2020届江苏省盐城中学高三年级第二次阶段性质量检测(12月) 数学试题(解析版)
江苏省盐城中学2020届高三下学期阶段检测数学试题 Word版含解析
盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是______. 【答案】1 【解析】 【分析】通过复数方程，两边同乘1-2i ，然后求出复数z 即可． 【详解】因复数z 满足(1+2i )z =−3+4i ,所以(1−2i )(1+2i )z =(−3+4i )(1−2i )，即5z =5+10i ， 所以z =1+2i ,实部为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数z 的实部，不能写成复数z 的结果。
本题属于基础题。
3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．【答案】8 【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S = 点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.4.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______.【答案】345【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可．【详解】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为11(7791418)115x =⨯++++=，乙的平均数为21(89101315)115x =⨯++++=；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小）， 计算乙成绩的方差为：222222134[(811)(911)(1011)(1311)(1511)]55s =⨯-+-+-+-+-=．故答案为：345．【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，属于基础题．5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为______________. 【答案】30. 【解析】 【分析】讨论选择的数字是0和2两种情况，分别计算得到答案.【详解】若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有122312C A =个；若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有233318C A =个，故一共有30个． 故答案为：30.【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=， 所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a-=，得a b ==，因此，双曲线的焦距为248=⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2 【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅=考点：球的表面积8.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因为0,a > 所以解得a．【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象的一条对称轴是直线6x π=，则(2)f ϕ的值为___________． 【答案】12【解析】 【分析】由函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象的一条对称轴是直线6x π=可得()16f π=±，结合0ϕπ≤<解得6π=ϕ，代入(2)f ϕ中计算即可得到答案. 【详解】由题意，()16f π=±，sin(2)16πϕ⨯+=±，即,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ≤<，所以6π=ϕ，故51(2)sin5sin62f πϕϕ===. 故答案为：12. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性质，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 10.已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S ，也为等比数列，则q =____． 【答案】2 【解析】 【分析】先由{}n a 为等比数列可得222112nn q q S q=++-+--{}2n S +也为等比数列，根据等比数列的通项公式的特点可求解. 【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列. 所以()1122221111n n n n a q q q S qq q q---===+----. 222112n n q q S q=++-+--,则{}2n S +也为等比数列.所以2201q+=-，即2q .故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式的特点和等比数列的前n 项和的公式，属于中档题. 11.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=______．【答案】63- 【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,3E -，()2,1AF ∴=-，(3,3AE =--， 因此，()()(231363AE AF ⋅=-⨯-+⨯-=. 故答案为：63【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系xOy 中，直线:50l kx y k -+=与圆22:100C x y x +-=交于点,A B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是__________．【答案】5(,5]2【解析】 【分析】将直线l 与圆C 联立方程组消去y 可得2222(1)10(1)250k x k x k ++-+=，利用根与系数关系可得225(1)21A B M x x k x k +-==-+，再根据直线l 与圆C 相交，利用判别式求出2k 的范围，进而求出点M 的横坐标的取值范围． 【详解】由2250,100,kx y k x y x -+=⎧⎨+-=⎩消去y 得2222(1)10(1)250k x k x k ++-+=， 所以2210(1)1A B k x x k -+=-+， 所以222225(1)5[(1)2]1052111A B M x x k k x k k k +-+-==-=-=-+++， 因为直线l 与圆C 交于点A ，B 两点，所以22222100(1)4(1)253001000-k k k k ∆=-⨯+⨯=-+>，所以213k <，令21k t +=，4[1,)3t ∈，所以105M x t =-，其在4[1,)3t ∈上单调递减，所以552M x <≤． 故答案为：5(,5]2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归的思想，属于中档题． 13.已知ABC ∆1，AC =431tan tan A B+=，则tan A 的值为________.【答案】)1-【解析】将正切化为弦，结合边角互化思想得出()sin cos 3b A Ac -=，然后利用三角形的面积公式结合三角恒等变换思想得出2sin sin cos A A A -的值，并利用弦化切的思想可求出tan A 的值. 【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，则b =434cos 3cos 4cos sin 3sin cos 1tan tan sin sin sin sin A B A B A BA B A B A B++=+==， 4cos sin 3sin cos sin sin A B A B A B ∴+=，()()sin sin cos sin 3sin cos cos sin 3sin 3sin A B A B A B A B A B C ∴-=+=+=，由边角互化思想得()sincos 3b A Ac -=，()sin cos 3b A Ac -∴=，ABC ∆的面积为)11sin sin cos sin 22ABC S bc A A A A∆==⨯-()22sin sin cos 1A AA =-=，2sin sin cos A A A ∴-=即222222222222sin sin cos 1sin sin cos tan tan cos cos sin cos 2sin cos tan 1cos cosA A AA A A AA A A A A A A A A A---===+++，整理得))21tan 2tan 10A A ++=，解得)tan 1A =-.故答案为：)1-.【点睛】本题考查三角形中正切值的计算，同时也考查了三角形的面积公式、边角互化思想以及弦切互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.14.已知函数()2ln 2,05,04x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是________．【答案】()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【分析】求出直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程10kx y ++=，然后将问题转化为直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点，构造函数()1ln 2,015,04x x xg x x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，将问题转化为直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数k 的取值范围.【详解】直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程为()430kx y ----=，即10kx y ++=，对应的函数为1y kx =--.所以，直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点.对于一次函数1y kx =--，当0x =时，1y =-，且()00f =. 则直线l 与函数()y f x =的图象交点的横坐标不可能为0. 当0x ≠时，令()1kx f x --=，可得()1f x k x+-=，此时，令()()1ln 2,0115,04x x f x xg x x x x x ⎧+->⎪+⎪==⎨⎪++<⎪⎩.当0x >时，()22111x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 此时，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 函数()y g x =的极小值为()11g =-；当0x <时，()222111x g x x x-'=-=，当1x <-时，()0g x '>；当10x -<<时，()0g x '<. 此时，函数()y g x =在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,0-上单调递减， 函数()y g x =的极大值为()314g -=-.作出函数yk =-和函数()y g x =的图象如下图所示：由图象可知，当1k -<-或34k ->-时，即当34k <或1k >时，直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点.因此，实数k 的取值范围是()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，可得知点O 为BD 的中点，利用中位线的性质得出//PB OE ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PB 平面AEC ；（2）证明出CD ⊥平面PAD ，可得出AE CD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想得出AE PD ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AE ⊥平面PCD .【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以//OE PB ，又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥， 因为PA 、AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，PD 、CD ⊂平面PCD 且PD CD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD .【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45． （Ⅰ）若c ＝2a ，求sin sin BC的值； （Ⅱ）若C －B ＝4π，求sin A 的值． 【答案】（1）10（2）50【解析】试题分析：（1）由余弦定理cos 45B =及2c a =得出b,c 关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试题解析：（1）解法1：在ABC ∆中，因为cos 45B =，所以222425a cb ac +-=.因为2c a =，所以22242522()cc b c c +-=⨯，即22920b c =，所以10b c =.又由正弦定理得sin sin B b C c =，所以sin sin 10B C =. 解法2：因为4cos ,(0,)5B B π=∈，所以3sin 5B ==. 因为2c a =，由正弦定理得sin 2sinC A =， 所以68sin 2sin()cos sin 55C B C C C =+=+，即sin 2cos C C -=. 又因为22sin cos 1,sin 0C C C +=>，解得sin 5C =sin sin 10B C =. （2）因cos 45B =，所以27cos 22cos 125B B =-=.又0B π<<，所以3sin 5B ==，所以3424sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=. 因为4C B π-=，即4C B π=+，所以3()24A B C B ππ=-+=-， 所以333724sin sin(2)sin cos 2cos sin 2()44422522550A B B B πππ=-=-=--⨯=试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系．17.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x ％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数a 的取值范围是多少？ 【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）(0,5] 【解析】 分析】（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式即可求得x 的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解. 【详解】解：（Ⅰ）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 整理得25000x x -≤，解得0500x ≤≤， 又0x >，∴0500x <≤，∴最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为()1010001500x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元. 则由题意，知当0500x <≤时，恒有31010(1000)1500500x x a x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得10001250x a x≤++在0500x <≤时恒成立. 1000100024250250x x x x+≥⋅=， 当且仅当1000250x x=，即500x =时等号成立， ∴5a ≤，又0a >，∴05a <≤，∴a 的取值范围是(0,5].【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.18.如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1265S S =，求k 的值； （3）记直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，求21k k 的值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）6k =；（3）3. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为2c ，根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，由1265S S =，可得出25FM NF =，利用共线向量的坐标运算以及点M 、N 在椭圆C 上，列方程组求出点N 的坐标，然后利用斜率公式可求出k 的值；（3）可得出直线l 的方程为()1y k x =-，将该直线方程与椭圆C 的标准方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出21k k 的值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，椭圆过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为12，229141a b ∴+=，12c a =，解得2a =，b =22143x y +=； （2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，1265S S =，12162152AF y BF y ⨯⨯∴=⨯⨯，整理可得12365y y =，即1225y y =，25FM NF ∴=. 代入坐标，可得()1212211525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又点M 、N 在椭圆C 上，22222222722555143143x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪+=∴⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线l的斜率85614k ==--； （3）直线l 的方程为()1y k x =-，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=，2122843k x x k ∴+=+，212241243-⋅=+k x x k ， 又()()()()()()2212122111212121222122y y x k x x k x y k y x k x x x +-+-===---+122112122222x x x x x x x x +--=--+22222222222222222222222241284612182233434343433464641282243434343k k k k x x x x k k k k k k k k x x x x k k k k ⎛⎫⎛⎫-----+---+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭+====----⎛⎫-++---+ ⎪++++⎝⎭，因此，213k k =. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积比的计算以及斜率的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()2ln 2x f x a x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x ≠，且不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2230x y --=；（2）见解析；（3）[)2ln 23,-+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，求出该函数的导数，计算出()1f 和()1f '的值，然后利用点斜式可写出函数()y f x =在1x =处的切线方程；（2）求出函数()y f x =的定义域和导数()2x ax a f x x -+'=，计算出二次函数2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-，分0∆≤和>0∆两种情况讨论，可得出函数()y f x =的单调区间；（3）由（2）得知4a >，且方程()0f x '=的两根分别为1x 、2x ，利用韦达定理得出1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，由参变量分离法得出()()1212f x f x x x λ+>+，结合韦达定理得出()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，利用导数求出关于a 的函数1ln 12y a a =--在()4,a ∈+∞上的值域，由此可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()2ln 2x x f x x =-+，()112f =-，()11f x x x '=-+，()11f '=，所以，函数()y f x =在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=；（2）函数()y f x =定义域为()0,∞+，()2a x ax aa x x xf x '-+=-+=，二次函数2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-.①若240a a ∆=-≤时，即当04a <≤时，对任意的0x >，()0f x '≥，此时，函数()y f x =单调递增区间为()0,∞+，无减区间； ②若240a a ∆=->时，即当4a >时，由()20x a x x a f x '-+==，得02a x -=>或02a x =>.