《计算物理》第三章习题参考答案

5 5 f (i ) i 2 ( ln i ) 2 ; g (i )
5 1 n iiii ). { ln i , i 1, , n}, I= ( ln i ) 2 . n i 1
3. 解：函数 A(u ) 的期望值定义为
E{ A} A(u )dG (u ) A

d cos ( cos ) cos (h( )) h( ) d , x [1,1];
(x) (1 x 2 )
n 1 2
其中， cos 1 x g ( x),
g 1 ( ) cos h( ).
首先可以产生满足 ( x) 分布的伪随机数序列，为此，我们注意到
对于用 MC 方法计算多维球体积，可以参照多维独立随机变量分布情形抽 样。下面以六维为例说明之。 n 6, R 1, 六维球体积元
dV6 sin 4 (1 ) sin 3 (2 ) sin 2 (3 ) sin(4 )drd1d2 d3d4 d5
其中， r [0,1], 1,2,3,4 [0, ], 5 [0, 2 ] . 改写上述体积元
[1] see the reference from http://wapedia.mobi/en/N-sphere
2. 解： MC 计算步骤：

Байду номын сангаасx
0
5/2 x
e dx f ( x)dx
0 0


f ( x) x e dx f ( x)e x dx, f ( x) x5/2 . e x 0


i2 2
.
引入 6 个均匀分布的伪随机数 , 1,2,3,4,5 [0,1], 使得
r , f (r ) 1; f5 (5 ) 1; 5 25 ,
对于 f n ( ) sin n , n=1,2,3,4 ，由
f n ( ) 1 cos 2
n 1 2
dV6 f 2 (2 ) f3 (3 ) f 4 (4 ) f5 (5 )drd1d2 d3 d4 d5
其中，
f (r ) 1, f 4 (1 ) sin 4 (1 ), f 3 (2 ) sin 3 (2 ), f 2 (3 ) sin 2 (3 ), f1 (4 ) sin(4 ), f5 (5 ) 1.
Vn
R
0 1 0


2
dVn
n 2 0 n 1 0
解析地，n-维欧几里得空间球得体积为
Vn Cn Rn , Cn
2
n ( 1) 2
n
.
4 3 2 4 8 2 5 3 6 特别地， V3 R , V4 R ,V5 R , V6 R. 3 2 15 6
由此得所求的伪随机数序列
cos 1 1 2 max(1 , 2 , , n ) , f n ( ) sin n .
具体地，
1 cos 1 1 2 max(1 , 2 , 3 , 4 ) , f 4 (1 ) sin 4 1 ; 2 cos 1 1 2 max(1 , 2 , 3 ) , f3 (2 ) sin 3 2 ; 3 cos 1 1 2 max(1 , 2 ) , f 2 (3 ) sin 2 3 ; 4 cos 1 1 21 , f1 (4 ) sin 4 .
n-维欧几里得空间球体积元由下列 Jacobian 变换得出
dVn det
( xi ) drd1d2 dn 1 (r , j )
=r n 1 sin n 2 (1 ) sin n 3 (2 ) sin(n 2 )drd1d2 dn 1
而 n-维欧几里得空间球得体积由下列积分给出
tan(1 ) tan(n 2 ) tan(n 1 )
2 2 xn xn 1 2 2 2 xn xn 1 x2
x1
,
xn 2 xn . xn 1
,
其中， n 1 [0, 2 ], 1, 2, , n 2 [0, ].
方差为
V { A} E{( A A ) 2 } E{ A2 2 A A A } =E{ A}2 A A2 A
2 2
2
2 另一方面，设 V ( Ai ) A , i 1, , N , 则有
1 V { AN } 2 N
2 1 A 2 V { Ai } 2 N A N N i 1 N
当 N 足够大时，有 lim V ( AN ) V ( A), 即
N
A2 A
2
2 A
N

1 . N
2
4. 解：由于 f (v) f (v) ，故先讨论 f (v) Cv 2 e v , v 0 ，并设 C 0, 0.
i ). 选择初始位置：0 v0 ii ). 1 [0,1], (1 ) 1, def. step i 1 [0, ); 1

, f max (v0 )
C

e 1 ;
iii ). 2 [0,1], ( 2 ) 1, 引入过渡概率：
(vi vi 1 ) min{1,
C (vi i ) 2 e ( vi i ) Cvi2 e vi
2
2
2
}
v i (2 vii i 2 ) min{1, i } e v i judge: 2 (vi vi 1 ), if it's true, i 1 vi 1 vi i , then goto ii ) and walk for the next step vi 1 vi 2 ; if not, goto ii) and walk for the step vi vi 1 again. iiii ). ={0 ,1 , ,i , , N }, Mathematica plotting program: ListLinePlot[{{0 , f (0 )}, ,{ N , f ( N )}}], 其中N 为投点数。 5. 解：Metropolis 方法可以对无法归一化的分布密度函数进行抽样。
i ). 选择初始位置：0 x0 0, f max ( x0 ) A, A 0; ii ). 1 [0,1], (1 ) 1, def. step i 1 [0, ); iii ). 2 [0,1], ( 2 ) 1, 引入过渡概率：
0 1 x 1, ( x) (1 x )
2 2 n 1 2
( y ) y n 1 , y [0,1]
用第一类舍选法抽样，可得
y max(1 , 2 , , n ), x cos 1 2 max(1 , 2 , , n ).

i ). i [0,1], (i ) 1, i 1, , n; ii ). 首先对偏倚密度函数 g ( x) e x 抽样： F1 ( x) e x dx 1 e x ,
0 x
set i F1 (i ) i ln i ; iii ). 求出f ( x) f (i ) f ( x) 在各抽样点的值： g ( x)
第三章《蒙特卡罗方法的若干应用》习题参考答案
1. 解：一般地[1]，首先定义 n-维欧几里得空间球坐标 r ，为此，引入 1 个径向 坐标，n-1 个角坐标。以 xi 表示笛卡尔坐标，则 x1 r cos(1 ), x2 r sin(1 ) cos(2 ), x3 r sin(1 ) sin(2 ) cos(2 ), xn 1 r sin(1 ) sin(n 2 ) cos(n 1 ), xn r sin(1 ) sin(n 2 ) sin(n 1 ). 反变换
(vi vi 1 ) min{1,
e

( xi i )2 2

e min{1, e

xi 2 2
}
(2 xi i i 2 ) 2
}
judge: 2 (xi xi 1 ), if it's true, i 1 xi 1 xi i , then goto ii ) and walk for the next step xi 1 xi 2 ; if not, goto ii) and walk for the step xi xi 1 again. iiii ). ={0 ,1 , ,i , , N }, f (i ) Ae