沪科版初中数学知识点总结 第9章 分式
沪教版数学七年级下册 9.1分式及其基本性质
x2
当分母的值等于零时，分式没有意义，除此 以外，分式都有意义。
X≠2是上式有意义。
（2）当x是什么数时，分式 x 4的值为零？ 2x3
分式值为零则分子为零，分母不为零。 X=﹣4时，分母2X-3=﹣11≠0
1.指出下列有理式中，哪些是整式，哪些是 分式？
ambn mn
问题2：一件商品售价x元，利润率为 a%(a>0),则这种商品每件的成本是______元。
售价=成本+利润 利润=成本×利润率 即：售价=成本× （1+利润率） 所以:成本=售价÷ （1+利润率）
x 1 a%
分式的定义
其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分式的分母(denominator)．
2.当x取什么数时，下列分式有意义？
3.在下列各分式中，当x等于什么数时，分式的 值是零？当x等于什么数时，分式没有意义？
补充
1.已知分式3x2 - 27，当取什么时， x-3
①分式有意义； ②分式的值为零； ③分的值为负数？
6.已知当x 3时，分式2x 3 没有意义，求a. x-a
7.是否存在x的值，使得当a 4时， 分式 x a 的值为零？
a- x
8.无论x取何值，分式 x
2
1 4x
c
总有意义，
求c的取值范围.
小结整式A、B相除可
写为
A B
的形式，
分式的定义
若分母中含有字 母，那么 A 叫做 分式。 B
分式的意义
分式的值为0 分母≠0
①分子=0 ②代入分母≠0 ③最后答案
第九章：分式
第9章 分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册
=
1
1
(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3
4
−
1
−2
−2
4
=
= −2， 所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1
【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，
沪科版数学七年级下册9.1 分式及其基本性质 课件
感悟新知
解题秘方：根据最简分式的定义识别.
解： m＋n m 2－n2
m＋n
m＋n m－n
1 m－n
;
x－y
x－y
1
x2－2xy＋y2 x－y2 x－y ,
所以最简分式有
y 2x
,
9 x＋y 45 xy2
感悟新知
例3
分式
x－4 x 2－16
中的x 满足什么条件时分式无意义？
解题秘方：分母的值等于0 时，分式无意义.
x－4
解：要使分式 x2－16 无意义，则分母x2－16=0，
即x2=16，解得x=±4. 所以当x=±4 时，分式
x－4
x 2－16无意义.
感悟新知
知识点 3 分式的值为0的条件
感悟新知
感悟新知
感悟新知
例4 当x 取何值时，下列分式的值为0 ？
(1)
x＋2 2 x－3
;
3－ x
(3) x－3 x＋1 ;
x－1 x－3
(4) x2－1 .
感悟新知
解题秘方：分式的值为0 的条件：分子为0，分 母不为0.
感悟新知
教你一招 求分式值为 0 的字母值的方法： ●解题时可以先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这
(3)因为无论x 取什么值，都有x2+3>0，
所以x 取任何实数，分式
x＋1 x 2＋3
都有意义.
(4)当(x－2x－ )(x2+4)≠ 0，即x ≠ 2 且x ≠ －4 时，
分式 x－2 x＋4 有意义.
感悟新知
沪科版数学七年级下册 第9章 小结与复习 课件
约分的一般步骤
(1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公 约数，并约去相同字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因 式，然后约去分子、分母所有的公因式．
5. 分式的通分 分式的通分的定义
(1) 审清题意，并设出未知数； (2) 找相等关系； (3) 列出方程； (4) 解这个分式方程； (5) 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根， 二验是否符合题意)； (6) 作答.
考点一 分式的有关概念 例1 如果分式 x2 1 的值为 0，那么 x 的值为 1 .
x 1
【解析】根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母
考点四 分式方程的应用 例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高 铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁 的行驶路程的 1.3 倍． (1) 求普通列车的行驶路程； 解：根据题意得 400×1.3＝520 (千米)． 答：普通列车的行驶路程是 520 千米.
(2) 若高铁的平均速度 (千米/时) 是普通列车平均速度 (千米/时) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列 车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度．
第9章 分 式
小结与复习
一、分式的概念及基本性质 1. 分式的定义
一般地，如果 a、b 表示两个整式，并且 b 中
含有字母，那么式子 叫做分式.其中 a 叫做分 式的分子，b 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件： b≠0. 分式无意义的条件： b＝0. 分式值为 0 的条件：a＝0 且 b≠0.
x4
解：因为 x2 - 5x + 1 = 0， 得 x 5 1 0，即 x 1 5.