当02a x <<，或2a x +>时，()0f x '>，x <<()0f x '<， 此时，函数()y f x =单调递增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,22a a ⎛+⎪⎝⎭； （3）由（2）知，4a >，且1212x x a x x a +=⎧⎨=⎩，不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立等价于()()()()121212f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立， 又()()()()221211122211ln ln 22f x f x a x x x a x x x +=-++-+()()()221212121ln ln 2a x x a x x x x =+-+++()()2121212121ln 22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦()22211ln 2ln 22a a a a a a a a a =-+-=--.所以()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，令()1ln 142y a a a =-->，则11'02y a =-<， 所以1ln 12y a a =--在()4,+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln 23λ≥-. 因此，实数λ的取值范围是[)2ln 23,-+∞.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及含参函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及韦达定理的应用，考查分类讨论思想与化归与转化思想的应用，属于难题.20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n b A B =+. （1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若212n nn a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列. 【答案】（1）2n n n b A B n =+=；（2）11,s =29,4s =372s =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列{}n a 的通项公式判断其增减性，从而确定n A ，n B 的表达式，进而求出数列{}n b 的通项公式； （2）由212n nn a -=计算11322n nn na a ++--=，2n ≥时，数列单调递减，所以当4n ≥时，32142n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，讨论0,d >0d <，0d =三种情况，分别证明数列{}n a 为等差数列即可.【详解】（1）由21n a n =-得{}n a 是递增数列， 所以21,n n A a n ==-11n B a ==， 所以2n n n b A B n =+=. （2）由212n n n a -=得111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=， 当1n =，10n n a a +->，即12a a <； 当2n ≥，10n n a a +-<，即2341a a a a >>>. 又11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<，所以11,b =25,4b =354b =，当4n ≥时，32142n n n b -=+，所以11,=S 29,4=S 372S =， 当4n ≥时，令13213(1)42422n n n n n k n b kn bb ---++=+=+-， 则2,k =3b =，即13213212342422n n n n n n n b --++=+=+-. 所以344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-. 综上所述，11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-. （3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=， 由题意11,n n n n A A B B ++≥≤，①0,d >1n n A A +>，对任意*n N ∈都成立， 即11++=>=n n n n A a A a ，所以{}n a 是递增数列. 所以,n n A a =1n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-， 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；②当0d <时，1n n B B +<对任意*n N ∈都成立， 进面11n n n n B a B a ++=<=，所以{}n a 是递减数列.1,n A a =n n B a =， 所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=- 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；③当0d =时，110n n n n A A B B ++-+-=， 因为1n n A A +-与1n n B B +-中至少有一个为0， 所以二者都为0，进而可得数列{}n a 为常数列， 综上所述，数列{}n a 为等差数列.【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 【选做题】21.已知a ，b ，c ，d ∈R，矩阵A ＝20a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 的逆矩阵A －1＝11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到直线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程． 【答案】2x －5y ＋1＝0. 【解析】 【分析】 根据AA －1＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦解得A ＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，利用矩阵的线性变换，用,x y 表示,x y ''，将,x y ''代入y ＝2x ＋1并整理即可得到答案. 【详解】由题意得，AA －1＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 20a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝22a dac bd b --⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，即矩阵A ＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则 x y ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2x x yy y ''=-⎧⎨=⎩ 由已知条件可知，P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.【点睛】本题考查了由矩阵的逆矩阵求矩阵，考查了矩阵的线性变换，考查运算求解能力，属于基础题.22.在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B的极坐标分别为()π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【答案】（1）340x y -+=；（2 【解析】 【分析】（1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r .又圆心到直线AB=r ．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题． 【必做题】23.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12. （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望.【答案】(1)38；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X 的概率分布，计算数学期望. 详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；（2）因为每人可被录用的概率为，所以，， ，；故随机变量X 的概率分布表为： X 0 1 2 3 P所以，X 的数学期望为．点睛：解离散型随机变量的期望应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算．(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的期望公式计算，则更为简单．24.如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y 两点，交抛物线的准线于点H ，其中10y >，124y y =-．过点H 作y轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q .（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值． 【答案】（1）2p =；（22515【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程为2px ty =+，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去x ，得到关于y 的二次方程，利用韦达定理结合124y y =-可求出正数p 的值；（2）由直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，并设点()33,Q x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并求出AB ，求出点H 的坐标，可得出点P 的坐标，并可得出直线PF 的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点Q 的坐标，并分别计算出点P 、Q 到直线AB 的距离1d 、2d ，利用三角形的面积公式可得出S 关于t 的表达式，设20k t =>，构造函数()2f k S =，利用导数求出函数()y f k =的最小值，即可得出S 的最小值.【详解】（1）设AB 方程为2p x ty =+，与22y px =联立，消去x 整理得2220y pty p --=， 所以2124y y p =-=-，得2p =-（舍去）或2p =；（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F ，准线方程为1x =-.因为直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，()33,Q x y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，124y y =-，124y y t +=，所以()21241AB y y t =-=+， 令1x =-，则2y t =-，所以21,H t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，212,P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线PF 的方程为2112t x y t -=+，由221124t x y t y x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得()222140t y y t ---=，所以324ty -=-，32y t =，代入24y x =，得23x t =，所以()2,2Q t t . Q 到直线AB的距离为21d =，P 到直线AB的距离为22d =，所以四边形APBQ 的面积()5321221122S AB d d t t +=+==，令20t k =>，则()52241k S k +=，令()()5241k f k k +=，则()()()432132k k f k k+-'=.当203k <<时，()0f k '<，函数()y f k =单调递减， 当23k >时，()0f k '>，函数()y f k =单调递增. 所以，当23k =时，()y f k =有最小值5527，因此，四边形APBQ 的面积S 的最小值为9【点睛】本题考查抛物线方程中参数的计算，同时也考查了抛物线中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，涉及了利用导数求最值，考查运算求解能力，属于难题.。
江苏省盐城市2020届高三数学12月月考(无答案)
江苏省盐城中学高三年级综合测试数学试题（12月）(总分160分,考试时间120分钟)填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上。
1.已知集合{}Zx x x x A ∈≤-=,042，(){}A x x y y B ∈+==,1log 2，则=B A I .2.复数iiz -=12，其共轭复数为z ，则=+-1z z z ． 3.在平面直角坐标系中，从五个点：(0,0),(2,0),(1,1),(2,2),(3,3)A B C D E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 ．（结果用分数表示）4.在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，四面体11CD AB 的体积为 ．5.已知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，且方程()f x m =有两个不同的实根34,x x ，若把这四个数按从小到大顺序排列恰好构成等差数列，则实数m 的值为___________．6.已知双曲线22221x y a b-=（0,0>>b a ）的两条渐近线均和圆:C 22650x y x +-+=相切且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ． 7.已知锐角,A B 满足tan()2tan A B A +=，则tan B 的最大值为 ． 8.过直线x y l 2:=上一点P 作圆()()221M 345x y -+-=：的两条切线21,l l ，,A B 为切点，若直线21,l l 关于直线l 对称，则APB ∠= .9.已知ABC ∆是等腰直角三角形，090A ∠=，且AB a b =+u u u r r r ，AC a b =-u u u r r r，若(cos ,sin ),a R θθθ=∈r，则ABC ∆的面积为 ．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线22(0)y px p =>有相同的焦点F ，,P Q 是椭圆与抛物线的的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为 ____ .11．已知数列{}n a 的通项公式为|13|n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=L 的正整数k = .12．在平面直角坐标系中，若点,A B 同时满足：①点,A B 都在函数)(x f y =图象上；②点,A B 关于原点对称.则称点对(),A B 是函数)(x f y =的一个“姐妹点对”，当函数a x a x g x --=)(，(0,1)a a >≠有“姐妹点对”时，a 的取值范围是 .13．已知等比数列{}n a 的首项81=a ，令n n a b 2log =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，若3S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则{}n a 的公比q 的取值范围是 .14．设,m k 为整数，方程2220mx kx -+=在区间(0,1)内有两个不同的根，则m k +的最小值为 ．一、 解答题：本大题共6小题, 第15,16,17题各14分，第18,19,20题各16分,共计90分. 15.在ABC ∆中，三个内角分别为,,A B C ，且sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos 3C =,3AC =,求AB ． （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．16．如图，E 、F 分别为直角三角形ABC 的直角边AC 和斜边AB 的中点，沿EF 将AEF ∆折起到'A EF ∆的位置，连结'A B 、'A C ，P 为'A C 的中点． （1）求证：//EP 平面'A FB ． （2）求证：平面'A EC ⊥平面'A BC ．A17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现1个单位剂量的药物在血液内的浓度与 时间的关系因使用方式的不同而不同。
江苏省盐城中学2020-2021学年高三上学期第二次阶段性质量检测数学试题
高三年级盐城中学数学月考试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}10A x x =-≤，集合{}21,xB y y x R ==+∈，则A B =（ ）A. ()1,+∞B. [)1,+∞C. ()0,∞+D. ∅A分别求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出．因为{}[)101,A x x =-≤=+∞，{}{}()21,11,xB y y x R y y ==+∈=>=+∞，所以()1,A B =+∞．故选：A ．本题主要考查指数函数的值域的应用以及集合的交集运算，属于容易题． 2. “2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件A若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x ≤+，利用均值定理可得min 1()2x x+=，则2a ≤，进而判断命题之间的关系．若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x ≤+，因为12x x +≥，当且仅当1x x=时等号成立，所以2a ≤， 因为{}{2}2a a a a <⊆≤，所以“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的充分不必要条件，故选:A 本题考查充分条件和必要条件的判定，考查利用均值定理求最值． 3. 函数()()231ln 31xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.B 【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，再用特殊值确定. 因为()()()()()2231ln 31ln 3131------==-=-++x xxxx x f x f x ，所以()f x 是奇函数，故排除A ，C ；因为21212131ln 21231⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭+f ，且211221310,310,ln 02⎛⎫->+>< ⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故选：B 本题主要考查函数图象的识别以及奇偶性的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 4. 若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b->，则（ ）A. 1a >，1b >B. 01a <<，1b >C. 1a >，01b <<D. 01a <<，01b <<B首先根据221b b->以及对数式有意义，确定1b >，再结合log 0a b <，得到01a <<，从而得到正确选项. 由221bb->，可得20b b ->，解得0b <或者1b >，因为log a b 有意义，所以0b >，所以1b >， 因为log 0a b <，所以01a <<，故选：B.该题考查的是有关求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有指数不等式，对数不等式，属于基础题目.5. 已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于（ ） A. －3 B. 1 C. －1 D. 3A先解一元二次不等式得到集合A 和B ，求得交集，再利用解集求得一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＜0系数的关系，即得结果.由题意：A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}． A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知： a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.故选：A.6. 已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ） A. 0 B. 1C.2D.2A 【分析】本题首先可根据两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式对sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭进行化简，得出cos sin αα=，然后根据22cos 2cos sin =-ααα即可得出结果.因为sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11sin cos 22αααα+=+，即cos sin αα=， 则22cos2cos sin 0ααα=-=，故选：A.本题考查两角和的正弦公式、两角差的余弦公式以及二倍角公式，考查计算能力，考查转化与化归思想，是简单题.7. 