培优讲义九一次函数与等腰三角形存在性
一次函数与等腰三角形存在性培优专题
一次函数与等腰三角形存在性培优专题1．已知一次函数1y x=-+的图象与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点P在x轴上，并且使以点A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．已知一次函数443y x=+的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上，若ABC△为等腰三角形，则点C的坐标为______________________________________．3．如图，直线OB是一次函数2y x=-的图象，点A的坐标为(02)，，在直线OB上找点C，使ACO△为等腰三角形，则点C的坐标是______________________________________．4．一次函数1y x=+的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，且使得ABC△是等腰三角形，符合题意的点C坐标为______________________________________．5．如果一次函数364y x=-+的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为______________________________________．6．如图所示，一次函数4=-+与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点y x（不包含A、B两个端点），C是线段OB上一点，45△是等腰三角形，OPC∠=︒，若OPC试求点P的坐标？7．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt ABC△的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，4OB=．OA=，3（1）求点C的坐标；（2）求经过点B，C的一次函数的解析式；（3）在x轴上是否存在点P，使PCB△为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，一次函数334y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和B ，再将AOB △沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ．连接BC ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）求BOC S △；（3）在y 轴上有一点P ，且PAB △是等腰三角形，求出点P 的坐标．9．如图，一次函数364y x =+的图象与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 与点A 关于y 轴对称．动点P ，Q 分别在线段AC ，AB 上（点P 与点A ，C 不重合），且满足BPQ BAO ∠=∠． （1）求点A ，B 的坐标及线段BC 的长度；（2）当点P 在什么位置时，APQ CBP △≌△，说明理由；（3）当PQB △为等腰三角形时，求点P 的坐标．10．已知一次函数112y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）如果点C 在一次函数112y x =-+的图象上，并且AOC △是等腰三角形，问满足条件的点C 有几个？并求出所有点C 坐标．11．一次函数2y =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第二象限内作等边ABC △．（1）求C 点坐标；（2）在第二象限内有一点(1)M m ，，使ABC ABM S S =△△，求M 点坐标；（3）点()0C '，在直线AB 上是否存在一点P ，使ACP △为等腰三角形？若存在，求P 点坐标；若不存在，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、点B 、点C 坐标分别为(50)，、(100)，、(05) ，． （1）求过B 、C 两点的一次函数解析式；（2）若直线BC 上有一动点()P m n ，，以点O 、A 、P 为顶点的三角形面积和以点O 、C 、P 为顶点的三角形面积相等，求P 点坐标；（3）若y 轴上有一动点Q ，使以点Q 、A 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出Q 点坐标．。
一次函数背景下等腰三角形存在性解题攻略
一次函数背景下等腰三角形存在性解题
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特殊三角形和特殊四边形的存在性问题，是中考压轴题型，一般在二次函数背景下讨论分析。
现在提前安排在一次函数背景下，讨论存在性问题，掌握了解题思路和方法，在初三下册学习二次函数后，再解类似题型，水到渠成。
数学这东西，万变不离其宗，只要掌握住了规律，越学越简单。
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培优讲义九一次函数与等腰三角形存在性
一次函数与三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性例1. 如图，直线233+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是x 轴上的动点， 若使△ABP 为等腰三角形，则点P 的坐标是例2、如图，直线y=x+3与y 轴交于点A ，与直线x=1交于点B ，点P 是直线x=1上的动点，若使△ABP 为等腰三角形，则点P 的坐标是例3、如图，直线l 1：y=x+4分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点C 为x 轴上任意一点，直线l 2：y=﹣x+b 经过点C ，且与直线l 1交于点D ，与y 轴交于点E ，连结AE ．问：是否存在点C ，使△ACE 是等腰三角形？ 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．AE=CE,b=±9/4(负数舍去), AE=AC, b=0(舍去),b=-2/7 CE=AC, b=9,b=-1类型二、等腰直角三角形存在性例4、如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．当点D位于直线y=2x-6上时，分三种情况：①点A为直角顶点，结合图形可知，此种情况显然不合题意；②点D为直角顶点，分两种情况：1、点D在矩形AOCB的内部时，设D（x，2x-6）；则OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F；则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：12-2x=8-x，x=4；∴D（4，2）；2、点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x-6）；则OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；同1可知：△ADE≌△DPF⇒AE=DF，即：2x-12=8-x，x=；∴D（，）；③点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；设点D（x，2x-6），则CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；易证得△APB≌△PDF，得：AB=PF=8，PB=DF=x-8；故BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；联立两个表示BF的式子可得：2x-12=16-x，即x=；∴D（，）；综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；且D点的坐标为：（4，2），（4，14），（，），（，）．例5、如图，点M是直线y=2x+3在第二象限上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，在y轴的正半轴上求点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标．如图1，当M运动到（-1，1）时，ON=1，MN=1，∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，△MNP为等腰直角三角形；如图2，当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，设点M（x，2x+3），则有：-x=-（2x+3），解得：x=-3，所以点M坐标为（-3，-3）．