沪科版数学七年级下册9.分式基本性质及约分课件
9.1 分式及其基本性质
第二课时
分式的基本性质和约分
教学目标
1
• 理解并掌握分式的基本性质并能利用基本性
质对分式进行恒等变形
2
• 了解最简分式和约分，利用分式基本性质对
分式进行约分化简
3
• 学生经历分数与分式的比较，培养学生良好
的类比思维习惯和思想方法
知识回顾
判断下列代数式是否为分式？
1
x
y
3
(2)
1
x y
2
提升练习
1
（x
y） 6
6x 2y
3
1
3x 6y
（
x y） 6
2
分数系数
可以分子
分母同乘
以各分母
最小公倍
数化为整
数系数
2、视察下列等式是否成立
成立
提升练习
a
a
a
a
a
a
(1)
, (2)
, (3)
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
(4)
的整式，分式的值不变.
A AC
A AC
B B C
B B C
（C≠0） 其中A , B , C是整式.
下列等式在有意义情况下右边是怎样从左边得到的？
2b
2ab
（1）
2
3ac
3a 2c 2
分子分母都
新知解析
乘以a
a≠0
4ab
2a
(2)
6b（a 1) 3(a 1)
沪科版七年级数学下册第九章《分式》单元同步复习讲义(解析版)
沪科版七年级数学下册第九章《分式》单元同步复习讲义 01 本章结构图分式⎩⎪⎨⎪⎧分式⎩⎪⎨⎪⎧概念、基本性质分式的化简分式的运算⎩⎪⎨⎪⎧分式的乘除分式的加减整数指数幂分式方程⎩⎪⎨⎪⎧分式方程的解法分式方程的应用 02 重难点突破重难点1 分式的有关概念及基本性质【例1】 (衡阳中考)若分式x －2x ＋1的值为0，则x 的值为(C ) A ．2或－1 B ．0C ．2D ．－1【方法归纳】 分式的值为0需要同时具备两个条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可．1．(成都中考)要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是(A ) A ．x ≠1 B ．x ＞1C ．x ＜1D ．x ≠－12．下列等式成立的是(C )A .1a ＋2b ＝3a ＋bB .12a ＋b ＝1a ＋bC .ab ab －b 2＝a a －bD .a －a ＋b ＝－a a ＋b3．(赤峰中考)化简a 2b －ab 2b －a结果正确的是(B ) A ．ab B ．－abC ．a 2－b 2D ．b 2－a 2重难点2 分式的运算【例2】 (雅安中考)先化简，再求值：(1－1m )÷m 2－1m 2＋2m ＋1，其中m ＝2. 解：原式＝(m m －1m )÷（m ＋1）（m －1）（m ＋1）2＝m －1m ·m ＋1m －1＝m ＋1m. 当m ＝2时，原式＝2＋12＝32. 【方法归纳】 分式的运算要把握两个关键：一是灵活运用因式分解去通分和约分；二是巧借运算律简化运算．4．化简2a 2－1－1a －1的结果是－1a ＋1． 5．化简：(1＋1x )÷(2x －1＋x 2x)． 解：原式＝x ＋1x ÷2x 2－1－x 2x＝x ＋1x ·x x 2－1＝1x －1.6．先化简(1x －2－2x)·x 2－2x 2，再从0，1，2中选取一个合适的x 的值代入求值． 解：原式＝[x x （x －2）－2（x －2）x （x －2）]·x （x －2）2 ＝x －2（x －2）x （x －2）·x （x －2）2 ＝x －2x ＋42＝－x ＋42. 由于x ≠0且x ≠2，因此只能取x ＝1，所以当x ＝1时，原式＝－x ＋42＝－1＋42＝32.重难点3 分式方程【例3】 分式方程2x －5x －2＝32－x的解是(C ) A ．x ＝－2 B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝1或x ＝2【方法归纳】 解分式方程应注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．7．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是(A ) A ．5 B ．－5 C ．3 D ．－38．(成都中考)已知关于x 的分式方程x ＋k x ＋1－k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是k ＞12且k ≠1． 9．(广州中考)从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短3小时，求高铁的平均速度．解：(1)根据题意，得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米．(2)设普通列车平均速度是x 千米/时，根据题意，得520x －4002.5x＝3，解得x ＝120. 经检验，x ＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．答：高铁的平均速度是300千米/时．03 备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列式子：－3x ，2a ，x 2－y 2xy ，－a 2π，x －1y 2，a －2b ，其中是分式的个数有(C ) A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个2．将分式2x 2x ＋y中x ，y 的值都扩大10倍，则分式的值(A ) A ．扩大到原来的10倍B ．