已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且对任意x ∈R 都有()2f x '>，(1)3f =，则不等式()210f x x -->的解集为（ ） A. (,1)-∞ B. (1,)+∞C. (0,)+∞D. (,0)-∞B先构造函数()()21g x f x x =--，求导得到()g x 在R 上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集.构造函数()()21g x f x x =--，(1)3f =， (1)(1)210g f x ∴=--=.又任意x ∈R 都有()2f x '>.∴()()20g x f x '='->在R 上恒成立. ∴()g x 在R 上单调递增.∴当()(1)g x g >时，有1x >，即()210f x x -->的解集为{}|1x x >.本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键. 8. 对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 24251(,]e e e- B. 4253[,)e eC. 425(0,]eD. 24253[,)e e e- B原方程化为21ln y x y e a x -=+，令()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈，令()[]21,1,5y g y y e y -=∈-，可得()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，利用导数研究函数()g y 的单调性，利用数形结合可得41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得到关于a 不等式组，解出即可.详解】0x ≠，∴原式可化为21ln y xy e a x-=+， 令()[]ln ,1,x f x a x e x =+∈时()()1ln '0,x f x f x x-=≥递增，故()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，令()[]21,1,5yg y y e y -=∈-，故()()1211'22yy y g y y ey e y y e ---=⋅-=-，故()g y 在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减，而()()()()244251,00,2,5g e g g g e e-====，要使总存在三个不同的实数[]1,5y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，即41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故42514a e a e e ⎧≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，故4253a e e ≤<，实数a 的取值范围是4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B.本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 若函数3()12f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围可以是（ ） A. 31k -<<- B. 1k 3<< C. 2k 2-<< D. 11k -≤≤AB求导函数得到原函数的单调区间，求得函数在2x =-取得极大值，在2x =取得极小值，函数在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则2-在()1,1k k -+内，或2在()1,1k k -+内，列出不等式求解可得.3()12f x x x =-，2()312f x x '=-令2()3120f x x '=->解得2x > 或2x < ；3()12f x x x=-(,2),(2,)-∞+∞上单增，在(2,2)-上单减.所以函数在2x =-取得极大值，在2x =取得极小值 因为函数3()12f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数 所以121k k -<-<+或121k k -<<+ 解得31k -<<-或13k <<故选：AB..求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况得到函数的最值． 10. 若将函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（ ） A. g (x )的最小正周期为π B. g (x )在区间[0，2π]上单调递减 C. x =12π是函数g (x )的对称轴 D. g (x )在[﹣6π，6π]上的最小值为﹣12AD函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得函数g (x )的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等. 函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得()cos 2812g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π，A 正确；222()3k x k k Z ππππ≤+≤+∈()63k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈为g (x )的所有减区间，其中一个减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 错； 令23x k ππ+=，得6,2kx k Z ππ=-+∈，故C 错； x ∈[﹣6π，6π]，220,33x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(2),132x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，故 D 对故选：AD 11. 已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ）. A. ()f x 在()3,2--上为减函数B. ()f x 在()3,2--上()0f x <C. ()f x 在()3,2--上为增函数D. ()f x 在()3,2--上()0f x >CD利用()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数可知()f x 为周期函数，且周期为4，然后根据函数()f x 在[]1,2x ∈上的性质确定在区间()3,2--上的性质. 因为()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，且关于点()1,0中心对称，则()f x 的周期为4， 当[]1,2x ∈时，()12121f x x x x =--=+-=-，则函数()f x 在[]1,2x ∈上递增，且()0f x >在()1,2上恒成立，故函数()f x 在()3,2--上也递增，且()0f x >，所以C 、D 正确.故选：CD. 本题考查函数的奇偶性与周期性的结合，常用结论如下：当函数()f x 的图象关于x a =对称，且关于点()(),0b a b ≠中心对称时，则函数()f x 为周期函数，且周期4T a b =-. 12. 某同学对函数()sin e ex x xf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A. 函数()y f x =的图象关于原点对称B. 对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C. 函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D. 对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 BD由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 对于选项A ：函数()sin e ex x xf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误；对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，， ()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()(21)x f x x =-，则不等式2(2)(34)0f x x f x +++≤的解集为___________[4,1]--易得()(21)x f x x =-在R 上为奇函数且为增函数，然后可解出答案. 易得()(21)x f x x =-在R 上为奇函数且为增函数所以由2(2)(34)0f x x f x +++≤可得2(2)(34)f x x f x +≤-+ 所以2(2)(34)f x x f x +≤--，所以2234x x x +≤--，解得41x --≤≤ 即不等式2(2)(34)0f x x f x +++≤的解集为[4,1]-- 故答案为：[4,1]--14. 若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.先由题意，得到sin 2cos αα=-，即tan 2α，再由cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，通过弦化切，即可求出结果. 因为点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上， 所以sin 2cos αα=-，因此tan 2α，所以22cos sin cos 2cos 2cos sin 2sin cos 3332πππααααααα-⎛⎫+=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭()222222cos sin 1tan 142(tan 1)102sin cos αααααα---===+=++故答案本题主要考查三角恒等变换求值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式，两角和的余弦公式等即可，属于常考题型. 15. 已知21(0,0)a b a b +=>>，则21b a b+的最小值等于________．2由21(0,0)a b a b +=>>，代入21b a b+变形，利用基本不等式即可得出．解：由题意得2122222222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++⋅=，当且仅当1a ==时等号成立，所以21b a b+的最小值为2．故答案为：2本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知函数21,0,()2,0.x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩则()0f x =根为_____________；若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是___________.(1). 1-或2 (2). 1(1,1)e+（1）当0x ≤时，运用导数求得函数单调区间，可得min ()(1)0f x f =-=，可得一根，当0x >时，直接求解可得.（2）先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有4个零点所需要的条件，即可求得结果.（1）当0x ≤时，1()xf x xe e=+，所以()(1)x x x f x e xe x e '=+=+，令()0f x '=，得1x =-，并且当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以min ()(1)0f x f =-=，故当0x ≤时，()0f x =有唯一根1-，当0x >时，()22f x x x =-，令()0f x =，解得0x =（舍去）或2，故当0x >时，()0f x =的根为2， 综上，()0f x =根为1-或2；（2）因为21,0()2,0x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩， 当0x ≤时，由（1）min ()(1)0f x f =-=，则10()f x e≤≤，当0x >时，22()2(1)1f x x x x =-=--，则函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 且仅当(2)0f =，且()1f x ≥-，因为当(())0y f f x a =-=时，则有()2f x a -=或()1f x a -=-， 即()2f x a =+或()1f x a =-，由图象得，要使函数(())y f f x a =-有四个零点，则12101a e a e ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得111a e <<+，或120110a a -<+<⎧⎨-<-<⎩，无解，综上所述，实数a 的取值范围是1(1,1)e+，故答案是：1-或2；1(1,1)e+.该题考查的是有关根据函数的零点的个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，结合图象确定函数的零点，以及与题意相同的对应参数所要满足的条件，属于较难题目.四､解答题：本题共6小题，17题10分，其余每小题12分共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1a ，3a 的等差中项为10，28a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （1）()1*2n n a n N +=∈；（2）1212n n n S ++=-. （1）利用已知条件求出首项与公差，然后求数列{}n a 的通项公式；（2）化简n nnb a =，利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S ． （1）由题意可得：211(1)208a q a q ⎧+=⎨=⎩，22520q q ∴-+=，1q >，∴142a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为1*2()n n a n N +=∈．（2）12n n nb +=，∴23411232222n n n S +=+++⋯+， 3412112122222n n n n nS ++-=++⋯++， 上述两式相减 可得2341211111222222n n n nS ++=+++⋯-∴11231111111112221122222222n n n n n n n n n S ++++-+=+++⋯-=-=-．本题考查数列的递推关系式，数列求和的方法，考查逻辑推理能力、运算求解能力．18. 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．（Ⅰ）π；1-．（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．19. 已知函数2224()(log )log 1f x a x b x =++，,a b 为常数，1()02f =，且()f x 的最小值0. （1）求()f x 的表达式；（2）若函数2()()log 21F x f x m x m =-++有两个零点，且一个在区间(11,42)上，另一个在区间(1,12)上，求实数m 的取值范围. （1）222()(log )2log 1f x x x =++；（2）11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）由1()02f =可得10a b -+=，由()f x 的最小值为0可得20404a a b a >⎧⎪⎨-=⎪⎩，即可解出,a b ；（2）令2log u x =，可得方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上，利用零点存在性定理可求出.解：（1）222()(log )log 1f x a x b x =++，1()02f =，10a b ∴-+=（1）， 若0a =，2()log 1f x x =+，函数无最小值，故0a ≠，又且()f x 的最小值为0，必须有20404a a b a >⎧⎪⎨-=⎪⎩（2），由（1）（2）得，1,2a b ==，从而222()(log )2log 1f x x x =++；（2）由2()()log 210F x f x m x m =-++=得，222(log )(2)log 220x m x m +-++=，令2log u x =，则方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上， 设2()(2)22h u u m u m =+-++，所以(2)442220(1)12220(0)220h m m h m m h m -=-+++>⎧⎪-=-+++<⎨⎪=+>⎩，解得1123m -<<-，即m 的取值范围(11,23--).本题考查零点存在性定理的应用，解题的关键是得出方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上.20. 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A ，B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A 组，求A 组这4人中得到礼品的人数X 的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m 岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m 应取25还是35？请通过比较2K 的观测值的大小加以说明.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(1) ①9人 ②见解析；(2) 25m =（1）①根据分层抽样要求，先求从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数60100300⋅，再求“年龄达到35岁” 中偶尔使用单车的人数4520100⋅； ②确定随机变量X 的取值，计算X 各个取值的概率，得分布列及数学期望.(2)对年龄m 是否达到35,m 是否达到25对数据重新整理（2⨯2联表），根据公式计算相应的2K ，比较大小确定.（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有6010020300⨯=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为45209100⨯=. ②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：()35395042C P X C ===，()12453910121C C P X C ===， ()2145395214C C P X C ===，()34391321C P X C ===.故其分布列为∴()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：35m =时，由（1）中的列联表，可求得2K 的观测值 ()22130012545755530015002520010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 25m =时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到25岁 67 33 100 达到25岁 113 87 200 合计 180120300可求得2K 的观测值()22230067871133330021004920010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. ∴21k k >，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m =.本题考查分层抽样和独立性检验，随机变量的分布列及数学期望，考查统计知识理解掌握水平、对数据的处理能力及分析推理解决实际问题的能力.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a >b >0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O .当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB =3b .（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由.（1）22142x y +=；（2）最大值为（3）存在，理由见解析. （1）由题可得22212ab b a b c =⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出,a b 即可求出椭圆方程；（2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，联立直线与椭圆方程，表示出点B 坐标，进而得出AB ，由CD 的方程为y kx =，得出BC ，即可得出矩形ABCD 面积，求出最大值；（3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，322220k k k -+-=(0)k >，根据零点存在可得出方程有解，即可判断.解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,a b c ===，所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=. （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k =+，所以212AB k ==+， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2288112122k S k k k k====+++所以当且仅当22k =时，矩形ABCD 面积S 的最大值为22. （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，即222412121k kk k +=++，则322220k k k -+-=(0)k >， 令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断， 所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.