若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），则有-x=-1/2（2x+3），化简得-2x=-2x-3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的M点；如图2，∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP=1/2M′N′，∴有-x=1/2（2x+3），解得：x=-3/4，∴M′（-3/4，3/2），综上，符合条件的点M坐标是（-3，-3），（-1，1），（-3/4，3/2）练习：1、如图，直线343-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是线段AB 上的动点， 若使△OAP 为等腰三角形，求点P 的坐标P 点的坐标是（-28/25，46/25）、（2，3/2）或（36/5，-12/5）．2、如图，在平面直角坐标系中，过点A 的两条直线分别交y 轴于B （0，3）、C （0，﹣1）两点，且∠ABC=30°，AC ⊥AB 于A ．（1）求线段AO 的长，及直线AC 的解析式；（2）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．3、直线131+=x y 与x 轴，y 轴分别交于A,B 两点，C 是第二象限点，则求使△ABC 是等腰直角三角形的C 点坐标4、如图1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A （5，5）为第一象限内一点，点B 在x 轴正半轴上，且∠AOB=45°，OA=OB ．（1）求点B 的坐标；（2）动点P 以每秒2个单位长度的速度，从点O 出发，沿x 轴正半轴匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒，△ABP 的面积为S ，请用含有t 的式子表示S （S ≠0），并直接写出t 的取值范围；（3）如图2，在（2）的条件下，点D 坐标为（2，0），连接AD ，AK ⊥AD ，过点B 作x 轴的垂线交AK 于点K ，过点A 作x 轴的平行线a ，在点P 的运动过程中，直线a 上是否存在一点R ，使△PKR 是以PR 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).
一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）➢课前预习1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B 是两个格点，若点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，则符合条件的点C 有个．2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．2.如图，直线y =-1x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3在直线y =-1x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为3．3 2（1）求直线y =-1x +b 的表达式及点C 的坐标；3（2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点P 是y轴正半轴上一个动点，Q是直线x=3 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点P 的坐标为．4.如图，直线y=3x+4 与y 轴交于点A，点P 是直线x=6 上的一个动点，点Q 是直线y=3x+4 上的一个动点，且点Q 在第一象限，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．5. 如图，直线 l 1：y =x +6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 l 2：y = - 1 x - 3 与 x 轴交于点 A ，点 M 是线段 AB 上的一动点，2过点 M 作 y 轴的平行线交直线 l 2 于点 N ，在 y 轴上是否存在点 P ，使△MNP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢ 课前预习1. 6➢ 精讲精练1. (9，3)，(6，9)，( 9 ， 9 )2 22. （1） y = - 1 x -1，C (-6，1)3（2）(-2，3)，(-5，4)，(-4，2)3. (0，1)，(0，3)，(0，4)4. (2，10)，(3，13)，( 3 ， 17 )2 2 5. 存在，点 P 的坐标为(0， 12 )，(0， - 6 )，(0， 6 )5 5 7。
一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．5．直线l1交x轴于点A（6，0），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P 的坐标．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D 处．（1）点A的坐标是，点B的坐标是，AB的长为；（2）求点C的坐标；＝S△OCD，直接写出点M的坐标．（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG＝AF．（1）求直线AB的函数表达式．（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．20．如图直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．（1）求k的值．（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3，求出此时直线AP的解析式．（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10（1）求点D的坐标和直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）22．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与直线y＝﹣x﹣1在第四象限相交于点B，连接OB，△AOB的面积为6．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）已知点M在直线AB右侧，且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出符合条件的点M的坐标．25．综合与探究：如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，m）与x轴交于点B．（1）求直线l2对应的函数解析式；（2）请直接写出不等式kx+b＜x+3的解集；（3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线l1上是否存在点F使以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．一次函数y＝kx+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点．（1）求一次函数解析式和m的值；（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；（3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．（1）求正比例函数与一次函数的关系式．（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．28．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝﹣x+3与坐标轴相交于A，B两点，直线l2：y2＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知OC＝，点P是直线l2上的动点．（1）求直线l2的函数表达式；（2）过点P作x轴的垂线与直线l1和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；（3）若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．29．（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）应用模型：①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．30．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC、BC于点E、D，且点D的坐标是（，6）．（1）求BF的长度；（2）如图2，点P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直线PE的解析式；（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N，使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
