新人教版八年级数学下《16.1 二次根式 章前引言及二次根式》优质课教学设计_78
人教版八年级数学下《16.1 二次根式 章前引言及二次根式》优质课教学设计_79
16.1 二次根式学习目标、重点、难点【学习目标】1a ≥0）的意义解答具体题目.2a ≥02=a （a ≥0），并利用它们实行计算和化简.【重点难点】1、二次根式的性质.2、能确定二次根式中字母的取值范围.知识概览图a ≥0）新课导引如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km ，电视节目信号的传播半径为r km ，则它二次根式的性质 二次根式的有关概念 0)a ≥的式子叫做二次根式 代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式二次根式二次根式的双重非负性 2(0)a a =≥①被开方数a 非负，即a ≥00)a ≥(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜们之间存有近似关系式，r = 其中R 是地球半径，R ≈6400 km ．若某个电视塔高为200 km ，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?【问题探究】 因为R ≈6400 km ，h ＝200 km ，所以求传播半径r ，实际上就是求?【解析】因为16002＝25600001600．所以r ≈教材精华知识点1 二次根式的概念一般地，我们把形如错误！未找到引用源。
(a ≥0)的式子叫做二次根式．其中读作“二次根号”．拓展 (1)二次根式必须含有二次根号，但是4是. (2)二次根式中的被开方数a 既能够表示一个数，也能够表示一个代数式，但前提是必须保证错误！未找到引用源。
有意义，即a ≥0无论 a 取什么实数，都有a 2≥0因为它们虽然都有，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．所以判别二次根式时，不但要从表达形式上看是否存有，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．的根指数为2，即，我们常省略根指数2，写作，不要误把的根指数当做03．(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：223理数称为二次根式的系数.知识点2 确定二次根式中字母的取值范围要使错误！未找到引用源。
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 章前引言及二次根式》教案_27
16.1.1二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：a ≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点1．重点：理解二次根式的概念；2．难点：确定二次根式中字母的取值范围教法：讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT 课件，展台。
学习过程一、展示学习目标：1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性二．设置问题情境，引入新课：1求下列各数的平方根和算术平方根（1）9（2）0.64（3）0总结：a （a ≥0）的平方根是a （a ≥02．解决问题（1） 面积为 S 的正方形边长为________。
（2）．面积为 b －5 的正方形边长为________。
（3）． 圆桌的面积为 S ，则半径为________（4）．若圆桌的面积为 S ＋3，则半径为________（5）关系式 h = 5t 2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表示 t ，则 t = ________。
总结以上式子有何特征二次根式的概念：a像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。
因此，一般地，我们把形如（a≥0三．探究新课1．指出二次根式有意义的条件被开方数大于等于零。
提问：二次根式在什么情况下无意义学生讨论后得出：被开方数小于零2．指出下列哪些是二次根式？学生自主完成小练习：辨别下列式子，哪些是二次根式？三．练习四．小结1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性五．作业课本第5页第一题。
新人教版八年级数学下《16.1 二次根式 章前引言及二次根式》优质课教学设计_11
16.1 二次根式一、教学目标知识与水平：1.理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义；2.会实行二次根式的平方运算会对被开方数为平方数的二次根式实行化简。
过程与方法：会确定二次根式有意义的条件，知道(≥0)是非负数，并会使用。
情感态度价值观：在小组合作探究的过程中增加学习数学的信心与兴趣。
二、教学重难点重点：1.二次根式定义；2.有意义的条件。
难点：二次根式的定义及有意义的条件的使用。
三、教学过程（一）复习1.已知x2= a，那么a是x的______;x是a的________，记为______,a 一定是_______数。
2.4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；（二）情景导学如课本右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为r km，则它们之间存有近似关系式，r= ，其中R 是地球半径，R ≈6400 km ．若某个电视塔高为200 km ，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?你能将这个式子化简吗？（三）学习新知1请思考下列问题：（1）面积为3的正方形的边长为 ，面积为S 的正方形的边长为 。
（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130㎡，则它的宽为 m 。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下的高度h 单位：m ）满足关系h=5t 2。
如果用含有h 的式子表示t ，则为t 为 。
问题 上面得到的式子有什么共同特征？ 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≧0）的式子叫做二次根式。
（二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
即：式子的取值是非负数。
）试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？2-，35，2x ，5.0 ， )3(2-，a 7 。
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二次根式的取值范围教学设计1 学情分析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念以及它的取值范围. 它不但是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都能够表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念以及它的取值范围。
2 教学目标（1）会判断二次根式；（2）掌握二次根式有意义的条件。
经历观察，讨论、合作解疑等过程，感受数学知识的情趣性、灵活性并从中获益。
学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．3 重点难点重点：二次根式的判定及其有意义的条件；难点：二次根式有意义的条件的掌握。
4 教学过程活动1【导入】课题导入组与组之间通过对旧知识以你问我答的方式实行互动，既回顾了旧知识也引出本次课的主题，引出学习目标，并让学生齐读本次课的学习目标，使学生积极进入学习环境融入学习目标。
课前布置问题，学过的相关二次根号下a的相关知识点总结问题及答案，以学生问学生答的方式，互动以回忆知识点，并引出本节课的课题。