本题考查椭圆中四边形的面积问题，解题的关键是设出直线方程，表示出矩形的相邻两边边长，进而可求出最值.22. 设函数1(1)f x x=-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）．（1）若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值； （3）若()()x f e g x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．（1）(3,1]a ∈-；（2）3a =-；（3）1[0,]2（1）由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3,1]a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； （2）21'()f x x =，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有{()()'()'()P P P PP P y f x y g x f x g x ===即{()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是{当1P P ax x +=时111Px -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-； （3）由题得在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)x e --∈，所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥． 解法一：不等式恒成立等价于(1)(1)0x ax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立，令1()(1)(1)1xx ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-， 再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e -+-=，同时，，'(0)0h =，(0)0h =，①当0a =时，1'()0,x m x e=-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e---=，因为210a a-->，所以'()0m x <， 则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减， ∴即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a-> 若210a x a-<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a -上单调递增，所以'()'(0)0h x h >= 即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴，即()()x f e g x ≥，不满足条件． 综上，()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2．解法二：不等式恒成立等价于(1)(1)0x x ax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)x x x h x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()x h x e ax x a a =-+-， 再设()'()()x m x h x e ax x a a ==-+-，则同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数)'(h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=， 即()()x f e g x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符， ②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数)'(h x 是(0,)+∞上的减函数 所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >， 故函数)'(h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=， 即()()x f e g x ≥，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．。
江苏省盐城中学2020届高三年级第二次阶段性质量检测数学试卷(6页)
江苏省盐城中学2020届高三年级第二次阶段性质量检测数学试卷数学试题一、填空题1.设集合{}{}1,,2,3,4A x B ==，若4A B =，则x 的值为2.已知复数131iz i-=+，则复数z 的虚部为 3.函数()f x =的定义域是4.设a R ∈，则“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”的 条件5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为6.设函数()ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为2，则实数a 的值为7．已知实数x,y 满足条件2403300x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为8.在平面直角坐标系xOy 中，已知焦距为4的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右准线与它的两条渐近线分别相交于点P,Q ，其焦点为12,F F ，则四边形12PF QF 的面积的最大值 为9.在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，若32AD AB =，则CD CB ⋅=10.若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为11.已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n N ∈，总有321n n n S T =+，则44a b = 12.已知函数()33,02,0x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，若函数()()()12y f x a f x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有5个零点，则实数a 的取值范围是13.在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （2,2），E 、F 为圆()()22:114C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为 14.已知△ABC1，且满足431tan tan A B+=，则变AC 的最小值为 二、解答题15.已知函数()21sin 2.2f x x x = （1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.16.已知△ABC 中，13tan ,tan ,45A B AB === （1）角C 的大小；（2）△ABC 中最小边的边长。
【精准解析】江苏省南京市、盐城市2020届高三下学期第二次模拟考试数学试题
南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试卷数学一、填空题题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B = _____________.【答案】{}1,3【解析】【分析】由集合A 和集合B 求出交集即可.【详解】解： 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3.【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.2.已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________.【答案】5【解析】【分析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以()222345z =-+=.故答案为：5.【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.3.如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】14-【解析】【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0x x x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解.故答案为：14-.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有_____________个．【答案】325【解析】【分析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可.【详解】解： ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦.故答案为：325.【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.5.从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.【答案】12【解析】【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==.故答案为12.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3af x x =+，则()f a 的值为___________________．【答案】0【解析】【分析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可.【详解】解： 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =.∴()()00f a f ==.故答案为：0.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.7.若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________.【答案】2π【解析】【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值.【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π.故答案为：2π.【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8.在ABC 中，AB =AC =，90BAC ∠=︒，则ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.【答案】【解析】【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为2r AD ==，则所形成的几何体的表面积为()(122S r l l ππ=+=⨯⨯=.故答案为：.【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.9.已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b 的值为_______________．【答案】5【解析】【分析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，可得2132a a a =+，所以22a b =-+.②根据①②得出1a =，4b =.所以5a b +=.故答案为5.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10.已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．【答案】2【解析】【分析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值.【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小.设切点()P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，PA =，∴sin 2PM PAM PA ∠==.故答案为：22.【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.11.已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________.【答案】8【解析】【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解： x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()()2414949462468444x x y x x x x x x -++=+=++-≥+⋅-=+++.当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12.在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.【答案】5±【解析】【分析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可.【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD = AB OD =∴AB =.圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得5k =±.故答案为：5±.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.13.在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC +=，若ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________．【答案】2【解析】【分析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--=，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCS BC y =⋅ ，可得2222a a y ≤=.则2BC a ==.故答案为：2.【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14.函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.【答案】11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1x f x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围.【详解】解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >.设()0f t =的负根为m ，由题意知，112m b +>-，12m b >-，102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e ->，∴1ln 22b <+.∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，计90分.15.如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =，求证：平面PBC ⊥平面ABC .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】【分析】()1利用线面平行的判定定理求证即可；()2D为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，PE =，可知222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可.【详解】解：()1证明： D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又 AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明： D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，PE =，则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.【答案】()14B π=；()2sin sin AD ADC b C ∠=.【解析】【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=，()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=，sin Ccos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >，则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.17.如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道 DE.记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.【答案】()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】【分析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围；()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值.【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧 DE的长为2πθ-，因此，优弧 DE 的长为2πθ+，又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=θ0,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭3π,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f θ'-0+()f θ单调递减极小值单调递增故3πθ=时，()min 533f πθ=+所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为12，且过点(.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】()122143x y +=；()2①7；②2.【解析】【分析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460kx x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b a c c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =或7-，B ，M 不重合，故437y =-，213249x =，故43327MN x ==；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=-()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ==0k =时，min 2d =；综上，原点O 到直线MN距离的最小值为2.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19.已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h xg x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.【答案】()1[]10,28；()24；()312.【解析】【分析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围；()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+，整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12a a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值.【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=，即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意；②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='，解得：13x ==，当10,3x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意；③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：1103x -=<，2103x +=>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =，若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增，由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤，综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x '=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+，整理得22ln ay x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=，且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20.