点的运动学

例题3 已知：R，= t ( 为常数），求：(1)小环M的运动方程、 s B 速度、加速度；(2)小环M相对于 AB 杆的速度、加速度
解（1）建立图示弧坐标
运动方程 速度 加速度
C
s R(2 ) 2 R t
2
O
a
M
ds v 2 R dt
dv v2 at 0, an 4 R 2 dt R
v
t 时间间隔内矢径的改变量
r r (t t ) r (t ) —点M的位移

r v 动点M在时间间隔△t 内的平均速度 t r dr r （2）点的瞬时速度 v lim t 0 t dt
速度 — 描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。速度的 方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度大 小等于速度矢量的模。
τ
?
1
v

曲率定义：曲线切线的转角 对弧长的一阶导数的绝对值。 曲率的倒数称为曲率半径。 曲率半径用ρ表示。
dτ dτ d ds dt d ds dt
s
M′
?
sin
1
v
2
τ
M


τ
τ
dτ τ lim lim 0 0 d
T(切线)
密切面
b= × n
自然轴系P－nb
自然轴系的特点：跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
自然轴系的单位矢量、n、b 是方向在不断变化的单位矢量。 固定的直角坐标系的单位矢量i、j、k则是常矢量。
3、点的速度
经过△t 时间间隔，点沿轨迹由M 到 M′
M
r
r (t )
s
τ
M′
v
r dr v lim t 0 t dt
dτ n d

dv v2 τ n dt
dv v2 a τ n dt
加速度表示为自然轴系投影形式
a at τ an n ab b
dv d 2 s at 2 dt d t
切向加速度
an
v
2
a a t an
法向加速度

ab 0
几 点 讨 论
切向加速度
解：取M点与地接触，开始时该点
与直角坐标轴原点重合,建立图示直 角坐标系。
y
E
v
M
由纯滚动条件 OC MC r rt
直角坐标表示的M点运动方程：

O1 x C
O
x OC O1M sin r t sin t y O1C O1M cos r 1 cos t
消去上式中的角 ，即得M点的
轨迹方程:
轨迹演示 y B
A


x y 2 1 2 ( a b) b
O
22C源自xy Mx
思考题：M点的轨迹是什么曲线 ？
例题2 半径为 r 的轮子沿直线纯滚（不滑动），轮转角 = t ( 为 常量），求轮上任一点M的运动方程、速度和加速度。
轨 迹 演 示
dx dy dz , vy , vz z vx x y dt dt dt
点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间 的一阶导数。
速度的大小：
dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) dt dt dt (v x ) 2 (v y ) 2 (v z ) 2
2、点的加速度矢量
（1）点的平均加速度
v1
速度端图
v2
O
v1 v2
v3
M
v (t )
O
v2
t v (t )
t t v (t t )
t 时间间隔内速度的改变量
v3
a
a
M
v v (t t ) v (t )
v 动点M在时间间隔△t 内的平均加速度a t

v

v
x′ B
A C
2
(2) 建立图示直角坐标系 运动方程 速度 加速度
x M 2 R cos 2 R cos t
dx M v 2 R sin t M dt
y′ O A
M

dv 2 M a 2 R cos t M dt
例题4 销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑 π 动，OA=R=0.1 m。已知摆杆的转角 sin 2πt（时间以s计， φ 8 以rad计），试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时的加速度。
第六章 点的运动学
§6–1 描述点运动的矢量法 §6–2 描述点运动的直角坐标法
§6–3 自然法
结论与讨论
§6-1 矢量法
1、点的运动方程—变矢量形式
运动方程用点在任意瞬时t的位置 矢量r(t)表示。 r(t)简称为矢径。 运动方程
z
M M
r (t ) r (t ) r (t )
O
r r (t )
dv at s dt
表示速度矢量大小的变化率； 法向加速度
an
v2

表示速度矢量方向的变化率；
ab 0 表明加速度 a 在副法线方向没有分量；
还表明速度矢量v和加速度矢量a都位于密切面内。 点的加速度的大小和方向
2 dv v 2 2 a a t an dt 2 2
2 2 a ax ay r 2
2
§6-3 自然法
1、弧坐标要素与运动方程
思路：如果点沿着已知的轨迹 运动，则点的运动方程，可用 点在已知轨迹上所走过的弧长 随时间变化的规律描述。 弧坐标具有以下要素： （1）有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)； （2）有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)； （3）有相应的坐标系(自然轴系)。 弧坐标形式的运动方程： s = f (t)
2
z
M
ay
ax
r
i k O
j
az z
a
y
x
y
x
d2 x 2 d2 y 2 d2 z 2 加速度的大小： a ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) dt dt dt
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐 标对时间的二阶导数。
az ay ax cos ( a , k ) cos(a, j ) 加速度的方向余弦： cos(a, i ) a a a
(+)
O (-) s
M
2、自然轴系
（1）密切面
当P´点无限接近于P 点时，过这两点的切线所 组成的平面，称为P点的 密切面。
① 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟一的。 结 论 ② 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是 ： 位于密切面内的平面曲线。 ③ 对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的平面。
速度的方向余弦：
i
z
vz
M
v
vx
vy
r
k O
j
z
a
y
vx cos(v , i ) v vy cos(v , j ) v vz cos(v , k ) v
x
y
x
3、点的加速度
设： a a x i a y j a z k
dvx d x 2 x dt dt dv y d 2 y ay 2 y dt dt dvz d 2 z az 2 z dt dt ax
（2）自然轴系 P－空间曲线上的动点； B(副法线) N(主法线)
T —过动点P的密切面内的切
线，其正向指向弧坐标正向； N —密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向曲率中心； sB —过动点P垂直于切线和主法 线的直线，其正向由B＝T × N确定。 自然轴系的基矢量：、n、b
法平面
s+
b n P
不受约束的点在空间有3个自由度， 在直角坐标系中，点在空间的位置 由3个方程确定： （1）点的运动方程
z z
M
v
z
r
i k O
j
a
y
x f1 (t ) x(t ) y f 2 (t ) y (t ) z f 3 (t ) z (t )
（2）点的轨迹方程 平面曲线 x
y
x
f ( x, y, z ) 0（与时间t无关） f ( x, y ) 0
lim
0
2 τ sin
τ
0 (τ , τ ) (τ , τ ) 2 2 2 2 v dτ v an n a n dt
2
2 1
和´以及 同处于M点的密切面内， 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。
tan
at an
几 点 讨 论
若 at = 恒量，则动点的运动称为曲线匀变速运动 由 dv = at d t 积分得 v = v 0 + at t 1 2 a t 同理，得 s = s 0 + v0 t + t 2
上两式虽与点的直线运动的公式完全相似，但式at不是 a，
at反映点作曲线运动的运动速度大小变化。 曲线匀速运动： at = 0 注意：曲线运动中，除 v = 0的瞬时外，点的法向加速度总不 为零。直线或曲线的拐点处ρ→∞，法向加速度等于零。
（1）反映速度大小变化的加速度
2
at
dv d s at τ 2 τ dt dt
v
at
at
dv 0 dt
at 方向沿轨迹切线。称为切向加速度。
v dv 0 dt
（2）反映速度方向变化的加速度
an
s