活动2【活动】自主体验这个活动包括两个环节，首先完成导学案旧知回顾，加深对本节内容的理解，其次，在弄清学习目标的情况下，自学课本并完成导学案上新知自解的两个小题，一是二次根式定义的总结，在学生总结的基础上，完善定义；二是会不会初步判断二次根式，做完后由学生自主展示结果，大家实行互评使学生养成自学自解的习惯。
活动3【活动】合作—展示—解疑在填第一题空后，加深知识印象，自学课本例题，然后小组合作完成第二题，检测学生自学水平，及对知识点的理解水准。
人教版数学八年级下册16.1章前引言及二次根式教案
今天的学习，我们了解了二次根式的定义、性质以及在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我带领学生们学习了二次根式的相关知识。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课环节，我尝试通过生活中的实际问题引入二次根式的概念，但从学生的反应来看，似乎他们对这个问题的兴趣并不浓厚。下次我可以尝试找到一个更贴近学生生活，更能激发他们好奇心的问题，以提高学生的学习积极性。
其次，在新课讲授环节，我发现有些学生对二次根式的定义和性质理解不够透彻。在今后的教学中，我需要更加注重对基础概念的讲解，通过丰富的例子和实际操作，帮助学生深入理解二次根式的内涵。
（2）运用性质进行二次根式的化简：学生在化简过程中可能会忘记性质的应用，教师应提供多个变式练习，帮助学生巩固。
（3）合并同类二次根式：这是学生的常见难点，特别是当根号下的数字不同时，如何通过乘除法转换为同类二次根式进行合并。
（4）在实际问题中构建二次根式模型：学生可能难以将实际问题抽象为数学模型，需要教师指导如何从问题中提取关键信息。
（3）熟练进行二次根式的化简与运算：包括乘除法和加减法，教师应通过例题讲解和练习，让学生掌握合并同类二次根式的方法和技巧。
（4）应用二次根式解决实际问题：通过实际问题的引入和解决，培养学生将数学知识应用于生活的能力。
举例：重点讲解如何将二次根式√(18/2)化简为最简形式，即√9=3。
2.教学难点
（1）理解二次根式的符号意义：学生容易混淆根号内的符号要求，需要教师通过实例解释和强调。
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16．1 二次根式的概念教学内容二次根式的概念及其使用教学目标理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1．重点：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a （a ≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？口答：看谁最棒二、探索新知1、自学效果检测（1）面积为3的正方形的边长为 ，面积为S 的正方形的边长为_____。
（2）一长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则它的宽为_____。
（3）h=52t ,则t=______2、自学效果检测 3 s 65 5h 你认为所得的各式有哪些共同点？表示一些正数的算术平方根3、自学归纳形如 a （a ≧0） 的式子叫做二次根式.a 叫被开方数定义包含三个内容：1.必需含有二次根号“”.2.被开方数a ≥0.3.a 能够是数,也能够是含有字母的式子.下列各式是二次根式吗? 1．16的算术平方根是_____． 2．填空：0＝_______；0.25＝_______； 3681＝_______；（－3）2＝________； 1916＝_______．4223(8)11(9)42(10)3x -≤++--322(1) 32 (2) 12 (3) 8(4) a (5)-m (m 0) (6)2a -1 (7)a a4、二次根式中字母的取值范围a 有意义？被开方数a ≥0（被开方数a 能够是数也能够是式）例1 a 取何值时,下列根式有意义?（1）1+a （2）a 211- （3）()21-a 变式训练：（1）122+-a a （2）()21--a总结：被开方数不小于零练习：x 取何值时,下列二次根式有意义?（1）1-x （2） x 3- （3）24x （4）x 1 （5）3x （6）31x （7）a 211- （8）43--x x 求二次根式中字母的取值范围的基本依据：1、被开方数大于等于零；2、分母中有字母时，要保证分母不为零。
新人教版八年级数学下《16.1 二次根式 章前引言及二次根式》优质课教学设计_40
章前引言及二次根式（第1课时）一、学生起点分析七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，理解了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练水准尚有一定的差别，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．二、教材任务分析本节分为三个课时。
第一课时，理解二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们实行二次根式的运算；第三课时，进一步实行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并注重解决问题方式的多样化，提升学生使用法则的灵活性和解决问题的水平．为此，确定本节课教学目标是：1.理解二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质．3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：明晰概念问题1 ：2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
介绍二次根式的概念。
一般地，式子2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计叫做二次根式。
a叫做被开方数．强调条件：2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计．问题2：二次根式怎样实行运算呢？答：这是我们本节课要解决的新问题．意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．第二环节：探究性质（一）内容：通过探究得出 2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计．具体过程如下：（1）2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝；2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝；2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝； 2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝．（2）用计算器计算：2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝；2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝，2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计＝．问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？意图：最终归纳出2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计（a≥0，b≥0），2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计（a≥0，b＞0）．说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这个条件是公式的一部分，不应忽略．第三环节：知识巩固例1 化简（1）2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计；（2）2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计；（3）2.7．二次根式（第1课时）<wbr>教学设计。