已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ；()2求矩阵N 的特征值.【答案】()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-.【解析】【分析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值.【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-，即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】16【解析】【分析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可.【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，所以AB ===，将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.22.已知a ＞0，证明：1a a+-2．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用分析法，证明a 132a +即可．【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a +≥2，∴a 1a +-2≥0，1a a +-2，只要证明a 221a +（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4，只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立．【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．23.某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.【答案】()135；()29.【解析】【分析】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值.【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=，所以()1433155P A =+=；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C m P X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥，即m 的最小值为9.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.24.已知集合{}1,2,,n A n = ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++ 的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.【答案】()14；()2证明见解析.【解析】【分析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果；()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++= ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++= ，此时令11a =，22a =，31a =，40a =，满足对任意()*3i i N ≤∈，都有11i i a a +-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M 满足题意，且20k a =，则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=，且()224124k k k j j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=，综上，原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。
江苏省盐城市第二中学2020-2021学年高三数学理月考试卷含解析
江苏省盐城市第二中学2020-2021学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的焦点为F，其准线经过双曲线的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．参考答案：A2. 任意输入一个x的值，则输出的f（x）值不小于常数e的概率是（）A．B．1﹣C．1+D．参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】由题意得，当1≤x≤e时，f（x）≥e，利用几何概型的概率公式求出输出的f（x）值不小于常数e的概率．【解答】解：由题意得如图所示，当1≤x≤e时，f（x）≥e，故f（x）值不小于常数e的概率是，故选：B．3. 已知, 则是的( )条件.A．充要B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要参考答案：B4. 若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则+最小值（）A．2 B．6 C．12 D．3+2参考答案：D【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】根据直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），建立m，n的关系，利用基本不等式即可求+的最小值．【解答】解：∵直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1，∵+=（+）（m+n）=3++≥3+2，当且仅当=，即n=m时取等号，∴+的最小值为3+2，故选：D．5. 复数，则实数a的值是（）A．B． C． D．－参考答案：B6. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；③线性回归方程必过点（，）；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得，则其两个变量间有关系的可能性是90%。
其中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C①肯定是正确的；②是错误的，，应该是减少，挑衅学生的智商呢；③对的，这个结论要记住哟；④错误，曲线上的点与该点的坐标之间应该是确定性的关系，而不是相关关系；⑤错误，由，知两个变量间有关系的可能性是99.9%，故选择C。
2020届江苏省盐城市东台创新高级中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2020届江苏省盐城市东台创新高级中学高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = .【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【详解】1,2A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(1,1)B =-，A∩B=1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.2．复数112i+（i 是虚数单位）的实部为____． 【答案】15【解析】先利用复数的乘除运算化简复数，再利用复数的概念求解. 【详解】因为复数()()1121212121255i i i i i -==-++-， 所以其的实部为15， 故答案为：15【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为____． 【答案】100.【解析】试题分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值． 详解：分层抽样的抽取比例为701=350050， 总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×150=100．故答案为100．点睛：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．分层抽样适用于总体内的个体间有明显差异，将特性相同的分为一类.4．执行如图所示的流程图，则输出S的值为____．【答案】19.【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得k=2，S=0满足条件k＜10，执行循环体，S=2，k=3满足条件k＜10，执行循环体，S=5，k=5满足条件k＜10，执行循环体，S=10，k=9满足条件k＜10，执行循环体，S=19，k=17此时，不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为19．故答案为19．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.5．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为__________． 【答案】【解析】利用列举法：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，共4种结果，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，有（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种结果，故甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为，故答案为． 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则//l m ； ③若//l m ，则αβ⊥； ④若l m ⊥，则//αβ. 其中正确命题的序号是_______． 【答案】①③ 【解析】【详解】已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，对于①，若//αβ，得到直线l ⊥平面β，所以l m ⊥，故①正确；对于②，若αβ⊥直线l 在β内或者l β//，则l 与m 的位置关系不确定；对于③，若//l m ，则直线m α⊥，由面面垂直的性质定理可得αβ⊥，故③正确；对于④，若l m ⊥，则α与β可能相交，故④错误，故答案为①③. 【点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定. 7．函数24y x =-的值域是 _____.【答案】[0,2]【解析】先确定偶次根式被开方数范围，再确定函数值域. 【详解】2404[0,2]x y ≤-=≤∴故答案为：[0,2] 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．函数()ln f x x x =的单调减区间是______． 【答案】1(0,)e【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写成区间形式，可得到函数ln y x x =的单调减区间. 详解：函数的定义域为0x >，'ln 1y x =+，令ln 10x +<，得10,x e<<∴函数ln y x x =的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间.9．用半径为2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________cm【解析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可. 【详解】由题得, 半圆形纸片弧长为2cm π,设圆锥的底面半径为r ,则221r r cm ππ=⇒=,=.【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题.10．已知(,2),(2,1),,a x b a b =-=的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是_________． 【答案】()(),44,1-∞--【解析】根据向量夹角公式列不等式，由此求得x 的取值范围. 【详解】设两个向量的夹角为θ，依题意可知θ为钝角， 则cos 0122x θ<⎧⎨⨯≠-⨯⎩，即cos 04x θ<⎧⎨≠-⎩，由cos 04a b a bx θ⋅==<⋅+得1x <，由于4x ≠-，所以实数x 的取值范围是()(),44,1-∞--.故答案为：()(),44,1-∞--【点睛】本小题主要考查根据向量夹角求参数，属于中档题.11．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，且a ，2b，c 成等差数，则b 的最大值为_________． 【答案】2【解析】利用a ，2b，c 成等差数列，可得b a c =+，可得2226a b c ++=，结合2222()()a c a c ++，可得b 的最大值．【详解】 解：a ，2b，c 成等差数列， b a c ∴=+，， 2226a b c ∴++=， 2226a c b ∴+=-，2222()()a c a c ++， 222(6)b b ∴-， 24b ∴，2b ∴，b ∴的最大值为2．故答案为：2． 【点睛】本题考查长方体的结构特征，考查等差数列的性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦____． 【答案】9-或19-. 【解析】试题分析：设这两条直线的斜率分别为k 和k -，则它们的方程分别为10kx y k --+=和10kx y k +--==，即231030k k -+=，解得13k =或3，所以219k -=-或9-；【考点】1．直线与圆的位置关系；2．点到直线的距离公式； 13．若数列{}n a 满足()1122n n na a a n -++≥≥，则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数列{}n b 的公差为d ，14b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为____． 【答案】(,4]-∞【解析】由等差数列{}n b 的公差为d ，14b =，得到4(1)n b n d =+-，再根据数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则11211n n n b b b n n n -++≥-+恒成立，即4(2)44(1)211n d nd n dn n n+-++-+≥-+恒成立，再化简转化为()()222410d n n ⎡⎤---≥⎣⎦恒成立求解.【详解】因为等差数列{}n b 的公差为d ，14b =， 所以1(1)4(1)n b b n d n d =+-=+-，因为数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，所以11211n n n b b bn n n -++≥-+恒成立， 即4(2)44(1)211n d nd n dn n n+-++-+≥-+，恒成立，所以444211d d d d d d n n n ---⎛⎫+++≥+ ⎪-+⎝⎭，恒成立， 即444211d d d n n n ---⎛⎫+≥ ⎪-+⎝⎭，恒成立， 因为2n ≥，所以()()110n n -+>， 两边同乘以()()110n n n -+>，得()()()()()()()41412411d n n d n n d n n -++--≥--+，即()()222410d n n ⎡⎤---≥⎣⎦，恒成立，所以()240d -≥， 解得4d ≤，所以d 的取值范围为(,4]-∞ 故答案为：(,4]-∞ 【点睛】本题主要考查数列新定义，数列与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间()1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是____．【答案】()11,3,795⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据已知条件判断出()f x 的周期，由此画出()f x 的图象，将()g x 在区间()1,9-内恰有三个不同零点，转化为(),log(1)af x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点，结合0a >或01a <<进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】依题意，()f x 为R 上的偶函数，且()()22f x f x -=+， 所以()()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=-+=-=， 所以()f x 是周期为4的周期函数.由于[]0,2x ∈时，()22xf x =-，由此画出()f x 在区间()1,9-上的图象如下图所示.令()()log (1)0a g x f x x =-+=，得()log (1)a f x x =+.故()g x 在区间()1,9-内恰有三个不同零点，即(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点.当1a >时，画出(),log (1)a f x y x =+图象如下图所示，由图可知，要使(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点，则()()log 21237log 612a aa ⎧+<⎪⇒<<⎨+>⎪⎩.当01a <<时，画出(),log (1)a f x y x =+图象如下图所示，由图可知，要使(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点，则()()log 41111log 81195a a a ⎧+>-⎪⇒<<⎨+<-⎪⎩.综上所述，实数a 的取值范围是()11,3,795⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：()11,3,795⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性和零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.二、解答题15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . (1) 若2cos 6sin A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值； (2) 若1cos ,33A b c ==，求sin C 的值． 【答案】（1）60； （2）13.【解析】分析：（1）利用二倍角公式求得cos 23A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值，进而利用诱导公式求得sin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭A π的值；（2）先利用余弦定理求得a 和c 的关系，进而根据cos A 求得sin A ，最后利用正弦定理求得sin C 的值.详解：（1）若2cos 6sin A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31sin cos 2cos 22A A A ⋅+⋅=， 变形可得33sin cos 2A A ⋅=， 即sin 3cos A A =，则tan 3A =， 则,603A A π=∴=.(2)222222101cos 263b c a c a A bc c +--===,228c a ∴=,22a c ∴=,由正弦定理可得22222sin sin 1cos 3C A A ==-=, 1sin 3C ∴=. 点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及两角和与差的正弦公式，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．在如图多面体中，DF ⊥底面BEFC ，////AD EF BC ，12BE AD EF BC ===，G 是BC 的中点．（1）//AB 平面DEG ； （2）EG ⊥平面BDF ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）利用平行四边形的判定定理即可得到四边形ADGB 是平行四边形，利用其性质即可得到//AB DG ，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用平行四边形的判定定理可得四边形AEFD 是平行四边形，得到//DF AE ，由AE ⊥底面BEFC ，利用线面垂直的性质可得DF ⊥底面BEFC ．得到DF EG ⊥．再证明四边形BEFG 是菱形，即可得到EG BF ⊥，利用线面垂直的判定即可得到结论． 【详解】证明：（1）////AD EF BC ，12AD EF BC ==，G 是BC 的中点． //AD BG ∴，=AD BG∴四边形ADGB 是平行四边形，//AB DG ∴，AB ⊂/平面DEG ，DG ⊂平面DEG ．//AB ∴平面DEG ；（2）//AD EF ，AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形，//DF AE ∴， AE底面BEFC ，DF ⊥∴底面BEFC ．DF EG ∴⊥．连接FG ，12EF BC =，G 是BC 的中点，//EF BC ， ∴四边形BEFG 是平行四边形，又BE EF =，∴四边形BEFG 是菱形，BF EG ∴⊥．DFBF F =，DF ⊂平面BDF ，BF ⊂平面BDFEG ∴⊥平面BDF ．【点睛】熟练掌握平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定与性质定理、线面垂直的判定与性质定理、菱形的判定与性质定理是解题的关键． 17．已知向量(sin ,cos ),(cos ,cos )(0)m x x n x x ωωωωω==>，设函数()f x m n =⋅，且()f x 的最小正周期为π． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间上3[0,]4π上的取值范围．【答案】（1）3[,],88k k k Z ππππ-++∈；（2）11[,]222--． 