第4章一次函数-一次函数之等腰直角三角形的存在性(教案)
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了《一次函数之等腰直角三角形的存在性》，整体来看，学生的学习效果还是不错的。但在教学过程中，我也发现了一些值得思考的问题。
首先，我发现有些学生对一次函数图像与等腰直角三角形之间的关系理解不够深入。在讲解过程中，我尽量用生动的例子和形象的比喻来帮助他们理解，但显然，这部分内容对于他们来说还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生的需求，尽可能用简单易懂的方式讲解难点，让他们能够真正消化吸收。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数和等腰直角三角形的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k是斜率，b是y轴截距。等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两条腰相等且与底边成直角。在一次函数图像中，等腰直角三角形的存在性与函数的斜率有关。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何在一次函数图像中找出等腰直角三角形，以及它如何帮助我们解决实际问题。
-运用逻辑推理和分析数据的能力，解决一次函数图像中等腰直角三角形的定位问题。
举例解释：
-解释斜率为1或-1时，图像上的点与原点的连线和x轴或y轴形成的特殊角度题时，指导学生如何从问题描述中提取关键信息，构建一次函数模型，并利用等腰直角三角形的性质进行解答。
其次，在实践活动环节，学生们的参与度很高，但部分小组在讨论时显得有些拘谨，可能是因为对等腰直角三角形在实际生活中的应用不够了解。在今后的教学中，我会多设计一些与实际生活紧密相关的案例，让学生在实践中更好地理解理论知识。
中考数学培优：等腰三角形存在性问题
中考数学培优：等腰三角形存在性问题【例题讲解】例题1.如图，直线l 1、12相交于点A ,点B 是直线外一点,在直线l 1、12上找一点C ，使△ABC 为一个等腰三角形.满足条件的点C 有个.【提示】①以B 为圆心,线段BA 长为半径作圆,与l 1、12交点即为满足条件点C ；②以A 为圆心,线段BA 长为半径作圆，与l 1、12交点即为满足条件点C ；③作线段AB 的垂直平分线，与l 1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)【巩固训练】1、一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,在坐标轴上取一点C ,使△ABC 为等腰三角形,则这样的点C 最多有个。
2、已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条例题2.一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在y 轴上取一点C ,使得AC =BC ,求出C 点坐标？【代数法、几何法均可解】解：如图所示,直线AB 的解析式为y =43x +4,当y =0时,x =－3,则A (－3.0);当x =0时,y =4,则B (0,4)。
设C 点坐标为(x .0),在Rt △AOB 中,由勾股定理得5==,在Rt △BOC 中,由勾股定理得BC =。
①当以AB 为底时,AC =BC ,则3+x 整理得6x =7,解得x =76,则(76,0);②当以BC 为底时,可得AC =AB ,则35x --=,解得x =2或－8,则C (2,0)或(－8,0);③当以AC 为底时,可得AB =BC ,整理得x 2=9,解得x =±3,则C (3,0)或(－3,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点C 的坐标是(76,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)例题3.如图,直线x =－4与x 轴交于点E ,一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点A ,交直线x =－4于点B ,过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于点C ,直线OC 交直线AB 于D ,且AD :BD =1：3.(1)求点A 的坐标；(2)若△OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.解:(1)如图过点D 作DF ⊥x 轴于点F .由题意可知OF =AF 则2AF +AE =4①∵DF ∥BE ,∴△ADF ∽△ABE ,∴12AF AD AE AB ==,即AE =2AF ②①与②联立解得AE =2,AF =1.∴点A 的坐标为(－2,0);(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y =ax 2+bx∵抛物线过原点(0,0)和A 点(－2,0),∴对称轴为直线x ＝202-+＝－1∵B 、C 两点关于直线x =－1对称B 点横坐标为－4,∴C 点横坐标为2,∴BC ＝2－(－2)＝6∵抛物线开口向上,∴∠OAB >90°,OB >AB =OC .∴当△OBC 是等腰三角形时分两种情况讨论:①当OB =BC 时设B (－4,y 1),则16+y 12=36解得y 1=±(负值舍去).将A (－2,0),B (－4,)代入y =ax 2+bx得420164a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得5452a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为yx 2x ②当OC =BC 时设C (2,y 2),则4+y 22=36解得y 2=±负值舍去)将A (－2,0),C(2,代入y =ax 2+bx ,得42042a b a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴此抛物线的解析式为y =22x 2x 例题4.如图甲,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =4cm,BC =3cm.如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为1cm /s .连接PQ ,设运动时间为t (s )(0<t <4),解答下列问题：(1)设△APQ 的面积为S ,请写出S 关于t 的函数表达式？(2)如图乙,连接PC ,将△POC 沿QC 翻折,得到四边形PQP 'C ,当四边形PQP 'C 为菱形时,求t 的值；(3)当t 为何值时,△APQ 是等腰三角形？解:(1)如图1,过点P 作PH ⊥AC 于H ,∵∠C =90°,∴AC ⊥BC ,∴PH ∥BC ,∴△APH ∽△ABC ,∴PH AP BC AB =,∵AC =4cm ,BC =3cm ,∴AB =5cm ∴535PH t -=,∴PH ＝3－35t ，∴△AQP 的面积为:S =12×AQ ×PH =12×t ×(3－35t )=23518()1025t --+∴当t 为52秒时,S 最大值为185cm 2.(2)如图2,连接PP ',PP '交QC 于E ,当四边形PQP 'C 为菱开时,PE 垂直平分QC ,即PE ⊥AC ,QE =EC ,∴△APE ∽△ABC ,∴AE AP AC AB =,∴AE =(5)44455AP AC t t AB ⋅-⨯==-+∴QE =AE －AQ =45t -+4－t =95t -+4，QE =12QC =12(4－t )=12-t +2∴95t -+4＝12-t +2，∴解得:t ＝2013，∵0＜2013＜4.∴当四边形PQP 'C 为菱形时,t 值是2013秒;(3)由(1)知,PD =335t -+,与(2)同理得:QD =AD －AQ =945t -+∴PQ ==在△APQ 中,①当AQ =AP ,即=5－t 时,解得:t 1=52，②当PQ =AQ ,t 时,解得:t 2=2513,t 3=5.③当PQ =AP－t 时,解得:t 4=0,t 5=4013∵0<t<4,∴t 3=5,t 4=0不合题意,舍去,∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时,△APQ 是等腰三角形.例题5.