第三章 习题参考答案与提示

第三章习题参考答案与提示

第三章随机变量的数字特征习题参考答案与提示1．设随机变量X的概率分布为X －3 0 1 5

p

试求EX。

答案与提示：2EX=。

2．已知随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3

k P p

求：（1）常数p ；（2）数学期望EX；（3）方差。DX

答案与提示：（1）由归一性，=p；

（2）； =

（3） =

3．已知随机变量X的分布列为

X 0 1 2

pp

求：（1）数学期望；（2）方差。2)1(−XE2)1(−XD

答案与提示：由归一性，=p；

（1）； (1)−= 8

（2） (1)−=

4．已知连续型随机变量X的概率分布为⎩⎩⎩<<=其它,080,8/1)(xxf

求X的数学期望。

答案与提示：4EX=

5．设随机变量X服从拉普拉斯分布，其分布密度为αβα21)(=exf，0>α（+∞<<∞−x）。

求X的数学期望。

答案与提示：该题要求熟练掌握计算连续型随机变量的数学期望的公式。EXβ=。—1—

第三章习题参考答案与提示

6．设随机变量X的概率密度为

⎩⎩⎩⎩⎩≤<−≤≤−+=其它，，，010011)(xxAxxxf，

求：（1）常数A；（2）数学期望EX；（3）方差。DX

答案与提示：（1）由归一性得，1=A；

（2）；（3） 0EX=16DX=。

7．设X的概率分布为exf=21)( （+∞<<∞−x），求EX、。DX

答案与提示：， 0EX=2DX=。

8．设X的概率分布为⎩⎩⎩⎩⎩≥<−=,1,0,1,11)(xxxxf当当π

求X的数学期望EX和方差。DX

答案与提示：该题考察计算连续型随机变量的数学期望和方差的公式。

0EX=， 1/2DX=

9．设用A、B两测量仪器测量某一产品的直径多次，结果如下表：

X

118 119 120 121 122

p

X

118 119 120 121 122

p

试比较两种仪器的优劣。

答案与提示：由于题设中没有给出所测产品直径的真实值，故要比较两种仪器的优劣，就是要比较这两种仪器哪个的测量精度更高一些，即要比较两种仪器测量

的方差哪个更小一些。由题设，得

=，；==，=。

显然有DXDX>，可见A 仪器的测量误差要比B仪器的测量误差大，故B仪器要优良些。

10．设X的概率分布为⎩⎩⎩≤>=0,00,)(xxexf

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求：（1）XY2=的数学期望；（2）的数学期望。eY=

答案与提示：（1）2 2 EYEX==；（2）1/3EYEe== 。

11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41。

答案与提示：事件在n次独立重复试验中发生的次数服从参数为，n p的二项分布(,)Bnp，当然在一次试验中发生的次数应服从(1,)Bp，即为(0-1)分布。

可令 10AXA⎩=⎩⎩，事件在试验中发生，，事件在试验中不发生.

得14DX≤，即事件在一次试验中发生的次数的方差不超过14。

12．设的概率分布分别为YX、⎩⎩⎩≤>=0002)(xxexf，，⎩⎩⎩

≤>=0004)(yyeyf，，

求：和。)(YXE+)32(YXE−

答案与提示：可利用由数学期望性质及常用分布随机变量的数学期望和方差来计算和，关键是计算)(YXE+)32(YXE−EX、EY、EY。)(YXE+34=； ) 32(YXE−58=。13．设是两个相互独立的随机变量，其概率分布分别为YX、

；⎩⎩⎩≤≤=其它,010,2)(xxxf⎩⎩⎩>=其它，，05)(yeyf

求EXY。

答案与提示： 4EXY=

14．设随机变量X服从正态分布，其数学期望=EX，方差。试求： 3=DX

（1）X的概率密度；

（2）XY21−=的概率密度。

答案与提示：考查服从正态分布随机变量的概率密度的一般表达形式、参数的几何意义及正态分布随机变量的性质。

（1） 1()6fxeπ= ()−∞<<+∞x

（2） 1()26fyeπ= ()−∞<<+∞y。

15．设随机变量、，且相互独立，求： )2,1(~NX)1,0(~NY

（1）YXZ+=2的期望和方差；

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（2）YXZ−=2的期望和方差。

答案与提示：由于两个独立的正态随机变量的线性函数也服从正态分布，即可得相应分布，进而求得其期望和方差。

（1）2,17EZDZ== 。

（2）2,17EZDZ== 。

16．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=−−XXE，求λ。答案与提示：λ=1。

17．设二维随机变量(X，Y)的联合概率分布律为

X Y 0 1

1

求：（1）EX，EY，，；DXDY

（2）(X，Y)的协方差，相关系数，协方差阵，相关阵。

答案与提示：（1），==， =EY，。 =

（2）； =EXY(,)=−，ρ=；

协方差阵为，⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩−−相关阵为。⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩−−设随机变量的概率密度为），（YX

⎩⎩⎩⎩⎩≤≤≤≤+=其它，，，02020)(81),(yxyxyxf