【解析】（1）利用向量数量积的坐标运算、降次公式和辅助角公式化简()f x ，根据()f x 的最小正周期求得ω，进而利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（2）利用三角函数图象变换求得()g x 的解析式，利用三角函数值域的求法，求得函数()y g x =在区间上3[0,]4π上的取值范围. 【详解】 （1）()211cos 2sin cos cos sin 222x f x =m n x x x x ωωωωω+⋅=⋅+=+12242x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 又22T ππω==，1ω∴=， ∵222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈∴3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 故()f x 的单调递增区间是3[,],88k k k Z ππππ-++∈，（2）1()sin(2)242f x x π=++，纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到11())242f x x π=++，向下平移1个单位，得到1())242g x x π=+-，3[0,],[,]444x x ππππ∈∴+∈sin()[0,1]4x π∴+∈， 21121sin()[,]242222x π∴+-∈--，()g x 的取值范围为121[,]222--． 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间、值域的求法，属于中档题. 18．如图，扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB 为23π，半径OA 为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段DB 组成，其中D 在线段OB 上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ.(1)用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，观光道路最长？ 【答案】（1）3cos sin ,0,3CD πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】（1）利用θ表示CD 的长度的关键是在COD ∆中正确利用正弦定理； （2）首先将道路长度()L θ表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得6πθ=时，观光道路最长.【详解】(1)在△OCD 中，由正弦定理，得＝＝＝， 所以CD ＝sin＝cos θ＋sin θ，OD ＝sin θ，因为OD <OB ，即sin θ<1，所以sin θ<，所以0<θ<，所以CD ＝cos θ＋sin θ，θ的取值范围为.(2)设观光道路长度为L (θ)， 则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长 ＝1－sin θ＋cos θ＋sin θ＋θ＝cos θ－sin θ＋θ＋1，θ∈，L ′(θ)＝－sin θ－cos θ＋1，由L ′(θ)＝0，得sin ＝，又θ∈，所以θ＝，列表： θL ′(θ) ＋ 0 －L (θ) 增函数极大值减函数所以当θ＝时，L (θ)达到最大值，即当θ＝时，观光道路最长． 【点睛】该题考查的是有关已知三角函数模型的应用问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦定理，函数的性质，辅助角公式，三角函数的最值问题，正确应用公式是解题的关键.19．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）3椭圆C 与y 轴交于,A B两点，且2AB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）点P 横坐标08(,2]5x ∈，EF 的最大值2．【解析】【详解】（1）由题意可得，1b =，3c e a ==， 得22134a a -=， 解得24a =， 椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为，同理得直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-，令0y =， 则2220200164(4)(1)y x x x -+=-， 因为220014x y +=，所以2020114y x -=-， 所以28(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈． 设交点坐标12(,0),(,0)x x ，则120825x x x -=-0825x <≤）， 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2． 【考点】直线与圆位置关系，两直线交点20．已知非零数列{}n a 满足11a =，112N n n n n a a a a n *++=-∈（）. （1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若关于n 的不等式222121113111log (1)log (1)log (1)nm n n n a a a ++⋅⋅⋅+<-++++++有解，求整数m 的最小值；（3）在数列11(1)n n a ⎧⎫+--⎨⎬⎩⎭中，是否存在首项、第r 项、第s 项(16r s <<≤)，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的,r s ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）存在，4,3s r ==或6,5s r ==.【解析】（1）由条件可得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由等比数列的定义即可得证；（2）由等比数列的通项公式求得，112n na +=，再由数列的单调性的判断，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；（3）假设存在首项、第r 项、第s 项(16r s <<≤)，使得这三项依次构成等差数列，由等差数列的中项的性质和恒等式的性质，可得s ，r 的方程，解方程可得所求值. 【详解】解：（1）证明：由112n n n n a a a a ++=-，得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）可得，112n na +=，则221log 1log 2n n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=+ 故111312m n n n n++⋯+<-+++， 设111()12f n n n n n=++⋯++++， 则1111111(1)()23212212f n f n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=++⋯++-++⋯+ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭11111021*******n n n n n =+-=->+++++， 所以()f n 单调递增，则min 1()(1)2f n f ==，于是132m <-，即 72m >， 故整数m 的最小值为4；（3）由上面得，121n n a =-， 设11(1)2(1)n n n n nb a =+--=--， 要使得1,,r s b b b 成等差数列，即12s r b b b +=， 即132(1)22(1)ssr r ++--=--，得122(1)2()31sr s r +=-----，1,230(1)(1)s r s r ≥+∴----≥， 1(1)1(1)1s r s r =+⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩， 故s 为偶数，r 为奇数，36,4,3s s r ≤<∴==或6,5s r ==.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性求得最值，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式的性质，是一道难度较大的题目.。
2020届南京盐城二模数学试卷及答案
2020届南京盐城二模数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x|x(x －5)<0}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为________．3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为________．(第3题) (第4题)4. 某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．5. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f(x)＝x ＋a3，则f(a)的值为________．7. 若将函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象沿x 轴向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为________．8. 在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．9. 已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a>0，b>0，则a ＋b 的值为________．10. 已知P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA的最小值为________． 11. 已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m>0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为________．13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB →＋2AC →|＝3|BC →|.若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为________．14. 函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b ∈R )，若函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫f （x ）－12恰有4个零点，则实数b 的取值范围为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC. (1) 求证：AC ∥平面PDE ；(2) 若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝bcos C ＋csin B. (1) 求B 的值；(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游客到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且 BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．在沿圆C 的优弧(圆C 上的实线部分)上再修建栈道DE ︵.记∠CBD 为θ.(1) 用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确定sin θ的取值范围； (2) 求当θ为何值时？栈道总长度最短．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，且过点(0，3)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．已知函数f(x)＝x 3－x 2－(a －16)x ，g(x)＝aln x ，a ∈R .函数h(x)＝f （x ）x －g(x)的导函数h′(x)在区间⎣⎡⎦⎤52，4上存在零点．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；(3) 若直线l 与曲线y ＝f(x)和y ＝g(x)都相切，且直线l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项的和为S n，记T n为数列{a n}的前a n项和，即T n＝a1＋a2＋…＋aa n.(1) 若数列{a n}为等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的值；(2) 若数列{a n}为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得T na n<2，求数列{a n}的通项公式；(3) 若数列{T n}的通项为T n＝n（n＋1）2，求证：数列{a n}为等差数列．2020届高三年级第二次模拟考试(九)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.(1) 求矩阵N ；(2) 求矩阵N 的特征值．B. [选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2.若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a>0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次，抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23. (本小题满分10分)已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n.记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.2020届南京盐城二模数学参考答案1. {1，3}2. 53. －144. 3255. 126. 07. π28. 65π9. 5 10. 22 11. 812. ±25513. 2 14. ⎝⎛⎭⎫1，12＋ln 2 15. (1) 因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC.(2分)因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， 所以AC ∥平面PDE.(4分)(2) 因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ＝12AC.又因为AC ＝2，所以DE ＝1.因为PD ＝2，PE ＝3， 所以PD 2＝PE 2＋DE 2，所以在△PDE 中，PE ⊥DE.(8分)又因为平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE ⊥平面ABC.(12分) 因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC.(14分) 16. (1) 因为a ＝bcos C ＋csin B ， 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．(2分) 又因为sin A ＝ sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ， 所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ， 即cos Bsin C ＝sin Bsin C ．(4分) 因为0<C<π，所以sin C ≠0， 所以sin B ＝cos B.又0<B<π，所以sin B ≠0，所以cos B ≠0， 所以tan B ＝1， 所以B ＝π4.(6分)(2) 因为AD 是∠BAC 的平分线， 设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ. 因为cos A ＝－725，所以cos 2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925.因为0<A<π，所以0<θ<π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45.在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210.(8分) 因为AD sin B ＝AB sin ∠ADB，所以AB ＝AD·sin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175.(10分)在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos A·sin B ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.(12分) 因为b sin B ＝c sin C，所以b ＝c·sin B sin C ＝175×2217250＝5.(14分)17. (1) 连结CD.因为BD 与圆C 相切，切点为D ， 所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米， 所以DB ＝1tan θ，BC ＝1sin θ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米， 所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ.(2分)又因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ，优弧DE ︵所对圆心角为2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优弧DE ︵的长l 为π＋2θ，(4分) 所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ.(6分)因为0<AB<2，所以0<3－1sin θ<2，解得13<sin θ<1，所以sin θ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.(8分)(2) 由f(θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f′(θ)＝－2＋cos θsin 2θ＋2＝cos θ（1－2cos θ）sin 2θ.(10分) 令f′(θ)＝0，解得cos θ＝12.因为θ为锐角，所以θ＝π3.(12分) 设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0<θ0<π3. 当θ∈⎝⎛⎭⎫θ0，π3时，f′(θ)<0，则f(θ)在区间(θ0，π3)上单调递减； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，f′(θ)>0，则f(θ)在区间(π3，π2)上单调递增， 所以f(θ)在θ＝π3时取得最小值． 故当θ＝π3时，栈道总长度最短．(14分) 18. (1) 记椭圆C 的焦距为2c.因为椭圆C 的离心率为12， 所以c a ＝12. 因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝ 3.因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2分) (2) ①因为B 为椭圆C 的上顶点，所以点B 的坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知，M ，N 两点关于y 轴对称．(4分)不妨设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，y 0)，其中－3<y 0< 3.又因为MO ⊥BN ，所以MO →·BN →＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，整理得x 20－y 20＋3y 0＝0.(6分)又点M(x 0，y 0)在椭圆上，则x 204＋y 203＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 204＋y 203＝1，解得y 0＝－437或y 0＝3(舍去)， 此时|x 0|＝2337， 故MN ＝2|x 0|＝4337， 即线段MN 的长为4337.(8分) ②设B(m ，n)，记线段MN 的中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以BO →＝2OD →，则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2.(10分) 若n ＝0，则|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为⎪⎪⎪⎪m 2，即为1；若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n.又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0， 所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ，(12分) 故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2－n 2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2，将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9.(14分) 因为0<n 2≤3，所以d min ＝32. 又32<1， 故原点O 到直线MN 距离的最小值为32.(16分) 19. (1) 因为h(x)＝f （x ）x－g(x)＝x 2－x －(a －16)－aln x ， 所以h′(x)＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x. 令h′(x)＝0，得2x 2－x －a ＝0.因为函数h′(x)在区间⎣⎡⎦⎤52，4上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在区间⎣⎡⎦⎤52，4上存在零点．