已知,如图,在Rt △ABC 中,AC =6,AB =8,D 为边AB 上一点,连接CD ,过点D 作DE ⊥DC 交BC 与E ,把△BDE 沿DE 翻折得△DE B 1,连接B 1C(1)证明:∠ADC =∠B 1DC ；(2)当B 1E /∥AC 时,求折痕DE 的长；(3)当△B 1CD 为等腰三角形时,求AD 的长.解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE =∠B 1DE ,∵DE ⊥DC ,∴∠ADC =180°－90°－∠BDE =90°－∠BDE ,∠B 1DC =90°－∠B 1DE ，∴∠ADC =∠B 1DC(2)解延长B 1E 交AB 于F .∵B 1E ∥AC ,∠A =90°,∴B 1F ⊥AB ,∴∠EB 1D +∠BDB 1=90°.∵∠B =∠EB 1D ,∴∠B +∠BDB 1=90°,∴∠BGD =90°,在△BDC 和△B 1FD 中,111B EB D BGD B FD BD DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDG ≌△B 1FD .∴DF =DG ,在△ADC 和△GDC 中,90ADC CDG A DGC DC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴△ADC ≌△GDC ,∴DG =AD .∴DF =AD =DG ,设DF =AD =DG =x ,∴BF ＝8－2x ,∵EF ∥AC ,∴△BFE ∽△BAC ,∴EF BF AC AB =,∴EF ＝1232x -，∵△EFD ∽△ACD ,∴DF EF AC AD=,∴12326x x x -=，解得:x =3,∴BF =3,EF ＝32，∴DE.(3)解设AD =x ,则CD,BD =8－x ，∵△B 1CD 是等腰三角形,①当B 1D =B 1C 时则∠B 1DC =∠B 1CD ,∴DB 1=BD =8－x ,如图2过B 1作B 1F ⊥CD ,则DF =CF =12CD=2,∵∠ADC =∠B 1DC ,∠B 1FD =∠A =90°,∴△CDA ∽△B 1DC ,∴1B D DF CD AD =,2x =，∴3x 2－16x +36=0,此方程无实数根.∴B 1D ≠BC .②B 1D =CD 时，∴B 1D =CD =BD =8－x .∴(8－x )2=x 2+6，∴x ＝74,∴AD ＝74.③当CD =BC 时如图2过C 作CH ⊥DB ,则DH =B 1H =12DB 1=12BD =12(8－x )在△ACD 和△CHD 中，90ADC CDH A CHD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ∴△ACD ≌△CHD ,∴AD =DH =x∴x ＝12(8－x ),∴x =83,∴AD =83,综上所述:当△B 1CD 是等腰三角形时AD 的长为74或83.【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.72.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,使得△BPC是一个等腰三角形.(1)用尺规作图画出符合要求的点P.(保留作图痕迹,不要求写做法)(2)求出PA的长.3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)4.如图,一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动,以A为直角顶点,AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,连接BO.(1)求OB的最大值；(2)在AC滑动过程中,△OBC能否恰好为等腰三角形？若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.5、如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1，0),B(5,0)两点，直线y=－2x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x.轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若△PCE为等腰三角形,求m的值.6.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(12,－8),点B、C在x轴上，tan∠ABC=43，AB=AC，AH⊥BC 于H,D为AC的中点,BD交AH于点M.(1)求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；(2)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G,若将(2)中的抛物线沿直线1平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为E'(点E'在y轴右侧).是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形？若存在,请求出此时顶点E'的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中点B坐标为(6,0),点A在第一象限,△AOB为等边三角形,OH⊥AB于点H,动点P、Q分别从B、O两点同时出发,分别沿BO、OA方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点O时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),PQ交OH于点M,设四边形AQPB的面积为y.(1)求y与t之间的函数关系式；(2)设PQ的长为x(cm)试确定y与x之间的函数关系式；(3)当t为何值时,△OPM为等腰三角形；(4)线段OM有最大值吗？如果有,请求出来;如果没有,请说明理由.8.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=20.E为矩形外一点,且△EBA∽△ABD.3(1)求AE和BE的长；(2)将△ABE绕点B顺时针旋转一个角a(0°<α<180°),记旋转中的△ABE为△A'BE',在旋转过程中,设A'E'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形？若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.9.如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处。
专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（﹣，0）．解：一次函数y＝﹣x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB＝10，分四种情况考虑，当BM＝BA时，由BO⊥AM，根据三线合一得到O为MA的中点，此时M1（﹣8，0）；当AB＝AM时，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此时M2（﹣2，0），M3（18，0）；当MA＝MB时，∵A（8，0），B（0，6），∴AB的中点的坐标为（4，3），设直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x+b，代入（4，3）得3＝+b，解得b＝﹣，∴直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，令y＝0，解得x＝，此时M4（，0）．综上，这样的M点有4个，分别为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．故答案为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，当AO＝OB时，则OB＝，∴点B的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴点B的坐标为（2，0）．综上所述：点B的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．解：（1）联立两直线解析式成方程组，得，解得：，∴点C的坐标为（4，4）；（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；当PO＝OC时，同理可得：m＝±4；故点P的坐标为（4，0）或（8，0）或（4，0）或（﹣4，0）．