缩小到原来的110C ．扩大到原来的100倍D ．不变3．分式a x ，x ＋y x 2－y 2，a －b a 2－b 2，x ＋y x －y中，最简分式有(B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列运算正确的是(C )A .－x －y －x ＋y ＝x －y x ＋yB .a 2－b 2（a －b ）2＝a －b a ＋bC .a 2－b 2（a －b ）2＝a ＋b a －bD .x －11－x 2＝1x ＋15．(济南中考)计算2x x ＋3＋6x ＋3，其结果是(A ) A ．2 B ．3C ．x ＋2D ．2x ＋66．(莱芜中考)将数字2.03×10－3化为小数是(C )A ．0.203B ．0.020 3C ．0.002 03D ．0.000 2037．(临沂中考)化简：a ＋1a 2－2a ＋1÷(1＋2a －1)＝(A ) A .1a －1 B .1a ＋1C .1a 2－1D .1a 2＋18．(锦州中考)为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x 人，那么x 满足的方程是(B )A .4 800x ＝5 000x －20B .4 800x ＝5 000x ＋20C .4 800x －20＝5 000xD .4 800x ＋20＝5 000x 9．(牡丹江中考)若2a ＝3b ＝4c ，且abc ≠0，则a ＋b c －2b的值是(B ) A ．2 B ．－2C ．3D ．－310．若分式方程3x x ＋1＝m x ＋1＋2无解，则m ＝(B ) A ．－1 B ．－3C ．0D ．－2二、填空题(每小题3分，共18分)11．当x ＝2时，分式3x －2无意义． 12．(重庆中考)计算：3－8＋(13)－2＋(π－1)0＝8． 13．化简：(2x x －3－x x ＋3)·x 2－9x ＝x ＋9. 14．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，4x －45x ＋1，且点A 到原点的距离是点B 到原点距离的2倍，则x ＝－1．15．分式方程1x －1＝a x 2－1的解是x ＝0，则a ＝1． 16．观察规律并填空．(1－122)＝12·32＝34； (1－122)(1－132)＝12·32·23·43＝12·43＝23； (1－122)(1－132)(1－142)＝12·32·23·43·34·54＝12·54＝58； (1－122)(1－132)(1－142)(1－152)＝12·32·23·43·34·54·45·65＝12·65＝35； …(1－122)(1－132)(1－142)…(1－1n 2)＝n ＋12n(用含n 的代数式表示，n 是正整数，且n ≥2)．三、解答题(共52分)17．(12分)计算：(1)(2x －3y 2)－2÷(x －2y)3；解：原式＝14x 6y －4÷x －6y 3＝x 124y 7.(2)4－x x －2÷(x ＋2－12x －2)． 解：原式＝4－x x －2÷(x 2－4x －2－12x －2) ＝4－x x －2÷x 2－4－12x －2＝4－x x －2·x －2（x ＋4）（x －4）＝－1x ＋4.18．(12分)解分式方程：(1)2x x ＋1－1＝1x ＋1； 解：方程两边乘x ＋1，得2x －x －1＝1.解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．(2)x ＋4x （x －1）＝3x －1. 解：方程两边乘x(x －1)，得x ＋4＝3x.解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．19．(9分)(锦州中考)先将(1－1x )÷x －1x 2＋2x化简，然后请自选一个你喜欢的x 值代入求值． 解：原式＝x －1x ÷x －1x 2＋2x＝x －1x ·x （x ＋2）x －1＝x ＋2.当x ＝10时，原式＝10＋2＝12.(注意：x 不能取0，1，－2)20．(9分)对于代数式1x －2和32x ＋1，你能找到一个合适的x 值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程．解：能．根据题意，令1x －2＝32x ＋1， 则有2x ＋1＝3(x －2)．解得x ＝7.经检验，x ＝7是1x －2＝32x ＋1的解． 即当x ＝7时，两代数式的值相等．21．(10分)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则购进的第二批衬衫是2x 件，由题意可得28 8002x －x13200＝10，解得x ＝120. 经检验x ＝120是原方程的根．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．(2)设每件衬衫的标价至少是a元．由(1)得第一批的进价为：13 200÷120＝110(元/件)，第二批的进价为：120元/件．由题意可得120(a－110)＋(240－50)(a－120)＋50(0.8a－120)≥25%×(13 200＋28 800)．解得a≥150.答：每件衬衫的标价至少是150元．。
新沪科版七年级数学下册《9章 分式 9.3 分式方程 分式方程及其解法》课件_11
复习旧知：
分式定义：分母中含有字பைடு நூலகம்的式子，且分 母不能为0. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.