又函数y ＝2x 2－x －a 在区间⎣⎡⎦⎤52，4上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫522－52－a ≤0，2×42－4－a ≥0，解得10≤a ≤28. 故实数a 的取值范围为[10，28]．(2分)(2) 因为当x ∈[0，b]时，函数f(x)在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0对任意x ∈[0，b]都成立．(4分)当x ＝0时，上式恒成立；(6分)当x ∈(0，b]时，存在a ∈[10，28]，使得x 2－x ＋16≤a 成立，(8分)所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4.故当a ＝28时，b 的最大值为4.(10分)(3) 设直线l 与曲线y ＝f(x)相切于点A(x 1，f(x 1))，与曲线y ＝g(x)相切于点B(x 2，g(x 2))．过点A(x 1，f(x 1))的切线方程为y －[x 31－x 21－(a －16)x 1]＝[3x 21－2x 1－(a －16)](x －x 1)，即y ＝[3x 21－2x 1－(a －16)]x －2x 31＋x 21.过点B(x 2，g(x 2))的切线方程为y －aln x 2＝a x 2(x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋aln x 2－a. 又因为直线l 在y 轴上的截距为－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－2x 1－（a －16）＝a x 2， ①－2x 31＋x 21＝－12， ②aln x 2－a ＝－12， ③(12分) 由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2，aln x 2－a ＝12，消去a ，得ln x 2＋1－x 22x 2＝0.(14分) 由(1)知10≤a ≤28，且x 2>0，则x 2≥57. 令p(x)＝ln x ＋1－x 2x，x ∈⎣⎡⎭⎫57，＋∞， 则p′(x)＝1x －12x 2＝2x －12x 2. 因为p′(x)>0，所以函数p(x)在区间⎣⎡⎭⎫57，＋∞上为增函数．又因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不间断的，所以函数p(x)在区间⎣⎡⎭⎫57，＋∞上有唯一的零点1， 所以方程ln x 2＋1－x 22x 2＝0的解为x 2＝1， 所以a ＝12，故实数a 的值为12.(16分)20. (1) 设等比数列{a n }的公比为q.因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q)＝4a 1(1＋q)．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2.又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)(2) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z .若d<0，令a n >0，得n<1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾， 因此d ≥0，即d ∈N .(4分)因为S n ＝na 1＋n （n －1）d 2， 所以T n ＝a 1a n ＋a n （a n －1）d 2， 所以T n a n ＝a 1＋（a n －1）d 2. 由T n a n <2，得a 1＋（a n －1）d 2<2.(6分) 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2>a 1＋（a n －1）d 2≥a 1≥1，所以a 1＝1， 所以1＋（n －1）d 22<2，即(n －1)d 2<2. ①若d ＝0，则存在无穷多个n(n ≥2)使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意；(8分)②若d ＝N *，则n<1＋2d 2. 因为存在唯一的正整数n(n ≥2)，使得该不等式成立，所以2<1＋2d 2≤3，即1≤d 2<2. 又d ∈N *，所以d ＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分)(3) 因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1>0，所以S n ＋1>S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1>0， 所以T n ＋1>T n ，即Sa n ＋1>Sa n .因为数列{S n }单调递增，所以a n －1>a n .(12分)又a n ∈N *, 所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，所以a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n(n ≥2)．又a 1≥1，所以a n ≥n.①(14分)由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得aa n ＋1＋aa n ＋2＋…＋aa n ＋1＝n ＋1，所以n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n.②由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．(16分)21. A. (1) 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， N ＝M －1.(2分)因为|M |＝1×1－2×2＝－3，(4分)所以N ＝M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－2－3－2－3－13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－132323－13.(6分) (2) N 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋13－23－23λ＋13＝⎝⎛⎭⎫λ＋132－⎝⎛⎭⎫－232＝⎝⎛⎭⎫λ－13(λ＋1)．(8分) 令f(λ)＝0，解得λ＝13或λ＝－1， 所以N 的特征值是13和1.(10分) B. 曲线C 的普通方程为y ＝12⎝⎛⎭⎫x 22＝18x 2.(2分) 由直线l 的极坐极方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 得ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 即22x ＋22y ＝2， 所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分)则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16， 所以AB ＝1＋（－1）2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×（－8）2－4×（－16）＝16.(10分)C. 方法一：因为a>0，所以a ＋1a≥2. 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只需证a 2＋1a 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)． 因为⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)>0， 所以只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 22≥[⎝⎛⎭⎫a ＋1a －2－2]2，(4分) 即2(2－2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a ≥8－42， 即证a ＋1a≥2.(8分)因为a ＋1a≥2成立，所以要证的不等式成立．(10分) 方法二：令t ＝a ＋1a. 因为a>0，所以a ＋1a≥2，即t ≥2. 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2， 即证t 2－2－2≥t －2，即证t －t 2－2≤2－2，(4分)即证2t ＋t 2－2≤2－ 2.(6分) 因为f(t)＝t ＋t 2－2在区间[2，＋∞)上单调递增，所以f(t)≥f(2)＝2＋2，故2t ＋t 2－2≤22＋2＝2－2， 所以要证的不等式成立．(10分) 22. (1) 设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A.因为m ＝4，所以P(A)＝46＋26×C 24C 26＝23＋13×25＝45. 故顾客参加一次抽奖活动能获得三等奖的概率为45.(4分) (2) X 的所有可能取值为400，300，100，则P(X ＝400)＝26×C 22C 22＋m ＝23（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝300)＝26×C 12C 1m C 22＋m ＝4m 3（m ＋1）（m ＋2）， P(X ＝100)＝46＋26×C 2m C 22＋m ＝23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2），(7分) 则E(X)＝400×23（m ＋1）（m ＋2）＋300×4m 3（m ＋1）（m ＋2）＋100×[23＋m （m －1）3（m ＋1）（m ＋2）]≤150， 化简得3m 2－7m －6≥0.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ≥3，所以m 的最小值为3.(10分)23. (1) 当n ＝2时，A 2的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4.所以a 1＋a 2＋…＋a m ＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)(2) ①当n ＝2时，取一个集合组(M 1，M 2，M 3，M 4)＝(∅，{1}，{1，2}，{2})， 此时a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1，满足任意i ∈N *，i ≤3，都有|a i －a i －1|＝1， 所以当n ＝2时命题成立．(4分)②假设n ＝k(k ∈N *，k ≥2)时，命题成立，即对于A k ＝{1，2，…，k}存在一个集合组{M 1，M 2，…，M m }满足任意i ∈N *，i ≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1，其中m＝2k.当n＝k＋1时，则A k＋1＝{1，2，…，k，k＋1}，集合A k＋1的所有子集除去M1，M2，…，M m外，其余的子集都含有k＋1.令M m＋1＝M m∪{k＋1}，M m＋2＝M m－1∪{k＋1}，…，M2m＝M1∪{k＋1}，取集合组(M1，M2，…，M m，M m＋1，M m＋2，…，M2m)，其中2m＝2k＋1.(6分)根据归纳假设知|a i－a i＋1|＝1，其i∈N*，m＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此集合组满足|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又M m＋1＝M m∪{c}，所以|a m－a m＋1|＝1，因此|a i－a i＋1|＝1，其中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1时，命题也成立，综上，不论n为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1.(10分)。
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2020届江苏省盐城中学高三年级第二次阶段性质量检测（12月） 数学试题一、填空题1．设集合{}1,A x =，{}2,3,4B =，若{}4A B ⋂=，则x =______ . 【答案】4【解析】由{}4A B ⋂=，所以4A ∈，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，集合{}1,A x =，{}2,3,4B =， 因为{}4A B ⋂=，所以4A ∈，故4x =. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合交集的概念，得到4A ∈是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于容易题.2．已知复数131iz i-=+，则复数z 的虚部为________. 【答案】2【解析】先由复数的除法运算，化简131iz i-=+，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()()()13113143121112-----====--++-i i i i z i i i i ， 所以其共轭复数为12z i =-+，因此其虚部为：2 故答案为：2 【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，熟记共轭复数的概念，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型. 3．函数()f x =的定义域是________.【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果.由题意，可得：12log 100x x ->⎧⎪⎨⎪>⎩，即12log 10x x >⎧⎪⎨⎪>⎩，解得：102x <<.即函数()f x =的定义域为10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.4．设a R ∈，则“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”的______条件. 【答案】充分不必要条件【解析】先由两直线垂直求出2a =±，再根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】若直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直， 则14-⨯=-aa ，解得：2a =±； 所以由“2a =”能推出“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”， 由“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”不能推出“2a =”； 即“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为__________．【解析】试题分析：因为，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，即1+2p =3，所以，2p=2，焦点到准线的距离为p=4. 【考点】抛物线的定义，抛物线的几何性质。
点评：简单题，对于抛物线22(0)x py p =>上的点（x ，y ），其到焦点的距离为x+2p. 6．设曲线()ln f x ax x =-的图象在点(1，(1)f )处的切线斜率为2，则实数a 的值为_______． 【答案】3【解析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果. 【详解】函数()ln f x ax x =-，可得1'()f x a x=-， 所以切线的斜率为'(1)12k f a ==-=，解得3a =， 故答案是3. 【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.7．已知实数x ,y 满足条件2403300x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.【答案】7【解析】先由约束条件作出可行域，化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，则目标函数表示直线2y x z =-+在y 轴截距，结合图像，即可得出结果. 【详解】由约束条件2403300x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩作出可行域如下，目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+，因此目标函数z 表示直线2y x z =-+在y 轴截距，由图像可得：当直线2y x z =-+过点A 时，在y 轴截距最大，即z 取得最大值.由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3A ，因此max 2237=⨯+=z . 故答案为：7【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦距为4的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右准线与它的两条渐近线分别相交于点,P Q ，其焦点为12,F F ，则四边形12PFQF 的面积的最大值为____________. 【答案】4【解析】先由焦距为4，得2c =，由双曲线方程，得到渐近线方程为by x a=±，右准线方程为222==a a x c ，不妨设P 为右准线与渐近线b y x a =的交点，根据方程求出点P 坐标，同理，得到Q 点坐标，再由题意得到四边形12PFQF 的面积为122∆=PF F S S ，根据三角形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>焦距为4，即24c =，2c =，又双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，右准线方程为：222==a a x c ， 不妨设P 为右准线与渐近线by x a=的交点， 由22b y x a ax ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：2,22⎛⎫ ⎪⎝⎭a ab P ，同理2,22⎛⎫- ⎪⎝⎭a ab Q 因此四边形12PFQF 的面积为122221211222424222∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=≤+==PF F P ab S S F F y ab a b c ，当且仅当a b =时，等号成立. 故答案为：4【点睛】本题主要考查求双曲线中四边形面积的最值问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.9．在直角三角形ABC 中，090C ∠=，2,1AB AC ==，若32AD AB →→=，则CD CB →→⋅= ．【答案】92． 【解析】试题分析：因为2039()31cos30322CD CB CB BD CB CB BD CB →→→→→→→→⋅=+⋅=+⋅=+=+=，所以应填92． 【考点】1、平面向量的数量积的应用；10．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.【解析】先由题意，得到sin 2cos αα=-，即tan 2α=-，再由cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，通过弦化切，即可求出结果. 【详解】因为点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上， 所以sin 2cos αα=-，因此tan 2α=-，所以22cos sin cos 2cos 2cos sin 2sin cos 3332πππααααααα-⎛⎫+=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭()222222cos sin 1tan 142(tan 1)102sin cos αααααα---===+=++【点睛】本题主要考查三角恒等变换求值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式，两角和的余弦公式等即可，属于常考题型.11．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n N ∈，总有321n nn S T =+，则44a b =________. 【答案】18【解析】设等比数列{}{},n n a b 的公比分别为,p q ，根据题意，得到11111221221233123313513a Sb T a a S b b T a a a S b b b T ⎧==⎪⎪⎪+==⎨+⎪⎪++==⎪++⎩，求解，得1124a b p q =⎧⎪=⎨⎪=⎩，进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}{},n n a b 的公比分别为,p q ，则11n n a a p -=，11n nb b q -=，因为,n n S T 分别为{}{},n n a b 的前n 项和，且321n n n S T =+， 所以11111221221233123313513a S b T a a S b b T a a a S b b b T ⎧==⎪⎪⎪+==⎨+⎪⎪++==⎪++⎩，即11112121(1)3(1)5(1)1(1)3a b a p b q a p p b q q ⎧⎪=⎪⎪+⎪=⎨+⎪⎪++⎪=++⎪⎩，即112255333331a b p q p p q q =⎧⎪+=+⎨⎪++=++⎩，解得：1124a b p q =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以31314481648===a q a b b p 故答案为：18【点睛】本题主考查等比数列的基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.12．已知函数()33,02,0x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，若函数()()()12y f x a f x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有5个零点，则实数a 的取值范围是________. 【答案】312a ≤<或2a =. 