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：①如果A为直角顶点，则AB2+AC2＝BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，解得：x＝，②如果B为直角顶点，那么AB2BC2＝AC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，解得x＝，③如果C为直角顶点，那么AB2＝AC2+BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，解得x＝3或4，综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（，0）或（，0）或（3，0）或（4，0）．变式训练【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（1，0）或（3，0）．解：∵一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），∴2＝k+1，解得k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1．∴当∠APB＝90°时，P1（1，0）；当∠BAP＝90°时，∵一次函数的解析式为y＝x+1，∴设直线AP的解析式为y＝﹣x+b，∵A（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+3，∴当y＝0时，x＝3，∴P2（3，0）．综上所述，点P的坐标是（1，0）或（3，0）．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣4），∴关于x、y的方程组的解是，∴关于x、y的方程组的解是，故答案为：；（2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，解得：b＝4，∴B（0，4），∵A（0，﹣2），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，＝＝6；∴S△ABD（3）存在，如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E，∵D（﹣2，﹣4），∴E（﹣2，0）；当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F，设E（t，0），当y＝0时，4x+4＝0，∴x＝﹣1，∴C（﹣1，0），∵F（﹣2，0），∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，∵D（﹣2，﹣4），∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，在Rt△CDF中，CD2＝12+42＝17，在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，解得t＝﹣18，∴E（﹣18，0），综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的表达式为y＝x+；（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，∴OD＝，＝OD•|x A|＝××1＝，∴S△AODS△BOD＝OD•|x B|＝××2＝，＝S△BOD+S△AOD＝；∴△AOB的面积S△AOB（3）存在，理由如下：在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，∴C（﹣，0），设M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：∴，解得，∴M（，1）；综上所述，M的坐标为：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD．在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS）．（2）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．设OC＝m，∵△BOC≌△CED，∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，∴点D的坐标为（m+3，m）．∵点D在直线y＝﹣x+3上，∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+b，将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，∴点C′的坐标为（，0），∴CC′＝﹣1＝，∴△BCD平移的距离为．（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣n+3）．分两种情况考虑，如图3所示：①若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P1的坐标为（0，）；当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P2的坐标为（0，）；②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P的坐标为（0，）．综上所述：存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，在直角△AOB中，AB＝＝＝10；（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，∴OC＝CD，设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴△ACD相似于△ABO，∴，即，解得：x＝3．即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y＝x+6，设CD的解析式是y＝﹣x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4．则直线CE的解析式是y＝﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y＝2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，AB＝10，根据AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），根据平移规律可以解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m ＝﹣4或m＝0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），根据平移规律可以解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1），将B、D点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BD的表达式为：y＝﹣x+…①；（2）同理可得：直线OE的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：y＝，即点H到x轴的距离为：；（3）直线BD的表达式为：y＝﹣x+，则点F（0，），①当FD是矩形的一条边时，当点M在x轴上时，∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为：y＝x+，当y＝0，x＝﹣，即点M（﹣，0），点F向右平移3个单位向下平移单位得到D，则点M向右平移3个单位向下平移单位得到N，则点N（，﹣）；当点M在y轴上时，同理可得：点N（﹣3，﹣）；②当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O，则点N（3，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，∴B（0，6），令y＝0，得到x＝﹣8，∴A（﹣8，0）．