-7 mm最基础的光栅方程如下:(1-1)在大多数单色仪中，入口狭缝和出口狭缝位置固定,光栅绕其中心旋转。
因此,分离角D V成为常数，由下式决定，（1—2）对于一个给定的波长l，如需求得a和b，光栅方程（1—1)可改写为:(1—3）假定D V值已知，则a和b可通过式(1-2)、(1—3）求出,参看图1.1、1。
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1 2
(-0 )2 (
Normalized
/
2)2
，
0
L(-0 )d
1
Lorentzian
可忽略
Relation between linewidth, decay rate, and lifetime:
n Ai 1/ i n 2 n
0 / 0 Hz
M mole mass/atom number (kg)
R 8.314
“Hot” vs. “Cold”
Cold
1.0
T small
Vp
V
0.8
Hot
T large
V2
0.6
V
0.4
Vp
m
T
V 2 8kT T
m
V 2 3 3kT T
光谱的线宽和线型
自由讨论：
1，有那些函数分布，分别代表什么过程？ 2，影响光吸收的物理因素有哪些? 3，光和原子相互作用有哪些过程？ 4，原子原子碰撞过程中，有哪些相互作用？ 5，光强对原子吸收的影响？
内容：
1，自然线宽 2，Doppler加宽 3，碰撞加宽 4，渡越加宽 5，饱和加宽
线核
线宽
一、Doppler效应 (一级)
第3.2节 Doppler线宽
原子发射 观察者 不动 辐射源 动
相向运动时观察者感觉 辐射场频率升高，反向 时感觉频率降低
原子吸收 观察者 动 辐射源 不动
(原子感受到的光频率) (共振条件 0 = ’ )
原子实际吸收的光频 a L
e (or a ) 0 k 0 kz 0 (1z / c)
半高全宽(FWHM, Full Width at Half Maximum) = 半高宽 = 半宽(half width) = 线宽 (linewidth)。谱线宽度来源自然、多普勒、碰撞、渡越，饱和等
2
-1 ，
( 2 ,1
)
I I0 /2
2
,
c / ,
Energy uncertainty
If considering the ground state:
Natural linewidth
Spontaneous emission Energy uncertainty (lifetime)
i / Ei
一些跃迁谱线的自然线宽
Li D2 Na D2 Rb D2 Cs D2
2
m
V T
速率 vs 速度
Probability
0.2
Maxwell Distribution
0.0
0
100
200
300
400
Velocity
放电中 H L 热管中 Na D2 室温 85Rb D2 冷原子 85Rb D2 热管中 7Li D 冷原子 7Li D 室温 Cs D2 室温 CO2 室温 87Rb 钟跃迁
D
0
D
4
ln
20
p
c
0
c
8kT ln 2 m
Center: G + L Wing: L
Natural profile
L(-0 )
1
2
(-0 )2 (
/
2)2
，
0
L(-0
)d
1
Lorentz 线宽(FWHM):
n = = Ai = 1/i n= n / 2 一般情况 n = (1/I + 1/k)
五、Voigt 线型
原子吸收和发射线性，同时受自发辐射和速度影响
I (-0 ) I0 n( '0 )L( ')d ' C G( '0 )L( ')d '
Relative permittivity
Light speed in medium
相对介 电常数
相对磁 化率
Effective wave vector
Imaginary is absorption Real is dispersion, phase velocity Kramers-Kronig relation
原子谱线的一级 (线性)Doppler频移
Maxwellian velocity distribution
Considering Doppler frequency shift (Doppler broadened distribution, Gussian distribution)
Halfwidth
Ba Ba
[nm] 671 589 780 852 554 791
s [ns] 27.2 16.3 26.5 31 9.1 1.37us
n=1/(2s ) [MHz] 5.85 9.76 6.01 5.13 17.49 0.12
一、吸收线性
Oscillator with driven force qE 宏观极化子：
Doppler线宽计算举例
Z [amu]
1 23 85 85 7 7 133 44 87
[nm] 121.6 589.1 780.0 780.0 670.8 670.8 852.1 10m 6.8 GHz
T [K] 1000 500 300 144K 600 140K 300 300 300
x0e( / 2)t cos 0t
Fourier Transfer
A()
1
x(t)eitdt
x0 [
1
1
]
2
8 i( 0 ) / 2 i( 0 ) / 2
（I -0）= cA() A*() I0L(-0 )
L(-0 )
D [GHz] 55.8
1.7 0.52 0.36 MHz 3.0 1.4 MHz 0.38 0.056 9.0 KHz
四、Lorentz线型与Gauss线型的比较
Doppler shift
G( ) 2
{( 0 )2 4ln 2}
ln 2 e , D
G( )d 1
c 2
线型 g() 线核 线翼
第3.1节 自然线宽 一、辐射谱线自然线宽
激发态的原子用一个经典阻尼谐振子描写：
mx x kx
x x 02 x 0
x(t) x0e( /2)t[cost ( / 2) sin t]