【解析】先用导数的方法，判断出函数()f x 在()0,∞+的单调性，求出极值，在根据指数单调性判断0x ≤时，函数()f x 的单调性；作出函数大致图像；将函数()()1()2⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭y f x a f x a 的零点个数问题，转化为()y f x =与y a =或12=-y a 的交点个数来处理，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】因为()33,02,0x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，当0x >时，()33=-f x x x ，则()233'=-f x x ，由()2303'=->f x x 得01x <<；由()2303'=-<f x x 得1x >，所以函数()33=-f x x x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；此时有极大值()12f =；当0x ≤时，()122⎛⎫= ⎪⎝=⎭xx f x 显然单调递减； 作出函数()33,02,0x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩的大致图像如下：由()()1()02⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭f x a f x a 得()f x a =或()12=-f x a ， 因为函数()()1()2⎛⎫=-+-⎪⎝⎭y f x a f x a 有5个零点， 所以()y f x =与y a =或12=-y a 共有5个交点， 由图像可得：只需121012a a ≤<⎧⎪⎨<-<⎪⎩或21122a a =⎧⎪⎨≤-<⎪⎩，即312a ≤<或2a =. 故答案为：312a ≤<或2a =. 【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，熟记导数的方法判断函数单调性，利用转化与化归思想，以及数形结合的方法判断函数零点个数即可，属于常考题型.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，E 、F 为圆()()22:114C x y -+-=上的两动点，且EF =C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为________.【答案】1⎤⎦【解析】取EF 中点为M ，连接AM ，得到2+=AE AF AM ，由,0AE AF mCP m +=>得到=m AM ，再由E 、F 为圆()()22:114C x y -+-=上的两动点，且EF =1CM =，设(,)M x y ，求出点M 的轨迹，再由点与圆位置关系，求出AM 的取值范围，即可求出结果. 【详解】取EF 中点为M ，连接AM ， 则2+=AE AF AM ，又圆()()22:114C x y -+-=上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>， 所以2=AM mCP ，因此22==AM m CP m ，即=m AM ；因为E 、F 为圆()()22:114C x y -+-=上的两动点，且EF =，所以1==CM ，设 (,)M x y ，1=，即()()22111x y -+-=即为动点M 的轨迹；所以AM 表示圆()()22111x y -+-=上的点与定点()2,2A 之间的距离，因此11-≤≤+AC AM AC 121≤≤AM .11≤≤m .故答案为：1⎤⎦【点睛】本题主要考查平面向量与圆的方程的综合，熟记平面向量基本定理，点与圆位置关系，会求圆上的点到定点的距离即可，属于常考题型.14．已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【答案】【解析】将正切化成正余弦，化简得出b ，c 和sinA 之间的关系，结合面积公式即可得出b 2关于A 的函数式，再根据A 的范围计算b 的最小值，即可得AC 的最小值． 【详解】 ∵431tan tan A B +=，∴cos cos 431sin sin A BA B+=，∴4cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ， ∴3cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ﹣cosAsinB ，即3sin （A+B ）＝sinB （sinA ﹣cosA ），即3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ）， ∴3c ＝b （sinA ﹣cosA ），即c (sin cos )3b A A -=，∵△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝2(sin cos )sin 6b A A A-＝26b （sin 2A ﹣cosAsinA ）＝212b （1﹣sin2A ﹣cos2A 1，∴b 2＝1)1)1sin 2cos 2124A AA π=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵3c ＝b （sinA ﹣cosA ）＞0，且0＜A ＜π， ∴39A ,2A+4444πππππ<<∴<<，∴当32A+42ππ=即A ＝58π时，b 2取得最小值12，∴b的最小值为AC最小值为故答案为【点睛】本题考查了同角三角函数关系、正弦定理、面积公式、两角和的正弦公式、以及正弦型三角函数的性质，属于中档题.二、解答题15．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知函数f（x）=sin2x-.（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值，（Ⅱ）将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像.当x时，求g（x）的值域.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为，最小值为，（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数的解析式化为的形式，从而就可求出的最小周期和最小值，（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数的表达式，再由并结合正弦函数的图象即可求出其值域．试题解析：（1）,因此的最小正周期为，最小值为.（2）由条件可知：.当时，有，从而的值域为，那么的值域为.故在区间上的值域是.【考点】1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.16．已知△ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =，AB =求： （1）角C 的大小；（2）△ABC 中最小边的边长. 【答案】（1）34C π=（2【解析】（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tan C ，将tan A 与tan B 代入值代入求出tan C 的值，即可确定出C 的度数；（2）由tan A 与tan B 的大小判断出BC 为最小边，由tan A 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin A 的值，利用正弦定理求出BC 的长． 【详解】解：(1)()()tan tan tan C A B A B π⎡⎤=-+=-+⎣⎦= –tan tan 1tan tan A B A B +-= –134513145+-⋅ 1=-，所以34C π=，(2)因为tan tan A B <，所以最小角为A 又因为1tan 4A =，所以sin 17A =，c AB ==sin sin a cA C=， 所以a =sin sin c AC⋅ =2=．【点睛】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N ）满足如下的逻辑斯蒂函数：()0.5261et f t -+=+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. ()ln5 1.61≈ （1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位） （2）在第几年内，该树长高最快？【答案】（1）8年（2）第四年内或第五年内 【解析】（1）解不等式f （t ）>5，即可（2）利用作差法求出f （t ）﹣f （t ﹣1）的表达式，判断函数的单调性和最值即可． 【详解】 解：(1) 令()0.5261e t f t -+=>+5，解得42ln57.2t >+≈，即需要经过8年，该树的高度才能超过5米； (2) 当t ∈N 时，()()()0.520.5126611e 1e t t f t f t -+--+--=-++()()()0.520.50.520.5 2.56e e 11e1e t t t -+-+-+-=++ 设0.52t e u -+=，则(20,u e ⎤∈⎦，()()()()()0.50.561111e uf t f t u eu---=++.令()()()0.511u g u u e u =++，则()()0.50.5111g u e u e u=+++. 上式当且仅当0.51e u u=时，()g u 取得最大值此时，0.25u e -=，即0.520.25t e e -+-=，解得 4.5t =.由于要求t 为正整数，故树木长高最快的t 可能值为4或5， 又()()0.564331f f e -=-+，()()0.50.566543311f f e e --=-=-++， 所以，该树在第四年内或第五年内长高最快． 【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．18．已知椭圆Γ：2211x y m m +=+， 过点(1,0)D -的直线l ：(1)y k x =+与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的上方），与y 轴交于点E . （1）当1m =且1k =时，求点M 、N 的坐标；（2）当2m =时，设EM DM λ=，EN DN μ=，求证：λμ+为定值，并求出该值；（3）当3m =时，点D 和点F 关于坐标原点对称，若△MNF 的内切圆面积等于1849π，求直线l 的方程.【答案】（1）M (0，1)，N (43-，13-)；（2）λμ+为定值3（3）(:1)l y x ±+= 【解析】（1）代值联立方程组．解得即可求出，（2）联立方程，利用韦达定理，以及向量的知识可得从而121211x xx x λμ+=+++，化简整理即可证明，（3）假设存在直线l ：y ＝k （x +1）满足题意，则△MNF的内切圆的半径为7，根据韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，即可求出k 的值 【详解】解：(1) 当m=k=1时，联立22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解之得：01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即M (0，1)，N (43-，13-)； (2) 当m =2时联立()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：()2222326360k x k x k +++-=， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则212221226323632k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由EM DM λ=，EN DN μ=，且点E 的横坐标为0， 得()111x x λ=+、()221x x μ=+. 从而121211x xx x λμ+=+++ 1211211x x λμ⎛⎫+=-+⎪++⎝⎭=121212221x x x x x x ++-+++ =222222624322233666213232k k k k k k -++-=-=--+-+++， λμ+为定值3；(3) 当m =3时，椭圆Γ：22143x y +=，假设存在直线():1l y k x =+满足题意，则△MNF的内切圆的半径为7，又()1,0D -、()1,0F 为椭圆Γ的焦点，故△MNF 的周长为8，从而18277MNF S ∆=⨯⨯=， 消去y ，得()22224384120k x k x k +++-=，设()11,M x y 、()22,N x y ，则()12121212MNF S DF y y y y k x x ∆=-=-=-. 故()127k x x -=，即()221212288449k x x x x ⎡⎤+-=⎣⎦. 由(2)，得22222284122884434349k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥--⨯= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简，得4217180k k +-=，解得1k =±， 故存在直线():1l y x =±+满足题意． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计算公式、考查了推理能力与计算能力，属于难题． 19．设函数()2e 2x f x kx =--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在正数a ，使得当0x a <<时，|()|2f x x >，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(,0](4,)-∞+∞【解析】分析：函数求导得()2e xf x k ='-，讨论k ，由导数的正负求单调区间即可； （2）若2k ≤，分析函数可知()0f x >，()2f x x >即()2e 220xk x -+->，设()()2e 22x g x k x =-+-，()()2e 2x g x k '=-+，讨论02k <≤和0k ≤两种情况，知0k ≤成立，02k <≤时不成立，2k >时，存在0x ，使得当()00,x x ∈时，()0f x <，()2f x x >可化为()2f x x ->，即()2e 220x k x ---<，设()()2e 22x h x k x =---，分析24k <≤和4k >求解即可.详解：（1）()2e xf x k ='-．当0k ≤时，()0f x '>，()f x 上(),-∞+∞单调递增． 当0k >时，若()0f x '>，则ln2k x >，若()0f x '<，则ln 2kx <；所以()f x 在ln ,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,ln 2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）若2k ≤，()f x 在()0,+∞内单调递增，当0x >时，()()00f x f >=，所以()()f x f x =，()2f x x >即()2e 220x k x -+->.设()()2e 22xg x k x =-+-，()()2e 2xg x k '=-+.若0k ≤，0x >时，()()00g x g ''>>，()g x 在()0,+∞单调递增.所以当0x >时，()()00g x g >=，故存在正数a ，使得当0x a <<时，()2f x x >. 若02k <≤，当20ln2k x +<<时，()0g x '<，()g x 在20,ln 2k +⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，因为()00g =，所以()0g x <.故不存在正数a ，使得当0x a <<时，()2f x x >. 若2k >，()f x 在0,ln2k ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，因为()00f =，所以存在0x ，使得当()00,x x ∈时，()0f x <，()2f x x >可化为()2f x x ->，即()2e 220xk x ---<. 设()()2e 22xh x k x =---，()()2e 2xh x k '=--.若24k <≤，则0x >时，()0h x '>，()h x 在()0,+∞单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >.故不存在正数a ，使得当0x a <<时，()2f x x >.当4k >时，当20ln2k x -<<时，()0h x '<，()h x 在20,ln 2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，又()00h =，所以()0h x <.故存在02min ,ln 2k a x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，使得当0x a <<时，()2f x x >.综上，实数k 的取值范围为(](),04,-∞⋃+∞． 点睛：点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x> ，若()0f x<恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x> 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值）.20．数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的*2,n n N ≥∈恒成立，n S 为其前n 项的和，且44a =，836S =.（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）数列{}n b 满足()12122321213212nn n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--，其中*1,2,,,=⋅⋅⋅∈k n n N .①证明：数列{}n b 为等比数列；②求集合()*3,,,.p m m p a a m p m p N b b ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭【答案】（1）*,n a n n N =∈；（2）①过程见详解；②(){}6,8.【解析】（1）先由题意，得到数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，根据题中条件，求出首项与公差，进而可求出通项公式； （2）①根据（1）的结果，将()12122321213212n n n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--化为()()1221(23)3212-+-+⋅⋅⋅+=--n n b n b n b n ，得到()()1121(23)2532122---+-+⋅⋅⋅+=--+n n b n b n b n （*2,n n N ≥∈），两式作差整理，得到2132n n n b b --+=⋅，进而可求出12n nb -=，判断出结果；②先由3p m m p a a b b =得到32p mp m -=，即n n na cb =，判断出1n nc c +≥，得到<m p ，设(,,)*=-∈t p m m p t N ，得到323ttm =-，分别研究1,2,3,4=t 对应的情况，再由导数的方法证明当4t ≥，*t N ∈时， 3123=<-t tm ，即可得出结果.【详解】（1）因为数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的*2,n n N ≥∈恒成立， 所以数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，因为44a =，836S =，所以1134878362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩， 因此*,n a n n N =∈； （2）①因为数列{}n b 满足()12122321213212n n n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--， ()()1221(23)3212-+-+⋅⋅⋅+=--n n b n b n b n ，所以()()1121(23)2532122---+-+⋅⋅⋅+=--+n n b n b n b n （*2,n n N ≥∈），两式作差可得：()11212322--++⋅⋅⋅++=⋅-n n n b b b b （*2,n n N ≥∈），又()113212=--b a 也满足上式，所以()11212322--++⋅⋅⋅++=⋅-n n n b b b b ()*n N ∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则12322--=⋅-n n n T b ，当2n ≥时，2112322----=⋅-n n n T b ，两式作差可得：2132n n n b b --+=⋅，所以()12101122(1)(2)0-----=--=⋅⋅⋅=--=n n n n n b b b ，即()121011122(1)(2)(1)(11)0------=--=⋅⋅⋅=--=--=n n n n n n b b b ，所以12n nb -=，因此12n nb b +=，即数列{}n b 为等比数列； ②由3p m m p a a b b =得11322m p m p --=，即32p mp m-=， 记n n n a c b =，由①得12-=n n n c ，所以1112++=≤n nc n n c ，因此1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）.由3pm m pa ab b =得3=>m p pc c c ，所以<m p . 设(,,)*=-∈t p m m p t N ，由32p mp m -=得3()2+=tm t m ，即323t t m =-；当1t =时，3m =-，不符合题意； 当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，95m =，不符合题意； 当4t =时，1213m =，不符合题意， 下面证明当4t ≥，*t N ∈时， 3123=<-ttm ， 不妨设()233(4)=--≥xf x x x ，则()2ln 230'=->xf x 在[)4,+∞上恒成立， 所以()f x 在[)4,+∞单调递增； 所以()(4)10≥=>f x f ， 所以，当4t ≥，*t N ∈时， 3123=<-t tm 恒成立，不符合题意； 综上，集合()(){}*3,,,6,8p m m pa a m p m p Nb b ⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式，以及求和公式，会判断数列的增减性等即可，属于常考题型.。