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝10，过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，∴CH＝OC＝t，＝S△ABC+S△BCO，∵S△ABO∴OA•OB＝AB•CH+OC•OB，∴6×8＝10t+6t，∴t＝3，∴OC＝3，∴C（﹣3，0）；（2）设线BC的表达式为：y＝kx+b，∵B（0，6），C（﹣3，0），∴直线BC的表达式为：y＝2x+6，设点M（m，2m+6）、N（n，2n+6），过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，∵△AMN为等腰直角三角形，故AM＝AN，∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，∴∠NAE＝∠AMF，∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，∴△FMA≌△EAN（AAS），∴EN＝AF，MF＝AE，即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，解得：m＝﹣2，n＝﹣6，故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（﹣6，﹣6）；由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣6）；综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；（3）设点P（0，p），∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，①当AB是边时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，∵B（0，6），∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），∵A（﹣8，0），∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；②当AB是对角线时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴AP＝BP，∴BP2＝AP2，∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣，∴P（0，﹣），∵A（﹣8，0），B（0，6），∴Q（﹣8，）；综上所述，点Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，）．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝x+4上∴m+4＝2解得m＝﹣2∴点A的坐标为（﹣2，2）设直线AB的解析式为y＝kx+b∴解得∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2；（2）如图1，由题意设点E的坐标为（a，a+4），则∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC∴EF＝OC∵直线y＝x+4与y轴交于点C∴点C的坐标为（0，4）∴OC＝4，即|3a+6|＝4解得：a＝﹣或a＝﹣∴点E的坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，∵B（0，﹣2），C（0，4），∴点P的纵坐标为1，将y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，∴x＝﹣3，∴P''（﹣3，1），∴Q''（3，1）当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），∴BQ的中点坐标为（，），代入直线y＝x+4中，得+4＝①，∵CQ＝CB，∴m2+（n﹣4）2＝36②，联立①②得，（舍）或，∴Q'（﹣6，4），当PB是对角线时，PC＝BC＝6，设P（c，c+4），∴c2+（c+4﹣4）2＝36，∴c＝3（舍）或c＝﹣3，∴P（﹣3，﹣3+4），设Q（d，e）∴（﹣3+0）＝（0+d），（﹣3+4﹣2）＝（e+4），∴d＝﹣3，e＝﹣3﹣2，∴Q（﹣3，﹣3﹣2），即：点Q的坐标为（3，1），（﹣6，4）或（﹣3，﹣3﹣2）．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．解：当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，即A（﹣3，0），B（0，4），OA＝3，OB＝4，由勾股定理得：AB＝5，有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5，C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）；②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3，C的坐标是（3，0）；③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，解得：a＝，∴C的坐标是（，0），故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．解：设P（x，0），当OA＝AP时，∵A（2，1），∴P1（4，0）；当OA＝OP时，∵A（2，1），∴OA＝＝，∴P2（，0），P3（﹣，0）；当AP＝OP时，∵P（x，0），（2，1），∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝，∴P4（，0）．综上所述，P点坐标为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．故答案为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．解：如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）；②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4），∴3k1＝4，∴k1＝，∴正比例函数解析式为y＝x．如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴B（0，﹣5），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝3x﹣5．（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，∵A（3，4），∴AD＝3，＝；∴S△AOB（3）当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），当AO＝AP时，P3（6，0），当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y＝﹣，∴，满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．5．直线l1交x轴于点A（6，），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．解：∵点A（6，0），交y轴于B（0，6）．∴OA＝6，OB＝6，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵折叠△AOB，∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，∴OC＝2，∴点C（2，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣x+6；（2）当点M与点B重合时，由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，∴CM＝AC，∴△ACM是等腰三角形，∴当M为（0，6）时，△ACM是等腰三角形，∵OC＝2，OA＝6，∴AC＝4，若AM＝AC＝4，如图1：过点M作MH⊥AC，∵∠MAH＝30°，∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，∴OH＝6﹣6或6+6，∴点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）若AM＝MC，如图2，过点M作MH⊥AC，∵AM＝MC，MH⊥AC，∴AH＝CH＝2，∴OC＝4，∵∠MAH＝30°，∴AH＝MH，∴MH＝2，∴点M（4，2），综上所述：点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，故点A的坐标为（﹣8，0）；（2）过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点M，交过点D与x轴的平行线于点N，∵∠ABC＝45°，故△ABD为等腰直角三角形，则AD＝AB，∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∴∠BAM＝∠ADN，∵∠BMA＝∠AND＝90°，∴△BMA≌△AND（AAS），∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，故点D的坐标为（﹣2，﹣8），设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BC的表达式为y＝7x+6；（3）设点M的坐标为（m，7m+6），点P（s，t），而点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），①当AB是边时，点A向右8个单位向上6个单位得到点B，同样，点M（P）向右8个单位向上6个单位得到点P（M），且AB＝BP（AB＝BM），则或，解得或或（不合题意的值已舍去）；故点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）；②当AB是对角线时，由中点坐标公式和AM＝BM得：，解得，故点P的坐标为（﹣7，7）；综上，点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），设一次函数的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），＝OB•|x C|＝×3×4＝6；∴S△BOC（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，∴P（4，0）；当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．