人教版数学八年级下册16.1二次根式(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算非整数的平方根的情况？”（例如，计算一个边长为$\sqrt{5}$的正方形的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
4.培养学生的数学抽象素养：让学生从具体的二次根式实例中抽象出一般规律，提升对数学概念的理解和抽象思维能力。
5.激发学生的数学探究精神：鼓励学生在二次根式学习中积极思考、探索，培养他们的创新意识和探究精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的定义：理解二次根式的概念，明确根号下仅含非负实数的表达式。
-二次根式的性质：掌握二次根式的乘除、平方等运算性质，如$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
-二次根式的化简：学会通过因式分解、提取公因数等方法化简二次根式，如$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$。
-二次根式的乘除法：熟练运用性质进行二次根式的乘除运算，如$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）。
1.培养学生的逻辑推理能力：通过二次根式的性质与运算法则的学习，使学生能够运用逻辑推理分析问题，提高解题的条理性和逻辑性。
2.提升学生的数学运算能力：让学生掌握二次根式的化简、乘除与加减运算，培养他们在数学运算中的准确性和熟练度。
3.增强学生的数学建模意识：通过解决实际问题，使学生能够运用二次根式知识构建数学模型，提高解决实际问题的能力。
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16.1 二次根式(2)
教学内容
1．a（a≥0）是一个非负数；
2．（a）2=a（a≥0）．
教学目标
知识与技能目标：理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们实行计算和化简．
过程与方法目标：过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后使用结论严谨解题．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的水平．
教学重难点关键
1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其使用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．
教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性理解上升为理性理解，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并实行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），形成有效的学习策略。
2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提升阅读水平。
3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材实行自检，小组内实行他检，提升学生的素质。
媒体设计：PPT课件，展台。
课时安排：1课时。
教学过程
一、复习引入
（学生活动）口答
1．什么叫二次根式？
2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？
老师点评（略）．
二、探究新知
议一议： a （a ≥0）是一个什么数呢？
老师点评： a （a ≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：
（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2
=_______；
（13）2=______；（72
）2=_______；（0）2=_______． 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，所以有（4）2
=4．
同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2
=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以 （a ）2
=a （a ≥0） 例1、 计算
1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）2 分析：我们能够直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．
解：（32
）2 =32，（35）2 =32·（5）2=32·5=45， （56）2=56
，（72）2=22(7)724=． 三、巩固练习
计算下列各式的值：
（18）2 （23）2 （94）2 （0）2 （478
）2 22(35)(53)-
四、应用拓展
例2、 计算
1．（1x +）2（x ≥0） 2．（2a ）2 3．（221a a ++）2
4．（24129x x -+）2
分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都能够使用（a ）2
=a （a ≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0
（1x +）2
=x+1 （2）∵a 2≥0，∴（2a ）2=a 2
（3）∵a 2+2a+1=（a+1）
2 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴221a a ++=a 2
+2a+1 （4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）
2 又∵（2x-3）2≥0
∴4x 2-12x+9≥0，∴（24129x x -+）2=4x 2-12x+9
例3、在实数范围内分解下列因式：
（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3
分析：(略)
五、归纳小结
本节课应掌握：
1．a （a ≥0）是一个非负数；
2．（a ）2=a （a ≥0）;反之：a=（a ）2
（a ≥0）． 六、布置作业
一、选择题
1．下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数是（ ）．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．
A ．a>0
B ．a ≥0
C ．a<0
D ．a=0
二、填空题
1．（-3）2
=________． 2．已知1x +有意义，那么是一个_______数．
三、综合提升题
1．计算
（1）（9）2 （2）-（3）2 （3）（126）2 （4）（-323
）2 (5) (2332)(2332)+-
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式：
（1）5 （2）3.4 （3）16
（4）x （x ≥0） 3．已知1x y -++3x -=0，求x y 的值．
4．在实数范围内分解下列因式：
（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5
答案： 一、1．B 2．C ； 二、1．3 2．非负数；三、1．（1）（9）2
=9 （2）-（3）2=-3 （3）（126）2=14
×6=32 ；（4）（-323）2=9×23=6 (5)-6 2．（1）5=（5）2
；（2）3.4=（ 3.4）2 ；（3）16=（16）2 ； （4）x=（x ）2（x ≥0）
3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩
x y =34=81； 4.（1）x 2-2=（x+2）（x-2） （2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（x+3）（x-3）； (3)略
板书设计： §16.1.二次根式（2）
情境引入 例1 学生板演
1．a （a ≥0）是一个非负数； 例2
2．（a ）2
=a （a ≥0）; 反之：a=（a ）2
（a ≥0）． 例3 小结。