解一元一次方程的步骤： 1、去分母；2、去括号；3、移项； 4、合并同类项；5、系数化为1；6、检验.
情境导入：
在相距1600km的两地之间运行一列车，速度提 高25%后，运行时间缩短了4 h，求列车提速钱 的速度。
检验.
(1)把未知数的值代入原方程(一般方法);
(2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
结论
x3 3x
解:方程两边同乘以最简公分母 (x 3) ，得：
2 x 1 2(x 3)
解得：
x3
什么是增根？
把 x 3 代入原分式方程检验，方
程中分式分母为零，分式无意义。
这时 x 3 叫做原分式方程的增根，应舍去。
所以原分式方程无解。
增根的定义
在去分母时,将分式方程转化为整式方程过 程中出现的不适合于原分式方程的根。 即：使最简公分母值为零的根。
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程；
2、解这个整式方程； 3、检验； 4、写出原方程的根。
一化二解三检验
检验的方法：
方法一：和整式方程的检验一样，将去分母后获 得的整式方程的解分别代入原方程的左右两端， 看它们是否相等。
值等于（ ）。
A．—2
B．—1
C．1
D．2
作业： 课本P109，习题9.3的第三题
解分式方程注意的 解分式方程一般需要哪几个步骤? 问题
沪科版七年级数学下册第9章：分式单元复习课件
二、分式的性质
a• b•
m m
a
__b_,
a b
m m
a _b__
.（a、b是整式，m≠0）
约分：把分式的分子与分母的公因式约去 最简分式：分子与分母只有公因式1的分式 通分：化异分母分式为同分母分式的过程
对点练习2
对分式 a2 b2 的变形， ab
甲同学的做法是：
a2 b2 (a b)(a b)
课堂小结
分式
分式的定义及有意义的条件等 分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分
式 分 式 方 程 分式方程的解法
分式方程 的应用
步骤 类型
一审二设三列四解 五检六写，尤其不 要忘了验根
行程问题、工程问 题、销售问题等
错解：x＝1
正解：无解
辨析：本题错解的主要原因是没有验根， ∵解分式方程在去分母时，方程两边同时 乘以的式子可能为0，∴解分式方程时必 须验根.
典例讲授
例1 先化简： (x 3x 4) x 2 ，
x 1 x 1
再任选一个你喜欢的数x代入求值. 思考：（1）题中有哪些运算？
减法、除法，小括号
＝ x 1 x 1
解方程 2x 1 1 得x＝﹣3， 2x 3 2x 3
∴当x＝﹣3时，原式＝ 3 1 ＝2. 3 1
二、 若关于 x 的方程x－x 3－2＝x－k 3有增根． (1)求出这个方程的增根； (2)求 k 的值．
解：(1)因为方程的增根能使最简公分母为 0，即 x－3＝0，所以这个 方程的增根是 x＝3.
∴（1+20%）x＝1.2×2.5＝3（元）
当x＝2.5时，
乙种粽子个数：400÷2.5＝160（个）
甲种粽子个数：260－160＝100（个）.
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第9章 分式
9.1 分式及其基本性质
1.分式的辨别条件是什么？ ①形如a b
的式子； ②a ，b 均为整式；
③分母b 中含有字母.
2.分式有意义和无意义的条件是什么？
①有意义：0b ≠时，a b
有意义； ②无意义：0b =时，a b
无意义.
3.特殊分式值的讨论 ①0a b
=，则0a =且0b ≠； ②0a b >，则0ab >或00a b >⎧⎨>⎩或00
a b <⎧⎨<⎩； ③0a b <，则0ab <或00a b >⎧⎨<⎩或00a b <⎧⎨>⎩
； ④1a b
=，则a b =且0b ≠； ⑤1a b
=-，则0a b +=且0b ≠；
9.2 分式的运算
1.分式的乘法公式是什么？
a c a c
b d b d
⋅⋅=⋅
2.分式的除法公式是什么？
(0)a c a d a d c b d b c b c
⋅÷=⋅=≠⋅
3.分式的乘方公式是什么？
1()n n
n n n n a a ab a b b b --⎛⎫=== ⎪⎝⎭
（n 是正整数）
4.求最简公分母的步骤是什么？
①系数：取各分母中系数的最小公倍数；
②字母或公因式：相同部分的幂取指数最大的.
5.异分母分式加减法的一般步骤是什么？
①通分；
②进行同分母分式的加减运算；
③把结果化成最简分式.
9.3 分式方程
1.解分式方程的一般步骤是什么？
①去分母；
②解这个分式方程；
③验根；
④写出分式方程的解.
2.什么是增根？
使分母为零的根叫做分式方程的增根.。