解：（1）把点A（﹣6，0）代入y＝x+m，得m＝8，∴点B坐标为（0，8）．（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意•|a+6|•8＝16，解得a＝﹣2或﹣10，∴点C坐标（﹣2，0）或（﹣10，0）．（3）如图1中，①当AB＝AP时，AP＝AB＝＝10，可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3（6，0）．③当PA＝PB时，∵线段AB的垂直平分线为y＝﹣x+，可得P4（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b，），由题意BD•（﹣b）＝××6×8，∴b＝﹣4，∴点E坐标（﹣4，），设直线DE的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴这条直线的函数表达式y＝﹣x+2．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴点B的坐标为（0，2）；当y＝0时，有﹣x+2＝0，解得：x＝4，∴点A的坐标为（4，0）；（2）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交直线y＝kx于P（2，a）．∴a＝﹣×2+2＝1，∴点P的坐标为（2，1），设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（2，1），则AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，当AP＝AQ时，则＝|4﹣m|，解得m＝4±，∴点Q（4±，0）；当AP＝PQ时，＝，解得m＝0或4（舍去），∴点Q（0，0）；当PQ＝AQ时，即＝|4﹣m|，解得：m＝，∴点Q（，0）；综上，点Q的坐标为（4±，0）或（0，0）或（，0）；（3）∵y＝kx过P（2，1）．∴2k＝1，解得k＝，∴y＝x，设点C的坐标为（n，﹣n+2），则点D的坐标为（n，n），点E的坐标为（n，0），∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，当D为CE的中点时，CD＝DE，∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），∴点C的坐标为（，）；当C为DE的中点时，CD＝CE，∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），∴点C的坐标为（，）；当E为CD的中点时，DE＝CE，∴|n|＝|n﹣2|，无解；综上，C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标为（，）或（，）．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，，解得x＝．令x＝0，y＝．∴A（，0），B（0，）．＝．∴△AOB的面积为12．（2）∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，∴AM＝t．当0≤t≤时，OM＝，OC＝．∴＝＝．当t＞时，OM＝t﹣．∴＝＝．综上，△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式：S＝．（3）在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形．①当AC，AM为菱形的边时，情况一：如图1，当点M在点A的左侧时，Rt△AOC中，＝，∴NC＝AC＝．∵NC∥AM，∴点N（，）．情况二，如图1′，当点M在点A的右侧时，由情况一同理可得点N的坐标为．②当AC为菱形的对角线时，如图2，此时M，O重合，四边形OANC为正方形，则点N（，）．③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，此时点C，N关于x轴对称，∴点N（0，﹣）．综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，此时点N的坐标为：（，），，（，），（0，﹣）．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，4），∴OB＝OA＝4，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，当点M在点A的左边时，∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，∴∠CBO＝∠OBM，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，∴∠BCO＝∠BMO，∴BC＝BM，OC＝OM＝3，∴M（3，0），作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M1，则∠M1BA＝∠MBA，点M1满足条件．∵N（4，1），B（0，4），∴直线BN的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0，得x＝，∴M1（，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，0）或（，0）．（3）如图2中，∵BC＝＝5，当BC为菱形的边时，四边形CP1Q1B，四边形CP3Q3B，四边形BCQ2P2是菱形，此时Q1（﹣5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），当BC是菱形的对角线时，四边形CP4BQ4是菱形，可得Q4（﹣，4）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．解：（1）∵一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令y＝0，则＝0，∴x＝8，令x＝0，则y＝6，∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）解：得，，∴点C（3，），则C到直线l的距离为6﹣＝；＝×8×＝15＝S△BCP＝×BP×（y P﹣y C）＝BP×，（3）∵S△AOC解得：BP＝，故点P（，6）或（﹣，6）；（4）设点E（m，m）、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，当点P在y轴右侧时，当点P在点E的左侧时，如图1，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），则ME＝PN＝6，MP＝AN，即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝，当点P在点E的右侧时，如图，同理可得m＝16，当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，如图2，同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，解得：m＝14，故点E（14，）；故点E（，）或（14，）或（16，20）；如图3，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合题意舍去），故点E（2，）；综上，E（，）或（16，20）或（2，）或（14，）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，∴联立得，解得，∴点A（1，1），∵直线y＝﹣x+与x轴交于点B，∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，OC∥AB，∴四边形CABO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（﹣2，1），②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，∴四边形CAOB是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四边形CBAO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，﹣1），（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（﹣，﹣），②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（，），③如图6，当OB＝DB时，∵∠AOB＝∠ODB＝45°，∴DB⊥OB，∵OB＝3，∴D（3，3），④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵∠AOB＝∠OBD＝45°，∴OD⊥DB，∵OB＝3，∴OE＝，AE＝，∴D（，）．综上所述，在直线OA上，存在点D（﹣，﹣），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形，14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．解：（1）依题意得：，解得，∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；x＜﹣1．（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2∴C（1，0），∴OC＝2．＝×2×3＝3．∴S△AOC（4）①当点P与B重合时，OP1＝OC，此时P1（0，2）；②当PO＝PC时，此时P2在线段OC的垂直平分线上，P2（1，1）；③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，∴m＝2±，可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），综上所述，满足条件的点P坐标为：（1，1）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为﹣1；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．解得k＝﹣1．故答案是：﹣1；（2）∵在直线y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵A（4，0），∴线段AB的中点P的坐标为（2，2），代入，得n＝1，∴直线l2为，∵QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，Q（t，0），∴M（t，﹣t+4），，∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，∵MN＝2MQ，∴，分情况讨论：①当t≥4时，，解得：t＝10．②当2≤t＜4时，，解得：．③当t＜2时，，解得：t＝10＞2，舍去．综上所述：或t＝10．（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，∴∠BPO＝∠PQR，∵OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵M（﹣1，0），∴OP＝OM＝1，∴BP＝BM，∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，∴PB＝PQ，∴△OBP≌△RPQ（AAS），∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，∴OR＝5，∴Q（5，1），∴直线BN的解析式为，将N（5m，3m+2）代入，得3m+2＝﹣×5m+4解得，∴．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，（x﹣）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝，∴A（1，0），B（0，），∴AB＝2，又∵AB：AC＝1：2，∴AC＝4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°，由题意得：CM＝t，CB＝2．①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE，在△BOC和△CED中，。
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培优讲义九一次函数与等腰三角形
存在性
一次函数与三角形存在性问题相关知识点1、两点距离公式A(x1,y1)B(x2,y2)，则AB= 2、等腰三角形相关性质及作法3、对于一次函数y=kx+b ①当k＞0时，y 随x的增大而，向当k＜0时，y随x 的增大而。
向②k越，倾斜角度越。
直线y=x，与x轴夹角为，y=3x，与x 轴正方向夹角为，y=3x，3与x轴正方向夹角为③经过点且平行于x 轴的直线叫做直线，经过点且平行于y 轴的直线叫做直线④对于直线l1:y?k1x?b1和l2:y?k2x?b2 当l1∥l2时，;当l1?l2时，. ⑤若A(x1,y1)B(x2,y2),则直线AB的斜率kAB=；若直线斜率k=3，且过点，则直线解析式为类型一、等腰三角形存在性例1. 如图，直线y?3x?2与x
轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x 轴上的动点，3若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是例2、如图，直线y=x+3与y轴交于点A，与直线x=1交于点B，点P是直线x=1上的动点， 1 若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是例3、如图，直线l1：y=x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直线l2：y=﹣x+b经过点C，且与直线l1交于点D，与y轴交于点E，连结AE．当点C的坐标为时，①求直线l2的函数表达式；②求证：AE平分∠BAC；问：是否存在点C，使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理．类型二、等腰直角三角形存在性 2 例4、模型建立：如图，等腰三角形ABC 中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证△BEC≌△CDA；模
型应用：①已知直线l1=x+4与y 轴交于A点，将直线l1绕点A顺时针旋转45°至l2，求l2的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B 的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D 在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．例5、如图，点M是直线y=2x+3在第二象限上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，在y轴的正半轴上求点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标．练习： 3 31、如图，直线y?-x?3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是线段AB上的动点，4若使△OAP为等腰三角形，则点P的坐标是2、如图，在平面直角坐标系中，过点A的两条直线分别交y轴于B、C两点，且∠ABC=30°，AC⊥AB于A．求线段AO
的长，及直线AC的解析式；若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；在的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理．3、直线y? 1x?1与x轴，y轴分别交于A,B两点，C是第二象限点，则使△ABC是等腰直角34 三角形的C点坐标是4、如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A为第一象限内一点，点B在x轴正半轴上，且∠AOB=45°，OA=OB．求点B的坐标；动点P以每秒2个单位长度的速度，从点O出发，沿x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t 秒，△ABP的面积为S，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；如图2，在的条件下，点D坐标为，连接AD，AK⊥AD，过点B作x轴的垂线交AK于点K，过点A作x轴的平行线a，在点P的运动过程中，直线a上是否
存在一点R，使△PKR是以PR为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理． 5。